1.3弧度制学案(北师大版必修4)

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(北师大版)高中数学必修四：1.3《弧度制》教案(1)

§3 弧度制一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。

2、过程与方法：通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

3、情感态度与价值观：通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。

二、教学重、难点重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。

难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。

三、学法与教法在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。

教法:探究讨论法。

四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的3601规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。

下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．（二）、探究新知1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—12(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。

高中数学第一章三角函数 3 弧度制学案北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

3 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理 (1)角度制和弧度制角度制用________作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad ，读作________．以________作为单位来度量角的单位制叫作弧度制(2)角的弧度数的计算设r 是圆的半径，l 是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝l r. 知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理 (1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad＝________ 180°＝________ rad π rad＝________1°＝π180rad≈________ rad1 rad ＝180°π≈________＝57°18′(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度 0° 1° 30°60°120°150°180°360°弧度π180π4π23π4π3π22π知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？梳理α为度数 α为弧度数扇形的弧长l ＝απr 180°l ＝αr 扇形的面积S ＝απr 2360°S ＝12lr ＝12αr 2类型一角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．梳理 (1)度弧度弧度知识点二思考利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0π6 π3 2π3 5π6知识点三思考设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°.(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°.∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－ 3。

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2.7 平面向量的应用1．阅读回答下列问题：①.直线的方向向量方程是怎么来的？是否唯一？为什么？②.什么是直线的法向量？是否唯一？为什么？③.直线方程与方向向量和法向量之间的转换关系？④.点到直线的距离公式怎么推出来的？结论是什么？2．应用分析例1．求点(1,2)P 到直线:210l x y ++=的距离。

分析：直线:210l x y ++=法向量（）直线:210l x y ++=任取一点A （） ||||PA n d n ⋅=u u u r u u r u u r 例2．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

分析：三线共点，两线相交于一点0,0,AH BC BH AC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 需证0CH BA ⋅=u u u r u u u r例3．△ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC例4．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证：设−→−AC = b，−→−CB = a ，则−→−AD =−→−AC +−→−CD = b +21a , −→−−→−−→−+=CB EC EB =a +21b ∵A, G, D 共线，B, G, E 共线∴可设−→−AG =λ−→−AD ，−→−EG = μ−→−EB , 则−→−AG =λ−→−AD =λ(b +21a )=λb +21λa , −→−EG = μ−→−EB= μ(21b +a )=21μb +μa , ∵−→−−→−−→−=+AG EG AE 即：21b + (21μb +μa ) =λb +21λa C C :()||||(35,93)336,(0,)5541(1,)5AB AC AD AB AC AD AB BC AD D λλμμμμ=+==+=-+-∴=∴=∴u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 分析利用等腰三角形的中线,角平分线重合表示 C∴(μ-21λ)a + (21μ-λ+21)b = 0 ∵a , b 不平行， ∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-313202121021μλλμλμ −→−AG =32−→−AD5.(sin 2,cos 2)()1)()0tan .2)().a b x x f x a bf x x f x ===⋅=r r r r r r 例已知向量函数若求的值求函数的单调增区间以及函数取得最大值时向量a 与b 夹角3．巩固训练 1．求证：过点00(,)A x y 并且垂直于向量(,)n a b =r 的直线方程是00ax by ax by +=+ 2．已知两直线12:(23)10,:(25)(6)70l mx m y l m x m y ---=+++-=如果12//l l m =则若12l l m ⊥=则。

高中数学第一章三角函数 1.3 弧度制教案北师大版必修4-北师大版高一必修4数学教案

1.3 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小1,记作1°.可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的360通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位又是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.推进新课新知探究提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.我们知道,半径不同时,同样的圆心角所对的弧长是不相等的,但通过度量和计算发现,当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,这个常数我们称为该角的弧度数.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师引导学生进一步探究,对任意一个0°—360°的角,我们以它的顶点为圆心,画单位圆就能得到它的弧度数.不难看出,不同的角,其弧度数一定不相同,而且角越大,它的弧度数越大.因此,我们可以用角的弧度数来度量角的大小.我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫作弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半l=1.径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即r图1讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.②能,用弧度制.提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连接圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)1;第三,无论是以“弧度”还是以的大小,而1°的角是周角的360“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.1;将角度化为弧②α=r度:360°=2πrad,1°=180πrad≈0.01745rad,将弧度化为角度:2πrad=360°,1rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(π180)°,n°=n 180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? ②:填写下列的表格,并找出某种规律. 的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数 πr逆时针方向 2πr逆时针方向 r1-2-π180° 360°活动:教师先点明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图像对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.通过学生合作交流,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书.教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行必要的提示.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是rl 这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师点拨:角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3 或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ (k∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ (k∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=l 21R. ② 的长OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数 πr逆时针方向 π 180° 2πr逆时针方向 2π 360° r逆时针方向 1 57.3° 2r顺时针方向 -2 -114.6° πr顺时针方向 -π -180° 0未施转 0 0° πr逆时针方向 π 180° 2πr 逆时针方向 2π 360°应用示例思路1例1 下列各命题中,是真命题的是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( )A.半圆所对的圆心角是πradB.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案:D例2 把45°化成弧度.解:45°=180π×45rad=4πrad. 例3 把53πrad 化成度. 解:53πrad=53×180°=108°. 例4 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α〔k∈Z ,α∈［0,2π)〕的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-23. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β|β=kπ,k∈Z },{β|β=2π+kπ,k∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为:{β|2kπ＜β＜2kπ+2π,k∈Z }, {β|2kπ+2π＜β＜2kπ+π,k∈Z }, {β|2kπ+π＜β＜2kπ+,k∈Z },{β|2kπ+23π＜β＜2kπ+2π,k∈Z }. 解:①-415π=-4π+4π,是第一象限角.②332π=10π+32π,是第二象限角. ③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α〔k∈Z ,α∈［0,2π)〕的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z ,|α|∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式;(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β. 解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π＜2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π. (2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k∈Z. 又∵β∈［-4π,0),∴β1=-92π,β2=-920π. 思路21.已知0＜θ＜2π,且θ与7θ终边相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3πk . 又∵0＜θ＜2π,∴0＜3πk ＜2π. ∵k∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π 点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α〔k∈Z ,α∈［0,2π)〕的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角.例2 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充.函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r. ∴S=21l·r=21 (a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a )2+162a .∵r＞0,l=a-2r ＞0,∴0＜r ＜2a . ∴当r=4a 时,max S =162a 此时,l=a-2·4a =2a ,∴α=r1=2. 故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积取最大值162a 点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98 +4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π,∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2,∴S=21,94πr 2=98π故扇形的面积为点评:求解扇形问题的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练习题1—3 1、2、3、4、5. 课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=πrad 这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业习题1—3 6、8.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.备课资料一、密位制度量角度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的60001所对的圆心角(或这条弧)的大小.因为360°=6 000密位,所以1°=3606000密位≈16.7密位, 1密位=6000360︒=0.06°=3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线,例如7密位写成0—07,读作“零,零七”,478密位写成4—78,读作“四,七八”. 二、备用习题1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.3π B.6π C.1 D.π2.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍3.下列表示的为终边相同的角的是( )A.kπ+4π与2kπ+4π(k∈Z ) B.2πk 与kπ+2π(k∈Z )C.kπ-32π与kπ+3π(k∈Z ) D.(2k+1)π与3kπ(k∈Z )4.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形的中心角的弧度数. 5.若α∈(-2π,0),β∈(0,2π),求α+β,α-β的范围,并指出它们各自所在的象限.6.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图3所示).图37.(1)角α,β的终边关于直线y=x 对称,写出α与β的关系式; (2)角α,β的终边关于直线y=-x 对称,写出α与β的关系式. 参考答案:1.A 2.B 3.C4.解:设扇形所在圆的半径为R,扇形的中心角为α,依题意有αR+2R=6,且21αR 2=2, ∴R=1,α=4或R=2,α=1. ∴α=4或1.5.解:-2π＜α+β＜2π,∴α+β在第一象限或第四象限,或α+β的终边在x 轴的非负半轴上.-π＜α-β＜0,∴α-β在第三象限或第四象限,或α-β的终边在y 轴的非正半轴上.6.解:(1){θ|2kπ-6π＜θ＜2kπ+125π,k∈Z };(2){θ|2kπ-43π＜θ＜2kπ+43π,k∈Z };(3){θ|2kπ+6π＜θ＜2kπ+2π,k∈Z }∪{θ|2kπ+67π＜θ＜2kπ+23π,k∈Z }={θ|nπ+6π＜θ＜π+2π,n∈Z }. 7.解:(1)β=2π-α+2kπ,k∈Z ;(2)β=2π+α+2kπ,k∈Z.三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念,在日常生活中有着广泛的应用,我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动,其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角2π (rad),30π(rad),1800π(rad)相对应,只是出于方便的原因,才用时、分、秒.时钟上的数学问题比较丰富,下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨.例题在一般的时钟上,自零时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)? 甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转过了x 弧度,则分针转过了2π+x 弧度,而时针走1弧度相当于经过π6h=π360min,分针走1弧度相当于经过π30min,故有π360x=π30(2π+x),得x=112π,∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是112π+π2+2π=1124π(rad).乙生:设再一次重合时,分针转过弧度数为α,则α=12(α-2π)(因为再一次重合时,时针比分针少转了一周,且分24π,针的旋转速度是时针的12倍),得α=1124π(rad).∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是11点评:两名同学得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解,而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α-2π与时针所转过的弧度数相等,利用弧度数之间的关系列出方程求解.。

2020-2021学年数学北师大版必修4学案：1.3 弧度制 Word版含解析

§3弧度制知识点一度量角的单位制及弧度数计算[填一填] 1．度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．弧度数的计算[答一答]1．“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？提示：不是.1弧度是指角的大小． 2．“2 rad ”的角终边在第几象限？提示：2 rad>π2 rad ，且2 rad<π rad ，故2 rad 的角终边在第二象限．知识点二角度与弧度互化及扇形面积[填一填]3．角度与弧度的互化4．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则[答一答]3．终边落在x轴负半轴上的角可以表示为α＝k·360°＋π(k∈Z)．这样表示对吗？提示：不对．角度制和弧度制都可以用来表示角，但表示角时不可混用，故可以表示为α＝k·360°＋180°(k∈Z)或α＝2kπ＋π(k∈Z)．4．30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？提示：30°＝π6rad,120°是30°的4倍，其弧度数为π6×4＝2π3rad．1．对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大小一样，π rad的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．2．对弧度数计算公式的说明我们常用α＝lr来求解圆中圆心角所对的弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数．但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角α上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为|α|＝lr.3．角度制与弧度制换算时应注意的四个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数．(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆．4．角度制与弧度制换算的要点类型一弧度制与角度制的互化【例1】(1)18°＝________rad；(2)67°30′＝________rad；(3)310π rad＝________度；(4)2 rad＝________度．【思路探究】直接运用角度和弧度的换算公式转换即可．【解析】(1)18°＝π180×18＝π10(rad)．(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π(rad)． (3)310π rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310π×180π°＝54°. (4)2 rad ≈2×57.3°＝114.6°.【★答案★】 (1)π10 (2)38π (3)54 (4)114.6规律方法在角度与弧度相互转化时，应抓住关系式：(1)度数×π180＝弧度数；(2)弧度数×180°π＝度数．同时，我们要熟记一些特殊角的弧度数．(1)把－1 200°化成弧度；(2)把－5π12化成度．解析：(1)－1 200°＝－1 200×π180＝－20π3. (2)－5π12＝(－5π12×180π)°＝－75°. 类型二弧度制与终边相同的角的问题【例2】把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角：(1)－53π3；(2)2 010°. 【思路探究】将所给角化成2k π＋α的形式→判断α是第几象限角→得到所给角是第几象限角【解】 (1)－53π3＝－18π＋π3，而π3是第一象限角，所以－53π3是第一象限角．(2)2 010°＝5×360°＋210°＝10π＋7π6，而7π6是第三象限角，所以2 010°是第三象限角．规律方法在进行“弧度”与“角度”的互化时，若无特别要求，切不可进行近似计算，也不必将π化为小数．注意角度制和弧度制不得混用，如α＝2k π＋60°，k ∈Z ，β＝k ·360°＋π4，k ∈Z 都是不正确的写法．(1)－150°的弧度数是( A ) A ．－5π6 B ．4π3 C ．－2π3D ．－3π4(2)8π5弧度化为角度是( C ) A ．278° B ．280° C ．288°D ．318°解析：(1)∵1°＝π180 rad ， ∴－150°＝－150×π180＝－5π6.(2)∵1 rad ＝180°π，∴8π5＝8π5×180°π＝288°. 类型三弧长与扇形面积公式的应用【例3】已知扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？【思路探究】先用R 表示半径，再依据S ＝12lR 建立扇形面积S 与半径R 之间的函数关系，利用二次函数求最大值．【解】设扇形的半径是R ，弧长是l ，由已知条件可知：l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R .由0<l <2πR ，得0<20－2R <2πR . ∴10π＋1<R <10. 扇形的面积为S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25(10π＋1<R <10)，当R ＝5时，S 最大，此时l ＝10，α＝lR ＝2.规律方法当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值；其求法是把面积S 转化为关于R 的二次函数，但要注明R 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πR .本题若改为扇形面积为25cm 2，也可以求扇形周长的最小值．(1)已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2 rad ，则扇形的面积为( D )A ．2B ．3C ．6D ．9(2)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 (3)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是( C )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1 解析：(1)∵S 扇＝12lR ，R ＝l α＝62＝3，∴S扇＝12×6×3＝9.∴选D．(2)设半径为R，弧长为l，则2R＋l＝8，①12lR＝4，②由①②解得R＝2，l＝4.∵α＝lR＝42＝2.∴选B．(3)如图，设∠ACB＝2，AB＝2，过点C作CO⊥AB于点O，则由题知α＝1，OA＝1，∵sinα＝OAAC＝1R，∴R＝1sin1，又∵2α＝l R，∴l＝2αR＝2·1sin1＝2sin1.故选C．类型四综合应用【例4】如图，已知一长为 3 cm，宽为1 cm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木板底面与桌面成30°的角，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【思路探究】解题关键是分析出点A运动产生的轨迹．【解】 AA 1︵所在的圆半径是2cm ，圆心角为π2； A 1 A2︵所在圆的半径是1cm ，圆心角是π2； A 2 A 3︵所在圆的半径是3cm ，圆心角是π3，所以点A 走过的路程是3段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋236π(cm)． 3段弧所在扇形的总面积是12×2×π＋12×π2＋12×3×3π3＝7π4(cm 2)．规律方法弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．在一般的时钟上，自零时开始到分钟与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?解：解法一：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x rad ，则分针转过了(2π＋x )rad ，而时针走1 rad 相当于经过6πh ＝360πmin ，分针走1 rad 相当于经过30πmin ，故有360πx ＝30π(2π＋x )，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)．解法二：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)．——易错警示——对终边相同的区间角理解不到位致误【例5】已知π4＋2k π<α<3π4＋2k π，2k π<β<π4＋2k π，其中k ∈Z ，求α＋β的范围．【错解】由已知两式左右分别相加，可得π4＋4k π<α＋β<π＋4k π，k ∈Z .【正解】 ∵π4＋2k 1π<α<3π4＋2k 1π，k 1∈Z ， 2k 2π<β<π4＋2k 2π，k 2∈Z ，∴π4＋2(k 1＋k 2)π<α＋β<π＋2(k 1＋k 2)π. 又∵k 1，k 2∈Z ，∴存在整数k ，使得k ＝k 1＋k 2， ∴π4＋2k π<α＋β<π＋2k π，k ∈Z .【错解分析】错解错误的原因是对终边相同的区间角理解不到位，误以为两式中的k 表示相同的整数．由于两式所表示的角是k 分别取整数值时所对应的无数个区间角的并集，故两式中的k 不一定相等，可用k 1，k 2替换加以区别，然后利用不等式的性质进行求解．【防范措施】含有k π的角的说明①关于含有k π的角的集合求交集、并集时，每个集合都有一定的周期规律，认清k π的系数确定周期，不要漏角或添角．②关于含有k π的角，求组合角时不能简单相加减．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z )，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)．解：(1)由于α的弧度数为π180×1 690＝169π18，又169π18＝8π＋2518π，∴α＝4·2π＋2518π(k ＝4，β＝25π18)．(2)由－4π<2k π＋25π18<－2π(k ∈Z )，得k ＝－2， ∴θ＝－4π＋25π18＝－4718π.一、选择题1．将分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( A ) A ．π3 B ．π6 C ．－π3D ．－π6解析：拨慢分针是逆时针方向． 2．下列命题中，错误命题是( D )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是错误命题．其他A 、B、C 均为正确命题．∴应选D ．3．在半径为2 cm 的圆中，若有条弧长为π3 cm ，则它所对的圆心角为( A )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6. 二、填空题4.如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝π6，则劣弧AB ︵的长为43π.解析：连接AO ，OB ，因为∠ACB ＝π6，所以∠AOB ＝π3，又OA ＝OB ，所以△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝AB ＝4，劣弧AB ︵的长为π3×r ＝4π3.5．在与2 010°角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是－5π6rad ．解析：与2 010°角终边相同的角为β＝k ·360°＋2 010°；令k ＝－6，得β＝－150°，化成弧度即为所求．三、解答题6．用弧度制表示顶点在原点，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界，如图所示)．解析：(1)如题图(1)中以OB 为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图(2)中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－34π.而135°＝135×π180＝34π， ∴终边落在阴影部分的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

高中数学第一章三角函数1.3弧度制学案(无答案)北师大版必修4(2021学年)

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弧度制班级姓名组号【学习目标】1、理解1弧度的定义和弧度制的概念，体会弧度制定义的合理性；2、掌握弧度与角度的互化,理解角的集合与实数集R 间建立的一一对应关系；3、掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式。

【学习重点】弧度制概念的理解,弧度与角度的互化。

【学习难点】弧度制的建立与应用。

【学习过程】一、预习自学（预习教材p ９—ｐ12）思考1:半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对的弧长和半径之比有什么特征？利用什么量表示这一特征?思考２：单位圆中，长度为1的狐与半径的比是多少?如何描述该狐所对圆心角的大小？如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么a 的弧度数是多少?思考３:课本表１-3是怎样得到的？你会转化吗?试举一例说明。

思考４: 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1）l R α=； (2)212S R α=; (3)12S lR =.(其中R 是半径，l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积)【知识自测】填写新学案Ｐ4—Ｐ５“知识梳理"相关内容二、合作探究问题１：圆Ｏ的半径为2，AB 的长等于4,AOC ∠＝—90°,AOC ∠和BOC ∠的弧度数.问题2;(弧度与角度之间的互化）(1）18°=__＿＿＿____； (2）6730'︒=_______； (3）310πra ｄ=＿____＿＿_; (4）2ｒad =_＿__＿__＿。

高中数学第1章三角函数 3 弧度制学案北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§3 弧度制学习目标核心素养1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)1.通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养．2．通过角度制和弧度制的换算及弧长公式和面积公式的应用，培养数学运算素养.1．弧度制 (1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad ，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．(2)角度制与弧度制的互化 ①弧度数(ⅰ)正角的弧度数是一个正数； (ⅱ)负角的弧度数是一个负数； (ⅲ)零角的弧度数是0；(ⅳ)弧度数与十进制实数间存在一一对应关系． ②弧度数的计算 |α|＝lr.如图：③角度制与弧度制的换算④一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0° 1°30° 45° 60° 90°120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度0 π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示] 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．2．弧长公式与扇形面积公式已知r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数．角度制弧度制弧长公式l ＝|n |πr180l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝|n |πr 2360S ＝12l ·r ＝12|α|r 2思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？[提示] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .1．下列说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小是2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D [根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A ，B ，C 均正确，D 错误．] 2．时针经过一小时，时针转过了( )A ．π6 radB ．－π6 radC ．π12rad D ．－π12radB [时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.]3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限D [2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．]4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4C [设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.]角度与弧度的互化【例1】设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝5，β2＝－6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．[解] (1)∵1°＝π180 rad ，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限． (2)β1＝4π5＝4π5×180°π＝144°.设θ1＝k ·360°＋144°(k ∈Z )． ∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k ·360°＋144°＜360°. ∴k ＝－1或k ＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－11π6＝－11π6×180°π＝－330°. 设θ2＝k ·360°－330°(k ∈Z )． ∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k ·360°－330°＜360°. ∴k ＝0或k ＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°π；n °＝n ·π180 rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.[解] (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad＝712×180°＝105°. (4)－115π rad＝－115×180°＝－396°.用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. [解] (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9<2π， ∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.1．根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形； (2)写出区间边界对应的角； (3)用不等式表示区域范围内的角．2．注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．2．(1)把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式是( ) A ．－6π－π4B ．－6π＋7π4C ．－8π－π4D ．－8π＋7π4(2)在0°～720°范围内，找出与角22π5终边相同的角．(1)D [因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4.](2)解：因为22π5＝4π＋25π＝720°＋72°，所以与角22π5终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°范围内，与角22π5终边相同的角为72°，432°.弧长公式与面积公式的应用[探究问题]1．扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？ [提示] |α|＝l r.2．扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？ [提示] S ＝12lr .【例3】一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数． [思路探究] 设扇形的半径为R ，弧长为l → 根据条件列方程组→解方程组求R 、l →求圆心角 [解] 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．(变条件)将例3中的条件改为“扇形的面积为4，周长为10，试求圆心角α(0<α<2π)的弧度数．[解] 设弧长为l ，扇形半径为r ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝8.(舍)故α＝24＝12(rad)，即扇形的圆心角为12rad.2．(变条件，变结论)将例3的条件改为“已知扇形的周长为40 cm”．问：当它的半径和圆心角取什么值时，才使扇形的面积最大？[解] 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ，∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) (2)1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π.( )(3)180°等于π弧度．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2．－72°化为弧度是( ) A ．－π3B ．－25πC ．－5π6D ．－5π7B [－72°＝－72×π180＝－25π.]3．－2312π化为角度为________．－345° [－2312π＝－2312π×180°π＝－345°.]4．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2－π3，k ∈Z，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π [由－π＜k π2－π3＜π，得－43＜k ＜83.因为k ∈Z ，所以k ＝－1,0,1,2，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.]5．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________． 32 48 [|α|＝l r ＝128＝32 rad ，S ＝12l ·r ＝12×12×8＝48.]。

高中数学第一章三角函数1.3弧度制课堂导学案北师大版必修4

1.3 弧度制课堂导学三点剖析1.角度与弧度之间的换算【例1】化下列角度为弧度制：（1）540°;(2)112°30′;(3)36°.思路分析：根据1°=rad就可将角度化为弧度.解:(1)∵1°= rad,∴540°=3π rad.(2)∵1°= rad,∴112°30′=×112.5 rad= rad.(3)∵1°= rad,∴36°=×36 rad=.友情提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.各个击破类题演练 1把130°,-270°化为弧度为________，____________-.解析：∵1°= rad,∴130°=×130 rad×π rad-270°=-×270 rad= rad.答案：π变式提升 1(1)将-225°化为弧度；（2）将 rad化为度.解：（1）∵1°=rad,∴-225°=-×225 rad= rad.(2)∵1 rad=()°,∴ rad=-()°=-75°.2.弧度的综合应用【例2】集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则有（）A.M=NB.M NC.M ND.M∩N=思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M、N所表示的角的终边的位置.解：对集合M中的整数k依次取0,1,2,3,得角.于是集合M中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N中的角与0,,,,π,π,3,,2π角的终边相同，如图（2）所示.故M N.∴选C.答案：C类题演练 2已知某角是小于2π的非负角且此角的终边与它的5倍角的终边相同,求此角的大小.解析：设这个角是α,则0≤α＜2π.∵5α与α终边相同,∴5α=α+2kπ(k∈Z),∴α=(k∈Z).又∵α∈［0,2π),令k=0,1,2,3.得α=0,,π,π.即为所求值.变式提升 2(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.解析：（1）在0到2π之间，终边落在OA位置上的角是+,终边落在OB位置上的角是+=,故终边落在OA上的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z},终边落在OB上的角的集合为{β|β=2kπ+,k∈Z}.(2)终边落在阴影部分角的集合为{α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z}.【例3】一条弦的长度等于半径r，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦与劣弧所组成的弓形的面积.思路分析:由已知可知圆心角的大小为，然后用弧长和扇形面积公式求解即可.注意弓形面积等于扇形面积减去对应的三角形面积.解:(1)如右图，因为半径为r的圆O中弦AB=r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=.则弦AB所对的劣弧长为r.(2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2，S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2，∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-r2=(-)r2.友情提示图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例是把弓形看成是扇形与三角形的差组成的，即可运用已有知识解决要求解的问题.类题演练 3求解：（1）已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.(2)已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积.解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π),弧长为l,半径为r,依题意有①代入②得r2-5r+4=0,解之得r1=1,r2=4.当r=1时，l=8(cm),此时，θ=8 rad＞2π rad舍去.当r=4时，l=2(cm),此时，θ= rad.(2)设扇形弧长为l,∵72°=72×(rad),∴l=αR=×20=8π(cm).∴S=lR=×8π×20=80π(cm2).变式提升 3一扇形圆心角为150°，半径为10,则扇形面积为多少？解析：150°=,S=|α|r2=××102=π.3.弧度的意义【例4】下列各命题中，假命题是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关思路分析:由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选D.答案：D友情提示掌握定义的准确表述，弧度是角的单位，不是弧的单位.类题演练 4下列各命题中，真命题是（）A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：根据一弧度的定义：把长度等于半径长的弧所对圆心角叫做一弧度的角，由选项知，D为真命题.答案：D变式提升 4在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的…（）A.弦长相等B.弧长相等C.弦长等于所在圆的半径D.弧长等于所在圆的半径解析：由弧度的定义可知选D.答案：D。

高中数学第一章三角函数1.3弧度制学案北师大版必修4(2021年整理)

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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§3弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数（重点)。

2。

掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题（难点)．知识点1 弧度制（1)角度制与弧度制的定义角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的错误!弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制（2如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝错误!.【预习评价】（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位（√）(2)1°的角是周角的错误!,1 rad的角是周角的错误!（√)(3）1°的角比1 rad的角要大（×）(4）1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关（×）知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝错误!rad≈0。

北师大版高中数学必修4-1.3《弧度制》参考教案1

§3 弧度制一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。

二、教学重、难点重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。

难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。

教法:探究讨论法。

高中数学第1章(三角函数)3弧度制导学案北师大版必修4 学案

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》3弧度制导学案北师大版必修4【学习目标】1.通过计算弧长与半径的比值理解弧度的定义.2.掌握弧度与角度之间的换算关系，能正确地进行弧度与角度的互化.3.能初步运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式，解决相关问题. 【重点难点】重点：弧度与角度之间的换算. 难点：弧度制的理解. 【自主学习】1. 先选定一个特殊的角，即周角，将它分为360等份，把1等份确定为一个度量单位，称为__________，这种度量角的方法叫___________.2. 在度量和计算时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数，称这个常数为该角的______________.3. 规定：在单位圆中，单位长度的弧所对的圆心角为______________，它的单位符号是________，读作___________.4. =360________rad ； =180________rad ； =1________rad ≈________rad ； 1rad =()≈__________=___________.5. 一般地，任一正角的弧度数都是一个________数；任一负角的弧度数都是一个______数；零角的弧度数是_________.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作________.注：在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系：即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.6.弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积，即________________.7.在弧度制下，扇形面积公式为：=S _______________.8.把下列各角从度化成弧度.（1）135；（2）90；（3）60.【合作探究】1.把下列各角化成π2~0间的角加上)(2Z k k ∈π的形式，并指出它们是哪个象限的角. （1）672；（2）718π-；（3）1500-；（4）236π.2. 已知一扇形的圆心角为72，半径等于cm 20，求扇形的面积.【课堂检测】1. 与32π终边相同的角是（） A. 311π B. 322ππ-k （Z k ∈）C. 3102ππ-k （Z k ∈）D. 32)12(ππ++k （Z k ∈）【课堂小结】【课后训练】1. 下列叙述中错误的是（）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的3601，1弧度上的角是周角的π21 C. 1弧度是长度等于半径的弧 D. 根据弧度的定义，180等于π弧度2. 把1485-写成),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式是__________________.3. 若一扇形弧长为18cm ，半径为12cm ，则扇形的面积为___________.。

高中数学 1.3 弦度制教案北师大必修4

西安交大阳光中学高一年级导学案课题：弧度制时间：一、学习目标：理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式二、重难点：弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式三、知识链接终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合：四、学习过程1．规定：周角为1度的角；叫做1弧度的角.2．角度制与弧度制相互换算：1弧度= （度）；1度= （弧度）注意：（1）用“弧度”为单位度量角，当弧度数用π来表示时，如无特别要求，不必把π写成小数，例如454π= 弧度，不必写成450.875≈弧度。

（2）角度制与弧度角制不能混用。

3．把下列各角从弧度化为角度： 7_______;6π= 4_______.3π-= ．4．把下列各角从角度化为弧度：0315________;= 072_________.-=5．下列命题中，假命题的是（）A 、“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；B 、1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π； C 、根据弧度的定义，一定有0180π=成立；D 、不论是用角度制还是用弧度制量角，它们与圆的半径长短有关.6．角α的弧度数的绝对值rl =α（l 为弧长，r 为半径）l r α⇒= 若｜α｜≤２π，则有圆心角为α的扇形的面积为2122S r rl αππ||=∙=（其中l 为弧长，r 为半径）一、弧度制的概念例1．把下列各角从弧度化为角度：（分析：主要考查弧度与角度的换算）（1）35π （2）7/2π 例2．把下列各角从角度化为弧度（分析：主要考查弧度与角度的换算）环节设计1）0252 （2）0'11153．已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2弧度，求该扇形的面积.分析：主要考查扇形的弧长公式和面积公式五、课堂练习：．把下列各角从弧度化为角度：1）12π （2）25π （3）43π- （4）12π- ．把下列各角从角度化为弧度：1）075 （2）0210- （3）0135 （4）0'2230 .将01485-表示成2,k k Z πα+∈的形式，且02απ≤<. 六、课堂小结与作业布置七、教与学反思。

高中数学北师大版必修4 1.3 教学课件《弧度制》(数学北师大高中必修4)

扇形面积公式：S 1 lr 1 r2.
22
谢谢观看！
探究点2 弧度制与角度制的换算因为周角的弧度数是2 π，而在角度制下它是360°，所以
360°= 2π rad
l=2 π r O r A (B)
180°= π rad
北京师范大学出版社高一 | 必修4
由180°=πrad还可得
把角度换成弧度
π
1°= —1— 80 rad ≈ 0．017 45 rad.
在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心
角为1__弧__度__的__角__，它的单位符号是rad,读作弧度. B l=r
则∠AOB= l = 1弧度. r
1弧度
Or A
若l=2r，则∠AOB= l =2弧度.
r
B
l=2r
2弧度
Or A
北京师范大学出版社高一 | 必修4
若l=2πr，则∠AOB= l =2π弧度.
把弧度换成角度
1rad =（—18—0 ）°≈ 57．30°=57°18′.
π
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例1 把45°化成弧度.
解: 45°= 45 rad rad.
180
4
例2 把 3 rad 化成度.
5
解: 3 rad 3 180 108 .
5
5
方法：用弧度与角度的相互转化公式求解
第一章 · 三角函数
弧度制
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在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？

【创新设计】2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.3 弧度制 Word版含答案

§3 弧度制[学习目标] 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.把握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[学问链接]1．学校几何争辩过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的1360作为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫作角度制，在学校有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答 l ＝n πR 180，S ＝n πR 2360.[预习导引] 1．弧度制 (1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零． (3)角的弧度数的计算假如半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的确定值是|α|＝lr .2．角度制与弧度制的换算 (1)(2)3.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则要点一角度制与弧度制的换算例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 要点二用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．规律方法用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要留意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的全部角．解 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在其次象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 要点三扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．解设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大为a 216.规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，假如已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长肯定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数．跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，依据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1．时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12 radD ．－π12rad答案 B解析时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2 cm 2 C ．π cm 2D ．3π cm 2答案 B解析 ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________．答案 12＋π360，12－π360解析设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360. 4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案－34π解析－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π. ∴θ＝－34π.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．一、基础达标1．－300°化为弧度是( ) A ．－43πB ．－53πC ．－54πD ．－76π答案 B2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对答案 A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1. 4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C5．已知α是其次象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．答案 (－1.5π，－π)∪(0.5π，2] 解析 ∵α是其次象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k ＝0时，0.5π＜α≤2，当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．6．假如一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．答案 34解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解 (1)阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{θ|2k π－3π4<θ<2k π＋π3，k ∈Z }．(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．二、力量提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 答案 B解析设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.9．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }．10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为152cm 时，面积最大，为2254cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)动身，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了动身点A 处，求θ.解由于0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是肯定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c4，即α＝2 rad 时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

【高中数学】【学案导学设计】学年高中数学 1.3 弧度制课时作业北师大版必修4

§3 弧度制课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝______ rad 2π rad＝________ 180°＝____ rad π rad＝______1°＝________rad ≈0．017 45 rad 1 rad ＝____________ ≈57．30°＝57°18′3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝________ l ＝____ 扇形的面积 S ＝____ S ＝____＝______一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1 D ．2sin 13．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．π4B ．－π4C ．34πD ．－34π6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________． 8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______．10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________．三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4．12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升 13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．§3 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝lr终边的旋转方向正数负数 02．2π 360° π 180° π180 ⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 3．απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR作业设计 1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1．]3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1．]4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π， ∴θ＝－34π．]6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝a ．∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2． S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2．∴S 内切∶S 扇形＝2∶3．]7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π．8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25．9．73π或103π 解析－76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π． 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π，π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π． 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角．(2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ．∴当半径为10 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm 2． 13．4 2解析设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴圆弧所对圆心角|θ|＝42rr＝42．14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3 (cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c216．当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学第一章三角函数 1.3 弧度制导学案北师大版必修4

1.3 弧度制问题导学1．角度制与弧度制的互化活动与探究1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度．迁移与应用把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π5．1．角度与弧度的互化．(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad ． 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度即可．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．2．用弧度表示终边相同的角及区域角活动与探究2已知角α＝2 005°，(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．迁移与应用已知角α的终边与π3的终边相同，求角α3在[0,2π)内的值．(1)用弧度表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式．②然后根据区间范围讨论k 的值．③最后把k 的值代入β的一般形式求出．活动与探究3用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．迁移与应用用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．区域角的表示方法(1)要用终边相同的角的表示形式表示出以阴影部分的边界为终边的角，并注意旋转的方向及两边界角的大小顺序；(2)表达式中角度制与弧度制不能混用；(3)要分清阴影部分是否包括边界，以确定表达式中是否带“等号”．3．弧长公式及扇形面积公式的应用活动与探究4扇形AOB的周长为8 cm，圆心角为α(0＜α＜2π)．(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角α的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小．迁移与应用如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB的长；(2)弓形ACB的面积．(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．当堂检测1．下列说法中，错误的是( )．A．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积为( )．A ．83πB ．43C ．2πD ．4π33．把－1 485°写成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )．A ．－8π＋π4B ．－8π－7π4C ．－10π－π4D ．－10π＋7π44．(1)300°化为弧度是________；(2)－5π6化为度是________；(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角α(0＜α＜2π)．课前预习导学【预习导引】1．(1)1360(2)1弧度的角 rad 弧度弧度预习交流1 略预习交流2 30° 45° 120° 0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π2 3．正数负数 0预习交流3 (1)32 (2)π34．|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12lr 12|α|r 2预习交流4 (1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆．。

数学必修4教案：1.3弧度制

§3 弧度制教学目标1、知识与技能（1）了解弧度制的概念，体会弧度是一种度量角的单位；（2）能进行弧度与角度的互化；（3）体会弧度制定义的合理性，并能初步运用弧度制表示的弧长公式，解决相关问题；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。

2、过程与方法通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，在学习过程中探究角度制与弧度制的互化，理解弧度的作用和适应性。

3、情感态度与价值观通过弧度制的学习，使学生体会不同表象下相同事物的本质。

教材分析1.弧度制是学生高中学习的一个难点，威力突破这个难点，本节在弧度制的引入上作了较多的铺垫，这是教材的亮点；2.“弧度制”是用弧的长度来度量角的大小，既然是用弧的长度来度量的大小，那么1弧度有如何定义呢？这就是阐明弧度制的关键。

3.教材在本节内容的最后提出“请问在你学过的量中，还有哪些量可以有不同的度量方法？”，这是教给学生认识问题、理解问题、描述问题的常用思维方式和方法。

4.教材中图1-13，是解释弧度和实数一一对应的模型，可以帮助学生理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间的一一对应关系。

教学重点弧度制概念的理解，弧度与角度的互化。

教学难点弧度制的建立与应用。

教学方法与手段在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。

教学过程一、创设情境，揭示课题在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的3601规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。

下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．二、探究新知1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。

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§3弧度制
1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？【提示】 1度．
2．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？【提示】
确定．
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad ，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
由弧度制的定义可以得到周角的弧度是多少？【提示】 2π rad
1．角度与弧度的互化
初中学习过的弧长和面积公式是什么？
【提示】弧长l ＝|n |πr 180°，面积S ＝|n |πr 2
360°
.
已知r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.
下列说法中，叙述错误的是( )
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的1
2π
C ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【思路探究】根据定义进行一一判定．
【自主解答】 A 正确；1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的1
2π，B 正确；根据
弧度的定义，180°一定等于π弧度，C 正确．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D 错误，故选D.
【答案】 D
一般地对于概念客观题的判定，要紧扣概念的本质及概念中的易错、易混的词，同时要区分相近概念的异同点．
下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2π
C ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【解析】根据1 rad 的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad 的角．对照选项，知A 、B 、C 正确，D 项错误．【答案】 D
将下列各角度与弧度互化．
(1)22.5°；(2)112°30′；(3)94
π；(4)－3 rad.
【思路探究】依据换算关系π rad ＝180°逐个角进行转化．【自主解答】 (1)22.5°＝π180rad ×22.5＝π8rad.
(2)112°30′＝112.5°＝
π180rad ×112.5＝5π8
rad. (3)94π＝9
4
×180°＝405°. (4)－3 rad ＝－3×(180π)°≈－3×57.30°＝－171.90°.
1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是解题的关键． 2．一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记．
3．弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2k π＋30°(k ∈Z )，这种方法是不恰当的．
把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π. 【解】 ∵－1 480°＝π180×(－1 480)＝－74π9.
又∵－74π9＝－10π＋169π，且0≤16
9π<2π.
∴－1 480°＝2×(－5)π＋16
9
π.
已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能。

1.3弧度制 学案(北师大版必修4)

(北师大版)高中数学必修四：1.3《弧度制》教案(1)

高中数学 第一章 三角函数 3 弧度制学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案