《线性代数》分块矩阵

A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
4 1 2
1 2 0
A11 A21
A12 A22
,则
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
0 4 1
1 1 2
0
2
0
4.分块矩阵的乘法 设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，对A,B分块
3
A1s
A2s
Ars
用数k乘分块矩阵 A，等于用数k乘矩阵A的每一个子块，即
kA11 kA12
kA
kA21
kA22
kAr1
kAr2
kA1s
kA2s
kArs
3.分块矩阵的转置
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
是一个r×s型分块矩阵，它的转置是一个s×r型分块矩阵：
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
B11 B12
B
B21
B22
Bs1 Bs2
B1t
B2t
Bst
且子块 Ai1 , Ai2 , , Ais 的列数分别等于子块 B1j, B2j , , Bsj
的行数， 则
C11 C12
AB
C21
C22
Cr1
Cr2
C1t
C2t
Crt
s
其中 Cij Ai1B1 j Ai2B2 j AisΒsj Aik Bkj k 1
(i 1,2, ,r ; j 1, 2, ,t).
例3. 用分块法计算AB ,其中
0 0 5
A
4
2
1
,
0 1 2
解: A,B如上分块
1 2 4 1
B
5
3
1
0
C12 A11B12 A12B22 0
1 0)5 (5)(0) (0)
同理得
10
C13 A11B13 A12B23 （ 0）
14
C21=
5
14 20
C22=
3
3
C23 =
4
0
0 0 10 0
故
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
14 5
14 3
20 3
4 0
5.特殊分块矩阵的乘法
设A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，将B的每一列分 成一个子块，变为列分块矩阵，即
b11 b12
B

b21
b22
bn1 bn2
b1s
b2
s
β1,
β2 ,
bns
, βs ,
此时把A看作只有一块的矩阵，则 Abj (j=1,2,..,n)有意义,从而有
Ar2 Br2
A1s B1s
A2s
B2s
Ars
Brs
2 1 0 3
例1.
设有矩阵
A
1
1
2
1
3 2 1 1
1 1 1 1 B 1 1 1 2
2 1 1 2
则
1 A B 0
0 0
1 3
2 3
5 3 0
2.数乘分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1 Ar2
2 1 0 31
23
8 7
解： AB 1 2 1 2 3 3 0
3 1 2 1 0
5 7
注：用先列后行法
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
5 7 9
23 即 AB 1 2 1 2 3
3 1 2 1 0
23 1 1 2
31 2
2 3 -2 1 2 3 1 -1
2 3 -3 1 2 31 0
注：用先列后行法
作业：83页 16(1)；30
明月本无价，
高山皆有情。
愿同学们的学习、生活、 前途就像十五的月亮一 样，圆圆满满！
A22
Ar1 Ar2
A1s
A2s
Ars
B11 B12
B
B21
B22
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
Aij , Bij (i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s) 都是同型矩阵，则
A11 B11
A
B
A21
B21
Ar1
Br1
A12 B12 A22 B22
AB A(b1, b2 , , bs ) ( Ab1 , Ab2, , Abs ) .
(验证，见下例.)
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
2 1 0 31
23
8
解： AB 1 2 1 2 3 3
3 1 2 1 0
5
注：用先列后行法
23 例4．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB.
0 0 2 0
A
A11 A21
A12 A22
B
B11 B21
B12 B22
B13 B23
其中
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
B11 15,
B12
2 3
14,
B13 01,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
如果按行分块
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
α1
α2
amn
α m
称为行分块矩阵，其中 αi (ai1, ai2 , , ain )
4.2 分块矩阵的运算
1. 分块矩阵的加法 设A,B都是n×m矩阵，用相同的分法将A,B分块为
A11 A12
A
A21