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西安市数学高三上学期理数期中考试试卷B卷

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陕西省西安市第一中学高三数学上学期期中试题 理 北师大版

陕西省西安市第一中学高三数学上学期期中试题 理 北师大版

高三数学理科试题一、 选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2、P= log 23，Q= log 32，R= log 2(log 32)，则( )A. R<Q<PB. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q3、参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4、设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是 ( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真5、若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 36、在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)7、若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤2B ．5≤a ≤7C ．4≤a ≤6D ．a ≤5或a ≥78、若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是( )A. [B.(-C.[-D.(- 9、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若3x ya b ==，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1210、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，2sin sin cos a A B b A +=，则b a等于( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 211、设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}12、函数y ＝11－x的图像与函数2sin y x π=(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每小题4分，共20分）：13、命题”“存在01,:2>+-∈x x R x P 的否定P ⌝为__________14、323(9)x dx --⎰＝________.15、若曲线4y x =的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 16、从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________3cm ．17、 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题：①存在1x ，2x ，当12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三.解答题（本大题共有6个小题，满分70分） 18、（本小题满分10分）函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设(0,),()222f παα∈=，求α的值．19、（本小题满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2， 求a 的值．20、（本小题满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数； (2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．21、（本小题满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为，求a 的值． 22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．23、（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 西安市第一中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学理科参考答案二、填空题（共4小题，满分20分）：13.”“任意01,2≤+-∈x x R x 14. 36 15. 4x －y －3＝016.144 17. ①③三、解答题（共6小题，满分70分）18、（满分10分）函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ……………………5分 (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3. ……………………10分19、（满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， ……………………1分 当a ≥1时，y max ＝f (1)＝a ； ……………………3分 当0<a <1时，y max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； ……………………5分 当a ≤0时，y max ＝f (0)＝1－a . ……………………7分 根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. ……………………10分20、（满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解析：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． ……………………2分又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． ……………………6分(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . …………9分x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－－x －4. …………12分 21、（满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积为，求a 的值．解析：（Ⅰ）2()222cos 2cos 232sin(2)36f x x x x x x π=++=++=++．…………………4分所以最小正周期T=π，对称轴方程为,()26k x k Z ππ=+∈ …… (6分) （Ⅱ）依题意2sin(2)34,6A π++=即1sin(2)62A π+=,由于0A π<<,所以52,66A ππ+=A=3π ………………(9分)又∵1sin 22bc A =且b=1，∴,42c =得c=2，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 3a b c bc A =+-=,所以a =…………………(12分)22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )． …………………5分(2)方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)． ……………………7分当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，因此h (x )在此区间上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，因此h (x )是在此区间上是增加的． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ……………………10分 ∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根． ……………………12分 23、（本小题满分14分）设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = ……………2分 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.……………………6分 (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, ……………………7分 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- ………………10分 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, ………………12分 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<, 所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--. ………………14分。

西安市高三上学期数学期中联考试卷B卷

西安市高三上学期数学期中联考试卷B卷

西安市高三上学期数学期中联考试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2018高一上·雅安月考) 已知集合，则的子集个数为（）A . 2B . 4C . 7D . 82. （2分）设，那么“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高一上·柳江期中) 已知，，，则的大小关系为（）A .B .C .D .4. （2分）要得到的图象，只需将的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位5. （2分）(2013·广东理) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC . 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6. （2分） (2017高一下·西城期末) 在△ABC中，若，c=2，，则△ABC的面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·绵阳期中) 函数f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·韶关期中) 已知向量 =（﹣1，0）， =（，），则向量与的夹角为（）A .B .C .D .9. （2分）函数的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分）(2017·南通模拟) 若直线y= x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是________11. （1分） (2016高二下·重庆期中) 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4 ，则a6的值是________．12. （1分） (2016高一下·太康开学考) 函数的单调增区间是________．13. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线被平面和平面三等分；②正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积之比为；（3）以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积是，其中正确命题的序号为________.14. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知，则代数式的最小值为________.15. （1分） (2018高二下·河池月考) 若函数有三个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共30分)16. （5分）下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数．（1）y=1﹣sinx；（2）y=﹣3sinx．17. （10分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（I）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．18. （5分）(2017·日照模拟) 如图，菱ABCD与四边形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，AC∩BD=G．（I）求证：GM∥平面CDE；（II）求直线AM与平面ACE成角的正弦值．19. （5分） (2017高一下·资阳期末) 已知等比数列{an}中，2a4﹣3a3+a2=0，且，公比q≠1．（1）求an；（2）设{an}的前n项和为Tn，求证．20. （5分） (2016高二上·岳阳期中) 设函数f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln ＞．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略二、填空题 (共6题；共6分)10-1、11-1、12-1、答案：略13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共30分)16-1、17-1、18-1、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、。

陕西省西安市第一中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)

陕西省西安市第一中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)

市一中大学区2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．） 1．设集合{}|1A x x =>，集合{}2B a =+，若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算． 因为{}|1A x x =>且AB 为空集，所以21a +≤，即1a -≤，所以当1a -≤时，满足A 与B 的交集为空集的条件． 故选A ．2．已知为i 虚数单位，若复数1i()1i a z a -=∈+R 的虚部为3-，则||z =（ ）． A ．5B 13C ．23D 10【答案】C 【解析】因为1i (1i)(1i)1(1)i 111i 2222ia a a a a a z -----+-+====-+， 所以132a+-=-，所以5a =，所以23i z =--，所以22(2)(3)13z -+- 故选C ．3．已知命题:p x ∀∈R ，12(2)0x -<，则命题p ⌝为（ ）． A ．0x ∃∈R ，120(2)0x ->B ．x ∀∈R ，12(1)0x -> C ．x ∀∈R ，12(1)0x -≥D ．0x ∃∈R ，120(2)0x -≥【答案】C【解析】解：因为原命题为全称命题，所以原命题的否定是特称命题， 即命题p x ⌝∀∈R ，20x >，的否定是：:p x ∃∈R ，20x ≤． 故选C ．4．执行如图所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）．是否S=4i=1i=9S=22Si =i +1输出S结束开始A ．1-B ．23C ．32D ．4 【答案】D【解析】i 1=，1S =-；i 2=，23S =；i 3=，32S =； i 4=，4S =；i 5=，1S =-；；i 8=，4S =；i 9=，结束循环，输出S 的值是4．故选D ．5．设55log 4log 2a =-，2ln ln33b =+，1lg5210c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】解：∵13log 20a =<，112211log log 132b =>=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<． 故选A ．6．若函数()f x 满足1(1)()2f x f x +=，则()f x 的解析式在下列四式中只有可能是（ ）． A ．2x B ．12x +C ．2x -D ．12log x【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式． 由已知该函数具有性质1(1)()2f x f x +=，将此运用到四个选项中： A 项，1(1)2x f x ++=，1()24xf x =，不符合题意，故A 项错误； B 项，3(1)2f x x +=+，11()224x f x =+，不符合题意，故B 项错误；C 项，(1)11(1)22()22x x f x f x -+-+==⨯=，符合题意，故C 项正确； D 项，12(1)log (1)f x x +=+，112211()log log 22f x x x ==D 项错误． 故选C ．7．函数e x y x =和图象是（ ）．A ．xyOB ．yOx C ．yOx D ．yOx【答案】C 【解析】8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ）． A ．1ln 22- B ．32ln24- C ．1ln 22+ D ．12ln22+ 【答案】C【解析】本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率212222(ln )2d 11ln 2442x x S x P S +++====⎰阴影正方形．【注意有文字】故选C ．xy O412343219．设实数x ，y 满足22010210x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤，则11y x --的最小值是（ ）．A ．5-B ．12-C ．12D ．5【答案】B【解析】(1,1)xyOy=x+44000x y x y -+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥所表示的区域如图所示 11y z x -=-表示区域中的点到点(1,1)的斜率， 故原点到点(1,1)的斜率最大． 故选B ．10．若将函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象最新y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）． A ．5π12B ．π3C ．2π3D ．5π6-【答案】A【解析】把该函数的图象右移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为：π2sin 223y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又所得图象最新y 轴对称，则 π3π22πk ϕ-=+，k ∈Z ， ∴当1k =-时，ϕ有最小正值是 5π12．故选A ．11．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】解：函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥的图象，如图，xO y65432143211234564321不妨设123x x x <<，则2x ，3x 最新直线3x =对称，故236x x +=，且1x 满足1703x -<<；则123x x x ++的取值范围是：12376063x x x -+<++<+，即12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故选D ．12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()2()f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 是导函数，e 是自然对数的底数），则(1)(2)f f 的范围为（ ）． A ．11,2e e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(e,2e)D ．3(e,e )【答案】B【解析】构造函数()()e x f x g x =，(0,)x ∈+∞，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xfx f x f x f x g x ''--'==， 由已知()()f x f x '<得()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()g x 在(0,)+∞上递增， 所以(1)(2)g g <，即2(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >，所以根据2(1)(2)e ef f <有2(1)e (2)e f f <，即(1)1(2)e f f <， 再构造函数2()()(e )x f x h x =，(0,)x ∈+∞，2242()(e )()2(e )()2()()(e )(e )x x x x fx f x f x f x g x ''⋅-'==， 由已知()2()f x f x '<，所以()0h x '<在(0,)+∞，则函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以(1)(2)h h >，即24(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >， 所以根据24(1)(2)e e f f <有24(1)e (2)e f f <，即2(1)1(2)e f f <，所以21(1)1e (2)e f f <<． 故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算11130.7536170.027*********-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________． 【答案】31【解析】原式1133316412590.33625697295-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭3109913643553=-+-+- 31=．14．已知423401234(23)x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1【解析】令1x =，得401234(23)a a a a a =++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(23)(23)(1)1=⋅-=-=．15．一个类似杨辉三角形的数阵： 则第九行的第二个数为__________．18221891177115653139【答案】见解析【解析】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可以知道第n 行的首尾两数均为21n -， 设第(2)n n ≥行的第2个数构成数列{}n a ， 则有323a a -=，435a a -=，547a a -=，，123n n a a n --=-，相加得232335(23)(2)(2)2n n a a n n n n +--=+++-=⨯-=-23(2)23n a n n n n =+-=-+． 因此，本题正确答案是：223n n -+．16．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________． 【答案】见解析【解析】解：22534475A A 1201A A 9401206==--．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数2π()3cos sin 02222f x x x x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像经过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求()f x ．（2）在ABC △中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，5a =25ABC S =△，角C 为锐角且π72126C f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求C 边长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()3cos sin 222f x x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31cos(2))2x x ϕϕ-+=++ 311)cos(2)22x x ϕϕ=+-++ π1sin 262x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，∵图象经过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，∴ππ1sin 21362ϕ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭，即π1sin 22ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，∵π02ϕ<<，∴π3ϕ=， ∴π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（2）∵π17sin 21226C f C ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴2sin 3C =， ∴45cos 19C =-， ∵112sin 525223ABC S ab C b ==⋅=△，∴6b =，∴22252cos 53625621c a b ab C =+-=+-=， ∴21c =18．（12分）已知ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠．（2）若1AD =，2DC =BD 和AC 的长． 【答案】见解析．【解析】（1）1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅△∠，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅△∠， 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD =∠∠，所以2AB AC =， 在ABC △中，由正弦定理得：sin sin AC AB B C =∠∠，所以sin 1sin 2B AC C AB ==∠∠． （2）设ADB θ=∠，则πADC θ=-∠． 由（1）知12AC b AB c ==，所以2c b =①， 由2CD =2BD = 在ACD △中，由余弦定理，2222121π)b θ=+-⨯-⎝⎭， 即2322b θ=+②， 在ABD △中，由余弦定理，21222c θ=+-，即2322c θ=-③， 由①②③得1b =，故1AC =．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 510151055赞成人数46 9 6 34（1（2）若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不．赞成．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．频率组距0.010.020.03【答案】见解析．【解析】（1）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：11122464442222510510C C C C C 424666622(2)C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==． （2） ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，226422510C C 4515(0)C C 22575P ξ==⋅==， 21112646442222510510C C C C C 41562410234(1)C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==， 124422510C C 46124(3)C C 104522575P ξ==⋅=⋅==， 所以ξ的分布列是： ξ0 1 2 3 p1575 3475 2275 475 所以ξ的数学期望65E ξ=．20．（12分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程． （2）已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ，求ABM △面积的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）， 所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离2d =，ABM △的面积1π|||2cos 2sin 9|22924S AB d θθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以ABM △的面积的最大值为922+21．（12分）已知函数()|3|f x x =+，()2|11|g x m x =--，若2()(4)f x g x +≥恒成立，实数m 的最大值为t ．（1）求实数t ．（2）已知实数x 、y 、z 满足22236(0)x y x a a 2++=>，且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意可得(4)2|411|2|7|g x m x m x +=-+-=--，若2()(4)f x g x +≥恒成立， ∴2|3|2|7|x m x +--≥，即2(|3||7|)m x x ++-≤．而由绝对值三角不等式可得2(|3||7|)2|(3)(7)|20x x x x ++-+--=≥， ∴20m ≤，故m 的最大值20t =．（2）∵实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，由柯西不等式可得2222222[(2)(3)(6)]236236236x y z x y z ⎡⎤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥， ∴21)a x y z ⨯++≥(， ∴x y z a ++再根据x y z ++的最大值是120t =， 1a ，∴1a =．22．（12分）已知二次函数2()1f x x ax m =+++，最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +，(0)m ≠，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值．（2）()k k ∈R 如何取值时，函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值点，并求出极值点． （3）若1m =，且0x >，求证：[(1)](1)22(*)n n n g x g x x +-+-∈N ≥．【答案】见解析．【解析】（1）因为最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +， 即不等式22(12)0x a m x m m ++-++<的解集为(,1)m m +，所以22(12)()(1)x a m x m m x m x m ++-++=---，所以222(12)(21)(1)x a m x m m x m x m m ++-++=-+++，所以12(21)a m m +-=-+，所以2a =-．（2）由（1）得2()21()(1)111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， 所以()()ln(1)(1)(1)1m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为(1,)+∞， 所以222(2)1()1(1)1(1)m k x k x k m x x x x ϕ-++-+'=--=---， 方程2(2)10x k x k m -++-+=（*）的判别式22(2)4(1)4k k m k m ∆=+---=+．①当0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为21241k k m x +-+=<，22241k k m x +++=>， 则2(1,)x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以函数()x ϕ有极小值点2x ． ②当0m <时，由0∆>，得2k m <--2k m >-2k m <-， 则21241k k m x +-+<，22241k k m x +++=>，故(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增．所以函数()x ϕ没有极值点， 若2k m >-21241k k m x +-+=>，22241k k m x +++=>， 则1(1,)x x ∈时，()0x ϕ'>；12(,)x x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， 所以函数()x ϕ在1(1,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ，综上所述，当0m >时，k 取任意实数，函数()x ϕ有极小值点2x ， 当0m <时，2k m >-()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ， （其中2124k k m x +-+=2224k k m x +++=． （3）因为1m =， 所以1()(1)1g x x x =-+-， 所以1122122412211C C C C C n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x------=+⋅+⋅=+++， 令122412C C C n n n n n n n T x x x----=+++， 则122412122412C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n T x x x x x x---------=+++=+++， 因为0x >，所以1222441221212C ()C ()C ()2(C C C )n n n n n n n nn n n n n n T x x x x x x --------=++++++=+++12102(C C C +C C C C )2(22)n n n n n n n n n n n -=+++++-=-，所以22n T -≥，即[(1)](1)22n n n g x g x +-+-≥．。

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷附答案解析

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷附答案解析

2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.42.设1i z =-，则2i z +=（）A.1B.iC.i -D.1-3.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54-C.108D.108-4.已知a =，3log b =2log c =）A .b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<< 5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10C.2D.106.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A.512 B.12C.712D.567.已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a++⋅⋅⋅+=（）A.216B.260C.290D.3168.已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(0,)+∞ C.1,24⎛⎤-⎥⎝⎦D.(]0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且4ABC S =△，则（）A.ABC V 外接圆的半径为3B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为334C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为4D.若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A .//EF 平面11AA B BB.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为255C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为211.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A.直线AB 与抛物线C 相切B.6OP OQ ⋅= C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=___________.13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e exxf x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18.如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a ．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为62，右顶点为)E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E.（1）求C 的方程；（2）证明：直线AB 恒过定点；（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

2024届西安中学高三数学(理)上学期期中考试卷附答案解析

2024届西安中学高三数学(理)上学期期中考试卷附答案解析

2024届西安中学高三数学（理）上学期期中考试卷（时间：120分钟满分：150分）2023.11一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2340A x x x =--≤，{}220,B x xx x =+>∈Z，则A B ⋂的真子集共有（）A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个2．若复数()1i 1iz -=+，则z =（）A ．22B ．1CD ．23．已知非零向量,a b →→满足|2|||a b a b →→→→-=+，且3a b →→⋅=，则向量b →的模长为（）A ．2BCD ．34．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C （单位：A h ⋅）、放电时间t （单位：h ）、放电电流I （单位：A ）三者之间满足关系 1.5log 2C It =⋅．假设某款电动汽车的蓄电池容量为3074A h ⋅，正常行驶时放电电源为15A ，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：1.5log 36103074⨯≈）（）A ．60hB ．45hC ．30hD ．15h 5．函数()()33sin f x x x x=-⋅的部分图象大致为（）A ．B．C ．D ．6．已知()πcos 2cos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．-3B ．3C ．13-D ．137．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>8．已知函数()sin(2)1f x x ϕ=++，||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象向左平移3π个单位后关于直线0x =对称，则下列说法正确的是（）A ．在区间4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个零点B ．关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,124ππ⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为29．在△ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，D 是AC 边的中点，点E 满足13BE BA=，则CE 与BD 的夹角为（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°10．若曲线()e xxf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（）A ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（）A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-=D ．π2αβ-=12．已知函数()()()(]ln 1,0,e ln 1,,0xx f x x x ∞∞⎧∈+⎪=⎨⎪-∈-⎩，则下列说法中正确的是（）①函数()f x 有两个极值点；②若关于x 的方程()f x t=恰有1个解，则1t >；③函数()f x 的图象与直线0x y c ++=（c ∈R ）有且仅有一个交点；④若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，则()()1231x x x -+无最值.A ．①②B ．①③④C ．②③D ．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值是.14．已知向量(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，其中0x >，0y >，若a b ⊥，则12x y +的最小值为．15．已知函数()f x 的定义域为R ,其导函数为()g x ,若函数(22)f x +为偶函数,函数(1)g x -为偶函数,则下列说法正确的序号有.①函数()f x 关于2x =轴对称;②函数()f x 关于(1,0)-中心对称;③若(2)1,(5)1f f -==-,则(26)(16)=3g f +-;④若当12x -≤≤时,1()e 1x f x +=-,则当1417x ≤≤时,17()e1xf x -=-.16．设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知函数()22sin 32cos f x x x=-+.(1)求()f x 的最大值和最小值;(2)设())2cos 1g x xx =-,求()()()h x f x g x =+的对称中心及单调递增区间.18．已知函数2()2x f x e x ax=-+1)若a=1,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程(2)若()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围19．记ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()21cos 4bc A a+=.(1)证明：3b c a +=；(2)若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长.20．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A ，B 两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A 题库每题20分，B 题库每题30分，一班能正确回答A 、B 题库每题的概率分别为34、12，三班能正确回答A 、B 题库每题的概率均为23，且每轮答题结果互不影响.(1)若一班前两轮选A 题库，后三轮选B 题库，求其总分不少于100分的概率；(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B 题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三轮换成A 题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X ，求X 的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？21．已知函数()()1ln 0f x x a x a x =-->，()21ln g x x x x=--.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有三个零点1x ，2x ，3x ，求证：()()()1230g x g x g x ++>.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：ρθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.23．已知函数()=-++f x x a x b，,R a b ∈且0a b +>.(1)若函数()f x 的最小值为1，试证明点(),a b 在定直线上；(2)若1b =，[]0,1x ∈时，不等式()5f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.1．A【分析】解一元二次不等式，求出,A B ，从而求出A B ⋂，得到A B ⋂的真子集个数.【详解】由题意得，{14}A x =-≤≤，220x x +>解得：0x >或<2x -，所以{0B x x =>或}2,Z x x <-∈，所以{1,2,3,4}A B ⋂=，所以A B ⋂的子集共有4216=个，真子集有15个．故选：A ．2．B【分析】由复数的除法运算求出复数z ，然后根据复数模长公式即可求解.【详解】解：因为复数()1i 1iz -=+，所以()21i 1i 2i i 1i 22z ++====-，所以1z =，故选：B.3．B【分析】将|2|||a b a b →→→→-=+两边平方并化简，进而结合3a b →→⋅=即可求得答案.【详解】设,a b →→的夹角为θ，因为|2|||a b a b →→→→-=+，所以2222442a b a b a b a b→→→→→→→→+-⋅=++⋅，所以2236186b a b b b →→→→→=⋅=⇒=⇒=．故选：B.4．C【分析】根据题意蓄电池的容量C ，再把15A I =代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】由32log 2C It =，3074A h C =⋅,15I =时，32log 215C t =⋅；32log 2307415t ∴=⋅，32log 2307415t ∴=.又 1.5log 36103074⨯≈,3333322223332223332222log 2log 2log 2log log 3log 3log 33log 3log 222og 2g l lo 30743315151.5102161061061010103t -∴======⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯故选：C.5．D【解析】通过函数的奇偶性、区间上的函数值的符号确定正确选项.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()333sin 3sin f x x x x x x x f x ⎡⎤-=---⋅-=-⋅=⎣⎦，所以函数()f x 为偶函数，排除B.由()()23sin f x x x x =-，可知当(x ∈时，()0f x >；当)x π∈时，()0f x <.所以D 选项符合.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，函数图象的识别的方法主要根据函数的单调性、特殊点来求解.6．C【分析】由诱导公式、商数关系求得tan α，然后由两角差的正切公式计算．【详解】因为()πcos 2cos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα-=-，即tan 2α=，πtantan π1214tan()π41231tan tan 4ααα---==-++．故选：C ．7．B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质并结合“媒介”数比较大小作答.【详解】依题意，10255()()133a -=<=，212221log log 5log 225b ==>=，而23331log 3log 7log 32=<<=，即12c <<，所以a ，b ，c 的大小关系为b c a >>.故选：B 8．A【分析】通过函数()f x 的平移变换后图象关于直线0x =对称可求得ϕ值，从而可求出函数解析式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可.【详解】函数()sin(2)1f x x ϕ=++，||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭图象向左平移3π个单位后的图象对应的解析式为：2()sin 21sin 2133f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；而()f x 图象关于直线0x =对称，且||2ϕπ<，于是232ππϕ+=，2236ππϕπ=-=-；∴()sin(2)16f x x π=-+；012f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ ，所以()f x 不关于,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 错误；当433x ππ≤≤时，则62225x πππ≤-≤，令26t x π=-，则()sin 1f t t =+，此时函数图象如图:结合图象可知，当25226t x πππ=-≤≤时，即433x ππ≤≤，()f t 与坐标轴只有一个交点，即()f x 只有一个零点，故A 正确；当51212ππx ≤≤时，则20263x ππ≤-≤，结合图象可知，此时()f t 有增有减，故C 错误；当124x ππ≤≤时，则0326x ππ-≤≤，结合图象可知，此时()f t 单调递增，所以，当4x π=时，即3t π=，函数取最大值，()sin 11332f t f ππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：A.9．C【分析】根据给定条件，用向量CA CB,分别表示,CE BD ，再利用向量数量积的运算律求解作答.【详解】在ABC 中，90C ∠=︒，2AC BC =，12CD CA=，如图，则12BD CD CB CA CB=-=-，又13BE BA = ，则11221()()33332CE CB BE CB CA CB CA CB CA CB =+=+-=+=+ ，所以2221121()()()032234CA CB CA CB CA C CB E BD ⋅+⋅-=-== ，即CE BD ⊥ ，所以CE 与BD 的夹角为90︒.故选：C.10．B【分析】根据导数的几何意义求出过点(0,)a 的切线方程为20e x x a =，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为2()e xx g x =图象与直线y a =在R 上有3个交点，结合导数求出函数()g x 的极值，根据数形结合的思想即可求解.【详解】设该切线的切点为000(,)e x x x ，则切线的斜率为001()e x x k f x -'==，所以切线方程为000001()e e x x x xy x x -=--，又切线过点(0,)a ，则000001(0)e e x x x x a x --=-，整理得020e x x a =.要使过点(0,)a 的切线有3条，需方程20e x x a =有3个不同的解，即函数20e x x y =图象与直线y a =在R 上有3个交点，设2()e xx g x =，则(2)()e x x x g x '-=，令()002g x x '>⇒<<，令()00g x x '<⇒<或2x >，所以函数()g x 在(0,2)上单调递增，在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减，且极小值、极大值分别为()()2400,2e g g ==，如图，由图可知，当240e a <<时，函数020e x x y =图象与直线y a =在R 上有3个交点，即过点(0,)a 的切线有3条.所以实数a 的取值范围为240e a <<.故选：B.11．C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=，即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.12．D【分析】求出分段函数的解析式以及各段导函数，得出函数的单调区间，即可得出①；作出函数图象，即可判断②；根据①求得的导函数，可推得x ∀∈R ，有()1f x '≥-恒成立，即可得出③；作图，根据图象得出()y f x =与y m =有3个交点时，m 的范围.然后用m 表示出123,,x x x ，即可得出()()12311e m x x x m m ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭，构造函数()1e m g m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，通过导函数研究函数的单调性，得出函数的最值，即可判断④.【详解】对于①，当01x <<时，()ln ln 1e ex xf x x-===，()10f x '=>恒成立，所以()f x 在()0,1上单调递增；当1x ≥时，()ln 11exf x x ==，()210f x x '=-<恒成立，所以，()f x 在()1,+∞上单调递减；当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，()11011f x x x -'==<--恒成立，所以，()f x 在(),0∞-上单调递减.综上所述，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.所以，()f x在0x=处取得极小值()00f=，在1x=处取得极大值()11f=，故①正确；对于②，作出()f x的图象如下图1由图1可知，若关于x的方程()f x t=恰有1个解，则1t>或0=t，故②错误；对于③，由①知，当1x≥时，()21f xx'=-，因为1x≥，所以21x≥，所以()211f xx'=-≥-，当且仅当()11f'=-；当01x<<时，()1f x'=；当0x≤时，()11f xx¢=-，因为0x≤，所以11x-≤-，所以()111f xx'=≥--，当且仅当()01f'=-.综上所述，x∀∈R，有()1f x'≥-恒成立.又直线0x y c++=可化为y x c=--，斜率为1-，所以函数()f x的图象与直线0x y c++=（Rc∈）有且仅有一个交点，故③正确；对于④，由图2可知，当01m<<时，函数()f x的图象与y m=有3个不同的交点.则有()123ln11x mx mmx⎧⎪-=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2131e1mx mxxm⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪=⎩，所以()()12311e m x x x m m ⎛⎫-+=+⎪⎝⎭，01m <<.令()1e m g m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，01m <<，则()211e 1mg m m m m ⎛⎫'=++- ⎪⎝⎭()322e 1m m m m m =++-.令()321h m m m m =++-，则()23210h m m m '=++>在()0,1上恒成立，所以，()h m 在()0,1上单调递增.又()010h =-<，()120h =>，根据零点存在定理可知，()00,1m ∃∈，使得()00h m =，且当00m m <<时，()0h m <，所以()0g m '<，所以()g m 在()00,m 上单调递减；当01m m <<时，()0h m >，所以()0g m '>，所以()g m 在()0,1m 上单调递增.所以，()g m 在0m m =处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.综上所述，①③正确.故选：D.【点睛】方法点睛：遇到()()()123f x f x f x ==条件时，常设()()()123f x f x f x m===，然后根据图象得出m 的范围.根据解析式，用m 表示出123,,x x x ，将所求表达式表示为m 的函数，根据导函数研究函数的单调性、极值、最值等.13．9【解析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数3z x y =+过点(3,0)A 时，取最大值为9.故答案为:9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.14．4【分析】根据向量运算可得22x y +=，再由均值不等式求解即可.【详解】a b ⊥，(1,1)a x =- ，(,2)b y = ，220x y ∴-+=，即22x y +=，由0x >，0y >，则121121414(2)4+424222y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y xxy =，即21y x ==时等号成立，故12x y +的最小值为4.故答案为：415．①③④【分析】根据偶函数的定义以及原函数与导函数的对称关系得出轴对称和中心对称，再得出周期，再综合利用得出的性质求解.【详解】由于函数(22)f x +为偶函数,则②(22)(22)f x f x +=-+,则函数()f x 关于2x =轴对称,①正确;进而函数()g x 关于点(2,0)中心对称,由于函数(1)g x -为偶函数,则(1)(1)g x g x -=--,则函数()g x 关于=1x -轴对称,进而函数()f x 关于(1,(1))f --中心对称,②错误;由题可得函数()f x 的周期为()42112⎡⎤⨯--=⎣⎦，()g x 的周期为41212⨯--=，故(26)(2)0,(16)(4)(0)g g f f f ====，由中心对称性(2)(0)2(1)2(5)2f f f f -+=-==-，所以(0)2(2)213f f =---=--=-，所以(16)3f =-,故(26)(16)3g f +=-,③正确;当1417x ≤≤时,1162x -≤-≤，17()(12)[4(12)](16)e 1x f x f x f x f x -=-=--=-=-,④正确.故答案为：①③④【点睛】结论点睛：若()f x 是可导的奇函数,则()f x '是偶函数；若()f x 是可导的偶函数,则()f x '是奇函数.16．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，由x 的取值范围求出6x πω+的取值范围，令6t x πω=+，将问题转化为函数y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的极值点个数问题，数形结合来求解.【详解】解：()sin sin 3f x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin sin coscos sin33x x x ππωωω=++31sin sin cos22226x x x x x πωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如图所示：由于函数()f x 在[]0,π上有且仅有3个极值点，则57262ππωππ<+≤，解得71033ω<≤.故答案为：710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦17．(1)()max 12f x =-;()min 5f x =-(2)对称中心是,-2,122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用二倍角公式将函数化为()22cos 2cos 1f x x x =-+-，令cos t x =,配方即可求解.（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数()2sin 226h x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的中心对称点以及单调递增区间即可求解.【详解】解:(1)由题意得()()221cos 32cos f x x x =--+22cos 2cos 1x x =-+-,令cos t x =,则[]1,1t ∈-,则()2221f x t t =-+-211222t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.所以当12t =时,有()max 12f x =-;当1t =-时,()min 5f x =-.(2)由题得()()()1cos 2232xh x f x g x -=+=⨯-2cos 22cos x x x +-,从而()2cos 2h x x x =--22sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由26x k ππ-=,得,122k x k Z ππ=+∈.故对称中心是,2,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭.再由222262k x k πππππ-+≤-≤+,得,63k x k k Zππππ-+≤≤+∈.所以单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，需熟记公式和性质，属于基础题.18．（1）10ex y -+=（2）ln 2 1.a ≥-【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，若()f x 是单调递增函数，则()220x f x e x a '=-+≥恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数a 的取值范围．详解：(1)()()221x f x e x f e ''=-+∴= ()()1110y f e x ex y ∴-=-∴-+=（2）()()2202xxe f x e x a a x g x =-+≥∴≥-=' ()'10ln22xe g x x =-=∴=Q 所以()g x 在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,+∞上单调递减所以()()max g ln2ln21ln2 1.x g a ==-∴≥-.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．19．(1)证明见解析；(2)465.【分析】（1）利用余弦定理结合条件即得；（2）利用余弦定理结合条件可得3==b c ，然后利用角平分线定理及余弦定理即得.【详解】（1）证明：因为()21cos 4bc A a +=，所以2222142b c a bc a bc ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，所以222242b c a bc a +-+=，即()229b c a +=，所以3b c a +=；（2）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，()222222927149b c bc b c bc bc ==+-⋅+--，又36b c a +==，所以9bc =，3==b c，由角平分线定理可得，32AB AD AC DC ==，39355AD =⨯=，在ABD △中，由余弦定理得：222997323559BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯⎪⎝⎭，所以BD =.20．(1)2164(2)分布列见解析，一班赢下这场比赛【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断.【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，其概率为313233113C C 44264⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，其概率为22322323331119C C C 422232⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，于是一班总分不少于100分的概率为3921643264+=；（2）由条件知，随机变量X 可能取值为60，80，100，120，311(60)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21313980C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2231327100C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(120)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为：X 6080100120P16496427642764()192727608010012010564646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，设三班最后的总分为Y ，Y 可能取值为30，60，90，120，()31130327P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21312260C 339P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22321490C 339P x ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()328120327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，∴X 的分布列：Y306090120P1272949827()124830609012090279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为10590>，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛.21．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()f x '，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）先判断出2a >，将()()()123g x g x g x ++转化为()331g x g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.【详解】（1）由()()1ln 0f x x a x a x =-->，可知定义域()0,x ∈+∞，()222111a x ax f x x x x -+'=+-=，令()()210h x x ax x =-+>，则24a ∆=-，①当02a <≤时，240a ∆=-≤，则()0h x ≥成立，即()0f x '≥成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当2a >时，令()210h x xax =-+=，得2ax =，记42a x =，52a x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表x()40,x 4x ()45,x x 5x ()5,x +∞()f x '+-+()f x ↗极大值↘极小值↗所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）因为函数()1ln f x x a x x =--有三个零点1x ，2x ，3x ，不妨设123x x x <<，所以2a >，即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.由()10f =，知21x =，故12301x x x <<=<，因为()1111ln ln f x a x a x f x x x x x ⎛⎫=--=+=- ⎪⎝⎭，所以()1110f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即311x x =，因此()()()()()()1233333111g x g x g x g x g g g x g x x ⎛⎫⎛⎫++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()22221111111ln 1ln 2ln G x g x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=--+--=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11ln G x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()1p x xx =-，则()p x 在()0,∞+上单调递减，且()10p =，()1ln q x x x x =-+，()22222131112410x x x q x x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭'=--+==<成立，所以()q x 在()0,∞+上单调递减，且()10q =，因此()()10G x G ≥=，则()()33310g x g G x x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以()()()1230g x g x g x ++>.【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，要在定义域的范围内求解单调性.当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可结合二次函数的知识来进行.22．（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(222:3C x y +=.（2）y =.【解析】（1）用1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭，代入到1:2cos C ρθ=和2C：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.【详解】解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨=⎩()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=故1C ：2cos ρθ=将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ=因为222,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-=得2C的直角坐标方程(222:3C x y +=.（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R πθϕϕρ⎛⎫=<<∈ ⎪⎝⎭由2cos θϕρθ=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得||OB ϕ=故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭当3πϕ=时，OA OB +取得最大值此时直线的极坐标方程为：()3R πθρ=∈，其直角坐标方程为：y =.【点睛】考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.23．(1)证明见解析(2)[]3,4-【分析】（1）根据绝对值的三角不等式求出函数()f x 的最小值，结合取得最小值的条件即可得出结论；（2）由题意()11f x x a x x a x =-++=-++，则不等式()5f x x ≤+恒成立，即4x a -≤，进而可得出答案.【详解】（1）()()x a x b x a x b a b a b a b-++≥--+=--=+=+ ，当且仅当b x a -≤≤时取等号，1a b ∴+=，即点(),a b 在定直线10x y +-=上；（2）当1b =，[]0,1x ∈时，()11f x x a x x a x =-++=-++，由()5f x x ≤+得：4x a -≤，44x a ∴-≤-≤，则44x a x --≤-≤-，404413a a -≥-+=-⎧∴⎨-≤-=⎩，解得：34a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]3,4-.。

陕西省西安市雁塔区名校2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题及答案解析

陕西省西安市雁塔区名校2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题及答案解析

陕西省西安市雁塔区名校2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题及答案解析一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为()A.M ∩(∁U N )B.∁U (M ∩N )C.∁U (M ∪N )D.(∁U M )∩N2.已知复数z 的共轭复数为z ，若(1i)2i -=z （i 为虚数单位），则z =（）A.IB.－1＋iC.－1－iD.－i3.设0a 为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则0||a a a =；②若a 与0a 平行，则0||a a a =；③若a与0a 平行且||1a = ，则0a a =，假命题的个数是（）A.0B.1C.2D.34.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C ：2y x =，一束平行于抛物线对称轴的光线经过()5,2A ，被抛物线反射后，又射到抛物线C 上的Q 点，则Q 点的坐标为（）A.11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,84⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,648⎛⎫- ⎪⎝⎭5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若525S =，348a a +=，则{}n a 的公差为（）A.2- B.1- C.1D.26.已知3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，α为第三象限角，则cos 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.10-B.7210-C.210D.72107.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m ，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S n ，则（）A.S n 无限大B.S n <3(3＋5)mC.S n ＝3(3＋5)mD.S n 可以取100m8.已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为()g x ．若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2- B.2- C.2D.29.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线的右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.510.已知函数()3log ,03πcos ,393x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（）A.297,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13521,4⎛⎫⎪⎝⎭C.[)27,30 D.13527,4⎛⎫⎪⎝⎭11.已知在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，22SA SC ==，二面角B AC S --的大小为23π，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A1249π B.1054π C.1059π D.1049π12.函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭，()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.[)1,+∞ D.12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相成的横线上.）13.已知向量()()()2,1,1,,20a b k a a b ==-⋅-=，则k =___________.14.若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，，则a 的取值范围是_____．15.已知2(1)n a +的展开式中各项系数之和等于2516(5x +的展开式的常数项，而2(1)na +的展开式中系数最大的项等于54，则正数a 的值为__________.16.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则下列四个结论：①322V V =；②31V V =；③312V V V =+；④3123V V =.其中正确结论的序号为__________.（写出所有正确结论的序号）三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C ∠=︒.（1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求a b +的最小值；18.为了让税收政策更好的为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2×2列联表：（1）根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟员工贡献积分x （单位：分）给予相应的住房补贴y （单位：元）,现有两种补贴方案，方案甲：1000700y x =+;方案乙：3000,055600,5109000,10x y x x <≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A 类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A 类员工”的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++参考数据：()20P K k ≥0.500400.250.150.100.050.0250.010k 0.4550.7081323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63540岁及以下40岁以上合计基本满意153045很满意251035合计40408019.已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,,E F G O 分别是,,,PC BC PD AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．20.如图，经过点()2,3P ，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的弦,PA PB 所在直线交x 轴于点,C D ，且PC PD =.求证：直线AB 的斜率为定值.21.已知函数()()ln R xf x a x a=∈+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）试比较20232022与20222023的大小，并说明理由；（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212e x x ⋅>.请考生在第22､23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为22124cos ρθ=-，直线l 的参数方程为2525535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）（1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（2）设点P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且5MN =,求PMN 面积的取值范围选修4-5不等式选讲.23.设函数()211f x x x =++-.（1）当[)0,x ∈+∞，总有()f x ax b ≤+，求a b +的最小值t ；（2）若正数,m n 满足33165m n t +=，求证；4m n +≤.答案解析一､选择题1.C 【解析】由N 中方程解得：x =2或x =6,即N ={2,6}，∵全集U ={x ∈Z |0<x <8}={1,2,3,4,5,6,7},M ={2,3,5}，∴M ∪N ={2,3,5,6}，则M ∩(∁U N )={1,2,3,4,5,7};∁U (M ∩N )={1,3,4,5,6,7};∁U (M ∪N )={1,4,7};(∁U M )∩N ={2,6}.2.C 【解析】由已知可得2i 2i (1i)22i 1i 1i (1i)(1+i)2z ⋅+-+====-+--，则1i z =--.3.D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与0||a a 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与0a u u r 平行，则a 与0a uu r 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时0||a a a=-，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．4.D 【解析】设从点()5,2A 沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点P ，易知2P y =，将(),P P x y 代入抛物线方程得4P x =，即()4,2P ，设焦点为F ，则1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()2,Q Q Q y y ，由P ，F ，Q 三点共线，有22011444Q Q y y --=--，化简得281520Q Q y y --=，解得18Q y =-或2Q y =(舍)，即11,648Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.5.A 【解析】依题意，可得()15355522522a a a S +⨯===，解得35a =，又348a a +=，所以43a =，所以公差43352d a a =-=-=-.6.A 【解析】∵3sin()cos cos()sin 5βαβαββ---=，所以3sin()5βαβ--=，即3sin 5α=-，由α为第三象限角知，4cos 5α=-，∴22432cos cos cos sin sin (cos sin )()444225510πππααααα⎛⎫+=-=-=-+=- ⎪⎝⎭.7.B【解析】由题意可得，外围第2个正方形的边长为2212()()33m m +＝53m ；外围第3个正方形的边长为221525()()3333m m ⨯+⨯＝59m ；……外围第n 个正方形的边长为15()3n -m .所以蜘蛛网的长度S n ＝4m 1555[1()39]3n -+++⋯+＝4m ×51()3513--<4m ×1513-＝3(3＋5)m .8.C 【解析】∵函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且其最小正周期为π，∴0,2ϕω==，则()sin 2f x A x =，得()sin g x A x =．又sin 244g A ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以2A =，故()2sin 2f x x =，∴332sin 284f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.9.B【解析】由于2MF x ⊥轴，且M 在第一象限，设(,)M x y 所以将x c =代入双曲线的方程得2222(),0,b b y y y a a =>∴=即2(,)b M c a，在△12MF F 中，2212tan 302b MF a F F c︒==，即22323c a ac -=,解得3==c e a.10.D【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，可以发现3132log log x x =，即3132log log x x -=，∴()3132312log log log 0x x x x +=⋅=，121x x ⋅=.由余弦函数的图象可知，()f x 在[]3,9上的图象关于直线6x =对称，∴3412x x +=，且393,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此1234x x x x ⋅⋅⋅变形为()()()223333331212636g x x x x x x =-=-+=--+，∴当33x =时，()3min 27g x =；当392x =时，()3max 1354g x =.∴1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是13527,4⎛⎫⎪⎝⎭.11.D【解析】如图，取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，∵2AB BC ==，SA SC ==，∴,BD AC SD AC ⊥⊥，∴SDB ∠为二面角B AC S --的平面角，∴23BDS π∠=，∵AB ⊥BC ，2AB BC ==，∴AC =BD CD ==∵SA SC ==SD ==，过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R ，连接OB ，OS ，可得222OD R=-，在△OSD 中，∠ODS ＝6π，利用余弦定理可得222322R R=-+-，解得R 2＝269，所以其外接球的表面积为210449R ππ=.12.A 【解析】由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，∴()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+，∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x <'单调递减；当1x >时，()0,()h x h x >'单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-．∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．二､填空题13.12【解析】()()()24,21,5,2a b k k -=--=-，由()20a a b ⋅-=，得()()2,15,20k ⋅-=，1020k ∴+-=，解得12k =.14.4013a a <≤≥或【解析】如图，联立022x y x y -=⎧⎨+=⎩解得A 22,33⎛⎫⎪⎝⎭当x+y=a 过B （1，0）时，a=1；当x+y=a 过A 22,33⎛⎫⎪⎝⎭时，a=43∴若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则0＜a≤1或a≥43.故答案为0＜a≤1或a≥43.15.【解析】2516(5x +展开式的通项为:51051025221551616C ()()C 5,05,Z 5rrrr r r r r T x x x r r -----+⋅⋅⋅⋅≤==⋅≤∈，令51002r-=，解得4r =，故展开式的常数项为165165⨯=．由题意可得216n =，故有4n =．由于224(1)(1)n a a +=+展开式的系数最大的项等于244C 54a =，23a ∴=，解得a =．由于0a >，所以a =16.③④【解析】设22AB ED FB ===，DB ==，则1114222323V =⨯⨯⨯⨯=，2112221323V =⨯⨯⨯⨯=，如图所示，连接BD 交AC 于点M ，连接EM 、FM ，∵ED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ED BD ⊥，而FB∥ED，∴四边形EDBF 是直角梯形，则有FM ==，EM ==3EF ==，∴有FM EM ⊥，故13222EMFS==，因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以ED AC ⊥，又因为ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面EDBF ，所以AC ⊥平面EDBF ，即AC ⊥平面EMF ，311322332EMFV SAC =⨯=⨯⨯=,所以312V V V =+，3123V V =.三､解答题17.解：（1）解法一由2a b =及正弦定理，知sin 2sin A B =，即()sin 2sin 60A A =︒-，sin sin s A A A -=∴，3tan 2A ∴=.解法二22222212cos 42272c a b ab C b b b b b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，c ∴=，2222222c os b c a A bc +-===∴sin A ==∴sin tan cos 32A A A ∴==.（2）ACD BCDABC SSS+= ，111sin 60sin 60sin120222b a ab ∴︒+︒=︒，a b ab ∴+=，即111a b+=，()1124a b t a b a b a b b a ⎛⎫=+=++=+⎝∴+≥ ⎪⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，a b ∴+的最小值为4.18.解：（1）根据列联表可以求得2K 的观测值：()22802530101580K 11.429354540407⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.∵11.429 6.635>.∴有99%的把握认为满意程度与年龄有关（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为：积分23677111212方案甲24003100520059005900870094009400方案乙30003000560056005600900090009000由表可知，“A 类员工”有5名.设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名“A 类员工”的概率为P .则315348C C P C =37=19.解：（Ⅰ）因为PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥，又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以,,OA OG OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,O A B C D G P --，(1,(E F --，(0,2,0),(1,2,EF EG =-=，设平面EFG 的法向量为(,,),m x y z =因为00m EF m EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以2020y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则m =，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，所以||1cos 2||||m n m n θ⋅===.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为3π.20.解：（1）由题意可知：焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为：22221(0)x ya b a b+=>>，由椭圆的离心率12c e a ==，即2a c =，22223b a c c =-=，将(2,3)P 代入椭圆方程：2249143c c+=，解得：24c =，216a ∴=，212b =，∴椭圆的标准方程为：2211612x y+=；（2）由题意可知：直线PA 有斜率，且0k ≠，设直线PA 方程为()32y k x -=-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴222311612y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()()222(34)823423480k x k k x k +-+--=-，()()()22228234(34)42348016210k k k k k ∆⎡⎤---+-->⇒+>⎡⎤⎣⎣=⎦⎦，故12k ≠-由韦达定理可知：()()211222412382324343k k k k x x k k ---+=⇒=++，由PC PD =得：0PC PD k k +=,故直线PB 方程为()32y k x -=--()22224+12343k k x k -=+，因此()212212244348,4343k kx xxx k k -+-==++所以()()()()222121212121212443443224148243AB k k k k x k x k x x y y k k x x x x x x k ⎛⎫- ⎪-- ⎪+-----+--⎝⎭=====---+因此12AB k =，为定值.21.解：（1）由题可知：2ln ()()x a x xf x x x a +-'=+，()()2111af a ++'=，而直线10x y ++=的斜率1k =-，所以有21(1)1(1)af a +'==+，解得：1a =-或0a =，又因为函数()f x 在1x =处有意义，所以1a ≠-，故0a =，所以()ln x f x x =，()21ln xf x x-'=，(0,e)x ∈时，()0f x '>，(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，∴()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，∴(2022)(2023)f f >，即ln2022ln202320222023>，即2023ln 20222022ln 2023>，即有20232022ln 2022ln 2023>，∴2023202220222023>.（2）不妨设120x x >>，∴有12()()0g x g x ==，化简得1122ln 0,ln 0,x kx x kx -=-=即1212ln ln ()x x k x x +=+，1212ln ln ()x x k x x -=-，要证212e x x ⋅>，即证12ln ln 2x x +>，即证12()2k x x +>，因为1212ln ln x x k x x -=-，∴即证：121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即1112212122222()ln 1x x x x xx x x x x -->=++，设12x t x =，因为120x x >>，所以1t >，即证22ln 1t t t ->+(1t >)设22()ln 1t h t t t -=-+(1t >)，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++，所以函数()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h t h >=，即22ln 01t t t -->+，即22ln 1t t t ->+，即212e x x ⋅>.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22.解：（1）由22124cos ρθ=-得：2224cos 12ρρθ-=，又因为222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，即得2224()12x y x +-=，化简得：22143x y +=，故曲线C的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由2525535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消参可得：280x y +-=，直线l 的普通方程为：280x y +-=.（2）设(2cos )P θθ，则点P 到直线280x y +-=的距离d ==当sin(16πθ+=时，d 有最小值455，当sin(16+=-πθ时，d 有最大值1255，而5MN =，所以12PMNS MN d =⋅∈.故PMNS∈选修4-5不等式选讲.23.解：（1）记()()()()3,112,01a x x g x f x ax a x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+≤<⎪⎩，当3a >时，3010a ,a -<-<，此时()g x 在[)0,x ∈+∞单调递减，故()()max02g xg ==，则()b g x ≥恒成立，故2b ≥，此时5a b +>，当13a <<时，3010a ,a ->-<，此时()g x 在[)0,1x ∈单调递减，在[)1,x ∞∈+单调递增，此时()g x 无最大值，不符合题意，当3a =时，此时()g x 在[)0,1x ∈单调递减，在[)1,x ∞∈+时，()0g x =，此时()()max02g xg ==，则()b g x ≥恒成立，故2b ≥，此时5a b +≥，当1a <时，3010a ,a ->->，此时()g x 在[)0,x ∈+∞单调递增，此时()g x 无最大值，不符合题意，当1a =时，在[)01x ∈，时，()2g x =，当[)1,x ∞∈+，()g x 单调递增，此时()g x 无最大值，不符合题意，综上可知：5a b +≥，故a b +的最小值为5，即5t =，（2）由（1）知5t =，所以3316=165m n t +=，又()()()()2333316163m n m n m n mn m n mn m n ⎡⎤+=++-=⇒+-=+⎣⎦，由于0,0m n >>，所以22m n mn +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因此()()()3232163m n mn m n m n m n =+⎛⎫ ⎝≤⎪⎭+-++，即()()()33331616444m n m n m n m n +++-≤⇒≤⇒+≤，当且仅当=2m n =时，取等号.。

陕西省2020版数学高三上学期理数期中考试试卷B卷

陕西省2020版数学高三上学期理数期中考试试卷B卷

陕西省2020版数学高三上学期理数期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）设集合A={x|4x﹣3＞0}，B={x|x﹣6＜0}，则A∪B=________．2. （1分） (2019高一下·上海期末) 函数的最小正周期 ________.3. （1分） (2017高二上·扬州月考) “ ”是“ ”的________条件4. （1分） (2018高二上·济宁月考) 如果数列的前n项和，则此数列的通项公式________.5. （1分） (2019·浙江模拟) 向量，满足：｜｜＝2，｜ + ｜＝1，则的最大值为________6. （1分） (2019高一下·浦东期中) 在△ABC中，请给出一个值________，使该三角形有两解.7. （1分） (2018高二上·锦州期末) 求和： ________．8. （1分） (2017高一下·嘉兴期末) 如果角θ的终边经过点（，），则cosθ=________．9. （1分） (2018高一上·赣州月考) 已知函数，若，则 =________10. （1分）已知sinα=﹣，且α为第三象限角，那么tanα的值等于________．11. （1分） (2018高三上·德州期末) 若函数则 ________．12. （1分） (2017高一上·上海期中) 设，则的最小值为________．13. （1分） (2019高二上·晋江月考) 若，且共面，则________14. （1分）(2015·河北模拟) 已知点A（1，0），B（1，），点C在第二象限，且∠AOC=150°， =﹣4 +λ ，则λ=________．二、解答题 (共6题；共65分)15. （15分） (2016高一下·深圳期中) 已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+ ）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0， ]上的单调性；（3）当x∈[0， ]时，关于x的方程f（x）=a 恰有两个不同的解，求实数a的取值范围．16. （10分） (2020高一下·武汉期中) 如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求| |；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ ，点E是边CB上一点，满足=λ ．①当λ= 时，求• ；②是否存在非零实数λ，使得⊥ ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．17. （5分）求函数y=的值域．18. （10分）(2018·沈阳模拟) 设，且，记的最小值为M．（1）求M的值，并写出此时a，b的值；（2）解不等式：．19. （10分） (2020高一下·杭州期中) 设数列的前n项和为，已知， . （1）求数列的通项公式；（2）记，，证明：， .20. （15分） (2019高三上·天津月考) 已知函数 .（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若正实数满足，证明： .参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共65分)15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

陕西省2021版高三上学期期中数学试卷B卷

陕西省2021版高三上学期期中数学试卷B卷

陕西省2021版高三上学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高二上·西安月考) 对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有，则，，是P,A，B，C四点共面的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件2. （2分） (2017高一上·黄石期末) f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣1，则的值等于（）A . -B . ﹣6C . -D . ﹣43. （2分）右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·漳州模拟) 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数，若，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，，若令，请依据上述算法，估算的近似值是（）A .B .C .D .5. （2分）实数x，y满足，则z=|x﹣y|的最大值是（）A . 2B . 4C . 6D . 86. （2分）等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=（）A .B .C .D .7. （2分）已知抛物线与双曲线有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且轴,则双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .8. （2分） (2020高一下·太原期中) 若方程有两个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=________．10. （1分）若直线ax+4y+1=0与直线2x+y﹣2=0互相平行，则a的值等于________．11. （1分） (2017高一下·河北期末) 定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，，则f（log220）=________．12. （1分） (2020高三上·吉林期中) 已知等差数列的前项和为，若，，则 ________.13. （1分） (2017高二上·南阳月考) ，为两个定点，是的一条切线，若过两点的抛物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹方程是________．14. （1分） (2019高一上·齐齐哈尔月考) 已知函数在上为增函数，则的取值范围是________．15. （1分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD于点P，且 =18，则AP=________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数 f（x）=sin2x+ sinxcosx+ ，x∈R，（1）求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0， ]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．17. （5分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N* ，都有2Sn=（n+1）an ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为Tn ，求证：≤Tn＜1．18. （5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且DF=AB，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，AD=， FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．19. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知椭圆的左焦点，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且的最大值为 .（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点，与椭圆交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.20. （15分）已知a∈R，函f（x）=x3﹣ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a﹣3）x．（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过定点；（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3]上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围；（3）求证：对任意给定的正数b，总存在a∈（3，+∞），使得g（x）在上为单调函数．。

陕西省2021年高三上学期期中数学试卷(理科)B卷

陕西省2021年高三上学期期中数学试卷(理科)B卷

陕西省2021年高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·玉林期末) 已知定函数，则（）A .B .C .D .3. （2分）一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为（）A . 8B . 9C . 16D . 9或164. （2分） (2018高三上·沧州期末) 如图，用虚线表示的网格的小正方形边长为1，实线表示某几何体的三视图，则此几何体的外接球半径为（）A .B .C . 2D .5. （2分）(2016·潮州模拟) 如果执行程序框图，且输入n=6，m=4，则输出的p=（）A . 240B . 120C . 720D . 3606. （2分） (2019高三上·城关期中) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）下列四条直线，倾斜角最大的是（）A . y=﹣x+1B . y=x+1C . y=2x+1D . x=19. （2分） (2017高一下·正定期末) 下列函数中同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）=g（x）+x2为奇函数，且f（1）=1，则函数g（x）的解析式可能为（）A . y=x3B . y=2x3﹣x2C . y=2x3+x2D . y=x5﹣x211. （2分） log212﹣log23=（）A . 2B . 0C .D . -212. （2分） (2019高一上·南通月考) 偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·汕头模拟) 已知，若向量满足，则的取值范围是________．14. （1分） (2018高一下·鹤壁期末) 在区间内随机取出两个数分别记为、，则函数有零点的概率为________．15. （1分） (2016高二上·南昌期中) 设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为________．16. （1分）(2016·新课标Ⅰ卷理) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

陕西省西安中学2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)

陕西省西安中学2020届高三数学上学期期中试题 理(含解析)

陕西省西安中学2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.设集合A={x|（x+1）（x-2）＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1, C. 0,1, D.2.命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A. 对任意,都有B. 不存在,使得C. 存在,使得D. 存在,使得3.在等差数列中，a2=4，a3=6，则a10=（）A. 20B. 22C. 18D. 164.下列函数中，既是偶函数又有零点的是（）A. B. C. D.5.若tanα=，则=（）A. B. C. D. 26.函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A. B. C. D.7.已知函数，则f（f（e-2））=（）A. B. 2 C. D. 48.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59.已知（1.40.8）a＜（0.81.4）a，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.在直角△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为（）A. 6B. 8C. 10D. 1211.已知定义在R上的函数f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，且函数f（x+2）与函数f（x+7）都是偶函数，则f（x）在[0，2019]上的零点至少有（）个A. 404B. 406C. 808D. 81212.定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（x）+2019为奇函数，则不等式f（x）+2019e x＜0的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题）13.已知，，若与平行，则m=______．14.若不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，则实数m的取值范围为______．15.已知a∈R，函数f（x）=|x+-a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共8小题）16.函数的递减区间为______ ．17.已知向量=（sin x，1），=，函数f（x）=的最大值为6．（1）求A；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为1原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．18.在△ABC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．19.设函数f（x）=（ax2-2x）•e x，其中a≥0．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上为单调函数，求a的取值范围．20.以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．21.已知函数，曲线y=f（x）在点处的切线方程为6x+πy-2π=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）判断方程在（0，2π]内的解的个数，并加以证明．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．23.已知a＞0，b＞0，a+b=1．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．3答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|-1＜x＜2}；∴A∩B={0，1}．故选：A．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：“存在x0∈R，使得”．故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，a3=6，∴a1+d=4，a1+2d=6，解得a1=d=2，则a10=2+2×9=20．故选：A．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性和定义和函数零点的性质是解决本题的关键．根据函数奇偶性的性质和定义结合函数零点的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件；B．函数y=tan x是奇函数，不满足条件；C．y=e x+e-x≥2=2，则函数没有零点，不满足条件；D．函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=f（x），函数为偶函数，由y=ln|x|=0得x=1或-1，函数存在零点，满足条件．故选D．5.【答案】A【解析】解：∵tanα=，∴===．故选：A．由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（-1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（-1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（-1，0）．故选：B．判断函数的单调性，利用f（-1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．本题考查零点判定定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断．7.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，f（e-2）=（e-2）2+1=e-4+1，f（f（e-2））=ln（e-4+1-1）=ln（e-4）=-4；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得答案．本题考查分段函数解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点B（1，1）时，直线y=-的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．9.【答案】A【解析】解：依题意，因为1.40.8＞1＞0.81.4＞0，又（1.40.8）a＜（0.81.4）a，所以函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，所以a＜0．故选：A．因为1.40.8＞0.81.4，再结合幂函数y=x a的单调性处理即可．本题考查了幂的大小比较，幂函数的性质，主要考查推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设△ABC的外心即BC中点为O，由平面向量的线性运算知，，所以=，由图可知：==3×，当时，，，故选：D．5由平面向量的线性运算去分析最大值．本题主要考查平面向量的应用，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，f（x）关于x=2和x=7对称．∴f（x+2）=f（7+x），即5是函数f（x）的一个周期．∴定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上有1和6两个零点，可知3也是函数的零点，f（x）=0的根为5n+1或5n+3的形式．∴0≤5n+1≤2019，解得-0.2≤n≤403.6，共404个0≤5n+3≤2019，解得-0.6≤n≤403.2，共404个故函数y=f（x）在[0，2019]上的零点个数为808个，故选：C．根据y=f（x+2）与y=f（x+7）都是偶函数，得到函数f（x）=f（5+x）即函数是周期函数，利用函数的周期性即可得到函数零点的个数．本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．12.【答案】B【解析】解：构造函数，则，所以g（x）在R上单独递减，因为f（x）+2019为奇函数，所以f（0）+2019=0，∴f（0）=-2019，g（0）=-2019．因此不等式f（x）+2019e x＜0等价于g（x）＜g（0），即x＞0，故选：B．由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式即可．本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数求解不等式的方法等知识，属于中等题．13.【答案】【解析】解：∵，，与平行，∴，解得m=．故答案为：．利用两向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】[-2，10]【解析】解：∵不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，∴△=m2-4（2m+5）≤0，即m2-8m-40≤0，∴-2≤m≤10，∴m的取值范围为[-2，10]．故答案为：[-2，10]．由不等式x2+mx+2m+5≥0恒成立，可得△≤0，解出m的范围即可．本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．15.【答案】（-∞，]【解析】【分析】通过转化可知|x+-a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a-5≤x+≤5，进而计算可得结论．本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．【解答】解：由题可知|x+-a|+a≤5，即|x+-a|≤5-a，所以a≤5，又因为|x+-a|≤5-a，所以a-5≤x+-a≤5-a，所以2a-5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a-5≤4，解得a≤，故答案为：（-∞，]．16.【答案】（1，+∞）【解析】【分析】本题主要考查求对数函数的定义域、复合函数的单调性规律，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．令2x2-3x+1=（2x-1）（x-1）=t，则函数y=，（t＞0），求得函数y的定义域．根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t在函数y的定义域内的增区间．利用二次函数的性质可得函数t在函数y的定义域内的增区间．【解答】解：令2x2-3x+1=（2x-1）（x-1）=t，则函数y=，（t＞0）．令t＞0，求得x＜，或x＞1，故函数y的定义域为{x|x＜，或x＞1}．函数的递减区间，根据复合函数的单调性规律，本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-∞，）∪（1，+∞）上的增区间．利用二次函数的性质可得，函数t在函数y的定义域内的增区间为（1，+∞），故答案为（ 1，+∞）．17.【答案】解：（1）f（x）==A sin x cosx+cos2x=A（sin2x+cos2x）=A sin（2x+），∵函数f（x）=的最大值为6，∴A=6．（2）f（x）=6sin（2x+）y=6sin（2（x+）+）=6sin（2x+）y=6sin（4x+），则g（x）=6sin（4x+），∵0≤x≤，∴0≤4x≤，∴≤4x+≤，∴≤sin（4x+）≤1，∴-3≤6sin（4x+）≤6，即g（x）在[0，]上的值域为[-3，6]．7【解析】（1）化f（x）==A sin x cosx+cos2x=A（sin2x+cos2x）=A sin（2x+），从而求A；（2）由图象变换得到g（x）=6sin（4x+），从而求函数的值域．本题考查了平面向量的数量积及三角函数的化简与其性质的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B=sin B cos A，∵sin B≠0，∴可得：sin A=cos A，即：tan A=，∵A∈（0，π），∴A=；（2）∵A=，a=5，∴△ABC的面积2=bc sin A=bc，可得：bc=8，∴由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，∴可得：（b+c）2=49，解得：b+c=7，∴△ABC的周长a+b+c=5+7=12．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sin A sin B=sin B cos A，结合sin B≠0，可求tan A=，结合范围A∈（0，π），可求A=．（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得：b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]•e x①（I）若a=时，由，综合①，可知所以，是极大值点，2=1是极小值点．（II）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax2+2（a-1）x-2开口向上，则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以．综合（1）（2）知a的取值范围是．【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，即可求f（x）的极值点；（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，解不等式即可得到结论．本题主要考查函数的极值的求解，以及函数单调性和导数的关系，考查导数的基本运算，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．20.【答案】解：（1）椭圆C的离心率为，即c=，由c2=a2-b2，则a=2b，设椭圆C的方程为，∵椭圆C过点，∴，∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C的标准方程为，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．（2）由题意知，|m|≥1．易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．所以=，则，|m|≥1．（当且仅当时取等号）所以当时，S△AOB的最大值为1．【解析】（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC的面积，运用基本不等式即可得到最大值．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）直线6x+πy-2x=0的斜率为-，过点（，-1），f′（x）=，则，即a=3，f（）=b=-1，所以f（x）=-1，（Ⅱ）方程f（x）=-1在（0，2π]上有3个解．证明：令g（x）=f（x）-+1=-，则g′（x）=，又g（）=-＞0，g（）=-＜0，所以g（x）在（0，]上至少有一个零点，又g（x）在（0，]上单调递减，故在（0，]上只有一个零点，当x∈（，）时，cos x＜0，故g（x）＜0，所以函数g（x）在∈（，）上无零点，当x∈[，2π]时，令h（x）=x sinx+cos x，h′（x）=x cosx＞0，所以h（x）在[，2π]上单调递增，h（2π）＞0，h（）＜0，所以∃0∈（，2π]，使得g（x）在[，x0）上单调递增，在（x0，2π]上单调递减．又g（2π）=0，g（）＜0，所以函数g（x）在[，2π]上有2个零点．综上，方程f（x）=-1在（0，2π]上有3个解．【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得a，b的值，即可求出函数的解析式；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-+1=-，求出导数，根据函数的单调性和函数零点存在定理即可判断．本题考查了函数零点存在定理和导数和函数的单调性的关系，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题．22.【答案】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．9同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【解析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】证明：（Ⅰ）===≥1，当且仅当时等号成立．（Ⅱ）（a+1）2+（b+1）2=a2+b2+2（a+b）+2=（a+b）2-2ab+4=5-2ab，∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，从而．【解析】（Ⅰ）把不等式左边展开，把a+b=1代入，利用均值不等式证明即可；（Ⅱ）由（a+1）2+（b+1）2=a2+b2+2（a+b）+2=（a+b）2-2ab+4=5-2ab，又因为，，代入证明即可．考查不等式的证明，主要是均值不等式证明，本题重点是在运用均值不等式前的灵活变换，中档题．。

西安市高三上学期期中数学试卷(理科)B卷

西安市高三上学期期中数学试卷(理科)B卷

西安市高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·日照模拟) 已知复数 z 满足 3-z=1-i （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为（）A . 2B .C . 5D .2. （2分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·淄川期中) 已知F是双曲线C：y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A .B .C .D .4. （2分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝（）．A . 1B . －1C . 2D .5. （2分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A . 4B .C .D . 86. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）B . -6C . 10D . -157. （2分） (2017高二下·汪清期末) 已知实数x、y满足，则的最小值等于（）A . 0B . 1C . 4D . 58. （2分）若函数的导函数则函数的单调递减区间是（）A . （0,2）B . （-3，-1）C . （1，3）D . （2,4）9. （2分）(2015·三门峡模拟) 已知平面向量，，满足| |= ，| |=1，• =﹣1，且﹣与﹣的夹角为，则| |的最大值为（）A .B . 2C .10. （2分） (2018高二下·中山月考) 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有（）种A . 72B . 63C . 54D . 4811. （2分）若函数，则f（x）的最大值为（）A . 1B . 2C .D .12. （2分） (2017·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A . 24πB . 12πD . 6π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，右图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2015）+f（2016）=________．14. （1分） (2017·唐山模拟) 若（2+x）（1﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，则a2+a3=________．15. （1分）如图，过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线与圆（x﹣2）2+y2=4于A，B，C，D四点，则|AB|•|CD|=________．16. （1分）(2017·包头模拟) 设Sn是数列{an}的前n项和，且，则Sn=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高二上·黑龙江开学考) 已知函数f（x）=2 sinxcosx+1﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移单位，得到的函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的最小值．18. （10分） (2018高二下·遂溪月考) 已知的内角满足 .（1）求角；（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值.19. （10分） (2015高三上·包头期末) 设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn ，n∈N* ．（1）求a1a2，并求数列{an}的通项公式，（2）求数列{nan}的前n项和Tn．20. （5分） (2017高三上·漳州期末) 已知函数f（x）=lnx+ax2 ， g（x）= +x+b，且直线y=﹣是函数f（x）的一条切线．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1， ]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围．21. （5分）已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[， 2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．22. （5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P（，）在直线l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0（a∈R）上．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）若点A在直线l上，点B在曲线C：（t为参数）上，求|AB|的最小值．23. （10分）(2017·雨花模拟) 已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．（1）求实数a，b的值；（2）求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。

西安市高三上学期期中数学试卷B卷

西安市高三上学期期中数学试卷B卷

西安市高三上学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2017高三上·盐城期中) 函数y=sin2x的最小正周期是________．2. （1分） (2018高一下·汕头期末) 已知向量，若向量与平行，则m=________ ．3. （1分）(2017·北京) 已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是________．4. （1分） (2016高一上·襄阳期中) 已知集合A={x||x﹣1|＜1，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=________．5. （1分） (2016高一上·大名期中) 已知函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点________．6. （1分） (2016高三上·珠海模拟) 已知数列{an}满足an= ，若从{an}中提取一个公比为q的等比数列{ }，其中k1=1，且k1＜k2＜…＜kn ，kn∈N* ，则满足条件的最小q的值为________．7. （1分） (2015高三上·安庆期末) 已知函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a为正实数，若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围为________．8. （1分）已知α为第三象限角，则是第1 象限角9. （1分）在△ABC中，已知AB=8，BC=7，cos（C﹣A）=，则△ABC的面积为________10. （1分）(2018·佛山模拟) 曲线在点处的切线方程为________．11. （1分） (2017高二下·芮城期末) 若存在正数使成立，则的取值范围是________．12. （1分） (2018高一下·大同期末) 已知等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和＝________．13. （1分）(2017·镇江模拟) 在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且• =1，则实数λ的值为________．14. （1分） (2015高三上·如东期末) 对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤ + 恒成立，则实数p的最大值为________ ．二、解答题 (共6题；共55分)15. （5分） (2017高二下·孝感期中) 证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形．这里a，b，c是△ABC的三条边．16. （15分） (2016高一下·南阳期末) 函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．17. （5分）已知：A（cosx，sinx），其中0≤x＜2π，B（1，1）， + = ，f（x）=| |2（Ⅰ）求f（x）的对称轴和对称中心；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．18. （5分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ，求证；f（x1）+f（x2）＜e．19. （10分） (2016高二下·惠阳期中) 已知函数f（x）=x3﹣3ax+2（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．20. （15分） (2017高三上·蓟县期末) 已知数列{an}的前n项和，数列{bn}的前n项和为Bn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{cn}的前n项和Cn；（3）证明：．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共55分)15-1、16-1、16-2、16-3、17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

陕西省西安市高三上学期期中数学试卷(理科)

陕西省西安市高三上学期期中数学试卷(理科)

陕西省西安市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M＝｛ｘ|｝，N＝｛ｙ|ｙ＝3ｘ2＋1，ｘ∈Ｒ｝，则M∩N＝（）A .B . {ｘ|ｘ≥１}C . ｛ｘ|ｘ＞１｝D . {ｘ| ｘ≥1或ｘ＜０}2. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；③回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 =1.23x+0.08；④m=3是直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件．A . 1B . 3C . 2D . 43. （2分）已知为第二象限角,,则=（）A .B .C .D . -4. （2分）设平面向量，若，则等于（）A . 4B . 5C .D .5. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成的封闭图形的面积为（）A .B . 4﹣ln3C .D .6. （2分） (2016高一下·抚州期中) 若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A . 12B . 18C . 22D . 447. （2分） (2018高二上·新乡月考) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A . -2B . -3C . 2D . 38. （2分）已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A .B . 2C . -1D . 19. （2分）如果实数x,y满足:，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A . 2B . 3C .D . 410. （2分） (2016高三上·巨野期中) 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）11. （2分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=2，A=60°，若三角形两解，则b的取值范围为（）A . （1，2）B . （1，）C . （）D . （2，）12. （2分） (2017·昆明模拟) 若双曲线M：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1 ， F2 ，P为双曲线M上一点，且|PF1|=15，|PF2|=7，|F1F2|=10，则双曲线M的离心率为（）A .B .C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）（展开式的常数项为________．14. （1分） (2016高一上·济南期中) 若函数f（x）=ax﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是________．15. （1分）已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在（﹣1，1）上存在极值点，则实数a的取值集合为________16. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=sinx+ cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2017高二上·莆田月考) 设为中的对边.求证：成等差数列的充要条件是： .18. （10分） (2018高三上·太原期末) 已知外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，求的面积．19. （10分）(2017·运城模拟) 已知从A地到B地共有两条路径L1和L2 ，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图（1）和图（2）．现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望．20. （5分） (2016高二上·合川期中) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC 的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．21. （5分） (2018高三上·通榆期中) 已知函数 , R.（Ⅰ）当时,求的单调区间和极值；（Ⅱ)若关于的方程恰有两个不等实根,求实数的取值范围；22. （10分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，（1）曲线C1与曲线C2交于两点A，B，求A，B两点之间的距离；（2）设点M（x，y）为直角坐标系中曲线C2上任意一点，求x+y的最大值．23. （10分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=|ax﹣1|（1）若f（x）≤2的解集为[﹣3，1]，求实数a的值；（2）若a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。

陕西省高三上学期期中数学试卷(理科)B卷

陕西省高三上学期期中数学试卷(理科)B卷

陕西省高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A . {x|0＜x＜1}B . {x|0＜x≤1}C . {x|1≤x＜2}D . {x|2≤x＜3}2. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（）A .B .C .D .3. （2分）若向量，满足||=1，||=2且|2+|=2，则向量，的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·西安期中) 设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A .B .C .D .6. （2分）函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·钦州期末) 从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有（）A . 64个B . 72个C . 84个D . 96个8. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 等于（）A .B .C .D .9. （2分）等差数列中，如果，，则数列前9项的和（）A . 297B . 144C . 99D . 6610. （2分） (2017高二下·杭州期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O、O1分别为底面ABCD和A1B1C1D1的中心，以OO1所在直线为轴旋转线段BC1形成的几何体的正视图为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三上·石景山期末) 由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A .B .C .D .12. （2分）已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A . -5B . -6C . -7D . -8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·鞍山模拟) 设点P在曲线y= ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为________．14. （1分） (2019高一上·杭州期中) 设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数的解析式为 ________．15. （1分） (2015高二下·福州期中) 曲线y= 和直线y=x围成的图形面积是________．16. （1分）若﹣2＜a＜1，0＜b＜4，则a﹣b的取值范围是________三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，若x＜0时，f（x）=1+2x ，求f（x）并画出其图象．18. （5分） (2018高二上·阜城月考) 如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．19. （5分） (2016高一下·黑龙江期中) 设Sn是数列{an}的前n项和．（Ⅰ）若2Sn=3n+3．求{an}的通项公式；（Ⅱ）若a1=1，an+1﹣an=2n（n∈N*），求Sn ．20. （10分）设甲、乙、丙3个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这3个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.（1）求应从这3个协会中分别抽取的运动员的人数.（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果；②设事件A为“编号为A5和A6的2名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.21. （10分） (2016高三上·晋江期中) 已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间和极值．22. （10分）(2020·重庆模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，），点，直线l交曲线C于A，B 两点，求的取值范围.23. （10分）设定义域为R的函数f（x）= ．（1）在如图所示的平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调区间（不需证明）；（2）求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

西安数学高三上期中经典测试(含答案解析)

西安数学高三上期中经典测试(含答案解析)

一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）ABCD4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BC．2D ．47．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-8．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ）A．±4B．4C．1 4±D．149．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A．110B．310C．12D．71010．若x，y满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x=-的最大值为（）．A．8-B．4-C．1D ．211．已知ABC∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．34B．56C．78D．2312．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(cos)sin(cos)sina c B Bbc A A-⋅⋅=-⋅⋅，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形13．已知正数x、y满足1x y+=，则141x y++的最小值为（）A．2B．92C．143D．514．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，11a=，且满足21,,n n nS S S++成等差数列，则3a 等于( )A．12B．12-C．14D．14-15．若01a<<，1b c>>，则()A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题16．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，若ABC，则ab =__17．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.18．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．19．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 20．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 21．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______22．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．24．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 25．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.三、解答题26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n ba ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．27．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 28．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.29．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .30．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n n a S S -（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D2．B3．C4．C5．B6．A7．D8．A9．B10．D11．A12．D13．B14．C15．D二、填空题16．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛17．14【解析】【分析】等差数列的前n项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n项和有最大值可知再由知且又所以当时n的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n的最小值的求法是中档18．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题19．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换20．7【解析】由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)两式相减得2an＋1－2an＋an＝0化简得2an＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a121．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两22．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的23．【解析】设等差数列的公差为d∵且成等差数列∴解得∴24．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用25．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率，即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤.故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin BAC ∠= 考点：解三角形.4．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．5．B解析：B【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n n n a +=； 考点：累加法求数列通项公式6．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 30B B =，即tan 3B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.7．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．9．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：56sin 45AB =， 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===，即旗杆高度为15米，由3 155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）.故选B．考点：解三角形在实际问题中的应用．10．D解析：D【解析】作出不等式组2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x≥时，可行域为四边形OBCD内部，目标函数可化为2z y x=-，即2y x z=+，平移直线2y x=可知当直线经过点(0,2)D时，直线的截距最大，从而z最大，此时，max2z=，当0x<时，可行域为三角形AOD，目标函数可化为2z y x=+，即2y x z=-+，平移直线2y x=-可知当直线经过点(0,2)D时，直线的截距最大，从而z最大，max2z=，综上，2z y x=-的最大值为2．故选D．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by+型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b+++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11．A解析：A【解析】【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A +++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++． 所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+， 即最小角的余弦值为34． 故选A ．【点睛】 解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．12．D解析：D【解析】【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅，所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=，所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=，所以三角形是等腰或直角三角形．故选D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．13．B解析：B【解析】【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出 141x y++的最小值． 【详解】1x y +=，所以，(1)2x y ++=， 则141441412()[(1)]()52591111x y x x y x y x y y x y x++=+++=+++=++++， 所以，14912x y ++， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．14．C解析：C【解析】 试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C. 考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.15．D解析：D【解析】【分析】运用不等式对四个选项逐一分析【详解】对于A ，1b c >>，1b c ∴>，01a <<，则1a b c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a c b a b ->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<，10a ∴-<，1b c >>，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>，c b log a log a ∴<，故正确故选D【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题16．4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛解析：4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos C ，根据同角三角函数基本关系式可得sin C ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】 222sin sin sin sin sin A B C A B +=+，∴由正弦定理可得，222ab c a b +=+，即：222a b c ab +-=，∴由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，可得sin C ==，ABC 1sin 2ab C ==， ∴解得4ab =，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档 解析：14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <， 再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<，所以130S >，140S <，150S <，当<0n S 时n 的最小值为14，故答案为14．【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404.【解析】【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可.【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得155k k x k T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=. 故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404.故答案为：()4031,404.【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.19．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换解析：92【解析】【分析】先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++ 19(522≥+=. 当且仅当221223222a b a b a b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换. 20．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n nS S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 21．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：[－2，+∞）【解析】【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+ 1x ）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2； 要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）；故答案为[-2，+∞）．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．22．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析：5 【解析】 试题分析：5cos 23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有951x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得5x =，故最大面积为15522S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.23．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =- 24．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用 解析：()()3234212n n n +-++ 【解析】【分析】 观察得到21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】 观察知()2111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭. 故数列的前n 项和11111113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()3234212n n n +=-++. 故答案为：()()3234212n n n +-++. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 25．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题 解析：-4【解析】【分析】根据已知可得6n n b b +=，即可求解.【详解】121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--，63,20166336n n n b b b ++=-==⨯，201663214b b b b b ∴==-=-+=-.故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题26．（1）21n a n =+；（2）()1212n n +-⋅【解析】【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．(2()111)2,2212n n n n n n nb b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ．【详解】解：(1)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，21n a n ∴=+(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列， ()1112,2212n n n n n n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得：()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。

西安中学202届高三数学上学期期中试题理含解析

西安中学202届高三数学上学期期中试题理含解析
则 、 所成角的正弦值为 ．
故选：
【点睛】本题考查了空间角的求法，面面平行的性质定理,属于基础题.
第Ⅱ卷(90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。把答案填在答题卡上的相应位置.
15. 2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻,箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有__________种．（用数字作答）
A. B. C。 3D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】
分析】
由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图：
其底面是底和高分别为5， 的三角形,高为 ，则该三棱锥的体积为V＝ 。从而该不规则几何体的体积为 。
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
12。 平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ， 平面 , 平面 ，则 、 所成角的正弦值为( ）
A. B. C。 D。
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西安市数学高三上学期理数期中考试试卷B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知复数z= ，则 =（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二上·嘉兴月考) 已知集合，，则 = （）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）给出命题：已知a,b为实数，若a+b=1，则．在它的逆命题、否命题、逆否命三个命题中，假命题的个数是（）
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
4. （2分） (2019高二上·长治月考) 双曲线的渐近线方程为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）曲线在点（－1，－3）处的切线方程是（）
A . y=7x+4
B . y=7x+2
C . y=x-4
D . y=x-2
6. （2分） (2018高二上·马山期中) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A . 43
B . 55
C . 61
D . 81
7. （2分） (2018高一下·渭南期末) 函数的部分图像大致是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程
有实根的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2019高三上·大同月考) 已知 , , ,则（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·济南模拟) 如图所示，两个非共线向量、的夹角为θ，N为OB中点，M为OA 上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且 =x +y （x、y∈R），则x2+y2的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）已知数列{an}是无穷等比数列，其前n项和是Sn ，若a2+a3=2，a3+a4=1，则limSn的值为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二上·长安期末) 已知双曲线C：(a>0，b>0)与直线交于其中，若 ,且 ,则双曲线C的渐近线方程为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·苏州期末) 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有________辆.
14. （1分） (2016高一上·景德镇期中) 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为________
15. （1分） (2015高三上·泰州期中) 已知数列{an}满足an+1=qan+2q﹣2（q为常数），若a3 ， a4 ，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=________
16. （1分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．
三、解答题 (共7题；共62分)
17. （10分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知数列为等差数列，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，设的前项和为．求最小的正整数，使得．
18. （10分） (2015高二上·常州期末) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，
底面ABCD，SA=2，M为SA的中点．
（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求直线AS与平面SCD所成角的正弦值；
（3）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．
19. （10分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知的面积为3，边上的高是2， .
（1）求外接圆的半径；
（2）求和的长.
20. （10分） (2019高二上·成都期中) 已知动点满足： .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点
不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.
21. （10分） (2019高三上·汕头期末) 已知函数， .
（1）证明：的导函数在区间上存在唯一零点；
（2）若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
注：复合函数的导函数 .
22. （10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．
（1）求的值及直线的直角坐标方程；
（2）圆的极坐标方程为，试判断直线与圆的位置关系．
23. （2分） (2019高三上·郑州期中) 设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共62分) 17-1、
18-1、
18-2、18-3、19-1、
19-2、20-1、
20-2、21-1、
21-2、22-1、22-2、
23-1、23-2、。

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