2-3 分块矩阵及其运算.ppt
2-3分块矩阵及其运算
A11 (4 ) 设 A = M As1
L Ar 1 M , L Asr
T T A11 L As1 M . 则 AT = M AT L AT sr 1r
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即
1 0 4 2
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
B11 = A1 B11 + B21
B11 AB = A1 B11 + B21
数k乘矩阵 A, 需k乘A的每个子块
若A与 B相乘 , 需A的列的划分 与 B 的行的划分相一致
−1
证明A可逆, 并求A . 证 由B , C可逆, 有 A = B C ≠ 0, 得A可逆. X Z −1 B D X Z E 设 A = , 则 = W Y 0 C W Y 0 BX + DW = E , X = B −1 , BZ + DY = O , Y = C −1 , ⇒ ⇒ CW = O , Z = − B −1 DC −1 , CY = E . W = O.
分块矩阵课件
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分块矩阵的基本运算
分块矩阵的基本运算包括加法、数乘、乘法等。分块矩阵的加法运算，要求分块矩阵对应的子块对齐，然后对应元素相加；数乘运算，要求数乘每一个元素；乘法运算，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，且左矩阵在非主对角线上的子块皆为零矩阵，右矩阵在主对角线上的子块都是方阵。
2.3 分块矩阵
AX 2 Em AX1 CX BX CX BX 0 3 2 4 1
AX 1 E m , AX 2 0, CX 1 BX 3 0, CX 2 BX 4 E n ,
X1 A1 , X 2 0, 1 1 X B CA , 3 1 X B , 4
矩阵的分块
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容易验证还有 XD Em n . 因此
1 A 0 1 D 1 1 . 1 B B CA
这个结果可以作为公式使用.
矩阵的分块
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应用待定wk.baidu.com数法同样可证: 分块对角矩阵
A1 A
A11 A1
1 0 0 0 0
0 1 0 , 0 0
E2 0 B1 E 2 解 A , B , 0 A1 E3 E3 B 的行与 A 的列的分块法要一致, 但 B 的列可任意分.
矩阵的分块
14/24
其中 于是
1 2 A1 1 1 , 2 0
在矩阵 A的行之间加入s1条横虚线、列之间加入t1条
竖虚线将其分成st个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块, 把 A 视为以子块为元的 s t 矩阵, 称之为 s t 分块矩阵.
A11 A 21 A As1
分块矩阵的概念及运算
处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小
矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的 子块.
定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵.
1
常用分块方式
分成四块.例如:
a11 a12 a13 a14
A a21
a22
a23
a24
A11
A21
A12
A22
a31 a32 a33 a34
特殊 A ——视为一个子块
aij ——视为一个子块
2
按列分块.例如:
a11 a12 a13 a14
A a21
a22
a23
a24
1
2
3
4
a31 a32 a33 a34
按行分块.例如:
a11 a12 a13 a14 1
A a21
a22
a23
a24
2
a31 a32 a33 a34 3
3
分块对角矩阵
A1
A
A2
As
分块三角矩阵
A1
*
A
A2
*
As
4
2.3.2 分块矩阵的运算
加法: 原矩阵同形且分块方式相同
A B ( Aij )st (Bij )st ( Aij Bij )st
线性代数 §4 矩阵分块法.ppt
例
a
A
0 1
0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
B1 B2 B3
,
即
a
A
0 10
1 a
0 1
0 0
b 1
0 0
b1
B1 BB32
a 1 0 0
A
0 1
0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
C1 C3
C2 , C4
a 1 0 0
即
A
0 1
a 0
0 b
0
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似
(1) 加法 同型矩阵,采用相同的分块法 (2) 数乘 数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块 (3) 乘法
若A与B相乘,需A的列的划分与B的行划分相一致
(4) 转置
A
A11
(1) (加法) 设矩阵A与B的行数相同,列数相同, 采 用 相 同 的 分 块 法, 有
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
A
B
A11
第五讲矩阵的分块、矩阵的初等变换.
第五讲 矩阵的分块、矩
阵的初等变换
教学目的：
1. 介绍矩阵分块时的代数运算；
2.
讲解矩阵的初等变换及其应用;
教学内容：第二章矩阵
§2.3分块矩阵；
§2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：
§2.3 分块矩阵
把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，
用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小
矩阵的 运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。
A
11
A
21
、矩阵的分块：
定义2.9 用一些纵、 各个小矩阵称为 分块矩阵, 横虚线将矩阵 A 的子块。
A 分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为
其中 A
11
也可以按行分块: 或按列分块: an A
21
A
22
a 21
a
m1 a 11 a
12 a 1n
a
21 a
22
a
2n
A A 2
a
m1
a
m2
a
mn
a 12 a 22 a m2
a 1n a 2n
a
mn
B B 2
B n
、分块矩阵的运算：
对分块矩阵进行运算时, 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,
但应保证运算的可
行。
重点是初等变换的过程和应用
A 22
1.分块矩阵的加法、数乘、转置：
定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:
A 11 A 12 A
1r
B
11
B 12 B
1r
A
21
A
22
A 2r
,
B
21 B
22
B 2r
，
A 21
J
B 21
A
s1
A
s2
A
sr
B
s1
B
s2
B
sr
其中每一 A ij 与 B ij 的规格都对应相同，则规定加法为：
A
A 11 A
21
B 21
B
11 B
21
A 12
B 12 A
22 B
22
A 1r
A
2r B
1r
B 2r
；
；
(2.26)
分块矩阵ppt课件
A1r
A1T1
, 则AT (AT)T
Asr
ij
A
T 1r
A
T s1
.
AsTr
分外层、内层双重转置
说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵 元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。
特别地，对于列分块矩阵：
A
T 1
A(A 1, A 2,, A t) A T
A
T t
二、一些特殊的分块矩阵
2、分块数乘 设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义
kA kkAlst
3、分块乘法 设A是m×l阶矩阵，
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
44(43)112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运2算 2(2： 1)12 子块2运 2(2 算 1)： 22220 合计32次
4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是s×r 阶分块矩阵
A11 A
r
C uw A uB vvw (u1 , ,s;w 1 , ,t) v 1
2.3矩阵的分块
, 则 A = ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ).
二、分块矩阵的运算 与普通矩阵的运算规则相类似． 与普通矩阵的运算规则相类似．
(1) 设矩阵 A与B是同类型的矩阵 , 采用相同的分块 , 有 A11 ⋯ A1r B11 ⋯ B1r A= ⋮ ⋮ , B = ⋮ ⋮ , 其中 Aij 与 Bij 的行数 A ⋯ A B ⋯ B sr sr s1 s1
3 1 故 AB = 0
−2 2 5
− 2 − 2 3
1 0 例 2 用矩阵分块的方法 , 求 A = 0 −1
0 1 −1 0
0 1 1 0
1 0 0 1 A= 0 −1 −1 0
0 1 1 0
1 0 A11 A12 1 0 = 其中A11 = , 0 A21 A22 0 1 1 0 1 0 −1 1 0 A12 = , A21 = −1 0 , A22 = 0 1 1 0
A11 分法(1)记为A = A21
a11 A12 , 其中 A11 = a A22 21
a12 a14 a A12 = 13 a 22 a23 a24
A21 = (a31 ,a32 ), A22 = (a33 , a34 ) 即 A11 , A12 , A21 , A22 为 A 的子块