矩阵的概念和运算
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念以及常见的矩阵运算。
一、矩阵的基本概念1.1 定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组，记作A=[a_ij]，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型根据矩阵元素的性质和特点，矩阵可以分为以下几种类型：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
- 方阵：行数等于列数的矩阵，记作A（m×m）。
- 行矩阵：只有一行的矩阵，记作A（1×n）。
- 列矩阵：只有一列的矩阵，记作A（m×1）。
- 对角矩阵：非主对角线上的元素都为0的方阵。
1.3 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和记作C=A+B，差记作D=A-B。
矩阵的加法和减法满足以下性质：- 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
- 零元素：A+O=A，A-O=A。
- 负元素：A+(-A)=O。
2.2 矩阵的数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，数k，则kA记作E=[ka_ij]，即矩阵A中的每个元素乘以k。
2.3 矩阵的乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，它们的乘积记作C=A•B，其中C的第i行第j列的元素为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj矩阵的乘法需要满足以下条件：- 矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行乘法运算。
- 乘法不满足交换律，即A•B≠B•A。
- 结合律成立：(A•B)•C=A•(B•C)。
2.4 矩阵的转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，A的转置记作A^T，其中A^T 的第i行第j列的元素为a_ji。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。
本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。
一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。
如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。
2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。
（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。
（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。
（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
3_1矩阵的概念及运算
3.同型矩阵与矩阵相等的概念 3.同型矩阵与矩阵相等的概念 (1)两个矩阵的行数相等 列数相等时,称为同型 两个矩阵的行数相等, (1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型 矩阵. 矩阵 1 2 14 3 同型矩阵. 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9 同型矩阵, (2) 两个矩阵 A = aij 与B = bij 为同型矩阵 并且对应元素相等,即 并且对应元素相等 即
a11 a21 M am 1
a12 a22 M
L a1n L a2 n M
am 2 L amn
称为m行 列矩阵 列矩阵. 矩阵. 称为 行n列矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作
a11 a 21 A= L a m1
简记为 A,
a12 a22 L am 1
ij
L a1n L a2 n L L L amn
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
用矩阵表示
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
二、矩阵的概念
1. 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
的解取决于 系数
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
矩阵的计算方式
矩阵的计算方式1 矩阵的定义矩阵是线性代数的基础概念之一。
它是一个由数构成的矩形阵列（一个表格），并按照特定的规则进行排列。
就像我们平时用的Excel 表格一样，矩阵可以用于描述各种各样的数学问题，例如线性方程组的求解、变换矩阵的应用等等。
2 矩阵的基本运算矩阵的运算有加、减、数乘、矩阵乘法等。
以下将从这几个方面来介绍矩阵的基本运算。
2.1 矩阵加法两个矩阵的加法定义为将它们的对应元素相加得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$矩阵加法需要满足以下条件：- 两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 相加的两个矩阵对应的元素必须都是相同类型的，例如都是实数。
2.2 矩阵减法两个矩阵的减法与加法类似，不同的是将它们的对应元素相减得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ -4 & -4\end{bmatrix}$矩阵减法需要满足与矩阵加法相同的条件（相同的行数和列数，相同类型的元素）。
2.3 矩阵数乘将矩阵的每个元素都乘以一个标量得到一个新的矩阵，这个操作称为矩阵数乘。
例如：$2 \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$矩阵数乘需要满足以下条件：- 被乘的标量必须是一个实数或者复数。
mathematics矩阵运算
mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。
本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数或者复数。
二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。
对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。
将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数学科中的基础工具，这是因为矩阵可以用来表示线性变换和线性方程组。
对于矩阵的基本概念与运算，我们需要从以下几个方面来分析。
一、矩阵的基本概念1、定义与记法矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B、C等。
其中，阵列中的m表示矩阵的行数，n则表示矩阵的列数。
因此，一个m行n列的矩阵可以写成：$A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
2、矩阵的类型按照元素类型可以将矩阵分为实矩阵、复矩阵和布尔矩阵等。
按照矩阵的形状，矩阵可以分为方矩阵、长方矩阵和列矩阵等。
二、矩阵的基本运算1、矩阵的加法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{m×n}$，它们对应位置相加的结果记作 $C=A+B$，则：$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$2、矩阵的数乘假设有一个矩阵 $A_{m×n}$ 和一个数 $\lambda$，则它们的乘积记作 $B=\lambda A$，则：$B_{ij}=\lambda A_{ij}$3、矩阵的乘法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{n×p}$，它们的乘积记作$C=AB$，则：$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$矩阵乘法需要满足结合律，但不满足交换律，也就是说，$AB$ 与 $BA$ 不一定相等。
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
线性代数中矩阵的基本概念与运算
线性代数中矩阵的基本概念与运算线性代数是数学中的一个分支，其中矩阵的概念和运算是非常基本的。
本文将简单介绍矩阵的基本概念和运算。
矩阵的基本概念矩阵是一个方形或长方形的数表，其中的数被排列在行和列中。
一个矩阵通常用大写字母来表示，如下所示：$$A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{bmatrix}$$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
对于一个 $m \times n$ 的矩阵，我们可以简单地把它看做是$n$ 个列向量的组合，每个列向量是一个 $m$ 维的向量。
也就是说，$A$ 可以被写成如下形式：$$A = [a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(n)}]$$其中 $a^{(i)}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 列向量。
矩阵的加法和减法两个同规格的矩阵可以进行加法和减法运算。
对于两个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和可以表示为：$$C = A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{bmatrix}$$同理，它们的差可以表示为：$$D = A - B =\begin{bmatrix}a_{1,1}-b_{1,1} & a_{1,2}-b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}-b_{1,n} \\a_{2,1}-b_{2,1} & a_{2,2}-b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}-b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}-b_{m,1} & a_{m,2}-b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}-b_{m,n}\end{bmatrix}$$需要注意的是，在进行矩阵加法和减法运算时，这些矩阵必须是同规格的，也就是说它们的行数和列数都必须相等。
1-1矩阵的基本概念及运算
作业2
2.
即 AB AC× B C.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
这属于特例，称之 为“可交换矩阵”。
4. 单位矩阵——如同数和乘法中的 1
单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对 角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素 全都为0, 即
一般的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX B
a11 a12
这里,
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1 b1
a2n
X
2 0
5 T 1
4 2 5
2
0
1
1 2 3 4 2
0
1
0 2
0
2 1 3 5 1
A BT = AT BT .
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2) 数乘矩阵的运算规律
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
特殊矩阵
特殊矩阵
零矩阵：所有元素全等于零的矩阵。 矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。
矩阵的概念和运算
矩阵的概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、经济学等各个领域中。
本文将介绍矩阵的基本概念和运算，以及其在实际问题中的应用。
一、矩阵的定义和表示矩阵是由m行n列的数量排列在一个矩形阵列中的数或者符号所组成的矩形数表。
一般用大写字母表示矩阵，例如A、B、C等。
矩阵可以表示为：A = [a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法满足相同位置元素相加的规则，即相同位置的元素相加得到新矩阵的对应位置元素。
例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]A +B = [a_ij + b_ij] = C2. 矩阵的数乘矩阵的数乘指将一个数与矩阵中的每个元素相乘，得到新矩阵。
例如：A = [a_ij]，k为实数kA = [ka_ij]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到新矩阵的运算。
矩阵的乘法满足“行乘列”规则，即第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素相乘并求和得到新矩阵的对应位置元素。
例如：A = [a_ij]，B = [b_ij]，C = [c_ij]AB = C，其中c_ij = ∑(a_ik * b_kj)4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到新矩阵。
若A为m行n 列的矩阵，其转置矩阵记作A^T，则A^T为n行m列的矩阵，且A的第i行第j列的元素等于A^T的第j行第i列的元素。
三、矩阵的应用1. 线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的运算可以更方便地求解线性方程组的解。
例如：Ax = b其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
通过矩阵的运算，可以求解出未知数向量x。
2. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵在向量空间中的变换性质。
特征向量是指在矩阵变换下保持方向不变的非零向量，特征值是指对应于特征向量的标量。
矩阵的概念及其线性运算
.第二章 矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。
一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。
通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。
为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。
矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。
记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。
n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。
n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。
主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001E n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。
行向量、列向量统称为向量。
向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。
向量中的元素又称为向量的分量。
11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。
分别称为矩阵A 、B 的和与差。
B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
矩阵的概念及其线性运算知识讲解
第二章 矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。
一．矩阵的概念矩阵是一张简化了的表格,一般地⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ⨯矩阵,它有m 行、n 列，共n m ⨯个元素，其中第i 行、第j 列的元素用j i a 表示。
通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。
为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ⨯A 或()i jm na ⨯表示。
矩阵既然是一张表，就不能象行列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。
记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。
n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。
n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。
主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛE n ⨯1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。
行向量、列向量统称为向量。
向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。
向量中的元素又称为向量的分量。
11⨯矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。
分别称为矩阵A 、B 的和与差。
B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的基本概念以及涉及的运算方法。
一、矩阵的定义与表示方法矩阵是一个按照矩形排列的数阵，它由m行n列的数构成。
一个矩阵可以用一个大写字母加上下标的方式表示，例如A、B、C等。
如果一个矩阵共有m行n列，我们将其记作A(m×n)。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法设有两个矩阵A(m×n)和B(m×n)，矩阵A与矩阵B的和记作A + B，其定义为矩阵中对应元素相加所得的新矩阵，即(A + B)(i,j) = A(i,j) +B(i,j)。
需要注意的是，两个矩阵进行加法运算时，必须满足相加的两个矩阵具有相同的行数和列数。
2. 矩阵的数乘设有一个矩阵A(m×n)和一个常数k，矩阵A乘以常数k的结果记作kA，其定义为将矩阵A的每个元素都乘以k所得的新矩阵，即(kA)(i,j) = k * A(i,j)。
同样需要注意的是，常数与矩阵的乘法满足交换律，即kA = Ak。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要一环。
设有两个矩阵A(m×n)和B(n×p)，这两个矩阵可以相乘得到一个新的矩阵C，记作C = A * B。
新矩阵C的元素由矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的内积所得，即C(i,j) = A(i,1) * B(1,j) + A(i,2) * B(2,j) + ... + A(i,n) * B(n,j)。
4. 矩阵的转置设有一个矩阵A(m×n)，将A的行换成列，列换成行所得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为零的矩阵，记作O。
零矩阵的尺寸通常根据上下文来确定。
2. 方阵方阵是行数与列数相等的矩阵，记作A(n×n)。
方阵具有许多重要的性质和特点。
3. 单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上元素都为1，其余元素都为零的方阵，记作I。
第二章 矩阵及其运算总结
§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1） （2） （3）（4） （5）三、逆矩阵1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点） 这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ． 矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故 方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解 由题设条件得3.伴随矩阵 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。
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1。
4 矩阵的概念和运算教学要求 :(1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。
(2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容：前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。
但是Cramer 法则有它的局限性：1.02. D ≠⎧⎨⎩所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数）同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念。
一．矩阵的概念12312312323124621x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪+-=⎩它的系数行列式 1232460111D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示：123124621111A ⎛-⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。
这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。
123246111A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。
注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。
D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。
况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。
关于以上线性方程组我们后面将介绍。
更一般地，对于线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111他的系数矩阵：11121121222212n n m m mnm m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1）当n m ≠时，称n m ⨯矩阵为长方阵（长得像长方形）； 2）当n m =时，称矩阵为n 阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 3）当m =1时只有一行，即（a 11 a 12…a 1n ）称之为行矩阵（或行向量）；4）当n=1时矩阵只有一列，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m a a a 称之为列矩阵（或列向量）；另外，行列式11122122a a a a 是由以上n m ⨯矩阵1，2两行和1，2两列上交点的四个元素组成的一个2阶行列式，称为该矩阵的二阶子式。
二．特殊矩阵（上三角）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211（下三角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111000 上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵（对角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a0000002211（次对角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000001)1(21n n n a a a（单位阵）100010001E ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（零矩阵）所有元素全为零，记为n m O ⨯ “单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的1和0 。
称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，有时标记在右下角。
三．矩阵相等 ⎧⎨⎩同型：两矩阵行数、列数对应相等对应元素相等例如，矩阵,391031,231322122111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B a a a a a a A若A = B ，则 a 11=1, a 12=0, a 13=9, a 21=-3, a 22=1, a 23=-3． 四．矩阵的四则运算过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则，今后将学习的概率中的事件也有加法和乘法的运算，即事件的并和事件的交。
今天，数表――矩阵也有加减乘除的四则运算法则。
1．加法（减法）()ij ij A B a b +=-即对应位置上的元素进行加减运算例1 设矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=120432,152403B A ，求A+B ，A-B. 解：,022031130432152403⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+B A.282835130432152403⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-B A注意：1234c ⎛⎫= ⎪⎝⎭与A ，B 则不能进行加法运算，可见，只有同型矩阵才能进行加减法运算。
运算规则：（1）加法交换律 A + B = B + A ；（2）加法结合律 （A +B ）+C = A +（B +C ）； 2．数乘一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素，这点与行列式根本不同.例2 设两上3×2矩阵A ，B 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222131,302121B A ，求54A B -解： 先做矩阵的数乘运算3A 和2B ，然后求矩阵3A 和2B 的差因为 515(2)51055250100,5153515A ⨯⨯--⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=⨯⨯= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⨯⨯⎝⎭⎣⎦,8884124)2(424)2(4)1(434144⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯=B所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-238692188841241502510545B A 运算规则：1．分配率：数对矩阵的分配律k (A +B )=k A +k B ，矩阵对数的分配律(k +l )A =k A +l A 2．结合率：数与矩阵的结合律(k l )A =k (l A )= l (k A )３．矩阵乘矩阵矩阵与矩阵相乘，两张表格拿来乘，不是简单的对应元素相乘，另有其规则。
例3 32123456A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 221234B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭解：1212343456A B ⎛⎫⎛⎫⎪⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭112312243143324451635264⨯+⨯⨯+⨯⎛⎫ ⎪=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭3271015222334⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例4 23321035A ⨯-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 32135006 B ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 矩阵乘矩阵，即左矩阵的行乘右矩阵的列得到的新矩阵的第i 行第j 列元素是原来左矩阵的第i 行元素与右矩阵第j 列元素乘积之和。
解： 2332133215003506 AB ⨯⨯⎛⎫-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭22731530⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭2332 133215035 006BA ⨯⨯⎛⎫-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭33141510501830⨯⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭3-7可见 ：1）矩阵乘法未必满足交换率2）新矩阵与原矩阵关系――型状上的规律性：新矩阵的行数与列数即为：原左矩阵的行数和原右矩阵的列数。
3）而原左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相等，才能进行乘法。
例5 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122,2142B A求AB 和BA 解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯-⨯+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)12)2(1)1(221)14)2(2)1(42211222142AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000 例5中矩阵A 和B 都是非零矩阵，但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 却是一个零矩阵。
这在数与代数式的运算中是没有的。
矩阵的行列式矩阵A 的行列式称为矩阵的行列式，记为 det A 或 A 。
例如 1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 1234A =特殊的，对于方阵乘积的行列式有如下非常类似于一般代数运算的运算律：若A 与B 均为n 阶方阵，则两个方阵乘积的行列式等于每个方阵行列式的乘积。
即det()det det det()AB A B BA ==（证明略）例如det ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4302-3451=det⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3451det ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4302- =40)8(5=-⨯-若两个矩阵A 和B 满足AB =BA ，则称矩阵A 和B 是可交换的. 练习：.3140,2141⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A因为,1028431402141⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1028421413140BA即AB =BA ，所以，矩阵A 和B 是可交换的。
例6 设矩阵.2346,51102,6342⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C B A求AB 和AC .解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000511026342AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=000023466342AC 在例6中，显然不能从AB =AC 中消去矩阵A 而得到B =C 。
这说明矩阵乘法不满足消去律. 一般地，当乘积矩阵AB =AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A 而得到B =C 。
总之，矩阵乘法不满足交换律、消去律，但矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方，即矩阵乘法满足下列运算规则： 运算规则：1、乘法结合律 （AB ）C =A （BC ）；2、左乘分配律 A （B +C ）=AB +AC ； 右乘分配律 （B +C ）A =BA +CA ；3、数乘结合律 k （AB ）=（kA ）B =A （kB ），其中k 是一个常数. 特别地，当A 是n 阶矩阵时，我们记AA …A =m A ，m 个m A 称为矩阵A 的m 次幂，其中m 是正整数。
当m =0时，规定0A =E 。
显然有A k A l =A k +l ，(Ak )l =A kl ，kllk A A =)(其中k ，l 是任意正整数.由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地（AB ）k ≠A k B k .例7 设矩阵,1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A求矩阵A m ，其中m 是正整数. 解： 因为，当m =2时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10221102110212A 设m = k 时，,10)1(211022110211021⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=k k k A k 则 ,10)1(2110221102110211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯==+k k k A A A k k 所以，由归纳法原理可知.1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m A m五．矩阵的转置将一个m ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 的行标和列标互换后所得的n ×m 矩阵，称为A 的转置矩阵，记作A T 或A t即.212221212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯=mn n nm m Ta a a a a a a a a A例如：14123254563 6T⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，有时列向量用转置来表示：()121233T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭容易验证矩阵的转置满足下列运算规则：(1)（A T ）T =A ； (2)（A +B ）T =A T +B T ； (3)（kA ）T =kA T ，（k 为实数）； (4)（AB ）T =B T A T .例8 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=250110,543421,0651C B A ，求C AB T 4+ 解： C AB T 4+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0651t⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543421+4 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛250110 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0651⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542341+4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛250110 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1824622169+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8042040 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛26241042209 如果矩阵A =(a ij )满足：A = A T 即它的第i 行第j 列的元素与第j 行第i 列的元素相同，即a ij =a ji （i ，j =1,2,…,n ） 则称A 是对称矩阵。