分块矩阵及其运算
§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块矩阵及其运算
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
2.13.12.5分块矩阵的定义和运算学习资料
12
1 1
02
1 1
01
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
1 0 1 0
于是
AB
1 2 1
2 4 1
0 3 3
1 13
.
2.5 分块矩阵 03 几 种 特 殊 分 块 矩 阵 的 行 列 式 和 逆 矩 阵
A1
形如
A
A2
的分块矩阵,
O
称为准对角矩阵（分
O
As
块对角矩阵）.其中 Ai (i 1,2,s) 都是方阵.
5 0 0
0 3 1
0
2
1
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
0
1
2
0
0
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
2.5 分块矩阵 03 几 种 特 殊 分 块 矩 阵 的 行 列 式 和 逆 矩 阵
准对角矩阵除了具有准三角阵的性质以外,还有：
A
As1
kA
kA11
kA1r
.
kAs1 kAsr
A1r
,
k 为一个数
Asr
由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算.
2.5 分块矩阵
02 分 块 矩 阵 的 运 算
(3) 转置
A11
A
As1
A1r
,
Asr
A1T1 则 AT
A1Tr
AsT1 .
A1
O B1
O A1B1
O
A2
O
As
B2
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
分块矩阵及其运算
F
0
I
D
CF F
C
I
=
1.4 分块矩阵及其运算
然后分别计算kI,kC,I+D,D+CF,代入上面三式，得
线
k 0 k 3k
2 2 1 3
kA 0 k
2k
4k
,
A
B
2
1
2 4 性
0 0 k 0
0 0
0
k
=
WC+YB I2 , 将W 0代入 Y B1,
所以
D1
A1
0
A1CB1
B1
=
返回
线
性
谢谢观赏
代
数
=
=
矩阵X
0 C
A
0
也可逆, 且X
1
0
A1
C1
0
线
解：设X
1
B1
B3
B2 B4
,
XX
1
AB3
CB1
AB4 CB2
I1
0
0
I
2
性 代
其中I1是与A同阶的单位阵, I2为与C同阶的单位阵,
则 AB3 I1 B3 A1, AB4 0 B4 0,
B1s
B2
s
代
Bts
数
=
, Btj的行数
§4 矩阵分块法
o
o
若 Ai ≠ 0 ( i = 1, 2,L , s ) , 则 A ≠ 0,
A1−1 −1 A2 −1 . A = O −1 As
并有
o
o
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
1010
第二章 矩阵及其运算
1 0 0 1 , 4 1 2 0
A,B分快成 把A,B分快成
1 10 0 0 0 0 0 01 1 0 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 11 0 0
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
6 6
第二章 矩阵及其运算
（2 ）设
A11 L A1r A= M M , A L A sr s1
为数， λ为数，那么
λ A11 L λ A1 r λA= M M . λA L λ Asr s1
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
2.5 分块矩阵的运算
求A
1
解
2 3 A 0 0 0
3 0 0 0 6 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 2 0 0 7 5
则
2 3 A1 3 6
A2 4
3 2 A3 7 5
A1 A
其中Aij与Bij的行数相同,
列数相同, 则
A11 B11 A1r B1r A B A B A B sr sr s1 s1
A11 A1r 2 设 A A A sr s1 为数, 则
A11 A 0
A11 0
1
A11 A12 A22 1 A22
1 1
1
A12 A11 A22 0
A11 A12 A22 1 A22
1 1
A11 A11 0
1
A11 A11 A12 A22 A12 A22 1 A22 A22
2.5 分块矩阵的运算 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵为了 简化运算，常采用分块法， 使大矩阵运算化成小矩阵的运算 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每个小矩阵称为
A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵. a 1 0 0 例
0 a 0 0 A 1 0 b 1 0 1 1 b
0 0 1 b
A1 A2 A3 A4
二、分块矩阵的运算法则
1 设A与B的行数相同, 列数相同,
采用相同的分块法, 有
A11 A A s1 B11 B B s1
A1r Asr B1r Bsr
2.3 分块矩阵(《线性代数》闫厉 著)
A
7
2
3
3
5
1
求逆矩阵 A 。
解
将矩阵A划分成分块对角矩阵 A diag A1 , A2 , A3 ，其中
8 5
A1
,
3 2
A2 7 ,
2 3
A3
3
5
由公式计算出
2 5
A
,
3 8
T
A22
A2Tt
A1t
A2 t
Ast
AsT1
AsT2
T
Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序
号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
五、分块对角矩阵
8 5
3
2
A
7
2
3
3
5
五、分块对角矩阵
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零
E
A1 B22
而
1
A1 B11 B21
1
3
0
2 1 0 1 0
1 1 2 1 1
4 1 0 2 4
2 1 1 1 1
1 2 4 1 3 3
a
31
a12
分块矩阵
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
第二章分块矩阵
分块矩阵1 分块矩阵及其运算对矩阵进行＂分块＂是处理较高阶矩阵的一种常用技巧，分块矩阵的运算能使矩阵间的一些关系更清楚地反映出来．将n m ⨯矩阵A ()n m kl a ⨯=作如下分块s tm m m n st t t n s n s A A A A A A A A A A }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==()ts ij A ⨯其中ij A 是j i n m ⨯矩阵（s i ,,2,1 =，t j ,,2,1 =），m msi i=∑=1，n n tj j =∑=1．这里A 既是以数kl a 为元素的n m ⨯数字矩阵，又是以矩阵ij A 为元素的t s ⨯分块矩阵．注: 在分块矩阵中,每一行小矩阵有相同的行数,每一列小矩阵有相同的列数,在对一个矩阵进行分块时,一定要注意这一点.不能把分块矩阵简单地理解为“以矩阵为元素的矩阵”.比如: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 其中()()98,7,63,542122211211==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A A ,不是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A 的分块.分块矩阵的运算数字矩阵的运算可以用分块矩阵进行操作，换句话说，数字矩阵的运算可以转化为分块矩阵的运算．所以分块矩阵的运算不是矩阵的新运算，只不过是数字矩阵运算的一种新的运算方法，其运算的结果与数字矩阵的运算结果是一致的．加法 设()ts ijn m A A ⨯⨯=，()ts ijn m B B ⨯⨯=，其中ij ij B A ,是j i n m ⨯矩阵（s i .,2,1 =；t j ,,2,1 =），m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则()ts ij ij B A B A ⨯+=+．乘法 设()ts ijn m A A ⨯⨯=,()rt jkl n B B ⨯⨯=，其中ij A 是j i n m ⨯矩阵，jk B 是k j l n ⨯矩阵（s i .,2,1 =；t j ,,2,1 =；r k ,,2,1 =），m msi i=∑=1，n n t j j =∑=1，l l rk k =∑=1，则()r s ik C AB ⨯=C =，其中tk it k i k i ik B A B A B A C +++= 2211 （s i .,2,1 =；r k ,,2,1 =）．数乘 设()ts ijn m A A ⨯⨯=，则()ts ijkA kA ⨯=．分块矩阵的运算规则可以用一句话概括成“只要运算有意义，分块矩阵的运算可以按照数字矩阵的运算规则进行运算”．这里的“运算有意义”是指运算对矩阵行数、列数的相应要求，它包含三层意思：第一 分块之前的两数字矩阵运算要有意义（相加时两矩阵的行、列数分别相同；相乘时前一矩阵的列数要等于后一矩阵的行数）；第二 分块以后的两个分块矩阵的运算要有意义（相加时两分块矩阵的行、列数分别相同；相乘时前一分块矩阵的列数要等于后一分块矩阵的行数）；第三 各对子矩阵的运算要有意义（各对相加的子矩阵的行、列数分别相同；各对相乘的子矩阵中前一子矩阵的列数要等于后一子矩阵的行数）．要保证运算有意义，只需把握住分块环节即可，具体地说：在用分块方法作矩阵加法时，两数字矩阵行和列的分法应当分别一致；在用分块方法作矩阵乘法时，前一数字矩阵列的分法与后一数字矩阵行的分法应一致．注意：在分块矩阵的乘法中，各子矩阵的先后顺序不能随意颠倒，应与其母矩阵的先后顺序一致．下边证明分块矩阵的上述乘法规则．矩阵()nm ija A ⨯=的位于r i i i ,,,21 行、s j j j ,,,21 列的子块（也称为A 的子矩阵，A叫该子矩阵的母矩阵）记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r j j j i i i A 2121，以后总假定s r j j j i i i <<<<<< 2121,． 例如：由元素ij a 构成的子块为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=j i A a ij ； 由A 的第i 行元素构成的子块为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n i A a a a in i i 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----i A ）； 由A 的第j 列元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛j m A a a a mj j j 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j A ）； 由A 的第r i i i ,,,21 行元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧n i i i A r 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----r i i i A 21）；由A 的第s j j j ,,,21 列元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧s j j j m A 2112（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----s j j j A 21）． 由矩阵的乘法可知，AB 的),(j i 元等于A 的第i 行与B 第j 列元素的对应乘积之和，即： ))(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧j B iA j i AB ．由此易得 ))(()(21212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r s r j j j B i i i A j j j i i i AB ，即：AB 的位于r i i i ,,,21 行、s j j j ,,,21 列的子块等于A 的第r i i i ,,,21 行元素构成的子块与B 第s j j j ,,,21 列元素构成的子块的乘积． 特别地 B i A B i A i AB )())(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--------⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----，即：AB 的第i 行元素构成的子块等于A 的第i 行元素构成的子块与B 的乘积．)())(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧--------=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j B A j B A j AB ，即：AB 的第j 列元素构成的子块等于A 与B 的第j 列元素构成的子块的乘积．进一步有 ]))[(()(21212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r s r j j j HK B i i i A j j j i i i HK AB))()((2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=s r j j j K H B i i i A ．特别地 ))()(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧j K H B i A j i HK AB ，))(()(HK B i A i HK AB ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----，))(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j K H AB j HK AB ．下边证明分块矩阵乘法的计算规则：=ABt rtt n n n l tr r r l t l t n st t t n s n s m m m B B B B B B B B B A A A A A A A A A }}}{{{21212121212221212111212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s rm m m l sr r r l s l s C C C C C C C C C }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= C =其中tk it k i k i ik B A B A B A C +++= 2211 （s i .,2,1 =；r k ,,2,1 =），m m si i =∑=1，n ntj j=∑=1，l l rk k =∑=1．只需证明C 与AB 对应位置的元素相同．设C 的),(j i 元为ij c ，则ij c 必在C 的某个子块th kt h k h k kh B A B A B A C +++= 2211之中，设ij c 是kh C 的),(j i ''元，则 i m m i k '+++=-11 ，j l l j h '+++=-11 ，这里k m i ≤'≤1，h l j ≤'≤1．由于ij c 是th kt h k h k B A B A B A ,,,2211 的),(j i ''元之和．而ph kp B A 的),(j i ''元为kp A 的i '行与ph B 的j '列元素的对应乘积之和：))((⎭⎬⎫⎩⎨⎧'----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----'j B i A ph kp ．但是，kp A 的第i '行恰为A 的第i 行，kp A 所处的列恰为A 的第p p p p n n n n n n n +++++++++---111111,,2,1 列；ph B 的第j '列恰为B 的第j 列，ph B 所处的行恰为B 的第p p p p n n n n n n n +++++++++---111111,,2,1 行．（参看下图）i i n m m kt p k n st p k kp p k p n p k n k k k pp A A A A A A A A A ''-++----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛}})1()1()1(1)1(11111}}，p p j h l j h n n n pr h p th h p ph h p h l h p l p B B B B B B B B B }}}1111)1()1()1(1)1(1-'-'-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--所以))((⎭⎬⎫⎩⎨⎧'----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----'j B i A ph kp ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++++++++++++++------j n n n j n n j n n n n n i n n i n n i p p p p p p p p b b b a a a )()2()1()()2()1(111111111111),,,(jn n n n i j n n n n i j n n n n i p p p p p p b a b a b a )()()2()2()1()1(1111111111+++++++++++++++++++=---- ， 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'=))(())(())((2211j B i A j B i A j B i A c th kt h k h k ij )()()()()()1()1()()()1()1(1111111121211111j n n n n i j n n n n i j n n n n i j n n i j n in i i t t t t b a b a b a b a b a b a +++++++++++++++++++++++=--nj in j i j i b a b a b a +++= 2211，恰为AB 的),(j i 元，故C AB =．转置 设()ts ijA A ⨯=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111对分块对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，其中iA 是方阵，s i ,,2,1 =．有：１、s A A A A 21=；２、A 可逆当且仅当s A A A ,,,21 均可逆，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111s A A A A ； ３、A 的秩等于s A A A ,,,21 的秩之和．（此结论当i A 不是方阵时亦然）利用矩阵分块可以将矩阵乘积中的一些关系反映得更清楚，比如： 设()()l n jk nm ijb B a A ⨯⨯==,．对,A B 作如下分块，A 的每个元素为一块，B 的每一行为一块，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n mn m m n n n n n mn m m n n B a B a B a B a B a B a B a B a B a B B B a a aa a a a a a AB22112222121121211121212222111211， 由此可见，AB 的每个行向量是B 的行向量的线性组合．对,A B 作如下分块，A 的每一列为一块，B 的每个元素为一块，可得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nl n n l l n b b b b b b b b b A A A AB 21222211121121()n nl l l n n n n A b A b A b A b A b A b A b A b A b +++++++++= 221122221121221111由此可见，AB 的每个列向量是A 的列向量的线性组合．当0=AB 时，对,A B 作如下分块，A 整个作为一块，B 的每个列为一块，可得 ()()()()0002121===l l AB AB AB B B B A AB即有0=j AB （l j ,,2,1 =）．由此可见，B 的每个列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组0=Ax 的解．若对,A B 作下述分块，A 的每一行作为一块，B 整个为一块，可得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001121 B A B A B A B A A A AB m m即有0=B A i ，亦即0=''i A B （m i ,,2,1 =）．由此可见，A 的每个行向量是以B '为系数矩阵的齐次线性方程组0='x B 的解．例１ A 是n m ⨯矩阵，证明：（１） 存在矩阵0≠B 使⇔=0AB 秩n A <)(； （２） 存在矩阵0≠C 使⇔=0CA 秩m A <)(．证明：只证明（１），（２）的证法类似．（１）⇒：0=AB ，B ∴的每个列向量是齐次线性方程组0=Ax 的解．而0≠B ，可知0=Ax 有非零解，所以系数矩阵A 的秩＜未知量的个数n ，即：秩n A <)(．⇐：因为秩n A <)(，所以齐次线性方程组0=Ax 有非零解．以0=Ax 的若干非零解为列向量构造矩阵B ，则0≠B 且有分块矩阵的乘法可知0=AB ．2 分块矩阵的初等变换类似于数字矩阵，分块矩阵也有其初等变换和初等矩阵，而且它们之间的联系也与数字矩阵中两者之间的联系类似．广义初等变换下述三种变换称为广义初等行（列）变换： １、对换分块矩阵中两行（列）的位置；２、用一个非退化的矩阵D 左（右）乘分块矩阵某一行（列）中的所有元素； ３、用一个非零矩阵C 左（右）乘分块矩阵的某一行（列）后加于另一行（列）．注: ① 行变换左乘,列变换右乘.② 根据所作变换中矩阵运算的需要,对用来左乘或右乘的矩阵应有行、列上的自然要求.比如: 要将分块矩阵j i jt j j it i i m m A A A A A A j i A }}2121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=的第j 行左乘非零矩阵C 后加于第i 行,为了保证乘法可行,C 的列数就必须等于A 的第j 行子矩阵的行数j m ;而为了保证之后的加法可行,C 的行数就必须等于A 的第i 行子矩阵的行数i m ,所以C 应该是j i m m ⨯矩阵.广义初等矩阵对分块单位矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r n n n n E E E E21 （n nri i=∑=1）施行一次广义初等变换所得到的分块矩阵叫做广义初等矩阵．广义初等矩阵共有六类，它们是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P ：交换分块单位矩阵j i ,两行的位置所得到的广义初等矩阵； ()j iP ：交换分块单位矩阵j i ,两列的位置所得到的广义初等矩阵；()i D P )(：用非奇异矩阵D 左乘分块单位矩阵的第i 行所得到的广义初等矩阵； ())(D i P ：用非奇异矩阵D 右乘分块单位矩阵的第i 列所得到的广义初等矩阵；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j C i P )(：将分块单位矩阵的第j 行左乘C 后加于第i 行所得到的广义初等矩阵； ())(C j iP ：将分块单位矩阵的第j 列右乘C 后加于第i 列所得到的广义初等矩阵．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P j i E E E E E E E E ji n n n n n n n n r j ij i ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-111110()j iP j i E E E E E E E E ji n n n n n n n n r j jj i ii ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-11111()i D P )(i E E DE E in n n n r i i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-111())(D i P i E E DE E in n n n r i i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j C i P )(j i E E CE E ji n n n n r j i⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 ())(C j iP j i E E CE E ji n n n n r ji⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 由此可见这六类广义初等矩阵之间的关系：⎪⎪⎭⎫⎝⎛j i P ()j i P '=，()i D P )(＝())(D i P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛j C i P )(＝())(C i j P ．广义初等矩阵的转置：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'j i P ＝()j i P ，()j iP '＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P ；()()i D P i D P )()('='，()())()(D i P D i P '='；⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'i C j P j C i P )()(，()())()(C i j P C j i P '='．广义初等矩阵的逆：广义初等矩阵的行列式不为零，故可逆，且()j i P j i P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-j i P j iP 1；()()i D P i D P )()(11--=，()())()(11--=D i P D i P ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-j C i P j C i P )()(1，()())()(1C j i P C j i P -=-．广义初等变换与广义初等矩阵间的关系：对分块矩阵施行一次广义初等行变换相当于在其左边乘上一个相应的广义初等矩阵；对分块矩阵施行一次广义初等列变换相当于在其右边乘上一个相应的广义初等矩阵．注: ① 这里相应的广义初等矩阵是指将所作初等变换作用到分块单位矩阵上所得到的广义初等矩阵.此结果的证明与数字矩阵相应结果的证明相仿. ② 对应于n m ⨯数字矩阵A 的分块矩阵s tm m m n st t t n s n s nm A A A A A A A A A A }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯,n n m m t j j s i i ==∑∑==11,,相应的分块单位矩阵有两个,它们是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s m m m m E E E E21和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t n n n n E E E E21.对A 施行一次广义初等行变换,等于在A 的左边乘上一个由m E 经过相应的广义初等行变换得到的广义初等矩阵；对A 施行一次广义初等列变换相当于在其右边乘上一个由n E 经过相应的广义初等列变换得到的广义初等矩阵.③ 数字矩阵的初等变换和初等矩阵是广义初等变换和广义初等矩阵的特例,广义初等变换可以用若干次数字矩阵的初等变换来实现,所以在数字矩阵的初等变换下矩阵的不变性质在广义初等变换下也不变.例2 A 是n s ⨯实矩阵，证明：秩-'-)(A A E n 秩s n A A E s -='-)(．证明： 构造矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=n sE A A EB ，下边用两种方法化为对角分块矩阵求秩． 用s E 将A '和A 化为０，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-A A E E E A E E A A E E A E n sn s n s n s0000，所以秩=)(B 秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-A A E E n s0秩+)(s E 秩+='-s A A E n )(秩)(A A E n '-．用n E 将A '和A 化为０，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n s n sn s n s E A A E E A E E A A E E A E 0000，所以 秩=)(B +n 秩)(A A E s '-．比较上两式即得： 秩-'-)(A A E n 秩s n A A E s -='-)(．例３ C B A ,,是同阶方阵，证明Frobenius 不等式：秩+)(B 秩≥)(ABC 秩+)(AB 秩)(BC ．证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000AB BC B ABC AB B ABC B， ∴秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ABC B0秩⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0AB BC B ． 而 秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ABC B0秩+)(B 秩)(ABC ， 秩⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0ABBC B≥秩+)(AB 秩)(BC -＝秩+)(AB 秩)(BC ①． 所以： 秩+)(B 秩≥)(ABC 秩+)(AB 秩)(BC ．① 秩≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛0C B A 秩+)(B 秩)(C 的证明：设 秩1)(r B =,秩2)(r C =，则B 中有一个1r 级子式1B 不为0，C 中有一个2r 级子式1C 不为0．于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0C B A 中由11,C B 所在的行和列确定的21r r +级子式不为0，所以秩=+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛210r r C B A 秩+)(B 秩)(C ．对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A BC A B A CB 0,0,0的分块矩阵也有类似的结果．一般地，对三角形分块矩阵此结论亦然．比如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛rr r r A A A A A A21222111的秩∑=≥ri iiA 1）秩（（三角形分块矩阵的秩大于等于其主对角线上块的秩之和）．3 标准单位向量n 维列向量j e j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100 行 n j ,,2,1 =称为（第j 个）n 维标准单位向量．基本性质： 设()nm ija A ⨯=的行向量组为m ααα,,,21 ，列向量组为n βββ,,,21 ．１、⎩⎨⎧≠==='j i ji e e ij j i 01δ；2、i i A e α='，j j Ae β=，ij j i a Ae e ='； 由此，再利用分块矩阵的乘法规则可得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''r r i i i i i i A e e e ααα 2121，()()t t j jj j j je e e A βββ 2121= (1)()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''t r j j j i i i j j j i i i A e e e A e e e t r 21212121 (2)上述基本性质表明，可以利用标准单位向量将矩阵A 的任意一行、任意一列、任意一个元素、任意一个子矩阵用A 与标准单位向量的乘积表达出来，这对很多问题的讨论将带来帮助．通过以下几个例子能体会到这一点．例４ 设A 是n m ⨯矩阵，证明：若对任意n 维列向量x ，恒有0=Ax ，则0=A ． 证明 由已知，对标准单位向量n e e e ,,,21 ，有0=j Ae n j ,,2,1 =，而j j Ae β=是A 的第j 个列向量，即A 的每个列向量均为0，故0=A ．例５ 若对任意n 维列向量x ，恒有0='Ax x ，则A 是反对称矩阵．证明 取i e x =，则ii i i a Ae e ='=0 n i ,,2,1 =．再取j i e e x +=（j i ≠），则有ji ij i j j i j i j i a a Ae e Ae e e e A e e +='+'=+'+=)()(0，所以ji ij a a -=．总之A 是反对称矩阵．例６ 证明：与任意n 阶可逆矩阵可交换的矩阵必是数量矩阵．证明 设()nn ij a A ⨯=与任意可逆矩阵可交换，其行向量组和列向量组分别是nαα,,1 和n ββ,,1 ．取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n e e e ne e e n B2121221则BA AB =，即()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n αααβββ 212122比较等号两端矩阵的),(j i 元可得ij ij ja ia =，所以当j i ≠时，0=ij a ，即A 的主对角线以外的元素均为0，故A 为对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a A2211()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==n nn n nn e a e a e a e a e a e a 222111222111．取()n j i j i j i e e e e e e e e P 11111+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''=+-+-n j i j i j i e e e e e e e e 11111),(j i P =则PA AP =，由(1)式即得()n nn j j j i ii j j j i i i j jj i i i e a e a e a e a e a e a e a ea111111111111111+++---+++---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''=+++---+++---n nn j j j i ii j j j i i i j jj i i i e a e a e a e a e a e a e a e a111111********* 比较等号两端矩阵的),(j i 元可得jj ii a a =，即nn a a a === 2211，所以E a A 11=是数量矩阵．例７ 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯0001n n n EA ，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000k n k E A 1,,2,1-=n k ，0=nA．证明 ()032ne e e A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''=-1210n e e e ，对k （11-≤≤n k ）作归纳： 1=k 时，结论自然成立．假设m k =时结论成立（11-<≤n m ），即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000m n mEA ()0021 n m m e e e ++=． 考虑1+m 的情况，有=+1m A()()003232n m m m n m e A e A e A e e e A =．由性质２，j me A 是mA 的第j 个列向量，所以()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+-+++00000)1(321m n n m m m E e e e A． 又：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-00000000001111A e A e A EA AA n n （A e 1'是A 的第一个行向量故为０）．例8 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0001100001000100101 n E A 叫n 阶基础循环矩阵．证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00k k n k E E A ，1,,2,1-=n k ；n nE A=．证明 ()121-=n ne e e e A ，由本节性质２，有n e Ae =1，1-=j j e Ae n j ,,3,2 =． （*） 下边对k （11-≤≤n k ）作归纳： 1=k 时，结论自然成立．假设结论对1-k 成立（111-<-≤n k ），即 ()121321)1(100+-+-+-----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k n n k n k n k k n k e e e e e e E E A． 由分块矩阵的乘法及（*），()121321+-+-+--==k n n k n k n k k e e e e e e A AA A()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---+-+-0021121k k n k n nn k n k n E E e e e e e e e ． 由（＊）()()n n n n n n n E e e e e e e e e A E A AAA ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---12113211010 ． 上边例７、例8的结果是应该熟悉的结果．例９ 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---14322154312211321c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C nn n nn n的矩阵叫循环矩阵．证明：两个循环矩阵的乘积仍是循环矩阵．证明 C 是循环矩阵当且仅当⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-----01000000101221223121n n n n n n n E c E E c EE c E c E c C ． 利用上题结果，此式可写为11211213121010010010010-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E c E c E c E c E c C ．如果D 是另一个循环矩阵，由上可知D 亦可表为11211213121010010010010-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E d E d E d E d E d D ．由上题结果，CD 形如11211213121010010010001-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E b E b E b E b E b CD ，可见CD 是循环矩阵．例10 形如=F ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------121100010001000a a a a n n n的矩阵叫Frobenius 矩阵．(1) 求kF ，这里n k ≤≤2；(2) 证明：对满足n s <≤1的任意正整数s ，以及任意1+s 个不全为０的数s b b b ,,,10 ，均有00111≠++++--E b F b F b F b s s s s ．解 (1) ()αn e e e F 32= ，其中()'---=-11a a a n nα．由基本性质２1-=i i Fe e n i ,,3,2 =，n Fe =α (1)又： ,)(,)(,4312133211221e Fe e F F e F e Fe Fe F e F e Fe =======，如此可得11e F e i i -= n i ,,3,2 =． (2) 设()n kF βββ 21=，则111)1()()(---====j j k j k j kj Fe e F F Fe F e F βn j ,,3,2 =． (3)又：当n k =时，αβ)1()2(1111)(====-n n nFe e FF e F , (4)当1-≤n k 时，1)2(11+==k ke e F β． (5) 于是，当k 给定后，先由(4)或(5)求得1β，再由(3)逐个求得n βββ,,,32 ，从而得到()n k F βββ 21=．(2) 令E b F b F b A ss 01+++= ，下边证明A 有一个列不为０．101111111Ee b Fe b e F b e F b Ae s s s s ++++=--()00010102111)2(≠'=++++=-+ s s s s s b b b e b e b e b e b即A 的第一列01≠Ae ，故0≠A ．标准单位向量的定义及结论虽然简单，但在矩阵问题的处理中，却是不可忽视的基本功．。
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
分块矩阵的概念及运算
19
2.3.3 分块初等阵
分块单位阵 一次初等变换 分块初等阵
Em
En
(1)
0 Em
En 0
或
0 En
Em 0
换法:
倍法:
(2)
P 0
0 En
或
Em 0
0 P
消法:
(3)
Em K
0 En
或
Em 0
K En
20
对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵：
30
例5
1 x1 y1
计算 x2 y1
x1 y2 1 x2 y2
x1 yn x2 yn
解
1 x1 y1 x1 y2 x2 y1 1 x2 y2
xn y1 xn y2
xn y1
xn y2
x1 yn
x1 y1
x2 yn
En
x2
y1
1 xn yn
xn
y1
1 xn yn
x1 y2
x1 yn
1.
3A AB
0 5B
3A 5B
33 A (5)3 B 234 53
2.
0 AB
3A 5B
(1)33
3A 5B
0 AB
(1)33
3A
AB
33 A (1)3 A B 235
14
尤其要注意 AmpBpn 0 时的特殊情况:
*例4
AB A(B1, B2 , , Bn ) A为一子块
(AB1, AB2, , ABn)
A21
A12
A22
a31 a32 a33 a34
特殊 A ——视为一个子块
第五讲矩阵的分块、矩阵的初等变换.
第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换教学目的：1. 介绍矩阵分块时的代数运算；2.讲解矩阵的初等变换及其应用;教学内容：第二章矩阵§2.3分块矩阵；§2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：§2.3 分块矩阵把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的 运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。
A11A21、矩阵的分块：定义2.9 用一些纵、 各个小矩阵称为 分块矩阵, 横虚线将矩阵 A 的子块。
A 分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为其中 A11也可以按行分块: 或按列分块: an A21A22a 21am1 a 11 a12 a 1na21 a22a2nA A 2am1am2amna 12 a 22 a m2a 1n a 2namnB B 2B n、分块矩阵的运算：对分块矩阵进行运算时, 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,但应保证运算的可行。
重点是初等变换的过程和应用A 221.分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:A 11 A 12 A1rB11B 12 B1rA21A22A 2r,B21 B22B 2r，A 21JB 21As1As2AsrBs1Bs2Bsr其中每一 A ij 与 B ij 的规格都对应相同，则规定加法为：AA 11 A21B 21B11 B21A 12B 12 A22 B22A 1rA2r B1rB 2r；；(2.26)As1Bs1As2Bs2AsrB srA11 A 12A1r设 为数，则规定数乘为：AA21A22A 2r；；(2.27)As1As2AsrA 1T 1A 2T 1A s T 1此外，规定转置为：A TA 1T 2 A 2T 2A s T 2。
(2.28)A 1T rA 2T rA s T r2.分块矩阵的乘法：定义2.11 设A 是mn 矩阵， B 是np 矩阵。
分块矩阵及其运算
线
0 B22 性
代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
乘法
线 性
Am×n , Bn× p , 设对A关于列的分法与对B关于行的分法 相同, 分别得分块矩阵 A11 A 21 A= Ar1 A12 A22 Ar 2 A1t B11 B A2t , B = 21 Art Bt1 B12 B1s B22 B2 s Bt 2 Bts
A22
A11 = Amm
n n
ij
A22
n
n Amm
ij
线 性 代 数
其中A (I=1,2,…,m) ,m)均为方阵 其中Aii(I=1,2,…,m)均为方阵
例 1 . 13 . 设 A = ( a 则 Ab 的第 j 列为 )
m × n
, B = (b
线 性 代 数
k 0 kA = 0 0
0
k
k 2k 0 k 0 0
7 1 14 2 AB = 6 3 0 2
3k 2 2 2 1 4k , A+ B = 6 3 0 k 0 2 1 3 2 4 1 0 0 1
1 3 2 4 0 0 0 0
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1 1 2
线 性 代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
例
设A,C分别为n阶和m阶可逆方阵，试证明：
0 矩阵X = C A 0 C 1 也可逆, 且X 1 = 1 0 0 A
线
B1 1 解： X = 设 B 3
B2 AB3 1 , XX = CB B4 1
第四节 分块矩阵
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
上页 下页 返回 结束
3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
上页 下页 返回 结束
A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
上页 下页 返回 结束
例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
上页
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返回
结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
矩阵的运算和分块
矩阵的运算和分块矩阵：数域 F 上 m ∗n 个数构成的数表。
虽然它只是⼀个数表，但这组数可以赋予多个不同的含义，如向量，⽅程系数，线性变换等，理解的⾓度不同，矩阵的运算便代表不同的含义。
单纯来看矩阵，其实就是⼀种书写⼿法，正是赋予了相应地运算，才能够使其具有⼀定地表现⼒。
1. 下⾯介绍下矩阵定义了哪些基本运算。
1）加减运算：两个 m ×n 的矩阵 A =(a ij ),B =(b ij )，两个必须为同型矩阵，它们的加法规定为(A +B )ij =a ij +b ij2）数乘运算：数 k 与矩阵 A 的乘积，记为 Ak 或者 kA ，规则为(kA )ij =(Ak )ij =ka ij3）矩阵转置：把矩阵 A 的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，称为 A 的转置矩阵，其规则为A T =(a ji )4）矩阵相乘：设矩阵 A =(a ij )ms ,B =(b ij )sn ，两个矩阵不必为同型矩阵，其乘法运算规定为AB =s∑k =1aik b kjm ×n以 k 来遍历，对于 A 矩阵，k 遍历第 i ⾏的每⼀个元素，对于 B 矩阵，k 遍历第 j 列的每⼀个元素，由于使⽤⼀个计数变量 k ， 故相乘的两个矩阵必须满⾜前⼀个矩阵的列数等于后⼀个矩阵的⾏数。
第 i ⾏第 j 列的内积和作为结果矩阵第 i ⾏第 j 列的值。
这样规定矩阵的乘法后，发现它具有很多合理性： 1）满⾜结合律：ABC = A (BC ) 2）满⾜分配律：A (B +C ) = AB +AC 但是不满⾜交换律，即 AB ≠BA 。
是不是很神奇，下⾯我们对结合律做⼀个证明： 设矩阵 A =(a ij )mn ,B =(b ij )np ,C =(c ij )pq ，则(ABC )ij =p∑k =1(AB )ik C kj =p∑k =1n∑l =1A il B lk C kj =p∑k =1n∑l =1A il B lk C kj=n ∑l =1p∑k =1A il B lk C kj=n∑l =1A il p∑k =1B lk C kj=n∑l =1A il (BC )lj =(A (BC ))ij注：理解连续求和，需要从外向内解读，相当于嵌套的 for 循环。