《线性代数》分块矩阵
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线性代数A 分块矩阵
11
例2
设有n阶矩阵 A = 0 In-1 , 求证: An = O.
0 0T
课后思考题：
设 A是nn矩阵, 若线性方程组 Ax=b 对于任意的 bRn 都有解, 则 A 一定是可逆矩阵.
例3
设方阵 A 有分块
A11 O
O A22
， 其中 A11 是 k k 矩阵,
A22是 s s 矩阵, 求证：方阵 A可逆当且仅当A11 、A22 都可逆,
x1
列向量的线性组合
A x = ( a1, …, an ) :⸽ = a1 x1+ … + an xn = x1 a1 + … + xn an
xn
(2) 进一步 ，取 ei = ( 0, …,0, 1, 0, …, 0 )T, 则
A ei = ai ; ei TA = ? ; ei TA ei = ?
A2k …
As1 As2 … Ask
B11 B12 … B1l
B=
B21 B22 … …… …
B2l …
Bt1 Bt2 … Btl
若 k=t 并且 Aij 的列数等于 Bjp 的行数，则
C11 C12 … C1l
AB =
C21 …
C22 … ……
C2l …
Cs1 Cs2 … Csl
k
其中 Cij = Ai1B1j + Ai2B2j +…+ AikBkj = AiqBqj q =1
线性代数 矩阵 第4节 分块矩阵
第二章 矩阵与行列式
§2.4 分块矩阵
§2.4 分块矩阵 一. 基本概念 分块矩阵(partitioned matrix)
1 0 0 3 6 0 1 0 2 5 0 0 1 1 4 1 4 7 0 0 2 5 6 0 0
E3 B = C O2
第二章 矩阵与行列式
§2.4 分块矩阵
二. 常用的分块法 a11 a12 … a1n 1. a21 a22 … a2n A= am1 am2 … amn … … … a11 a21 am1 a12 a22 a1n a2n … amn
A11T A21T A12T A22T 则AT = … … A1rT A2rT
第二章 矩阵与行列式
§2.4 分块矩阵
例如Q = [q1, q2, …, qn], q11 q12 q1n q21 q22 q2n , …, qn = , 其中q1 = , q2 =
…
…
qn1 q1T q2T q nT …
则 A =
A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r
… … … … As1 As2 … Asr
.
第二章 矩阵与行列式
§2.4 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为ml矩阵, B为l n矩阵, 将它们分块如下 A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= , … … … … As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 则AB = … … … … , 其中Cij = AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
§2.4 分块矩阵
§2.4 分块矩阵 一. 基本概念 分块矩阵(partitioned matrix)
1 0 0 3 6 0 1 0 2 5 0 0 1 1 4 1 4 7 0 0 2 5 6 0 0
E3 B = C O2
第二章 矩阵与行列式
§2.4 分块矩阵
二. 常用的分块法 a11 a12 … a1n 1. a21 a22 … a2n A= am1 am2 … amn … … … a11 a21 am1 a12 a22 a1n a2n … amn
A11T A21T A12T A22T 则AT = … … A1rT A2rT
第二章 矩阵与行列式
§2.4 分块矩阵
例如Q = [q1, q2, …, qn], q11 q12 q1n q21 q22 q2n , …, qn = , 其中q1 = , q2 =
…
…
qn1 q1T q2T q nT …
则 A =
A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r
… … … … As1 As2 … Asr
.
第二章 矩阵与行列式
§2.4 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为ml矩阵, B为l n矩阵, 将它们分块如下 A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= , … … … … As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 则AB = … … … … , 其中Cij = AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
线性代数B-2.3 分块矩阵s
二、分块矩阵的运算
分块矩阵的运算与普通矩阵的运算 规则类似．
1.分块矩阵的加法
同型矩阵，分法相同，对应子块相加。
设矩阵A与B的行数相同, 列数相同, 采用 相同的分块法, 有
A11 A1r B11 B1r A , B A B A B s1 s1 sr sr 其中Aij 与Bij的行数相同, 列数相同, 那么
其中
Cij Aik Bkj (i1 2 s j 1 2 r)
t
Ai1 B1 j Ai 2 B2 j
k 1
Ait Btj
要求: Ai1 Ai2 Ait的列数分别等于B1j B2j Btj的行数.
A的列的划分与B的行的划分一致．
As
三、两类特殊的分块矩阵
分别称为分块上三角阵或分块下三角阵 同结构的分块上或下三角形矩阵的和、差、积、数乘及逆仍是 分块上或下三角形矩阵。
三、两类特殊的分块矩阵
1 0 0 1 5 O A 1 1 0 1 1 . 于是 A 1 O A 0 2 3 2
例1
则
二、分块矩阵的运算
例2 设
1 0 A 1 1
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
0 1 1 2 B 1 0 1 1
pdf3.3分块矩阵(线性代数)
A11 A21 A= Ar 1
B1 1 B 21 B = B s1
A12 A22 Ar 2
B1 2 B 22 Bs2
A1 s A2 s Ars
B1 t B2t B st
} m1 } m2 } mr
} n1 } n2 } ns
则 A, B作 为 分 块 矩 阵 的 乘 积 是
βs ) = (Aβ1 Aβ2
BC = ( β1
c11 … c1t s = ∑ci1βi βs ) i =1 cs 1 cst
∑cit βi . i =1
s
定义3.1 设A = ( aij ) m × n.在A中任意取定r (1 ≤ r ≤ m ) 个行及 s (1 ≤ s ≤ n ) 个列, 则这些行、列的交叉处的元素按它们原来的 相对位置所构成的r × s矩阵就称为A的一个子块.
k =1
∑ Aik B kj ,
n
直接验证即知，无论对A,B怎样分块，它们作为分块矩 阵的乘积都和原来为分块是的乘积相同，即C=AB
例3.1 设A是一个m × n矩阵, B是一个n × s矩阵, C = ( cij ) .将B按列分块成B = ( β1 β 2
s×t
β s ), 则有
Aβs ),
AB = A(β1 β2
1 2 m j =A j ;
A的 第 i1 , i2 , … , ir 行 构 成 的 子 块 为 a i1 1 a i2 1 ai 1 r a i1 2 a i2 2 a ir 2 … a i1n a i2 n = 块A a ir n ir i1 i2 _______
线性代数课件：2-4分块矩阵
§2.4 分块矩阵 2.4.1 分块矩阵的概念
定义2.4.1 设A是一个矩阵,用贯穿于 的纵线和横线按某种需要将其划分成若干 个阶数较低的矩阵,这种矩阵称为A的子块 或子矩阵,以这些子块为元素构成的矩阵 称为A的分块矩阵.
例如,用一条横线两条纵线把下面的 3×6矩阵A分成6个子块
A 853
0 1 24
2. 分块矩阵的乘法
设矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,用分块矩 阵计算A,B的乘积AB时, 一定要使A的列 的分法与B的行的分法一致,这样不仅可以
， 保证A,B作为分块矩阵可乘,而且它们相 应的各子块间的乘法也有意义,即
，
s1
s2
s
p
n1
n2 nq
A11
A
A21
A12
其中子块和Bi(i=1,2,…,s)为同阶方阵,则 有下述性质：
（1）
A1 B1
A
B
（2）
A1 B1
AB
A2 B2
; As Bs
A2 B2
; As Bs
（3） |A|=|A1||A2|…|As|;
（4） 若|Ai|0(i =1,2,…,s),则
A1
1
A1 1
A2
As
，
，
A11
A
A21
A12
A22
定义2.4.1 设A是一个矩阵,用贯穿于 的纵线和横线按某种需要将其划分成若干 个阶数较低的矩阵,这种矩阵称为A的子块 或子矩阵,以这些子块为元素构成的矩阵 称为A的分块矩阵.
例如,用一条横线两条纵线把下面的 3×6矩阵A分成6个子块
A 853
0 1 24
2. 分块矩阵的乘法
设矩阵A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,用分块矩 阵计算A,B的乘积AB时, 一定要使A的列 的分法与B的行的分法一致,这样不仅可以
， 保证A,B作为分块矩阵可乘,而且它们相 应的各子块间的乘法也有意义,即
，
s1
s2
s
p
n1
n2 nq
A11
A
A21
A12
其中子块和Bi(i=1,2,…,s)为同阶方阵,则 有下述性质：
（1）
A1 B1
A
B
（2）
A1 B1
AB
A2 B2
; As Bs
A2 B2
; As Bs
（3） |A|=|A1||A2|…|As|;
（4） 若|Ai|0(i =1,2,…,s),则
A1
1
A1 1
A2
As
，
，
A11
A
A21
A12
A22
线性代数—分块矩阵
若A与B相乘, 需A的列的划分与 B的划分相一致
(4) 转置
A11 A= ⋮ As1
T T A11 ⋯ As1 ⋯ Ar 1 T ⋮ ⋮ ⇒ A = ⋮ AT ⋯ AT ⋯ Asr sr 1r
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
于是
B11 AB = A1 B11 + B21
1 −1 = −2 −1 0 4 4 1 1 0 3 3
百度文库
A1 + B22 E
0 1 . 3 1
例2
设 A = (a ij ) m× s
B = ( bij ) s×n
如果将矩阵B按列分块为 如果将矩阵 按列分块为
A1 O A2 ⇒ A = A1 A2 ⋯ As . A= ⋱ O As
B11 = A1 B11 + B21
B11 AB = A1 B11 + B21
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
线性代数2.4分块矩阵
M
a24
M a34
A (1,2,3,4 )
特殊的分块方法
1.按行分块：将矩阵的每一行，作为一个子块，记为
a11 a12 L
Amn
a21 M
a22 L M
am1
am2
L
a1n
1
a2n
M
2
M
amn
mn
m
i ai1, ai2,L , ain (i 1, 2,L , m)
1 A
A2 O
A1 A2 L Ar
0
Ar
2
《线性代数》精品课程
Ai是非零方阵
A11
A1
A21
O
0
0
Ar1
3 0 0
例2 设
A
0
4
2
求 A-1
0 1 1
3 0 0
解 将化为分块对角矩阵
A
0
0
4 1
2
1
A11 0
0
A22
A11 3
4 2
A22
1
1
A1 22
• A的按行或按列分块矩阵显示，一个矩阵等 同于它的行向量组，也等同于它的列向量组。
• 因此，如果把有序数组叫做向量，那么，有 序数向量组便是矩阵。
《线性代数》精品课程
线性方程组的向量表示
线性代数1-3__分块矩阵、几种特殊方阵的运算
课堂练习： 1. 设A、B均为n阶上（下）三角矩阵，试证AB也为
n阶上（下）三角矩阵。（书P25第一题）
证明：（不妨证上三角矩阵的情形)
设
a11
A
0
a12 a22
a1n
a
2
n
b11
B
0
b12 b22
b1n
b2
n
0
0
a2 0 0
a3 a 0 0
0 b3 2b
3b2
b23b2021b.
三、分块对角矩阵（准对角矩阵）
形如
A1
0
0
A
0
A2
0
0
0
A
s
其中Ai（i=1，2，…，s）均为方阵，且其余子块
均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或
准对角矩阵。
设A、B均为分块对角矩阵，且
A1
A
A2
B1
B
B2
AS
B
S
则有
《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第一章 1.6
矩阵 A 与 B 相乘得
C11
AB
=
Cs1
C1r
,
Csr
其中
t
Cij Aik Bkj i 1, 2, , s; j 1, 2, , r . k 1
4. 分块矩阵的转置
A11
设
A
=
As1
A1t
,
则
Ast
AT
=
A1T1
A1Tt
AsT1
AsTt
例 1.41 设 5 阶方阵 A 如例 1.40 所示,矩阵
1. 分块矩阵的加法
设 A , B 为同型矩阵,并进行相同的分块法成为
st 分块矩阵
A11
A
=
As1
A1t
B11
,
B
=
Ast
Bs1
B1t
,
Bst
并且子矩阵 Aij 与
Bij i 1, 2, , s; j 1, 2, ,t 也是同型矩阵,那
么它们的和也是 st 分块矩阵,且有
eiT 0,
,1,
,0 1m
i列
去左乘 A ,而把 A 按行分块,即可得 eiT A = A 的
第 i 行.
A11 B11
A
+
B
=
As1 Bs1
A1t B1t
.
C11
AB
=
Cs1
C1r
,
Csr
其中
t
Cij Aik Bkj i 1, 2, , s; j 1, 2, , r . k 1
4. 分块矩阵的转置
A11
设
A
=
As1
A1t
,
则
Ast
AT
=
A1T1
A1Tt
AsT1
AsTt
例 1.41 设 5 阶方阵 A 如例 1.40 所示,矩阵
1. 分块矩阵的加法
设 A , B 为同型矩阵,并进行相同的分块法成为
st 分块矩阵
A11
A
=
As1
A1t
B11
,
B
=
Ast
Bs1
B1t
,
Bst
并且子矩阵 Aij 与
Bij i 1, 2, , s; j 1, 2, ,t 也是同型矩阵,那
么它们的和也是 st 分块矩阵,且有
eiT 0,
,1,
,0 1m
i列
去左乘 A ,而把 A 按行分块,即可得 eiT A = A 的
第 i 行.
A11 B11
A
+
B
=
As1 Bs1
A1t B1t
.
线性代数-分块矩阵
kA1q
kA2q
,
kAp1 kAp2 kApq
即用数k乘一个分块矩阵,只需用数k去乘
， 矩阵的每一子块.
设分块矩阵
，
A11
A
A21
A12
A22
A1q
A2q
,
Ap1 Ap2 Apq
则
AT 11
AT
AT 12
AT 1q
AT 21
AT p1
AT 22
AT p2
k = 1,2,…,p ) 矩阵,矩阵 B 的子块 Bkj 为
sk×nj (k=1,2,…,p; j=1,2,…,q ) 矩阵,且
r
p
q
mi m, si s, ni n.
i 1
i 1
i 1
容易证明
C11 C12 C1q
AB
C 21
C 22
C2
q
,
，
C r1
Cr2
Crq
0
0
A 1
0
a 1 2
0
0
0
a 1 n 1
A 1 2
a
1 n
.
a 1 n
0
0 .
0
例2.4.3 设
D
A C
OB ,
其中 A, B分别为 s 阶、t 阶可逆矩 阵 ,O 为 s ×t 零矩阵, C 为 t ×s 矩阵,
线性代数5.分块矩阵、矩阵的初等变换
行阶梯形矩阵
有限次初等行变换 行最简形矩阵
定理 ：
有限次初等列变换 标准形矩阵
两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的标准形.
25
定理 设A与B为同型矩阵，那么： (1) A与B行等价的充分必要条件是 存在可逆矩阵P，使PA B；
(2) A与B列等价的充分必要条件是 存在可逆矩阵Q，使AQ B；
A1r B1r .
Asr Bsr
4
A11
(2)
As1
A1r A11
Asr As1
A1r
.
Asr
a 1 0 0
例
2
0
a
0
0
1 0 b 1
0
1
1
b
C
2
E
O
B
2C
2E
2O
2B
2C 2E
2a 2 0 0
O
2B
0 2
0
2a 0
0
0 2b 2
3 9
r3 3r2
0
1
0 0
9 2 0
6 1 1
15 3
4
3
r2 r3
r16r3
0
0
9 1 0
9 0 20 01
9
7
4
3 0 9 0 72
线性代数 §4 矩阵分块法
又 A1B11B21 1 11 2 1 10 2 1 1 0 1
3 0
41 2 1
0 1
2 1
4, 1
A 1B 22 11
24 1 2
1 0
A 11 A 1t
A
,
A s1 A st
B 11 B 1r
B
,
B t1 B tr
其A 中 i1,Ai2, ,Ai的 t 列数分 B1j,别 B2j, 等 ,Bij于
的 行 ,那 数末
C11
AB
Cs1
§4 矩 阵 分 块 法
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
(Block matrix)
a 0 1
0 b 1
0 1 b
B E
CO,其中OBEA ab10001
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
线性代数分块矩阵
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
A (a1 ,a2 , ,a n )
E (e1 ,e2 , ,en )
列分块矩阵
1 1 型分块矩阵；
1 3 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 A11 0 1 2 3 O 0 4 5 6 0 7 8 9
1 0 12 0 1 6 0 0 3
0 1 1 2 0 1 r1 (2)r2 6 5 0 0 3 3 0 1 ( 1 )r3 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 2r3 r2 3 0 1 0 1 r1 4r3 0 0 1 1 0 0 3 3
A1 A A3 A2 A4
T A AT 1 T A 2 T A3 T A4
应用
命题
A ei 表示 A 的第 i 列.
证明 AE A (a1 ,a2 , ,a n )
A(e1 ,e2 , ,e n ) ( A e1 , A e2 , , A en )
A A
A A A A A
对调一次 对调一次
B B
B B B B B B
等价
倍乘一次
倍乘一次
倍加一次 倍加一次
等价
A
例1 用增广阵的初等（行）变换解线性方程组
线性代数1.4分块矩阵(崔丽鸿)
Csr
BUCT
Chapter 1 Matrix
【例1.16】设
1 0 0 0
2 2
A
0
1
0
0
,
B
0
0
1 1 1 0
1 1
1
1
0
1
4
5
利用分块矩阵计算AB.
【解】观察两个矩阵的特点，分别将其分块为
Linear Algebra
BUCT
B
a11 a21
bbA121111
aaB121221
b12 b22
a31 Ab3211 aB321 b32
a13 a23
Abb112233
Baa121442
b14 b24
a33 Ab2323 Ba3242 b34
Linear Algebra
Ak diag A1k , A2k ,L , Ask , k为任意整数
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
a 1 0 0
【例1.17】
设
A
0
0
线性代数4.逆矩阵、分块矩阵
证明
A1A E
A1
1
A
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
证明 A ( 1 A1) ( 1 )(AA1) E
A 1 1 A1.
7
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
证明
AB 1 B 1 A 1
AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
30
分块三角形角矩阵的性质
A11 A12
1.
O A
A22
A1S
A2S A11 A22
Ass
OO
Ass
A11 O 2. A A21 A22
AS1 AS 2
O O
A11 A22 Ass
Ass
31
0
| A|
0
0
a1n A11 A21
a2n
A12
A22
amn A1n A2n
0
0
| A | E
| A |
An1
An
2
Ann
a11 a12 A a21 a22
an1 an2
a1n a2n
ann
3
定理：方阵A (aij )nn 可逆的充分必要条件是| A | 0 ，并且
当A可逆时，有 A1 1 A* . | A|
6
2 0 0
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A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
B11 B12
B
B21
B22
Bs1 Bs2
B1t
B2t
Bst
且子块 Ai1 , Ai2 , , Ais 的列数分别等于子块 B1j, B2j , , Bsj
的行数， 则
C11 C12
AB
C21
C22
Cr1
0 0 2 0
A
A11 A21
A12 A22
B
B11 B21
B12 B22
B13 B23
其中
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
B11 15,
B12
2 3
14,
B13 01,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
Cr2
C1t
C2t
Crt
s
其中 Cij Ai1B1 j Ai2B2 j AisΒsj Aik Bkj k 1
(i 1,2, ,r ; j 1, 2, ,t).
例3. 用分块法计算AB ,其中
0 0 5
A
4
2
1
,
0 1 2
解: A,B如上分块
1 2 4 1
B
5
3
1
0
C12 A11B12 A12B22 0
1 0)5 (5)(0) (0)
同理得
10
C13 A11B13 A12B23 （ 0）
14
C21=
5
14 20
C22=
3
3
C23 =
4
0
0 0 10 0
故
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
14 5
14 3
20 3
4 0
5.特殊分块矩阵的乘法
设A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，将B的每一列分 成一个子块，变为列分块矩阵，即
b11 b12
B
b21
b22
bn1 bn2
b1s
b2
s
β1,
β2 ,
bns
, βs ,
此时把A看作只有一块的矩阵，则 Abj (j=1,2,..,n)有意义,从而有
AB A(b1, b2 , , bs ) ( Ab1 , Ab2, , Abs ) .
(验证，见下例.)
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
2 1 0 31
23
8
解： AB 1 2 1 2 3 3
3 1 2 1 0
5
注：用先列后行法
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
Ar2 Br2
A1s B1s
A2s
B2s
Ars
Brs
2 1 0 3
例1.
设有矩阵
A
1
1
2
1
3 2 1 1
1 1 1 1 B 1 1 1 2
2 1 1 2
则
1 A B 0
0 0
1 3
2 3
5 3 0
2.数乘分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
B11 B12
B
B21
B22
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
Aij , Bij (i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s) 都是同型矩阵，则
A11 B11
A
B
A21
B21
Ar1
Br1
A12 B12 A22 B22
3
A1s
A2s
Ars
用数k乘分块矩阵 A，等于用数k乘矩阵A的每一个子块，即
kA11 kA12
kA
kA21
kA22
kAr1
kAr2
kA1s
kA2s
kArs
3.分块矩阵的转置
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
是一个r×s型分块矩阵，它的转置是一个s×r型分块矩阵：
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
如果按行分块
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
α1
α2
amn
α m
称为行分块矩阵，其中 αi (ai1, ai2 , , ain )
4.2 分块矩阵的运算
1. 分块矩阵的加法 设A,B都是n×m矩阵，用相同的分法将A,B分块为
A11 A12
A
A21
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2Baidu Nhomakorabea
2 4 1
0 0 1
A11 A21
3 1 2 1 0
23 1 1 2
31 2
2 3 -2 1 2 3 1 -1
2 3 -3 1 2 31 0
注：用先列后行法
作业：83页 16(1)；30
明月本无价，
高山皆有情。
愿同学们的学习、生活、 前途就像十五的月亮一 样，圆圆满满！
2 1 0 31
23
8 7
解： AB 1 2 1 2 3 3 0
3 1 2 1 0
5 7
注：用先列后行法
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
5 7 9
23 即 AB 1 2 1 2 3
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
4 1 2
1 2 0
A11 A21
A12 A22
,则
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
0 4 1
1 1 2
0
2
0
4.分块矩阵的乘法 设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，对A,B分块
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0