2_1_矩阵的概念与矩阵运算
线性代数2.1矩阵的概念
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行列式与矩阵的区别
1. 行列式是一种算式，它最终表示的是一个 “值”；矩阵是一张“表”，排列起来它是一个矩形 “表2”. 。行列式要求行数与列数相同，而矩阵就没有 这个限制。
3. 行列式用 “ ” 表示，而矩阵用 “或 ”
表示。
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转化思想
复杂问题
转 化
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a11 a12 L
0
a22 L
M M
0
0L
a1n
a2n
M
ann
a11 0 L
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
0
0
M
ann
方阵的主对角线
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三角矩阵
方阵的次对角线
二、几类特殊矩阵
4．行（列）矩阵
A a1, a2,L , an
行矩阵 （或n维行向量）
b1
1 1
二、几类特殊矩阵
2. 零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵。一般记为：
Om n 或者就直接记成 O
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
注意：不同型的零矩阵是不相等的。
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二、几类特殊矩阵
3. 方阵
对于 Amn 当 m n 时，这个矩阵称为n阶矩阵
或n阶方阵。一阶方阵可以看作一个数。
a21 M
am1
a12 L a22 L M am2 L
a1n
a2n
M
amn
m n 矩阵简记为： A aij m n
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矩阵的表示方法:
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
2-1矩阵及其运算
试证： (1) AC = AD
(2) AB = 0
；
17
证：
1 AC 1
1 2 1 1
3 3 3 3
0 0
3 2 ( 1) 1 ( 1) 3
1 2 11
1 AD 1 1 1 1 2
2 B 1 4
1 1 2
0 3 1
求 ( A B ) T。
解一：
1 AB 2 1 0 2 1 8 0 1
28
2 1 4
1 1 2
0 9 3 8 1
2 0
1 1
9 T (AB) 2 1
由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记 (aij)m×n，通常 用大写字母 A，B，C，…表示，m 行 n 列的矩 阵 A 也记为 Am×n，构成矩阵 A 的每个数称为矩 阵 A 的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行、第 j 列的 元素。
1 A 2
1 0
2 2 , B 1 1 4
( 1) 3 ( 1) ( 3 ) 0
3 5 5 3 0 0
1 3 1 ( 3)
0
1 1 2 1 3 1 ( 1) 2 ( 1) 3
故 AC ＝ AD
( 1) ( 5 ) ( 1) 5 0
13
例2.1 设
4 A 2
3 0
1 1 , B 5 1 0 6 1 2 5 2 1 1 4 0
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
2.1 矩阵的概念
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
2-1. 矩阵-复习
第2章 矩阵一、矩阵的概念与运算 3. 矩阵与矩阵相乘注意：（1）AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律. （2）若矩阵,A 与B 满足=AB O ,并不能得出==A O B O 或的结论,（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由,=≠AC BC C O ,也未必推出=A B . 4. 方阵的行列式与幂性质2.4 设A ,B 均为n 阶方阵,λ为数,则 （1）n λλ=A A ；（2）m A =mA ,m 为正整数； （3）==AB A B B A .由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,1212()()()k k k k +≠AB AB AB . 5. 矩阵的转置性质2.5 (假设运算都是可行的)（1）()T T =A A ； （2）()T T T +=+A B A B ；（3）()T T λλ=A A ； （4）()T T T =AB B A ；（5）若A 为方阵,则T =A A . 二、逆 矩 阵定理2.2 方阵A 可逆的充要条件是0≠A ,且1*1-=A A A. 其中*A 为A 的伴随矩阵.推论2.1 若=AB E （或=BA E ）,则A 可逆,且1-=B A . 性质2.6(1) 若A 可逆,则1-A 也可逆,且11()--=A A ,111--==A A A； (2) 若A 可逆,数0≠λ,则λA 可逆,且111()λλ--=A A ；(3) 若、A B 为同阶矩阵且均可逆,则AB 也可逆,且111()---=AB B A ； (4) 若A 可逆,则其转置矩阵也可逆,且11()()T T --=A A ； (5) 若A 可逆,*A 为其伴随矩阵,则*11*()()--=A A .例5.设a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,0≠-bc ad ,求1-A .解：1*11d b c a ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭A A A 例6.若12(,,,)n diag a a a =L A ,其中0(1,2,...,)i a i n ≠=,求证：112111(,,,)ndiag a a a -=L A . 矩阵方程：求解方法：矩阵方程=AX B ,若A 可逆,则1-=X A B ；同理对矩阵方程=XA B ,若A 可逆,则1-=X BA ；对于矩阵方程=AXB C ,若A 与B 均可逆,则11--=X A CB .注意：两边同时左乘（或同时右乘），不能乱乘. 三、矩阵的初等变换定理2.3 设A 和B 为⨯m n 矩阵,则有（1）r≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P ,使得=PA B ；（2）c≅⇔A B 存在n 阶可逆矩阵Q ,使得=AQ B ；（3）≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得=PAQ B . 四、矩阵的秩定义2.14如果矩阵A 中不为零的子式最高为r 阶,即存在r 阶子式r D 不为零,而任何1+r 阶子式均为零,则称r D 为A 的最高阶非零子式,称r 为矩阵A 的秩,记作()R r =A .当=A O 时,规定()0R =A .显然{}0()min ,m n R m n ⨯≤≤A .()m n R m ⨯=A 时,称A 为行满秩矩阵；()m n R n ⨯=A 时,称A 为列满秩矩阵；()n n R n ⨯=A 时,称A 为满秩矩阵；()n n R n ⨯<A 时,称A 为降秩矩阵.性质2.8 （1）若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0, 则()R s ≥A ；（2）若A 中所有t 阶子式全为0, 则()R t <A ；（3）()()T R R =A A ； （4）n n ⨯A 可逆()R n ⇔=A .（5）行阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数.定理2.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若≅A B ,则()()R R =A B .推论2.3 若,P Q 可逆,且=PAQ B ,则()()R R =A B .性质2.9（1）{}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A A B B ； （2）()()()R R R +≤+A A B B ； （3）{}()min (),()R R R ≤A AB B ； （4）()()m n n s R R n ⨯⨯=⇒+≤B O B A A . 五、分块矩阵 2.5.2 常用的分块阵 1. 按列分块对于矩阵m n ⨯A ,在其列间引入虚线分块得到()111121,,n n m mn a a aa ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A K M OM L L 令，ααα, 其中j α是A 的第j 列, ()12,,,Tj j j mj a a a =L α. 2. 按行分块对于矩阵m n ⨯A ,在其行间引入虚线分块得到111121T n T m mn T m a a aa ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭KM OM ML令ααA α, 其中T i α是A 的第i 行,()12,,,T i i i in a a a =L α. 3. 对角分块阵设n 阶方阵分块后形如()1212,,,ss diag ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΟΟL O A A A A A A A , 即A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块方阵,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方块, 则称A 为对角分块阵. 对于对角分块阵A ,易知 （1）12s =L A A A A ；（2）A 可逆⇔0,(1,2,,)i i s ≠=L A ,且()111112,,,s diag ----=L A A A A . 例8.对于n 元线性方程组m n ⨯=A x b ,（1） 若按列分块()12,,n =A L ，ααα,则1122n n x x x =⇔+++=Ax b b L ααα;（2）若按行分块()12,,,TT T T m =A L ααα,则(1,2,,)T i i m =⇔==L Ax b x b α.一、单项选择题1. 设行矩阵A = (a 1, a 2, a 3)、B = (b 1, b 2, b 3), 且A T B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112112112,则AB T= ( )A . -2B . 2C . -1D . 12. 下列等式中正确的是 ( )A . (A -B )2 = A 2 -2AB + B 2 B . (AB )C = A (BC ) C . (AB )T = A T B TD . (AB )-1= A -1 B -13. 设A 为任意n 阶方阵, X 是1 ⨯ n 阶矩阵, n > 1, 则下列可进行的运算是 ( )A . X T AXB . XAX TC . XAXD . X T AX T 4. 对任意n 阶方阵A 、B , 总有 ( )A . AB =BA B . det(AB ) = det(BA )C . (AB )T =A T B TD . (AB )2=A 2B 25. 设A 是方阵, 如有矩阵关系式AB = AC , 则必有 ( )A . A = 0B . B ≠C 时A = 0 C . A ≠ 0时B = CD . |A | ≠ 0时B = C 6. A 、B 、C 、E 为同阶矩阵, E 为单位阵, 若ABC = E , 则下列各式中总是成立的有 ( )A . BAC = EB . ACB = EC . CBA = ED . CAB =E 7.设n 阶方阵A 、B 、C 满足AB=BC=CA=E,则A 2+B 2+C 2= （ ） （A ）A 2B 2C 2 (B)3E (C)ABC (D)ABCABC8. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, 则A -1等于 ( ) A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020003B . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001C . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010003D . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000300029. 设矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2321, 则矩阵A 的伴随矩阵A * = ( ) A . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1322B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1322 C . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1232 D . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1232 10.设A 、B 都是n 阶方阵,且=AB O ,则下列一定成立的是（ ）.（A ）=A O 或=B O ； （B ）、A B 都不可逆； （C ）、A B 中至少有一个不可逆； （D ）+=A B O .11.若矩阵1120121012a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩()2R =A ,则a 的值为（ ）.（A ）0； （B ）0或-1； （C ）-1； （D ）-1或1.12.一个值不为零的n 阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换后,该行列式的值（ ）.（A ）保持不变； （B ）保持不为零； （C ）保持相同的正负号； （D ）可以变为任何值.13.设A 是3阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则*(3)=A （ ）.（A ）*3A ； （B ）*9A ； （C ）*27A ； （D ）*/3A . 14.设A 为⨯n m 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 且1()R r =A , ()R r =AC ，则( ）.（A ）1r r >； （B ）1r r <； （C ）1r r =； （D ）r 与1r 的关系依C 而定. 15.已知A 是mxn 矩阵，B 是nxm 矩阵，若AB=E ，则 ( )(A) R(A)=m,R(B)=m (B) R(A)=m,R(B)=n (C) R(A)=n,R(B)=m (D) R(A)=n,R(B)=n16. 已知A 有一个r 阶子式不等于0，则R(A) ( ) (A) =r (B) =r+1 (C) ≦r (D) ≧r二、填空题. 1. 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛5443, 则A -1 = . 2. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310210001, 则A -1 = .5. 设A 为3阶方阵, det(A )=2, 则det(-2A ) = .6.若A 为2009阶矩阵,且满足T =-A A ,则=A .7.设44⨯矩阵234(,,,)=A αγγγ,234(,,,)=B βγγγ,其中234,,,,αβγγγ均为 四维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则+=A B __________.8.设A 为3阶矩阵,且满足=A 2,则1-=A ______,22-=A _______,*=A ________,**()=A ________.9.设()ij s n a ⨯=A 与rs n⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭E0B 00等价,则矩阵A 的秩()R A =________. 10.设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A ,()ij n n i ja ⨯=⋅B ,已知行列式a =A ,则行列式=B .三、 计算题1.已知123143210321,530140321250--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ,求32-A B .2.计算下列矩阵乘积：（1）12113412-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111311*********-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 3.已知(1,2,3),(1,1,2),,T T ==-==X Y A X Y B YX ,求4,,A B A .4.若2312312,,21031⎛⎫--⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 求AB 及()TAB .5.（1）设100100λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,求3A ；（2）设101020001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求(2,3,)k k =L A ．6.将矩阵212341352012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为标准形.7.已知1/22/21/2⎛⎫=⎪⎪⎭A ,且6=A E , 求11A8. 设A 为3阶方阵, det (A ) =21, 计算行列式det [(3A ) -1 - 2A *]. 解: (3A ) -1 - 2A * = 31A -1- 2⋅det (A ) A -1 = 31A -1- A -1 =32-A -1, det [(3A )-1- 2A *]=332⎪⎭⎫ ⎝⎛-det (A -1) = 332⎪⎭⎫ ⎝⎛-[det (A )] -1= 2716-. 9. 设矩阵D = A -1 B T (CB -1 + E ) T - [(C -1) T A ] -1, 其中A = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, B = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021, C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1087654321,求出矩阵D .解:D =A -1 B T (CB -1+E ) T - [(C -1) T A ] -1= A -1 [(CB -1 + E ) B ] T - A -1[(C -1) T ] -1= A -1(C + B )T - A -1 C T = A -1(C T + B T ) - A -1 C T = A -1(C T + B T - C T ) = A -1 B T 。
《线性代数》矩阵的运算与概念
负矩阵
称矩阵
零矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn
为A的负矩阵,记作 –A.
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
反例．设 A 0 10 1 1 21 5
则 AB 0 10 1 1 21 5
， B = 1 2 3 . 2 1 0
1 2 3 无意义. 2 1 0
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23 解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
（1）先行后列法
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg)
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3 ；
3 1 2 1 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23 1 2 9 4
38 31
通常采用：先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
线性代数第二章第一节-矩阵的概念
矩阵的基本性质
01
02
03
04
矩阵的加法
两个矩阵相加时，对应位置的 元素相加。
矩阵的数乘
一个数与一个矩阵相乘时，该 数与矩阵的每个元素相乘。
矩阵的乘法
两个矩阵相乘时，必须满足左 矩阵的列数等于右矩阵的行数 。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到转置矩 阵，记作A^T。
性质
逆矩阵是唯一的；如果A可逆，则A的逆矩阵也唯一；如果A和B都可 逆，则(A+B)-1=A-1+B-1；如果A可逆，k为非零常数，则kA1=(k-1)-1KA。
行列式的定义与性质
定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)，即由n个 数a1,a2,...,an组成的n阶方阵A的行列式是 a1*a2*...*an。
规则
矩阵的加法满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
例子
考虑两个矩阵$A=begin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}$和$B=begin{bmatrix}5 & 6 7 & 8 end{bmatrix}$，则$A+B=begin{bmatrix}6 & 8 10 & 12 end{bmatrix}$。
特殊类型的矩阵
01
02
03
04
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其 他元素都为零的矩阵。
上三角矩阵
主对角线以下的元素都为零的 矩阵。
下三角矩阵
主对角线以上的元素都为零的 矩阵。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数学科中的基础工具，这是因为矩阵可以用来表示线性变换和线性方程组。
对于矩阵的基本概念与运算，我们需要从以下几个方面来分析。
一、矩阵的基本概念1、定义与记法矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B、C等。
其中，阵列中的m表示矩阵的行数，n则表示矩阵的列数。
因此，一个m行n列的矩阵可以写成：$A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
2、矩阵的类型按照元素类型可以将矩阵分为实矩阵、复矩阵和布尔矩阵等。
按照矩阵的形状，矩阵可以分为方矩阵、长方矩阵和列矩阵等。
二、矩阵的基本运算1、矩阵的加法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{m×n}$，它们对应位置相加的结果记作 $C=A+B$，则：$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$2、矩阵的数乘假设有一个矩阵 $A_{m×n}$ 和一个数 $\lambda$，则它们的乘积记作 $B=\lambda A$，则：$B_{ij}=\lambda A_{ij}$3、矩阵的乘法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{n×p}$，它们的乘积记作$C=AB$，则：$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$矩阵乘法需要满足结合律，但不满足交换律，也就是说，$AB$ 与 $BA$ 不一定相等。
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
矩阵的概念和运算
矩阵的概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济学等各个领域中。
本文将介绍矩阵的基本概念和运算，以及其在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义和表示矩阵是由m行n列的数量排列在一个矩形阵列中的数或者符号所组成的矩形数表。
一般用大写字母表示矩阵，例如A、B、C等。
矩阵可以表示为：A = [a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法满足相同位置元素相加的规则，即相同位置的元素相加得到新矩阵的对应位置元素。
例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]A +B = [a_ij + b_ij] = C2. 矩阵的数乘矩阵的数乘指将一个数与矩阵中的每个元素相乘，得到新矩阵。
例如：A = [a_ij]，k为实数kA = [ka_ij]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到新矩阵的运算。
矩阵的乘法满足“行乘列”规则，即第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素相乘并求和得到新矩阵的对应位置元素。
例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]AB = C，其中c_ij = ∑(a_ik * b_kj)4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到新矩阵。
若A为m行n 列的矩阵，其转置矩阵记作A^T，则A^T为n行m列的矩阵，且A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。
三、矩阵的应用1. 线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以更方便地求解线性方程组的解。
例如：Ax = b其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
通过矩阵的运算，可以求解出未知数向量x。
2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵在向量空间中的变换性质。
特征向量是指在矩阵变换下保持方向不变的非零向量，特征值是指对应于特征向量的标量。
矩阵与矩阵运算
矩阵与矩阵运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等。
矩阵可以看作是一个矩形的数组，其中的元素可以是数字、符号或者其他数学对象，而矩阵运算则是对矩阵进行加法、乘法等操作的过程。
一、矩阵的定义与基本性质矩阵通常用大写字母表示，如A，B，C等。
一个m行n列的矩阵表示为A = [aij]，其中aij表示A矩阵第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n决定了矩阵的形状。
矩阵的基本性质包括：1. 矩阵相等性：两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等。
2. 矩阵的加法：对于两个相同形状的矩阵A和B，它们的和矩阵C = A + B，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。
3. 矩阵的数乘：对于一个矩阵A和一个数k，数乘结果矩阵C = kA，即C的每个元素等于k乘以A对应元素。
4. 矩阵的乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘积矩阵C = AB，其中C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
二、矩阵的运算法则矩阵运算有许多基本的法则，这些法则可以帮助我们简化运算过程，提高计算效率。
1. 矩阵加法的法则：- 交换律：对于任意的矩阵A和B，有A + B = B + A。
- 结合律：对于任意的矩阵A、B和C，有(A + B) + C = A + (B +C)。
2. 矩阵数乘的法则：- 数乘分配律：对于任意的数k和矩阵A、B，有k(A + B) = kA + kB。
- 数乘结合律：对于任意的数k和l以及矩阵A，有(kl)A = k(lA)。
- 单位数乘：对于任意的矩阵A，有1A = A，其中1表示数1。
3. 矩阵乘法的法则：- 结合律：对于任意的矩阵A、B和C，有(A B)C = A(B C)。
- 分配律：对于任意的矩阵A、B和C，有A(B + C) = AB + AC和(A + B)C = AC + BC。
三、矩阵运算的应用矩阵运算在不同的领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 线性方程组：矩阵可以用来求解线性方程组。
矩阵的概念及其线性运算知识讲解
第二章 矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。
一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。
通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。
为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。
矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。
记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。
n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。
n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。
主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛE n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。
行向量、列向量统称为向量。
向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。
向量中的元素又称为向量的分量。
11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。
分别称为矩阵A 、B 的和与差。
B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
矩阵的概念、运算(一)
第五章矩阵辞海：将mn个元素排成m行n列的矩形称为m行n列矩阵。
当m=n时称为n 阶方阵。
矩阵可按某些规则进行加法、乘法以及数与矩阵相乘等运算。
矩阵的概念最初是由解线性方程组产生。
我国古代用筹算法解线性方程组时就是用筹码排成矩阵来进行的。
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
百度“矩阵”，找到约约60,100,000条结果;Google“matrix”，找到约467,000,000 条结果.背景知识：矩阵的历史⏹矩阵的概念是在解线性方程组中产生的。
如我国《九章算术》（公元前1世纪）用筹算解线性方程组时，就是把算筹排列成矩阵形式来进行的。
⏹1850年由西尔维斯特（Sylvester）（英）首先提出矩阵的概念。
⏹1857年卡莱（A.Cayley）（英）建立了矩阵运算规则。
⏹矩阵由最初作为一种工具经过近两个世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。
而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。
⏹矩阵及其理论现已广泛地应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。
如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、图像处理等方面都有广泛应用。
5.0矩阵的概念一、教学内容1、矩阵的概念2、矩阵相等3、几种特殊矩阵二、教学目的了解矩阵的产生背景，掌握矩阵的概念，理解矩阵相等的涵义，认识几种特殊矩阵三、重点难点矩阵相等一、引例我们先看几个例子例1：设有线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的数表如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------71317391118331211151 这个数表决定了给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题，因此对这个数表的研究就很有必要。
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域起着重要的作用。
本章主要介绍矩阵的基本概念以及矩阵的运算。
1. 矩阵的基本概念矩阵由元素排列成的矩形阵列，其中每个元素都有自己的位置和值。
矩阵通常用大写的字母表示，如A、B等，元素用小写的字母表示，如a、b等。
矩阵的大小由行和列决定，如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n矩阵。
如下所示为一个3×4矩阵：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\end{bmatrix}$$2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法两个矩阵的加法要求其大小相同，即行数和列数都相等。
对应位置的元素相加得到新矩阵的对应元素。
例如，对于两个矩阵A和B的加法运算，结果矩阵C的对应元素为：$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$2.2 矩阵的数乘矩阵的数乘即一个矩阵中的每个元素都乘以同一个数。
例如，对于矩阵A的数乘运算，结果矩阵B的对应元素为：$$b_{ij} = k \cdot a_{ij}$$其中k为一个实数。
2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，要求被乘矩阵的列数等于乘矩阵的行数。
乘积矩阵的行数等于被乘矩阵的行数，列数等于乘矩阵的列数。
设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，则乘积矩阵C为m×p 矩阵。
乘积矩阵C的第i行第j列元素为：$$c_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \cdots + a_{in}\cdot b_{nj}$$3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
线性代数B-2.1 矩阵的概念与运算
an 或 (a1,a 2, , an)
a1 a2 只有一列的矩阵 B , a n
称为列矩阵(或列向量).
一、
矩阵的概念
1.3 一些特殊矩阵
(3)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵或 n 阶矩阵. 也可记作 An .
例如:
13 6 2 是一个3 阶方阵. 2 2 2 2 2 2
（J.J.Sylvester）在1850年首先使用的.
1858年,英国数学家凯莱 (A.Cayley)系统阐述了关
于矩阵的理论，他被认为是矩阵论的创始人.
矩阵在我国可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的《九
章算术》，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所 用的解法就是矩阵的初等变换．
第二章 矩阵
例2.1 设
4 5 6 3 8 9 4 5 A , , B 3 2 4 5 7 6 5 8
4 8 5 9 6 4 3 5 12 14 10 8 则A＋B . 3 7 2 6 4 5 5 8 10 8 9 13
二、矩阵的运算
2.1 矩阵的加法
矩阵的加法 设A(aij)与B(bij) 则规定AB(aijbij ) 负矩阵--矩阵的减法 设矩阵 A(aij) 记 A(aij) A 称为矩阵 A 的 负矩阵 显然有 A(A)0 规定矩阵的减法为 ABA(B)
特殊矩阵
1.3 一些特殊矩阵 只有行矩阵元素间 a1 可以加逗号 零矩阵、非零矩阵. a2 a1 , a ,,an , 行矩阵与列矩阵; A B 2 , a 方阵 m n; a a a 0 11 11 12 1n a n 0 a0 a a22 a 0 21 22 2n 三角矩阵; 1 0 0 0 0 0 2 0 对角矩阵; 0 a0 a ann n1 n 20 nn a0 数量矩阵或标量矩阵 ; 0 10 0 0 n 单位矩阵; 0 0 0 1 0
矩阵的性质与运算
矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程等多个学科中发挥着重要的作用。
矩阵的性质和运算是我们研究和应用矩阵的基础，本文将详细介绍矩阵的性质和运算，使读者对矩阵有更加深入的理解。
一、矩阵的基本性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
一个矩阵有m行和n列，我们通常以大写字母表示矩阵，如A、B等。
1.2 矩阵的维度如果一个矩阵有m行和n列，我们称其为m×n维矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
特殊地，如果一个矩阵的行数和列数相等，我们称其为方阵。
1.3 矩阵的元素矩阵中的每个数称为一个元素，我们通常用小写字母表示矩阵中的元素。
例如，矩阵A的第i行、第j列的元素用aij表示。
1.4 矩阵的转置对于一个m×n维矩阵A，将其行与列互换得到的n×m维矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。
即A的第i行第j列的元素aij在AT中就是第j行第i列的元素。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B。
矩阵A +B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的和。
即(A + B)ij = Aij + Bij。
2.2 矩阵的减法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的差记作A - B。
矩阵A - B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的差。
即(A - B)ij = Aij - Bij。
2.3 矩阵的数乘对于一个维度为m×n的矩阵A和一个实数或复数c，我们可以将A的每个元素都乘以c得到一个新的矩阵cA。
即(cA)ij = c·Aij。
2.4 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。
要使得两个矩阵A和B可以相乘，A的列数必须等于B的行数。
如果A是一个m×n维矩阵，B是一个n×p维矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p维矩阵。
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
本文将对矩阵的基本概念、运算法则以及常见的矩阵类型进行归纳总结。
一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列的元素排列而成的矩形阵列，用大写字母表示，如A。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 元素：矩阵中的数值称为元素，用小写字母表示，如a。
矩阵A的第i行第j列的元素表示为a_ij。
3. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
4. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的矩阵，用I表示。
5. 行向量和列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
3. 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每个元素。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A与B的乘积AB是m×p的矩阵，且AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
5. 转置：将矩阵的行和列对调得到的矩阵称为原矩阵的转置。
若A为m×n的矩阵，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素。
三、常见的矩阵类型1. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的方阵称为对角矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线以下的元素都为0的方阵称为上三角矩阵。
4. 下三角矩阵：主对角线以上的元素都为0的方阵称为下三角矩阵。
5. 对称矩阵：元素满足a_ij=a_ji的方阵称为对称矩阵。
6. 反对称矩阵：元素满足a_ij=-a_ji的方阵称为反对称矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵。
四、矩阵的性质1. 矩阵的零点乘法：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念以及常见的矩阵运算。
一、矩阵的基本概念1.1 定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组，记作A=[a_ij]，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型根据矩阵元素的性质和特点，矩阵可以分为以下几种类型：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
- 方阵：行数等于列数的矩阵，记作A（m×m）。
- 行矩阵：只有一行的矩阵，记作A（1×n）。
- 列矩阵：只有一列的矩阵，记作A（m×1）。
- 对角矩阵：非主对角线上的元素都为0的方阵。
1.3 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和记作C=A+B，差记作D=A-B。
矩阵的加法和减法满足以下性质：- 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
- 零元素：A+O=A，A-O=A。
- 负元素：A+(-A)=O。
2.2 矩阵的数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，数k，则kA记作E=[ka_ij]，即矩阵A中的每个元素乘以k。
2.3 矩阵的乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，它们的乘积记作C=A•B，其中C的第i行第j列的元素为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj矩阵的乘法需要满足以下条件：- 矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行乘法运算。
- 乘法不满足交换律，即A•B≠B•A。
- 结合律成立：(A•B)•C=A•(B•C)。
2.4 矩阵的转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，A的转置记作A^T，其中A^T 的第i行第j列的元素为a_ji。
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c12 c22 cm2
c1n c2n cmn
显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；
若A+C=B+C，则A=B.
《线性代数》
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二、数与矩阵的数法
定义2 设A(aij)为mn矩阵
a11 a A 21 am1
阵A的积，记为kA.即
a12 a22 am2
a1n a2n ， amn
《线性代数》
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设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运 算规律： （1）交换律： A+B=B+A; （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵. 矩阵的减法可定义为:
A B A ( B ) ( a ij bij ) m n
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a2
0 2 2
b1
b2
b3
结束
例2：(价格矩阵)
四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位
量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出
F1 F 2 F 3 F 4
17 15 18 7 9 8 11 13 15 21 S 1 19 S 2 19 S 3
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《线性代数》
二、矩阵的应用实例
例1：(通路矩阵)
a 省两个城市 a 1 , a 2 和 b 省三个城市 b , b , b 1 2 3
的交通联结情况如图。 每条线上的数字表示联结该两城
市的不同通路总数.由该图提供的通路信息,可用矩阵形 式表示,称之为通路矩阵.
a1
4 1 3
第二节 矩阵的线性运算、乘法和转置运算
一、矩阵的加法
二、数与矩阵的乘法
三、矩阵的乘法
四、转置矩阵及对称方阵
五、方阵的行列式
《线性代数》
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一、矩阵的加法
定义1 设A与B为两个mn矩阵
a11 a A 21 am1
a12 a22 am2
a1n a2n ， B amn
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James Joseph Sylvester (1814.9.3~1897.3.15)
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英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.
他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章.
Arthur Cayley (1821.8.16~1895.1.26)
a1n b1 a2n b2 amn bm
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定义1 由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成一个 m 行 n 列
的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作
a11 a21 am1
a12 a22 am2
b11 b21 bm1
b12 b22 bm2
b1n b2n ， bmn
A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和， 记为AB.即C=A+B .
a11b11 a12b12 a21b21 a22b22 AB am1bm1 am2bm2
第二章
§1 矩阵的概念
矩阵
§2 矩阵的线性运算、乘法和转置运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵
《线性代数》
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第二章 矩阵
本章要求
1.理解矩阵的概念，知道方阵、零阵、单位阵、行（列）矩 阵、对角阵等特殊矩阵； 2.掌握矩阵间的运算及运算律； 3.熟悉伴随阵的一个重要公式； 4.理解逆矩阵的概念及性质; 5.掌握矩阵可逆的充要条件，会利用矩阵的逆公式 求矩阵的逆.
c1n c2n . cmn
下页 结束
《线性代数》
矩阵的乘法: a11 a12 a21 a22 am1 am2
a1s a2s ams
b11 b21 bs1
b12 b1n c11 b22 b2n c21 bs2 bsn cm1
定义3 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a21 A am1
a12 a22 am2
a1s a2s ， B ams
b11 b21 bs1
b12 b1n b22 b2n ， bs2 bsn
《线性代数》 返回
a1nb1n a2nb2n . amnbmn
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矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则AB (aijbij)mn。
3 5 7 2 1 3 2 0 例1．设 A 2 0 4 3 ， B 2 1 5 7 ，则 0 1 2 3 0 6 4 8 3 5 7 2 1 3 2 0 AB 2 0 4 3 + 2 1 5 7 0 1 2 3 0 6 4 8 3+1 5+3 7+2 2+0 4 8 9 2 2+2 0+1 4+5 3+7 4 1 9 10 . 0+0 1+6 2+4 3+8 0 7 6 11
本章重点
1.矩阵及其运算法则是重点，矩阵与矩阵相乘是难点;
2.逆矩阵的概念及性质和矩阵可逆的充要条件是重点，也是难 点
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§1.1 矩阵
一. 历史
“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.
他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.
则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩
ka11 ka12 ka1n ka ka22 ka2n . kA 21 kam1 kam2 kamn
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矩阵的数乘： 设A(aij)mn ，则kA=(kaij)mn . 例2．设 A 3 5 3A 3 2 0 0 1
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例3：(赢得矩阵) 我国古代有“齐王赛马”的事例,说的战国时代 齐王与其大将田忌赛马, 双方约定各出上、中、下
3个等级的马各一匹进行比赛, 这样共赛马3次, 每
次比赛的败者付给胜者一百金. 已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操 胜券, 但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、 下等级的马.
1 1 1 3 1 1
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齐 王 策 略
《线性代数》
1 1 1 1 3
1
1 1 1 1 1 3
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§1 矩阵的概念
在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程 组的每个方程对应一个有序数组：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm
三角形矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为 上三角形矩阵. 如下形式的 n 阶矩阵称 为下三角形矩阵.
a11 0 A 0
a12 a22 0
a1n a2n . ann
b11 b21 B bn1
0 b22 bn2
《线性代数》返回下页结束比赛策略:
(上、中、下) (中、上、下) (下、中、上) 3 1 2
(上、下、 中) (中、下、上) (下、上、中) 5 6 4 田忌策略 齐王的赢得矩阵：
3 1 1 1 1 1
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1 3 1 1 1 1
1 1 3 1 1 1
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为 O .
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
b1 a(a1 a 2 an)， b b2 . bm
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方阵
若矩阵 A 的行数与列数都等于 n，则称 A 为 n 阶矩阵，或称为 n 阶方阵.
3 2 0 7 4 2
5 0 1 2 3 3
7 2 4 3 ，则 2 3 33 35 37 32 32 30 34 33 30 31 32 33
.
9 15 21 6 6 0 12 9 0 3 6 9
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矩阵数乘的性质：
设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则
这些有序数组可以构成一个表
→ → → →
(a11 (a21 (am1
a12 a22 am2
a1n b1) a2n b2) amn bm)
a11 a21 am1
这个表就称为矩阵.
《线性代数》
a12 a22 am2
(5) k(AB)kAkB； (6) (kl)AkAlA ； (7) (kl)Ak(lA)； (8) 1AA .
性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.
另外,易得
0AO .
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3 5 7 2 1 3 2 0 例3．设 A 2 0 4 3 ， B 2 1 5 7 ，求3A2B . 0 1 2 3 0 6 4 8 3 5 7 2 1 3 2 0 解：3A2B 3 2 0 4 3 2 2 1 5 7 0 1 2 3 0 6 4 8 9 15 21 6 2 6 4 0 6 0 12 9 4 2 10 14 0 3 6 9 0 12 8 16 92 156 214 60 7 9 17 6 64 02 1210 914 2 2 2 5 . 00 312 68 916 0 9 2 7