导数压轴-恒成立问题之不参变分离法

一、 方法初探导数中有一类与恒成立有关的问题，他们乍一看似乎可以用参变分离法解决，但仔细一做似乎不是那么回事儿，比如接下来这一道题： 例1：已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．若()f x ≥0在1x ≥时恒成立，求a 的取值范围. 解1： 如果我们用参变分离法是个什么结果呢？小tip：在进行参变分离时注意对分母进行讨论，本题即先讨论1x =时(11)(1)ln100011a f -=-=-=+，所以(1)f ≥0成立：1x >时即转化为(1)ln 1x xa x +≤-在[1,)+∞上恒成立，求a 范围；令(1)ln ()1x xg x x +=-，212ln '()(1)x x x g x x --=-； 令1()2ln h x x x x=--，22(1)'()0x h x x -=≥ ； 则()h x 在[1,)+∞上単增，()(1)0h x h ∴≥=，'()0g x ∴≥； ()g x ∴ 在[1,)+∞上単增；则a 的范围应为(1)a g ≤，而(1)g 分子分母皆为0，这样就不得不使用洛必达法则解决，而该种方法在某些省份高考阅卷中可能拿不到全分。

那么对于这种题该怎么办呢？别急，我们先来看看这类题型的基本特征是什么，其基本解法是什么。

题型简介：该类题的基本模型为函数0()0f x =，证明在0x x ≥时，()0f x ≥恒成立的问题。

我们来看下接下来这道题：例2.（2010全国课标）若)0,x ∈+∞⎡⎣，210x e ax x ---≥恒成立，求a 的取值范围. 说明：专题一练习8已经选用过该题，答案可以从略.第二课：恒成立问题之不参变分离法解：'()21x f x e ax =--；''()2x f x e a =-当12a >时，有'()f x 在[0,ln 2)a 上单减，在[ln 2,)a +∞上単增，则当[0,ln 2)x a ∈ 时，'()'(0)0f x f <=，则必存在一个0p >，使得当[0,)x p ∈时，'()'(0)0f x f <=，则在该区间内，()(0)0f x f <= 当12a ≤时，易证()f x 在[0,)+∞上単增，则()(0)0f x f ≥=恒成立，12a ≤即为所求。

以上是高考题的解法，看了以上解法，同学们可能会疑惑，这个12是怎么得来的？下面介绍该类题的一般解法，即切线法。

【方法剖析】该类问题求参数范围时，首先了解切线的思想，若0()0f x =， ()0f x ≥在0[,)x +∞上恒成立的的必要条件应为0'()0f x ≥，即若函数在该定义域上大于等于0恒成立，其先应满足的条件应有它在起始的那一小段大于0成立，即函数应在0x 处不减（一般来说，题目所给出的定义域的端点即为我们想要的零点）。

我们为什么要进行这样的操作？因为根据切线法，我们令0'()0f x ≥会相应得到待求参数的一个范围，而若参数在这个范围外，则必然不满足题意，这样就可以达到大大缩小范围的目的。

但需注意的是由于以上叙述较为繁琐，因此不宜直接写在卷面上，而且我们更需要领会的是切线法对于零点处単增的思想，这才是精髓，那我们在答题时应当如何进行？于是乎我们探索出该类问题的普适解法： 第一步：先自己在草稿纸上通过令0'()0f x ≥得到待求参数的一个范围。

第二步：证明参数不属于该范围时，无法满足题意。

第三步：由于我们第一步得到的是参数范围是使满足题意的必要条件，接下来我们应证的就是该参数范围就是满足题意的充要条件。

（在我们能遇到的高考题中，一般都是可证的）例2小结：有了以上标准步骤，我们再回过头来对比例2的解答，是不是思路清晰了许多？但需要注意的是在解答例2时我们还对'()f x 运用了切线法思想。

变式2‐1.当0x ≥时，231()(1)ln(1)(1)06f x x x x a x x =++-+-+≥恒成立，求a 的范围。

小结：此题解析式较长，但只要运用一下切线法便可迎刃而解，同样，这题我们对'()f x 运用了切线法。

二、 方法辨析这时，我们再回到本专题开头提到的问题，如何避免例1参变分离导致的洛必达法则问题？我们便可以利用切线法来解决这个问题：例1解二：先通分，由于分母恒大于0，即令()(1)ln (1)0h x x x a x =+--≥恒成立 2a ≤时，通过求导易证该函数在定义域内单增，则()(0)0h x h ≥=恒成立 2a >时，1'()ln 1h x x a x =++-，21''()0x h x x-=≥ '(1)20h a =-< 1'()1a ah e e =+；∴在(1,)a e 上'()h x 必存在一个零点1x ；则当1(1,)x x ∈ 时()h x 单减，即有()(1)0h x h <= 则不成立。

为什么要对2a =进行讨论？就是通过切线法思想，令'(1)0h ≥得到2a ≤，再在答题纸上进行以上的详细说明。

【疑难解惑】对比以上解法和本专题开头的解答我们不禁回想，由于考试时时间紧张，我们也许没有时间来验证多种解法，如何避免参变分离写到最后不得不面对洛必达法则而造成的无法挽回的损失？这就需要我们在一开始就做出判断了，毕竟在很多时候参变分离法都是很好用的，我们如何进行选择是个关键，这是就需要敏锐的感觉：假如我们通过参变分离法构造的函数存在特殊点使得分子分母同时为0的情况，这时就需要小心了，因为很可能就会遇到与洛必达法则相关的问题，而我们的切线法是为洛必达法则法量身定制的解药。

小贴士：可能有些学生对以上步骤中的取a e 这个点的这一步有些疑惑，可能会很好奇这一步是怎么得到的，其实这一步就是要在(1,)+∞上取一个值大于零的点，以通过零点存在定理得到两点间必存在一个零点，而如何取这样一个点却是一个值得思考的问题，这需要一定的技巧，而关于如何进行取点的问题在我们的取点法的专题中有详细介绍，在这里不予多说。

而如果同学们一时想不出如何取出一个具体的点的话，也可以说明为：该函数在1处的值小于0，且当x 趋于无穷时，该函数趋于正无穷得到该函数在(1,)+∞上必存在零点，但需要注意的是，如果这样做的话，是一种在高考的阅卷中会被视为并不太严谨的做法，因为高考教学中并没有提到极限的相关内容，指不定这样做就会被哪个心情不好的阅卷老师扣分，所以说，对于追求完美追求满分的同学，建议掌握下与取点法相关的内容。

例1小结：()f x 过()10，这个定点。

见到ln x 要代入1x =、x e =以及1x e=观察是否过特殊点，见到x e 要代入0,1,1x x x ===-等观察是否过特殊点，本题定义域就设定了[1,)x ∈+∞，故容易发现代入1，那如果没有给出这样的定义域呢？这就需要我们需要通过代入某些特殊点来进行尝试，以找到合适的切入点了！比如接下来这道题三、例题典例例3：已知()ln(1),()f x x g x kx =+=，若对0t ∀>，都有[0,)x t ∈ 时，2|()()|f x g x x -≤，求k 满足的条件分析：此题如果用常规的分类讨论的方法将会很不好做，因为该题的题干其实涉及到了一个极限的思想，不易说明，而切线法本身也就是个极限的思想，因此该题可用切线法解决，我们进行比较的话，该题与例4有相似之处却又略有不同。

解：去绝对值符号，转化成两个不等式22ln(1)0{ln(1)0x kx x x kx x +--≤+-+≥ 对两个不等式分别运用我们的方法，得到对k 与1的关系进行讨论 令2()ln(1)f x x kx x =+-- ，1'()21f x k x x =--+，21''()20(1)f x x =--<+；所以'()f x 在[1,)+∞ 上单减；当1k <时，'(0)10f k =->，1'(1)20222k f k -=-<- ；则'()f x 在(0,1)2k-上必存在零点1x ，后易证该情况对()f x 不成立，且可证1k ≥才能使()f x 的情况满足。

接下来令2()ln(1)g x x kx x =+-+，用同样的方法易证只有1k ≤才可使该函数满足，对比两式的交集，若要同时满足，只得有1k =。

变式3-1.已知函数()2ln kf x kx x x=--.若函数()f x 在其定义域内满足()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围.变式3-2.若对0x ∀>，22112ln x x m x≤++恒成立，求m 的取值范围。

小结：与例4相同，也要先通过观察得到1x =的恒成立点，再进行下一步操作。

变式3-3.已知函数2()ln f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；四、自主练习1.（16年四川卷·理）设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间(1,)+∞内恒成立 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）.2．（17全国Ⅲ卷·理）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n 有2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值。

3. 已知2()x f x xe ax x =+-，若对任意0x ≥，恒有'()()(41)f x f x a x -≥+成立，求a 的取值范围。

4. 已知sin ()2cos xf x x=+，若对0x ∀≥，都有()f x ax ≤成立，求a 取值范围。

注意：该题有一定难度，在我们用切线法导出了那个点后，下一步的证明在说明方面有一定难度，请读者量力而行。