矩阵的概念和运算

1。4 矩阵的概念和运算

教学要求 :

(1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。

(2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容：

前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。但是Cramer 法则有它的局限性：

1.0

2. D ≠⎧⎨

⎩所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数）

同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一．矩阵的概念

123123123

23124621x x x x x x x x x -+=⎧⎪

-+-=-⎨⎪+-=⎩

它的系数行列式 1

232

4601

1

1

D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示：

123124621111A ⎛-⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭

这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。

123246111A -⎛⎫

⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭

这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。

注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。

关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111

他的系数矩阵：1112

1121222212

n n m m mn

m m n

a a a

b a a a b a a a b ⨯⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

1）当n m ≠时，称n m ⨯矩阵为长方阵（长得像长方形）； 2）当n m =时，称矩阵为n 阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 3）当m =1时只有一行，即（a 11 a 12…a 1n ）称之为行矩阵（或行向量）；

4）当n=1时矩阵只有一列，即⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m a a a 称之为列矩阵（或列向量）；

另外，行列式

1112

2122

a a a a 是由以上n m ⨯矩阵1，2两行和1，2两列上交点的四个元素组成的

一个2阶行列式，称为该矩阵的二阶子式。 二．特殊矩阵

（上三角）⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛nn n n a a a a a a 000

22211211

（下三角）⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛nn n n a a a a a a

2

1

2221

11

000 上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵

（对角）⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛nn a a a

0000

002211

（次对角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-00000001)

1(21n n n a a a

（单位阵）10

0010001E ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

（零矩阵）所有元素全为零，记为n m O ⨯ “单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的1和0 。

称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，有时标记在右下角。

三．矩阵相等 ⎧⎨⎩同型：两矩阵行数、列数对应相等对应元素相等

例如，矩阵

,391031,231322122111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=B a a a a a a A

若A = B ，则 a 11=1, a 12=0, a 13=9, a 21=-3, a 22=1, a 23=-3． 四．矩阵的四则运算

过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则，今后将学习的概率中的事件也有加法和乘法的运算，即事件的并和事件的交。今天，数表――矩阵也有加减乘除的四则运算法则。 1．加法（减法）

()ij ij A B a b +=-

即对应位置上的元素进行加减运算

例1 设矩阵 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=120432,152

403B A ，求A+B ，A-B. 解：

,022031130432152403⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+B A

.282835130432152403⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-B A

注意：1234c ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

与A ，B 则不能进行加法运算，可见，只有同型矩阵才能进行加减法运算。

运算规则：

（1）加法交换律 A + B = B + A ；

（2）加法结合律 （A +B ）+C = A +（B +C ）； 2．数乘

一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素，这点与行列式根本不同.

例2 设两上3×2矩阵A ，B 为⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222131,302121B A ，求

54A B -

解： 先做矩阵的数乘运算3A 和2B ，然后求矩阵3A 和2B 的差