高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数情境导学素材 新人教B版必修1
第三章基本初等函数(1)导学案(人教B版)
3．1．1实数指数幂及其运算【学习要点】1根式、分数指数幂的概念.2分数指数的运算性质．【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。
2 会进行简单的运算。
【复习引入】1 、相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅记作na ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。
其中n 是正整数。
2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3）【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。
1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。
整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。
2 、0a = ，n a -=3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。
4、 如果存在实数x ，使得(,1,)nx a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。
完成教材89页1题【例题解析】例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠）（1）322123(3)9a b a b a b------=（2）34320()()[]()()a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠例题2化简下列各式 （12（23）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⨯-小结：化简，注意体会指数的运算性质。
例3： 化简：332ba abb a练习：（1【补充练习】1、 化简，注意体会指数的运算性质：（1）22252432()()()a b a b a b --÷ （2）340.10.01--3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换：（1） 2 1.53(0.027)-； （2； （3完成教材89页2题3.1.2 指数函数【学习要点】1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）. 【学习过程】一、新课导学探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：细胞分裂时，第 1 次由1个分裂成 2 个，第 2 次由2个分裂成 4 个，第 3 次由4个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数x 的关系式是什么？_________________________________.【讨论】：（1）这个关系式是否构成函数？ （2）是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 新知：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做________函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .反思1：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？ 【讨论】：则若,0=a _______________________________________. 则若,0<a _______________________________________.则若,1=a _______________________________________.反思2：函数x y 32⨯=是指数函数吗？ 《学生活动》下列函数哪些是指数函数？（1）xy 3= （2）x y 12= （3）xy )2(-= (4)13+=xy （5）xy 23= （6）xy π= （7）24x y = (8))121()12(≠>-=a a a y x且____________________________探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：（1）研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．（2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值等等．《作图》：在同一坐标系中画出下列函数图象：x y 2= x y )1(=《练习》在上面的坐标系中继续作出xxy y )31(3==与的图像【讨论】新知：根据图象归纳指数函数的性质《巩固训练》1. 函数xa y =中，无论10,0<<>a a 还是,都经过______________. 2. 指数函数x a y =中，x a 和的取值范围分别是_________________________. 3. 若函数xa y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.二、典型例题例1：求下列函数的定义域： （1）23-=x y （2）x y 1)21(=例2：已知指数函数xa x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3：比较下列各题中两个值的大小: (1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0-- (3) 1.33.09.0 ,7.1(4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且《练习》1. 求下列函数的定义域： （1）xy -=32 （2）123+=x y （3）xy 5)21(= （4）x y 17.0=2. 比较下列各题中两个数的大小： (1) 7.08.03,3(2) 1.01.075.0 ,75.0-(3) 5.37.201.1 ,01.1(4)已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===_____________________.3.2.1对数及其运算（1）【学习要点】1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.【学习要点】理解对数概念，能够进行对数式与指数式的互化。
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幂 函 数一、教材分析了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了12,,-===x y x y x y 三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.二、教学目标1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题； 2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.三、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律． 难点：幂函数的图象与性质的简单应用 重、难点突破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣. 2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.四、设计理念与任务分析本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值.围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_30
书
设计
一、幂函数概念
三、例题
3.3幂函数
二、幂函数图像及简单性质五、作业
四、小结
五、作业
幂函数教学设计
（2015年11月）
赵琰琰
辽阳市第二高级中学
数学组
通过分层作业设置，让能力不同的学生都获得相应的发展，从而实现真正的因材施教，还可以使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣。
评
价
分
析
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展，通过巩固练习考查学生对幂函数是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。
学生观察、归纳、交流、总结。开展小组竞赛。
教师诱导点评，最后组织学生结合前面学生的发言自己总结出幂函数性质。
学生小组讨论，抢答。
教师析图，点评。
小组讨论、合作学习的设计，充分体现了学生的主体作用，既使学生独立地思考又能与同学交流与合作。学生带着目标学习，通过体验达到目标时的成功感，提高数学学习兴趣，使学生分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。
反
馈
控
制
检
测
目
标
【例1】
比较大小题（略）
请同学们归纳比较幂形式的两个数的大小的方法？
（提示：同底数的用什么函数比较；同指数的用什么函数比较；底数和指数都不同的怎么比较？）
【例2】
幂函数y= (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为（）
（A）－1<m<3（B）0（C）1（D）2
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数导学案 新人教B版必修1
3.3 幂函数☆学习目标：1．掌握幂函数的图象和性质；2．掌握幂形式的复合函数的图像、定义域、值域, 单调性、奇偶性．重点：幂函数的图象及性质的简单应用．☻基础热身：1．（1）正方形的面积S与边长a的函数关系是；（2）正方形的边长a与面积S的函数关系是；（3）立方体的体积V与边长a的函数关系是；（4）某人ts内骑车行进了1km，则他骑车的平均速度v与时间的函数关系是 .2．观察上述四个实例所得到的函数，有什么共同特征？(1)它们的解析式都是的形式, 是常数, 是自变量, .是因变量;(2) 它们经抽象概括，就是形如()y f x==( )的函数；(3）这种函数象指数函数, 但有区别. 区别在于 .☻知识梳理：1.幂函数的定义一般地, 函数y xα=叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常.2.幂函数的图象作出11,2,3,,12α=-时, 幂函数y xα=的图象.3. 幂函数的性质观察所作的图象, 概括幂函数的性质.☆ 案例分析：例1.比较下列各对数的大小: (1)1.553, 1.753； (2)0.71.5, 0.61.5； (3)2233( 1.2),( 1.25)---- ； (4)5.1)1(+a ，5.1a .例2. （1）已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，则这个函数的解析式为： ．（2）已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则这个函数的解析式为： ．例3. （1）下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（ ）A ．43y x =B ．32y x =C ．2y x -=D ．14y x-=（2）函数43y x =的图象是（ ）（3）函数2lg(1)1y x=-+的图像关于（ ） A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对（4）对于幂函数45()f x x =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ）A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ．)2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ．无法确定例4. 下列命题中，正确命题的序号是①当0=α时函数y x α=的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；③若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．例5利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）53(2)1y x -=--； （2）222221x x y x x ++=++．.参考答案:基础热身：略.例1. (1)<; (2).>; (3).<; (4).>.例2.解：（1）12y x = （2）解：由2223023m m m m m Z ⎧--≤⎪--⎨⎪∈⎩是偶数，解得：1,1,3m =-． .)(1,)(3140-===-=x x f m x x f m 时解析式为时解析式为和当1m =-和3时，0()f x x =；当1m =时，4()f x x -=．例3. （1）提示：A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数，故答案为C ．（2） A（3）提示：21()lg(1)lg 11x y f x x x -==-=++，由101x x->+得函数的定义域为(1,1)- ∵ 1111()lglg()lg ()111x x x f x f x x x x -+---===-=--++，∴ ()f x 为奇函数，答案为C ．（4） A例4提示：①错，当0=α时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））； ②错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；③错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；④正确，当0x >时，0x α>．例5 .解：（1）函数53(2)1y x -=--的图象 可以由53y x -=的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到．（2）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y ， 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象．。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_33
《幂函数》教学设计应用电教手段改善和提高教学效果是当前教学改革的一个方向，一方面它提供教学手段的多样性，有利于知识的获取，另一方面人机对话有利于激发学生的学习兴趣和认知主体作用的发挥。
因此，在课堂教学中运用电教手段进行教学，可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探索，为一堂课的成功铺下基石。
《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。
幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。
二、教学目标根据教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：1、知识与技能目标：①理解幂函数的概念，会画幂函数的图象。
②结合这几个幂函数的图象，理解幂函图象的变化情况和性质。
③了解分段函数及其表示。
2、过程与方法目标：①通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。
②使学生进一步体会数形结合的思想。
3、情感态度与价值观①通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
②利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
三、教学重点与难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质。
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。
四、教学策略1、教法：教学过程是教师和学生共同参与的过程，教师要善于启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性，要有效地渗透数学思想方法，努力去提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法。
（1）引导发现比较法因为有五个幂函数，所以可先通过学生动手画出函数的图象，观察它们的解析式和图象并从式的角度和形的角度发现异同，并进行比较，从而更深刻地领会幂函数概念以及五个幂函数的图象与性质。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数教研素材 新人教B版必修1(2021年最新整理)
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3.3 幂函数教研中心教学指导一、课标要求1.通过实例,了解幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣。
2。
结合函数y=x ，y=x 2，y=x 3,y=x 1，y=x 21的图象，发现并理解幂函数的性质,培养学生抽象概括和识图的能力,使学生进一步体会数形结合思想.3。
利用计算机,了解幂函数的图象变化规律,使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
二、教学建议重点难点突破本节主要介绍幂函数的定义以及它的图象与性质。
前面已经学习了指数函数与对数函数,故可依照前两种函数的研究方法来研究幂函数.本节知识的重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用；难点是引导学生概括出幂函数性质.加深对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
培养观察、分析、归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用。
幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数。
教材中给出的“一般地，形如y=x α（α∈R )的函数称为幂函数（power function)，其中x 是自变量，α是常数。
其特征是以幂的底为自变量，指数为常数.”只是对幂函数的描述性说明，而对函数的研究都是通过函数的图象来研究它的性质。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数课堂导学案新人教B版必修1
3.3 幂函数课堂导学三点剖析各个击破 一、幂函数定义【例1】判断以下函数是不是幂函数，满足什么条件才是幂函数？ (1)y=xk(k≠0); (2)y=kx+b(k≠0);(3)y=ax 2+bx+c(a≠0);(4)y=x α.思路分析：判断一个函数是不是幂函数主要依据幂函数定义：形式为y=x α，其中x 是自变量，α是常数.解：这四个函数都不一定是幂函数. (1)当k=1时是幂函数； (2)当k=1,b=0时是幂函数； (3)当a=1，b=c=0时是幂函数；(4)当x 是自变量，α是常数时才是幂函数. 温馨提示判断一个函数是不是幂函数可以依据以下步骤：(1)看函数是不是幂式y=x α;(2)看自变量是在底数上，还是在指数上，在底数上是幂函数，在指数上是指数函数. 类题演练1函数f(x)=(m 2+2m)·x12-+m m .m 为何值时，f(x)为幂函数？解析：根据幂函数定义,知m 2+2m=1.解得m=-1±2,即当m=-1±2时,f(x)为幂函数. 变式提升1点(2,2)在幂函数f(x)图象上，点(-2,41)在幂函数g(x)图象上，问x 为何值时，有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x )<g(x)？解析：设f(x)=x α,那么由题意知2=(2)α,∴α=2,即f(x)=x 2.再设g(x)=x β,那么由41=(-2)β,得β=-2,即g(x)=x -2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)图象(如以下图)，可知：①当x>1或x<-1时，f(x)>g(x);②当x=±1时，f(x)=g(x); ③当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x). 二、幂函数图象、性质 【例2】给定一组函数解析式:①y=x 43;②y=x 32;③y=x23-;④y=x32-;⑤y=x 23;⑥y=x31-;⑦y=x 31和一组函数图象.请把图象对应解析式号码填在图象下面括号内.解析：观察前3个图象,由于在第一象限内,函数值随x 增大而减小,知幂指数α应小于零.其中第1个函数图象关于原点对称,第2个函数图象关于y 轴对称,而第3个函数定义域为x>0,所以,第1个图象应对应函数y=x31-,第2个图象对应y=x32-,第3个图象对应y=x23-;后4个图象都通过(0,0)和(1,1)两点,故知α>0,第4个图象关于y 轴对称,第5个图象关于原点对称,定义域都是R ,所以,第4个图象对应函数y=x 32,第5个图象对应y=x 31.由最后两个图象知函数定义域为x≥0,而第6个图象呈上凸状,α应小于1,第7个图象呈下凸状,α应大于1,故第6个图象对应y=x 43,第7个图象对应y=x 23. 答案：⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤ 类题演练2如以下图所示是幂函数y=x α在第一象限内图象,α取±2,±21四个值,那么相应曲线C 1、C 2、C 3、C 4α依次为( )A.-2、-21、21、2B.2、21、-21、-2 C.- 21、-2、2、21 D.2、21、-2、-21解析：根据幂函数图象与性质,知应选B. 答案：B 变式提升x∈［-1,+∞),试判断函数f(x)=x 32+2·x 31+4增减性.解析：f(x)=x 32+2x 31+4=(x 31+1)2+3. ∵x≥-1,令t=x 31+1∈［0,+∞),而u(t)=t 2+3在［0,+∞)上单调递增, ∴f(x)在［-1,+∞)上是增函数. 三、幂函数图象、性质应用 【例3】比拟以下各组数大小: (1)325-25-;(2)-887-与-(91)87.解析：(1)函数y=x 25-在(0,+∞)上为减函数.∵3<3.1, ∴325-25-.(2)-887-=-(81)87,函数y=x 87在(0,+∞)上是增函数.∵81>91, ∴(81)87>(91)87.∴-887-<-(91)87.温馨提示比拟大小问题,一般用相应函数单调性来比拟,抽象出相应函数至关重要.间接法比拟大小除用单调性外,还要找到适宜“桥梁〞搭桥,往往取0或1等常数. 类题演练3设a 、b 满足0<a<b<1,以下不等式中正确是〔〕 a <a b a <b b a <b a b <a b 解析：∵0<a<1,∴y=x α在［0,+∞〕上是单调递增. ∴a a <b a . 答案：C 变式提升3假设(a+1)31<(2a-2)31,那么实数a 取值范围是____________. 解析：令y=x 31.∵y=x 31在〔-∞,+∞〕上是单调递增,∴(a+1)31<(2a-2)31 a+1<2a-2, 解得a>3. 答案：a>3。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数教学素材
3.3 幂函数教学建议1.注意幂函数y=xα的图象随指数α取值的不同而变化的分布规律及图象特征、性质的区别.幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都感到比较困难,因为其形状和位置的变化都很复杂,对幂函数的图象分布应该引导学生进行一番研究,细致体会发现其规律性东西加以整理归纳记忆.幂函数y=xα的图象的变化有如下规律(如右图):总体上,所有幂函数图象都过点(1,1);随着α由-∞逐渐变大到+∞,图象绕点(1,1)逆时针旋转.设第一象限被直线x=1,y=1,y=x分为六个部分,依次记作Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ,则当α∈(-∞,0)时,图象穿过Ⅰ、Ⅳ部分;当α∈(0,1)时,图象穿过Ⅱ、Ⅴ部分;当α∈(1,+∞)时,图象穿过Ⅲ、Ⅵ部分;注意直线y=1,y=x(x≠0)分别是幂函数y=xα在α=0,1时的图象.图象如何绕点(1,1)旋转,观察上图就清楚了.对不同的α图象穿过哪两个部分,只要根据幂函数图象的特点,画一条经过点(1,1)、(2,2α)的曲线就可以了.另外,根据幂函数图象的上述变化规律,对于任意的α∈R,幂函数y=xα的图象就能大致定位了.2.给定一组数值,比较大小的步骤.第一步:区分正负.一是幂函数或指数函数值(幂式)确定符号;二是对数式确定符号,根据各自的性质进行.第二步:正数通常还要区分大于1还是小于1.第三步:同底的幂,用指数函数单调性;同指数的幂用幂函数单调性;同底的对数用对数函数单调性.第四步:对于底数与指数均不相同的幂,或底数与真数均不相同的对数值大小的比较,通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化,对数式有时还用换底公式作变换等等.3.(1)幂函数定义域的求法分以下5种情形:①α=0;②α为正整数;③α为负整数;④α为正分数;⑤α为负分数.(2)作幂函数图象要联系定义域、值域、单调性、奇偶性,但一般只要作出在第一象限内的图象,再据奇偶性就可作出完整图象.备用习题1.幂函数f(x)的图象过点(4,21),那么f -1(8)的值是…( ) A.22 B.64 C.42 D.641 解析：设f(x)=x α,将(4,21)点代入,得21=4α,于是α=,f(x)=x 21-.令x21-=8,得x=8-2=641.故选D. 答案：D2.当0<a<b<1时,下列不等式正确的是( )A.(1-a)b1>(1-a)b B.(1+a)a >(1+b)bC.(1-a)b>(1-a)2b D.(1-a)a >(1-b)b解析：由0<a<b<1,可知a<b,0<a<1.∴0<1-a<1.∴(1-a)a >(1-a)b. ①又∵1-a>1-b>0,∴(1-a)b >(1-b)b. ②由①②得(1-a)a >(1-b)b. ∴选D. 答案：D3.已知幂函数f(x)存在反函数f -1(x),且f -1(33)=33,则f(x)的表达式是( ) A.f(x)=x 3 B.f(x)=x -3C.f(x)=x 21 D.f(x)=x21-解析：设所求函数为y=f(x)=x α.又f(x)存在反函数f -1(x),且f -1(33)=33,则由原函数与反函数的关系知f(33)=33,即y=f(x)经过点(33,33).代入y=x α中,得33=(33)α,即323=32α-,α=-3.∴f(x)=x -3. ∴选B. 答案：B4.函数y=(mx 2+4x+2)21-+(x 2-mx+1)的定义域是全体实数,则m 的取值范围是____________.解析：要使y=(mx 2+4x+2)21-+(x 2-mx+1)的定义域是全体实数,则需mx 2+4x+2>0对一切实数都成立,即⎩⎨⎧<∆>.0,0m所以⎩⎨⎧<⨯->.0244,02m m 解得m>2.所以m 的取值范围是m>2. 答案：m>2。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_34
3.3幂函数
教学目标：了解幂函数的概念
教学重点：了解幂函数的概念
教学过程：
1、 概念：形如α
x y =（R ∈α），的函数叫做幂函数
2、 本节课只研究α为有理数的情形
图1 令n
m =α，其中Z n m ∈,且1),(=n m ，就1>α，10<<α，0<α时 n m ,分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。
选取以上的图形作为各类的代表
3．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（－1，1），（－1，－1），第四象限无图象。
（2）在第一象限，直线把第一象限分割成四片区域。
两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。
当n＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当n＜O时、图象在两片矩形区域内通过。
（3）图象形状：当n＞0（n≠1）时，图象为抛物线型，n＜O时图象为双曲线型，当n＝0或1时，图象为直线型。
（4）n由小往大的变化规律如图四，从－∞O1（左拐90°）＋∞。
4、提问思考。
根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。
要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n＜0，0＜n＜1，n＞1＝对号入场，注意纽交点两侧情况。
再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。
课堂练习：教材第118页练习题3-3A、3-3B
小结：了解幂函数的概念
课后作业：略。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数学习导航学案 新人教B版必修1
3.3 幂函数自主整理1.幂函数的定义 (1)定义:一般地，我们把形如y=x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数. (2)关于定义的理解： ①幂的底数是自变量;②幂的指数是一个常数，它可以取任意实数;③幂值前面的系数是1，否则不是幂函数,如函数y=5x 21就不是幂函数.④幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同,如函数y=x 2的定义域为R ，而函数y=x1的定义域为{x|x∈R ,且x≠0}. 2.函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y=x 21，y=x -1的图象与性质:y=xY=x 2y=x 3y=x 21y=x -1图象定义域 RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域 R ［0,+∞) R ［0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性增增 增 定点 (0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)3.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=x n有下列性质： （1）图象都通过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y 随x 的增大而增大.当n<0时，幂函数y=x n的性质：（1）图象都过点（1，1）；（2）图象以直线x=0，y=0为渐近线；（3）在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小；（4）x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴;x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴.高手笔记1.判断函数是否为幂函数时要根据定义，即xα的系数为１，指数位置的α为一个常数，且常数项要为０，或者经过变形后满足条件的均可.2.在研究幂的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负指数整数幂化为分式形式再去进行讨论.3.记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单.大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变,不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.图象第一象限内，函数增减看正负.名师解惑1.如何理解幂函数的图象和性质?剖析：幂函数y＝x n的性质和图象，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：(1)n<0时,图象不过原点,在第一象限内图象是下降的曲线,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.n>0时,图象必经过原点和(1,1)两定点,在第一象限内图象是上升的曲线,并且在区间［0,+∞)上是增函数.(2)幂函数的图象和性质,可归纳为下表:图象幂函数y=x n(n为常数)n>0 n<0性质(1)图象都通过点(0,0)和(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大(1)图象都通过(1,1);(2)在第一象限内,函数值随x的增大而减小;(3)以x、y轴为渐近线剖析：当n∈N *时，定义域为R ； 当n=0时，定义域为{x|x≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x|x≠0}； 当n=qp (p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为［0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为R ； 当n=qp -(p,q∈N *,q>1且p,q 互质）时， ①若q 为偶数，则定义域为(0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为{x|x≠0}. 讲练互动【例题1】若（a+1）21-＜（3-2a ）21-，则a 的取值范围是__________.解析：因为函数y ＝x 21在［0，+∞)上单调递增， 所以y ＝x21-在(0，+∞)上单调递减.所以⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+.023,01,231a a a a解得32＜a ＜23. 答案：（32，23）绿色通道虽然解决恒成立问题方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便. 黑色陷阱忘记负指数幂函数底数需大于0，将导致解题错误.用幂函数的单调性解不等式，但要注意x 的取值范围. 变式训练 1.已知(x-3)31-<(1+2x)31-，求x 的取值范围.分析:其实质是解不等式(x-3)31-<(1+2x)31-，由于不等式的左右两边的幂指数都是31-，因此可借助于幂函数y=x 31-的图象性质来求解.解：因为y=x31-在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数.x>0时，y>0；x<0时，y<0,原不等式可以化为：⎩⎨⎧>++>0,2x 12x,13-x ① ⎩⎨⎧<+>0,3-x 2x,13-x ② ⎩⎨⎧<>+0.3-x 0,2x 1 ③ ①无解；②的解为x<-4；③的解是21-<x<3. 所以所求的x 的取值范围为{x|x<-4或21-<x<3}.【例题2】已知0＜a ＜1，试比较a a，（a a）a，)(a a a的大小为__________.解析：为比较a a与（a a）a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f （x ）＝xa（0＜a ＜1)在区间［0，＋∞）上是增函数，因此只需比较底数a 与a a的大小.由于指数函数y ＝a z （0＜a ＜1）是减函数，且a ＜1，所以a ＜a a ，从而a a ＜（a a ）a.比较a a 与（a a ）a 的大小，也可将它们看成底数相同（都是a a）的两个幂，于是可以利用指数函数y ＝b x （b ＝a a ，0＜b ＜1)是减函数，由a ＜1，得到a a ＜（a a ）a. 由于a ＜a a，函数y ＝a z（0＜a ＜1）是减函数，因此a a＞)(a a a.答案：a )(a a a＜a a ＜（a a ）a绿色通道解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单. 变式训练2.比较下列各组中两个值的大小: (1)1.553与1.653; (2)0.61.3与0.71.3; (3)3.532-与5.332-;(4)0.18-0.3与0.15-0.3.分析：比较幂值的大小是一种常见题型，也是一类容易做错的问题.如果指数相同，可以利用幂函数的单调性比较，如果底数相同就利用指数函数的单调性比较. 解：(1)∵1.553与1.653可分别看作幂函数y=x 53在1.5与1.6处的函数值, 且53>0,1.5<1.6, ∴由幂函数单调性,知1.553<1.653.(2)∵0.61.3与0.71.3可分别看作幂函数y=x 1.3在0.6与0.7处的函数值, 且1.3>0,0.6<0.7,∴由幂函数单调性,知0.61.3<0.71.3. (3)∵3.532-与5.332-可分别看作幂函数y=x32-在3.5与5.3处的函数值,且32-<0,3.5<5.3, ∴由幂函数单调性,知3.532->5.332-.(4)∵0.18-0.3与0.15-0.3可分别看作幂函数y=x -0.3在0.18与0.15处的函数值, 且-0.3<0,0.18>0.15,∴由幂函数单调性,知0.18-0.3<0.15-0.3.【例题3】幂函数y=x a ,y=x b ,y=x c ,y=x d在第一象限内的图象如图3-3-1所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )图3-3-1A.b<c<d<aB.b<c<a<dC.a<b<c<dD.a<d<c<b 解析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值大. 方法一(性质法):由幂函数的性质可知，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b ＞c ＞d ＞a.方法二(类比法):当x 趋于+∞时，函数y=x a 图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴，类似于典型幂函数y=x -1，故a<0.函数y=x b 在区间［0,+∞)上是增函数，图象下凸，类似于函数y=x 2,故b>1. 同法可知y=x c,y=x d类似于y=x 21,故0<c<1,0<d<1.∴a 最小，b 最大. 方法三(特殊值法):作直线x=2，由图象可知2a <2d <2c <2b,由指数函数的性质可知a<d<c<b,故选D. 答案：D 绿色通道通过这道题,可知对于幂函数不仅仅是从“形式上”掌握其概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意. 变式训练3.图3-3-2中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α取±2，±21四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )图3-3-2A.-2,21-,21,2 B.2,21,21-,-2 C.21-,-2,2,21D.2,21,-2,21-解析：要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=x α随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=x α的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1,C 2,C 3,C 4的指数α依次为2，21，21-21-，-2. 答案：B【例题4】画函数y=1+x -3的草图，并求出其单调区间.分析:此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便. 解：y=1+x -3=)3(--x +1. ∴此函数的图象可由下列变换而得到:先作函数y=x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y=x -的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+x -3的图象〔如图3-3-3(1)-(4)所示〕.图3-3-3黑色陷阱本题容易发生的错误：一是函数概念不清（该函数是以x 为自变量的函数）；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了. 变式训练4.求出函数f （x ）=445422++++x x x x 的单调区间，并比较f （-π）与f （22-）的大小.分析:要写出f （x ）的单调区间，可通过化简把f （x ）转化成我们熟悉的基本初等函数的形式，利用基本初等函数的单调区间，表示出f （x ）的单调区间.解：f （x ）=4414422+++++x x x x =1+4412++x x =1+（x+2）-2， 它是由g （x ）=x -2向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得到的.∵g（x ）的单调增区间是（-∞，0），单调减区间是（0，+∞），∴f（x ）=445422++++x x x x 的单调增区间是（-∞，-2），单调减区间是（-2，+∞），f （x ）的图象关于直线x=-2对称. ∵-π∈（-∞，-2），22-∈（-2，+∞），22-关于x=-2对称的点的横坐标是22-4， 又∵22-4<-π， ∴f （22-4）<f （-π）,即f （22-）<f （-π）. 教材链接［思考与讨论］(1)在幂函数y=x α中,如果α是正偶数(α=2n,n 为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?(2)在幂函数y=x α中,如果α是正奇数(α=2n -1,n 为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?(3)幂函数y=x α,x∈［0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同? 答:(1)(2)(3)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0,+∞)上是增函数.当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；特别要记住幂函数在第一象限的图象可用口诀记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型,α>1时图象是竖直抛物线型，0<α<1时，图象是横卧抛物线型.。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数教案 新人教B版必修1(2021年最新整理)
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3.3 幂函数错误!教学分析幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3,y ＝x －1，y ＝21x 等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性:当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x －1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．三维目标1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象．2．通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．3．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质． 4．通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．5．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．6．了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．重点难点教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质． 教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小． 课时安排 1课时，教学过程导入新课思路1.（1）如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元)和购买的水果量w （千克）之间有何关系?根据函数的定义可知，这里p 是w 的函数．(2)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． （3）如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数． （4)如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a ＝21S ，这里a 是S 的函数．(5)如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的速度v ＝t －1km/s ，这里v 是t 的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（右边指数式，且底数都是变量）．（适当引导:从自变量所处的位置这个角度）(引入新课，书写课题：幂函数）．思路2。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_5
幂函数教学设计
一．教学设计思路
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对
数函数之后研究的又一类基本的初等函数。
幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。
组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。
对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。
学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。
因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
二、课程标准：
通过具体实例，结合231,,,y x y y x y y x x
=====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。
三．教学目标
知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想.
过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析
情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。
重难点
重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质
难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律
教学方法与手段
借助多媒体，合作探究+展示+应用+总结
教学基本流程。
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《幂函数》教学设计本节内容选自人教B版数学必修1中第三章第三节《幂函数》，我将从背景分析、教学目标设计、教法与学法选择及教学过程设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。
一、背景分析：1、学习任务分析：从研究方法上看本节突出幂函数从特殊到一般的推广，重点培养学生观察归纳，抽象概括的能力，体会数形结合的思想。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识。
因而本节课更是对学生研究函数的方法和能力的综合提升。
在高中数学教学中起着比较重要的作用。
2、学情分析：从学生的知识层面上看：学生在之前已学习了函数的概念，利用函数图像研究了函数的性质；并通过指数函数、对数函数的学习，初步掌握了定义函数和研究概括函数性质的方法和能力。
从学生的能力层面上看：通过以前的学习，学生已有一定的画图、分析、判断、概括能力，具备了学习幂函数的基本能力。
二、教学目标设计：鉴于上述背景分析我对本节课制定了如下三维目标及教学重难点：知识与技能：理解幂函数的概念，了解幂函数图象的变化情况，归纳出幂函数的简单性质并能灵活应用。
过程与方法：使学生进一步体会数形结合的思想，培养学生抽象概括和识图能力。
能用所学的知识解决问题，培养数学的应用能力。
情感态度与价值观：利用多媒体，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用。
培养学生从特殊归纳出一般的意识和探索精神。
教学重点与难点重点：从五个具体的幂函数中概括幂函数的概念和性质。
难点：从幂函数的图像中概括性质及性质的应用。
三、教法与学法选择：新课标要求教师从传统的教学模式中走出来，充分发挥教师的主导地位和学生的主体地位，着重于学生的能力培养。
秉承新课标的理念，我选择以发现式教学为主，信息技术教学为辅的教学方法：1、发现式教学：根据学生的认知能力，可先通过学生动手画出五个幂函数的图象，观察它们的解析式和图象并从式的角度和形的角度发现异同，并进行比较，从而更深刻地领会幂函数概念以及五个幂函数的图象与性质。
2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数课件新人教B版必修1
1．幂函数 y＝xα 与指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的区别
函数名称
函数解析式
底数
指数
幂函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y＝xα(α∈R)
自变量 常数
指数函数
y＝ax(a>0 且 a≠1)
常数 自变量
2．幂函数图象的特征 (1)在第一象限内，直线 x＝1 的右侧，y＝xα 的图象由上到下， 指数 α 由大变小；在第一象限内，直线 x＝1 的左侧，y＝xα 的图象由上到下，指数 α 由小变大． (2)当 α>0 时，幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点，在第一 象限内，当 0<α<1 时，曲线上凸；当 α>1 时，曲线下凸；当 α<0 时，幂函数的图象都经过(1，1)点，在第一象限内，曲线 下凸．
函数
特征
y＝x
性质
y＝x2
y＝x3
y＝x12 y＝x－1
图象
函数
特征
y＝x
性质
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
定义域
R
__R_
R
_[_0_，__＋__∞__) {x|x∈R，
且 x≠0}
值域 奇偶性
{y|y∈R， R [0，＋∞) R [0，＋∞)
且 y≠0}
_奇__
偶
奇 _非__奇__非__偶__ 奇
2．函数 f(x)＝x3 的图象( ) A．关于直线 y＝x 对称 B．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 D．关于 y 轴对称 答案：C
3．幂函数 f(x)的图象过点(2，4)，则 f(4)的值是________． 解析：设函数解析式为 y＝xα， 则有 4＝2α，解得 α＝2， 所以 y＝x2． 所以 f(4)＝16． 答案：16
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_39
2.3 幂函数 教学设计（第一课时）一．教材分析及重难点把握 （一）教材分析1．地位与作用：本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教B 版）必修一《幂函数》，幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数.通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并将把指数函数、对数函数、幂函数科学的组织起来，能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性系统研究一类函数的意识.这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究上.因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升.2．由生活实例的函数模型，引入幂函数的概念.通过研究x y =，12132,,,-====x y x y x y x y 等函数的图象和性质，让学生认识到所有的幂函数都过点（1,1）,幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数0>α时，函数在),0(+∞上单调递增，但是函数增减快慢不同；当幂指数0<α时，函数的图象在),0(+∞上单调递减.我们应注意用数形结合、分类讨论以及从特殊到一般的数学思想方法去探究幂函数的图象和性质.另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象和性质是一个重要途径. （二）目标分析根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为： 1.知识与技能：（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图 像；（2）结合这几个幂函数的图像，理解幂函数图像的变化情况和性质．能记住幂函数的概念，会判断一个函数是否是幂函数；2.过程与方法：（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力； （2）使学生体会数形结合、分类讨论以及从特殊到一般等数学思想.3.情感态度价值观：（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；（2）利用计算机，了解幂函数图像的变化规律，使学生认识到现代技术在认识过程中的作用，从而激发学生的学习欲望. （三）重难点分析重点：幂函数的定义以及幂函数的图象与性质.难点：画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律,适当引伸一般幂函数的图象及性质. 二．教法学法分析 （一）学情分析从知识上来讲，初中已经研究过12,,-===x y x y x y 这三种幂函数.高一第一章新定义了函数，研究了函数的定义域、值域、单调性及奇偶性等性质，幂函数又是继指数函数和对数函数研究后的又一基本函数，学生已经基本掌握了研究一类函数的方法.但是学生刚进入高中，归纳概括、探究能力还有待加强，因此由五个具体幂函数的图象概括其性质，体会图象的变化规律,适当引伸一般幂函数的图象及性质成为本节课的难点.从认知心理上来讲，学生对于探究新函数图象这一问题是比较感兴趣. （二）教法分析教学过程是教师和学生共同参与的过程，要在课堂教学过程中，加强知识发生过程的教学，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，培养学生的思维品质.根据以上教学原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：（1）分组探究法：通过分组研究五个幂函数图象和性质，进行对比总结相关结论，当幂指数0>α时，函数在),0(+∞上单调递增，但是函数增减快慢不同；当幂指数0<α时，函数的图象在),0(+∞上单调递减.（2）演示教学法:通过动态的图像演示,引导、启发学生发现问题、猜想验证、从而解决问题，形象直观的演示有利于提高学生的学习兴趣.（3）合作交流法：通过合作交流应用幂函数αx y =的性质比较数的大小，为学生创设充分表现自我的氛围，使人人都有自我表现的机会和条件，并使之在小组中交流中分享成功的快乐. （三）学法分析教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）对比学习法（2）探究学习法（3）观察法（4）协作学习法（5）练习巩固法（四）多媒体教学本节课涉及函数图像多，手工绘图复杂，为了增加绘图的形象性、准确性，提高课堂效率，采用几何画板和PPT 制作多媒体课件辅助教学. （五）教学基本流程三．教学过程（一）创设情景，导入新课：看以下几个实际问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，那么立方体的体3a V =，这里V 是a 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形边长21S a =,这里a 是S 的函数；（5）如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度km/s t v -1=，这里v 是t 的函数.思考1：这些函数的共同形式是什么?【设计意图】通过生活实例的函数模型，引入幂函数的概念（解析式右边又都是幂的形式，变量在底数位置，我们把这种函数叫做幂函数）；使学生体会到实际生活中处处有数学，从而激发学生的学习兴趣. （二）自主探究，构建新知1.幂函数的定义：一般地，函数αx y =叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数.练习1：判断下列函数哪些是幂函数？①3x y -=②3-=x y ③22x y =④2)1(-=x y ⑤13+=x y ⑥4x y =2.幂函数的结构特征：①αx 前面的系数是1②底数只能是x ③幂函数只有一项. 判断⑦x y 4=是什么函数？思考2：怎样判断一个函数是幂函数还是指数函数？【设计意图】让学生了解幂函数的严格定义，通过判断一个函数是否是幂函数引导学生分析幂函数的结构特征，注意区分幂函数与指数函数.教师提问：根据前面学习指数函数、对数函数的学习经历，认为下面应该研究什么呢？探究活动一：五个幂函数x y =)1(2)2(x y =1213)5()4()3(-===x y x y x y 的图象和性质(将学生分为五个大组，每个大组用描点法画一个幂函数的图象，并根据画的图象，完成相应函数的性质).画出这五个幂函数的图象：根据图象填下列表格：五个幂函数的性质： 教师：将这五个幂函数的图象通过PPT 用不同的颜色呈现在同一坐标系中，引导学生比较它们的异同.2x y =xy =3x y =21xy =1-=x y 21x y =教师：引导学生根据幂函数,x y =13,-==x y x y ，2x y =的奇偶性只需画第一象限的图象，并总结下列结论：（1）所有幂函数都过点（1,1）；（2）函数,,,32x y x y x y ===21x y =在区间),0(+∞上是增函数，但增减快慢不同，函数1-=x y 在区间),0(+∞是减函数.教师：引导学生根据幂函数,,,32x y x y x y ===21x y =的指数大于0，1-=x y 的指数小于0，分两大类探究一般幂函数图象和性质（分类讨论思想）.探究活动二：简单探究一般幂函数的图象和性质（1）当α>0时,①10<<α，在区间（0，+∞）上是凸着增的,与函数21x y =图象形状类似，②1>α，在区间（0，+∞）上是凹着增的,与函数32x y x y ==和图象形状类似；（2）当α<0时, 在区间（0，+∞）的单调性为减函数，与函数1-=x y 图象形状类似.教师：引导学生根据五个特殊幂函数,,,32x y x y x y ===21x y =,1-=x y 探究一般幂函数图象和性质，这叫从特殊到一般的数学思想，并用几何画板演示一般幂函数图象.【 探究活动一、二设计意图】让学生用描点法自主动手画五个幂函数53325287879.1-8.3, 1.4 )2()91(8- )1(）和（和---x y =)1(2)2(x y =1213)5()4()3(-===x y x y x y 的图象，巩固作函数图象的方法与步骤，通过观察图象得到每个幂函数的性质，培养学生识图能力及进一步体会数形结合的思想.将这五个幂函数的图象通过PPT 呈现在同一坐标系中，引导学生比较它们的异同，启发学生逐步发现规律，概括结论.让学生形成自己对新知的探究，促进由学会到会学转化. （三）知识应用例1 已知函数 是幂函数，且在),0(+∞上是增函数，求f(x)的解析式.教师：引导学生思考此例题应用了哪些知识. 例2 比较25251.33--和的大小练习2：比较下列各组数的大小教师：引导学生思考每组数的特征，能否用指数函数知识解决这些问题，并对比用幂函数知识比较这些数的大小.对于练习2（2），学生用幂函数知识比较有难度，通过小组交流，找出解决问题的方法（学生投影展示）.【设计意图】及时巩固是学习和发展的需要，只有及时巩固，才能迁移应用，这样更能突出重点、突破难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高.把问题交给学生小组讨论完成，培养学生合作交流的能力. （四）课堂总结问题1：从这节课你学到了哪些知识点？ 问题2：本节用到的数学思想方法有哪些？【设计意图】由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对幂函数定义与性质的应用，使本节课的总结成为学生凝练提高的平台. （五）布置作业1.请同学们用指数函数知识比较下列各组数的大小533252878725259.1-8.3 ,1.4 )3(91- 8- )2(1.3 3)1(）和（和和----⎪⎭⎫ ⎝⎛2. 课本79页练习2.3第1、2题，课本82页Ａ组10题.322)1()(-+∙--=m m x m m x f四．板书设计五．教学反思这节课由生活实例的函数模型，引入幂函数的概念，创设情境，激发学生学习新知的情意；操作上，每次不是让电脑代替学生去作图，而是让学生先动手作图，自主探究，树立起数形结合的思想，然后利用PPT和几何画板动态演示幂函数的图象，让学生直观的看到随着 取值的改变，图象变化的规律，体会分类讨论以及从特殊到一般的数学思想方法.另外，从新课程的理念：利用计算机技术演示幂函数图象，从根本上改变学生的学习方式，使计算机的信息技术能够很好的运用于新课程改革，使学生真正成为学习课程的主体.。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_32
幂函数幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
1．知识目标:（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
2．能力目标:在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。
3．情感目标:通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
五教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。
六教学方法：探究研讨法，讲练结合法七教学过程（一）创设情境问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w 的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S 的函数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．请学生讨论、总结并回答，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？提示学生：可以用x表示自变量，用y表示函数值，那么，上述函数式变成：y＝x a的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：幂函数。
（二）、建立模型定义：一般地，函数y＝x a叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_11
幂函数教学设计一、【教学内容分析】幂函数是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，从教材的整体安排看，学习幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识及研究函数的方法，为今后学习其他函数打下良好的基础。
对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法。
这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究中。
二、【学情分析】从学生思维特点来和认知结构看，学生在初中学过了一次函数、二次函数、反比例函数，学生对抽象的幂函数及其图像有些感性认识，缺乏在理解理性的基础上来运用幂函数的性质。
但只要从实际问题出发，使他们从感性认识提高到理性认识，多运用数形结合的方法解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。
三、【教学目标】1、理解幂函数的意义，能通过几个有代表性的幂函数图象的求作、观察、分析、归纳体会幂函数图象变化规律及幂函数的性质，体会从特殊到一般的研究问题的数学方法并能进行简单应用。
2、增强自我抽象概括和识图能力，运用性质解决问题时，进一步体会数形结合思想。
形成竞赛机制，使学生认识到传统和现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望，提高学生的学习能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
四、【教学重点难点】【重点】幂函数的概念；幂函数的图像与性质。
【难点】画具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律；幂函数的性质的应用。
五、【教法学法分析】教和学是不可分的。
通过课前学案的创设疑问，学生对问题的共同探究，通过课堂教师的点拨，启发学生主动观察、思考、动手操作、合作和探究来达到对知识的发现和接受。
逐步解决问题。
采用引导发现式的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。
六、【教学过程】（一）、创设情景，引入新课（设计意图：建立模型，由特殊开始，又可加强定义域的标示）【问题1】如果张红购买了每千克1元的蔬菜ω千克，那么他需支付p = ω元 那么y 关于x 的函数解析式为N x x y ∈=,。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_27
教学设计：§3.3幂函数
（一）教学目标：
1.知识与技能：
（1）理解幂函数的概念，会画幂函数的图象，掌握幂函数的性质。
（2）了解指数对幂函数图象及性质的影响。
2.过程与方法：
使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数性质的方法。
3.情感、态度与价值观：
（1）在教学过程中，通过从图象和解析式两种不同角度研究函数性质，加深对幂函数的
认识，让学生在数学活动中感受数学美。
（2）同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法。
（3）培养学生主动探索、合作交流的意识。
（二）重点和难点：
教学重点：幂函数的概念、图象和性质，及性质应用。
教学难点：将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数性质。
（三）教学方法：
1. 教法：探究式教学法
通过学生自主探索、合作学习，让学生成为学习的主人，从不同的角度去研究函数，加
深对所得结论的理解。
2. 学法：自主探究、合作交流
通过本节课的学习，让学生通过对比总结得到研究函数的方法。