矩阵的分块及应用
§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
4.5矩阵的分块
3 A 1 2 A*
2
A n A
解 3A1 2 A*
A* A n1
1 A1 2 A* 3
1 A* 2 A* 3A
A 1 A * 注意A 1和A*互化！ A
4 A* 3
4 3
3
A*
64 27
1 2
2
C2t
Crt
s
其中 Cij
Aik Bkj .
k 1
把A，B的子块看成元素，按矩阵乘法法则进行运算。
分块对角阵（准对角阵）（P186第一段） 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式
A11 0
0
A
0 0
A22 0
0
0
0 0 0 Ass
它的特点就是：主对角线上的子块是全是方阵， 其它子块全是零矩阵，则称A为分块对角矩阵或 准对角矩阵。
B22
Br1 Br2
B1s
B2
s
Brs
A11 B11 A12 B12
则
A
B
A21
B21
A22 B22
Ar1 Br1 Ar2 Br2
A1s B1S
A2s
B2S
Ars Brs
注意：对应子块相加，相减。
又 A = 5 3 1 =5 0，故A可逆，由 21
5 1
1 5
,
3
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用
分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵，通常将行和列分成若干块，每块均为矩阵，因而得名。
分块矩阵在数学和工程领域有广泛应用。
一些应用包括：
1.矩阵求逆：对于大规模矩阵求逆，可以先将矩阵分成较小的块，在每个块的范围内求逆并重新组合。
2.矩阵乘法：矩阵乘法的时间复杂度与矩阵的大小有关，但矩阵块的大小也会影响乘法的效率。
分块矩阵可以提高矩阵乘法的效率。
3.矩阵分解：对于某些特定类型的矩阵，如对称正定矩阵和稀疏矩阵，分块矩阵分解可以有效地降低计算复杂度。
4.图像处理：分块矩阵可以用于图像处理中的分块压缩和离散余弦变换等算法，以提高图像处理的效率和质量。
5.结构力学：分块矩阵广泛应用于结构力学和有限元方法中，可以描述复杂的结构系统和分析结构系统的动态行为。
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
高二数学矩阵的分块
kA11 kA1r kA kA kA sr s1
例
k 3,
1 A 3 4
2 2 5
3 1 6
1 3 3 A 3 3 4 3
2 3 2 3 5 3
3 3 1 3 6 3
其 中Ai 1 , Ai 2 , , Ais的 列 数 分 别 等 于 B1 j , B2 j , , Bsj的 行 数 。 那么 C11 C1r
AB C r1
ik
C rs
其 中C ij
A
k 1
t
Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
1 a 1 1 1 a 0 1
0 B 0 1 B2 b B3 b 0 0 C1 1 C3 b 0 C1 a0 0 0b 1 C3 0 0 1 1 0 0 b 1 10
C2 , C4
11
1s
rs
rs
T A A1 s 则 A . A A
T 11 T
T
r1
T
rs
注:
大块小块一起转。
T
A11 A12 例 A A 21 A22 (5) 分块对角矩阵 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块
O A . 1 O D C A B
(2) 由(1)可得
A O 1 XYZ A D C A B, 1 O DC A B
XYZ X Y Z ,
而 X Z 1,
A B A D C A1 B . C D
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换及其应用一、引言分块矩阵作为矩阵的一种特殊形式，具有重要的数学应用。
在线性代数中，我们学习到了矩阵的初等变换，它们是一类重要的矩阵操作，可以通过一系列的行变换和列变换来改变矩阵的形态。
而分块矩阵的初等变换则是在分块矩阵中进行的一种特殊的操作，本文将详细介绍分块矩阵的初等变换及其应用。
二、分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换是指对分块矩阵进行一系列的操作，包括交换分块的位置、对某个分块进行乘法变换和加法变换等。
这些操作可以通过矩阵的行变换和列变换来实现。
1. 交换分块的位置交换分块的位置是指将分块矩阵中的两个分块进行位置交换。
这种操作可以通过交换两个分块所在的行或列来实现。
2. 对某个分块进行乘法变换对某个分块进行乘法变换是指对分块矩阵中的某个分块进行乘以一个非零标量的操作。
这种操作可以通过将分块矩阵中对应的行或列乘以一个非零标量来实现。
3. 对某个分块进行加法变换对某个分块进行加法变换是指对分块矩阵中的某个分块进行加上另一个分块的操作。
这种操作可以通过将分块矩阵中对应的行或列加上另一个分块所在的行或列来实现。
三、分块矩阵的应用分块矩阵的初等变换在数学和工程领域中有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的应用场景。
1. 线性代数中的矩阵运算在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行运算，如求逆矩阵、求特征值等。
分块矩阵的初等变换可以简化这些运算的过程，使得计算更加简便和高效。
2. 线性方程组的求解线性方程组的求解是数学中的一个重要问题。
分块矩阵的初等变换可以通过行变换和列变换将线性方程组转化为简化的形式，从而更容易求解。
3. 矩阵的相似性在矩阵的相似性中，我们经常需要对矩阵进行相似变换。
分块矩阵的初等变换可以通过对分块矩阵进行相似变换，从而得到相似的简化矩阵。
4. 矩阵的分解矩阵的分解是数学中的一个重要问题，可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
分块矩阵的初等变换可以通过对分块矩阵进行分解，从而得到更简化的形式。
分块矩阵的原理和应用
分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。
分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。
这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。
分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。
1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。
在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。
1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。
在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。
这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。
2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。
2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。
通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。
2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。
2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。
通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。
3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
第五讲矩阵的分块、矩阵的初等变换.
第五讲 矩阵的分块、矩阵的初等变换教学目的：1. 介绍矩阵分块时的代数运算；2.讲解矩阵的初等变换及其应用;教学内容：第二章矩阵§2.3分块矩阵；§2.4初等变换与初等矩阵; 教材相关部分：§2.3 分块矩阵把一个规格较大的矩阵划分成若干小块，用分块方式来处理，把大矩阵的运算转化为小矩阵的 运算，不仅能使运算较为简明，更重要的是使运用微型计算机组合来计算大矩阵成为可能。
A11A21、矩阵的分块：定义2.9 用一些纵、 各个小矩阵称为 分块矩阵, 横虚线将矩阵 A 的子块。
A 分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为其中 A11也可以按行分块: 或按列分块: an A21A22a 21am1 a 11 a12 a 1na21 a22a2nA A 2am1am2amna 12 a 22 a m2a 1n a 2namnB B 2B n、分块矩阵的运算：对分块矩阵进行运算时, 可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理,但应保证运算的可行。
重点是初等变换的过程和应用A 221.分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:A 11 A 12 A1rB11B 12 B1rA21A22A 2r,B21 B22B 2r，A 21JB 21As1As2AsrBs1Bs2Bsr其中每一 A ij 与 B ij 的规格都对应相同，则规定加法为：AA 11 A21B 21B11 B21A 12B 12 A22 B22A 1rA2r B1rB 2r；；(2.26)As1Bs1As2Bs2AsrB srA11 A 12A1r设 为数，则规定数乘为：AA21A22A 2r；；(2.27)As1As2AsrA 1T 1A 2T 1A s T 1此外，规定转置为：A TA 1T 2 A 2T 2A s T 2。
(2.28)A 1T rA 2T rA s T r2.分块矩阵的乘法：定义2.11 设A 是mn 矩阵， B 是np 矩阵。
研究矩阵分块的方法及应用
研究矩阵分块的方法及应用矩阵分块（Matrix Partition）是一种将一个大矩阵分割成若干个块或子矩阵的方法。
这种方法在许多数学和工程应用中非常有用，因为它可以简化复杂的矩阵运算，并提供更高效的算法和快速的计算。
矩阵分块的方法具有广泛的应用，包括线性代数、微积分、信号处理、图像处理、统计学、优化等领域。
矩阵分块的方法可以根据不同的目的和要求采用不同的策略和分块方式。
一般来说，矩阵分块的方法分为两种类型：按行分块和按列分块。
按行分块是将矩阵按照横向划分为若干行向量子矩阵，而按列分块则是将矩阵按照纵向划分为若干列向量子矩阵。
除了按行和按列划分外，还可以将矩阵按照主对角线、次对角线、对称轴等方式进行分块。
矩阵分块的方法可以大大简化复杂的矩阵运算，使得问题的求解更加直观和高效。
一种常见的应用是矩阵乘法。
对于两个大型矩阵相乘的情况，采用普通的矩阵乘法算法的计算复杂度很高，但通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以采用并行计算的方式，提高计算效率。
另一个常见的应用是矩阵求逆。
对于大型矩阵求逆的计算复杂度很高，并且可能出现数值不稳定的问题。
通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以使用分块逆矩阵的方法来计算整体矩阵的逆矩阵，从而提高计算的稳定性和效率。
矩阵分块的方法还广泛应用于图像处理和信号处理领域。
在这些领域中，矩阵表示图像或信号的数据，通过将大矩阵分块为若干小块，可以对局部区域进行处理，从而实现对整体数据的处理和分析。
例如，对图像进行滤波操作时，可以将图像分为若干小块，分别进行滤波处理，然后将处理后的小块矩阵合并成一个大矩阵，从而得到滤波后的图像。
此外，矩阵分块的方法还可以应用于线性代数的求解和优化问题。
例如，在解线性方程组时，可以将系数矩阵和右侧向量分块，从而将问题分解为多个小规模的子问题，通过求解这些子问题，最终获得整个线性方程组的解。
类似地，在优化问题中，可以通过将大矩阵分块为若干小块，将复杂的优化问题分解为多个简单的子问题，从而更高效地求解问题。
第四节 分块矩阵
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分块矩阵的定义及应用
分块矩阵的定义及应用分块矩阵，也称为块矩阵或子矩阵，是由多个小矩阵按照一定规则排列所组成的矩阵。
它的特点是矩阵中的各个元素被分成了若干个块，每个块是一个分离的矩阵。
分块矩阵的形式可以写为：A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm]其中，A11、A12、...、A1m是行向量组成的矩阵；A21、A22、...、A2m是行向量组成的矩阵；...；An1、An2、...、Anm是行向量组成的矩阵。
每一个Aij 都表示一个分块矩阵，大小及形状可以不同。
分块矩阵的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1. 线性方程组求解：分块矩阵可以用于解决大规模线性方程组的求解问题。
通过将系数矩阵分块，可以降低计算复杂度，并且可以通过并行计算来提高求解效率。
2. 矩阵乘法加速：分块矩阵可以用于加速矩阵乘法运算。
将矩阵分块后，可以利用并行计算的优势，同时进行多个小矩阵的乘法运算，从而提高运算效率。
3. 特征值计算：分块矩阵可以用于求解大型矩阵的特征值和特征向量。
通过分块矩阵的分解，可以降低计算复杂度，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。
4. 矩阵的逆和广义逆：分块矩阵可以用于求解矩阵的逆和广义逆。
通过分块矩阵的分解，可以减小计算量，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。
5. 随机矩阵的分析：分块矩阵可以用于随机矩阵的分析。
通过分块矩阵的分解，可以对矩阵的结构和随机性进行分析，从而研究矩阵的统计特性和性质。
除了上述应用之外，分块矩阵还可以用于矩阵的分解、正交化、正则化等问题的求解。
分块矩阵的应用不仅仅局限于数学领域，也被广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
总之，分块矩阵是将大型矩阵拆分为多个小矩阵，通过分块的方式来简化复杂的计算问题。
它在线性方程组求解、矩阵乘法加速、特征值计算、矩阵逆和广义逆求解、随机矩阵分析等方面有着广泛的应用。
1.3 矩阵的分块
6
1 0 0 0 1 0 1 0
例1
设A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
0 0 1
,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1 10
计算 AB。
解：根据矩阵A, B的特点, 将A, B分块为:
1 0 0 0
A22 B22
As2 Bs2
A2r B2r
Asr
Bsr
B1r
B2r
Bsr
4
(2) 数与矩阵相乘
A11
设A
A21 As1
A12 A1r
A22 As 2
A2r Asr
，为
常
数
，
A11 A12 A1r
则
A
A21
As1
A22
As 2
A2r
Asr
A1 O
O A2
8
A18 O
O A28
13
2 设A 是分块对角阵, 若A的每一个子块 A i 1,2, , r 都是可逆矩阵,则A可逆
i
(充要条件），
A11
且A1
A2 1
. As1
14
5 0 0
例3
、
设
A
0
3
1
.
求A1.
0 2 1
解
记A
5 0
0 3
0 2
其 中 A1 5,
0 1 1
A1 O
A2
3 2
O A2
11,
则
A11
1 , 5
A21
矩阵分块求行列式
矩阵分块求行列式摘要：一、矩阵分块的概念及应用二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法2.高阶矩阵的分块求行列式方法3.分块矩阵行列式的性质三、应用实例与注意事项正文：一、矩阵分块的概念及应用在矩阵运算中，我们常常会遇到一些复杂的矩阵，难以直接求得其行列式。
此时，我们可以通过矩阵分块的方法，将复杂的矩阵分解为若干个较小的矩阵，从而简化问题。
矩阵分块就是将一个矩阵按照一定的规则划分为若干个矩阵块，这些矩阵块可以是连续的行、列或元素。
矩阵分块的目的是为了便于计算矩阵的行列式，同时它也是矩阵运算中一种重要的技巧。
二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法对于三阶矩阵，我们可以通过如下方法进行分块求行列式：设矩阵A 为：```B CD EF G```我们可以将其分解为两个二阶矩阵的行列式之积：```A = (B C)(F G) - (D E)(F G)```其中，(B C)(F G) 表示矩阵B 和C 的行列式之积，(D E)(F G) 表示矩阵D 和E 的行列式之积。
2.高阶矩阵的分块求行列式方法对于高阶矩阵，我们可以采用类似的方法进行分块求行列式。
假设矩阵A 是一个m 阶矩阵，我们可以将其分解为如下形式：```A = (A11 A12...A1n)(A21 A22...A2n)...(An1 An2...Ann)```其中，Aij 表示矩阵A 的第i 行第j 列元素。
我们可以将矩阵A 分解为如下形式：```A = (A11 A21...An1) (A12 A22...An2)...(A1n A2n...Ann)```然后，我们可以将每一行或每一列的矩阵分解为二阶矩阵，从而求得原矩阵A 的行列式。
3.分块矩阵行列式的性质在分块矩阵求行列式的过程中，我们需要注意一些性质。
首先，如果分块之后至少有一块为零矩阵，那么原矩阵的行列式为零。
其次，分块矩阵的行列式等于各个分块矩阵行列式的乘积。
分块矩阵应用
例如
A11 A = A 21 A 31
1 3
A12 A 22 A 32
A13 A 23 A 33
A 32 A 22 A12 A 33 A 23 A13
A14 A 24 A 34
A 34 A 24 = B1 A14
A 31 R ← R → A → A 21 A 11
（2）分块矩阵的某行左乘某矩阵 ，表示为 i。需要 ）分块矩阵的某行左乘某矩阵P，表示为PR 注意的是矩阵P的列数要等于R 的子块行数。 注意的是矩阵P的列数要等于Ri的子块行数。 的列数要等于 （3）分块矩阵的某列右乘某矩阵 表示为 jQ ）分块矩阵的某列右乘某矩阵Q, 表示为C （4）分块矩阵的的某行的对应子块左乘某矩阵加到分 ） 块矩阵的另一行对应的子块上, 表示为R 块矩阵的另一行对应的子块上 表示为 i+PRj （5）分块矩阵的的某列的对应子块右乘某矩阵加到分 ） 块矩阵的另一列对应的子块上, 表示为C 块矩阵的另一列对应的子块上 表示为 i + CjQ
E1 L 0 E = L 0 L 0
L 0 L 0 L 0 O L L L L L L Ei L 0 L 0 L L O L L L L 0 L Ej L 0 L L L L O L L 0 L 0 L Et
进行一次分块矩阵初等变换得到的分块矩阵称为 分块初等矩阵 以下我们用二阶分块初等矩阵来定义这些分块初等矩阵
A12 + A14Q A13 A 22 + A 24Q A 23 A 32 + A 34Q A 33
A14 A 24 = B 6 A 34
Q的列数等于第二列子块的列数，行数为第四列子块的列数 的列数等于第二列子块的列数， 的列数等于第二列子块的列数
逆矩阵及矩阵的分块
03 逆矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的求解
通过使用逆矩阵，可以方便地求解线性方程组。具体来说，如果一个线性方程组可以写成 Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x和b是向量，那么方程组的解可以通过计算A的逆矩 阵乘以b得到。
唯一解的条件
当系数矩阵A是可逆矩阵时，线性方程组有唯一解。此时，可以通过计算A的逆矩阵来求 解方程组。
提取重要信息
通过分块，可以突出矩阵 中的重要元素，便于观察 和分析。
应用广泛
矩阵分块在许多领域都有 应用，如线性代数、数值 分析、控制系统等。
矩阵分块的方法
按行分块
将矩阵按行划分成若干个子矩 阵。
按列分块
将矩阵按列划分成若干个子矩 阵。
按主对角线分块
将矩阵沿主对角线划分成若干 个子矩阵。
按次对角线分块
解的稳定性
使用逆矩阵求解线性方程组时，需要注意解的稳定性问题。如果A的逆矩阵计算不精确， 可能会导致解的误差较大。因此，在实际应用中，需要采用适当的算法和计算方法来提高 解的精度和稳定性。
在矩阵分解中的应用
矩阵分解
逆矩阵在矩阵分解中有重要的应用。例如，LU分解、QR分解和奇异值分解等都需要用 到逆矩阵的概念。通过这些分解，可以将一个复杂的矩阵分解为几个简单的组成部分，
02
逆矩阵要求原矩阵是可逆的，即行列式不为零，而分块矩阵则
没有这个限制。
逆矩阵是一种运算过程，而分块矩阵是一种矩阵的表示方式。
03
逆矩阵和分块矩阵的互补性
逆矩阵和分块矩阵在解决线性代数问题时可以相互补充。
在处理一些复杂的线性代数问题时，可以先通过分块矩阵将原问题分解为若干个子问题，再利用逆矩阵 解决子问题。
第四讲 矩阵的分块法
其中 Ai ( i = 1, 2,L , s ) 都是方阵, 那么称 A为分块 对角 矩 阵 .
分块对角矩阵的行列式具有下述性质: 分块对角矩阵的行列式具有下述性质
A = A A2 LAs . 1
A1 (6)设 A =
A2
o
, O As
o
若 Ai ≠ 0(i = 1, 2 ,L , s ), 则 A ≠ 0 , 并有
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
B11 = A1 B11 + B21
B11 AB = A1 B11 + B21
于是
B11 AB = A1 B11 + B21
A1 + B22 E
1 −1 = −2 −1
0 1 0 2 0 1 . 4 3 3 1 3 1
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
设 1 0 0 0 0 1 0 0 , A= − 1 2 1 0 1 1 0 1 求 AB . 解 把A, B分块成 1 0 A= −1 1
A1 0 B1 0 A1 0 ∴ ABA= 0 A2 0 B2 0 A2 0 A1B1 A1 = A2B2 A2 0
a 3 + a 2a 2 + 1 0 0 2 a3 + a 0 0 a = 3 2 . 0 0 b + 2b 2b + 1 0 2 3 0 3b b + 2b
矩阵的分块
二、分块矩阵的运算
1、加法
设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A A s1 A1r B11 , B B Asr s1 B1r Bsr
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则
A2 B2
A1 O A2 (2) 准对角矩阵 A 可逆 O As
A1 B1 O A2 B2 . AB O As BS
Ai 0，i 1, , s Ai 可逆，i 0, C B
设逆阵
∴ D 可逆.
1
X 11 X 12 , D X 21 X 22
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于是 即
A 0 X 11 X 12 Ek 0 , C B X 21 X 22 0 Er
0 . 1 B
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三、准对角矩阵
A1 O A2 形式如 A , O As
定义
的分块矩阵，其中 Ai 为 ni 阶方阵 ( i 1,2, , s ), 称为准对角矩阵.
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性质
其中子块 Aij与 Bij 为同型矩阵，则 A11 B11 A1r B1r A B . A B Asr Bsr s1 s1
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2、数量乘法
A11 A1r 设分块矩阵 A , P , 则 A A sr s1
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矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。
分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。
分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。
讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。
通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。
关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。
I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it isvery important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。
II 目录 1 概述..................................................... 1 2 分块矩阵及其性质.. (3)分块矩阵....................................................3 分块矩阵的定义............................................. 3 运算规则.................................................. 3 分块矩阵的性质及其推论........................................ 3 3 分块矩阵在证明方面的应用........................................ 7 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用............................. 7 分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用............................7 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用......................... 8 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用........................ 10 关于矩阵列(行)向量线性相关性.................................10 矩阵的分解.............................................. 11 4 分块矩阵在计算方面的应用...................................... 13 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用.................................. 13 分块矩阵在行列式计算式方面的应用.............................. 16 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算..............................16 矩阵A?B,C?D时行列式|H|的计算............................. 19 结论. (21)谢辞....................................... 错误！未定义书签。
阵求矩阵的行列式的问题,用分块矩阵求矩阵的秩的问题,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题等.如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知秩?AB?≤秩?A?,且秩?AB?≤秩?B?,可证得秩?AB?≤min{秩?A? ,秩?B?}. AAB利用分块矩阵，可以求高阶行列式.如设A、C、都是n阶矩阵, 其中?0, ?AD?BCAD并且AC?CA,则可求得CD. 利用分块矩阵，可以给出利用分块矩阵计算行列式的H?C B不同方法，可分几方面讨论，如当矩阵A或B可逆时；当矩阵A?B,C?D时；当A与C或者B与C可交换时；当矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时的行列式的计算. 分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明诸多问题将会显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性. 将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来的很大的便利. 2 2 分块矩阵及其性质分块矩阵分块矩阵的定义?A11A12?A1t??A?A?A21222t?? ???? ?用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵：??As1As2?Ast???? 其中每个小矩阵快矩阵[2]. 运算规则?1? (Aij)st?(Bij)st?(Aij?Bij)st?2? (Aij)Tst?(AjiT)ts tAikBkj(i?1,...s,j?1,...t)?3?(Aij)st(Bij)tp?(Cij)sp，Cij??k?1?4? k(Aij)st?k(Aij)st(k 是数量)在用规则1）时，A与B的分块方法须完全相同；用性质3）时，A的列的分法与B的行的分法须相同. 分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中,我们经常用到下面三条性质[3]: Aij(i?1,?s;j?1,?t.)叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分?1? 若行列式中某行有公因子,则可提到行列式号外面;?2? 把行列式中的某行乘上某一个非零数,加到另一行中去,其值不变;?3? 把行列式中的某两行互换位置,其值变号;利用矩阵的分块,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.?A1A2A3??BBB?性质1设方阵A是如下分块矩阵组成23??1?CC2C3??A??1?? 其中A1,A2,于矩阵3 A3B1B2B3C1C2C3,,,,,,都是s?t矩阵,又M是任一s级方阵.对?A1?MB?1?C B??1则B?MA 0??A1A2A3??Es0?0E??BBB?M0ss2 ,则3? 证明?设为级单位矩阵??1?00Es????C1C2C3???B??E00s于是0B?0A2MB2C2A3?MB3??C3???? ?Es?0???00M00?0??AEs?? 0EsA?EsMEsA?MA?A1A2 A3??BBB?性质2 设矩阵A是如下分块矩阵组成2 3??1?CC2C3??A??1M0?? AB2,B3,C1,C2,C3都是s?t矩阵,又M是任一s阶方阵.其中A1 ,A2,?3,B1,AA2A3?1?B?MCB?MCB? MC?D?23对于矩阵?1???C1C2C3????则AD?Es?0 0??A1A2A3??0E??BBB?0证明s2AA23?????11???0?0MCEs?CBC12C23 ??B3???B?MC1 ??C1C2???MC???C3? A3E其中s是s级单位矩阵,对上式两边同时取行列式得A?D?A1 A2A3??B1B2B3??B??’B3?AAAAA性质?31 B设方阵和写成如下形式2123????C1C2C3??,A ’???C1C2C3?? A??AsBC3为偶数时|AA2|,当 1 ,其中A?,,B1,B2,3,C1,C2,3都是s ×t 矩阵，则?’?|A|，当s为奇数时|A|?? ’BA证明A可A中的B1,B2,3与A1,A2,3相应的两行对换而得到,而对换行列式的两行, 行列式反号,故当s为偶数时’A|A|? 当s为奇时‘A|A|?- 4 可以证明,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时,这些性质不仅对行成立,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 1 设A,B 都是n阶方阵,则有AB?AB?? AB A作2n 阶行列式证明C?0E 拉普拉斯展开定理得C?ABE?AB ABA2AB?ABA0,有A 又性质并应用于列的情况1?2???n?(n?1)???2nA?B?AB0E?0?EBE??BE?(?1) A,则有B 推论 2 设A,B都是n阶方阵a00?00bBA?A?BA?B?? 0a0?0b000a?b00ABA?根据定性质BBA?2B并应用于列的情况B证明,有???????a00?0?0B00 ?b???A?BBA?B??AA?0A?B?A?0ba?0a?0 0?0?000?00?0??a0??0ba?0?0?b2nb00 ?a0例1 0计算?0阶行列式?a0?00a??0??a??b0??b?0??0?00?a??D? b0?????0b0?0????????????????? ??b00?0b?b?0a00?解令A?A?0B000a? 0B? ?aDA?BA?B?b0?0a?b0?0a则?BA? nn22n(a?b)(a?b)(a?b) ?=AB ,其中A≠0,并且AC?CA ,则有推论 3 设A,B,C,D 都是n阶方阵AD?CB CD??? ?AB??CD?? 1?1ACCA?CA? 的A证明根据性质2,因为存在,并注意到=,用乘矩阵??A?CA?1B?第一行后加到第二行中去得???1?0D?CAB? A?CA?1BA B从而CD?0D?CA?1B 5 AD?CAB? 3112AD?ACA?1BAD?CAA?1BAD?CB? =24341计算行列式023 例 2 P0114=解A设BP?CD?1 ?12??34???, C??10??01???,D??23??14??? ?31?其中?24??,B?A??计算知A?100≠ 且AC?CA 611所以P?AD?CB?518?53 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又这三个新的性质得到了三个结论.设A,B,C,D 都是n级方阵则有ABAB?AB?? ?? BA?A?BA?B AB AD?CB CD??? 结结论??告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积论??则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A,B,B,A时，A?BA?B那么我们可以转换为求，这样我们就把求2n级的行列式转换成了求n级的行列式.结论??同样也说明那个当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A,B,C,D时，我们可以转换为求AD?CB，同样将一个2n级的行列式转换成了n级的行列式.这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例1和例2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点，一但发现有以上行列式的特点,即可用之. 6第3章分块矩阵在证明方面的应用分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用定理 1 秩?AB?≤秩?A?,且秩?AB?≤秩?B?,则秩?AB?≤min{秩A,秩B}[4] 证明令Cm?s=Am?n?Bn?s，A??a1,a2?an?,C???1,?2??s? 则(?1,?2??s)??a1,a2?an??b11b12?b?21b22?? ???bn1bn2?b1s??b2s?? ?????bns?∴?1?b11a1?b21a2???bn1an?2?b12a1 ?b22a2???bn2an???s?b1sa1?b2sa2???bnsa n ∴?1,?2??s?1?可a1,a2?an?2?线性表示∴秩?I?≤秩?II?,即秩?C??秩?AB?≤秩?A? 令?n1??n?2C???，Ｂ???????nm?所以??1?????2? ???????n??a1n???1?? ???a2n???2? ??????????amn???n??n 1??a11?n??a?2???21?????????nm??am1即a12a22?am27 ?1?a11?1?a21?2? ??an1?n?2?a12?1?a22?2???an2?n???s?am 1?1?am2?2???amn?n ∴?1,?2??m?3?可?1,?2??n?4?线性表示∴秩?III??秩?IV?,即秩?C??秩?AB??秩?B?即秩?AB??min{秩?A?，秩?B?} 定理2 设A、B都是n级矩阵，若AB?0则秩?A??秩?B??n[5]. 证明对B分块如下: B??B1B2?Bn? 于AB?0 即?AB1AB2?ABn??0 即ABi?0?i?1,2,?,n? 说明B的各列Bi都是AX?0的解.从而秩?B1B2?Bn??基础解系?n?秩?A? 即秩?A??秩?B??n 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例1 设A、B都是n阶矩阵,求证:秩?AB?A?B??秩?A?+秩?B?[6] 证明因为??AAB?A?B??AAB?A??OB???? ????????????E?(2)?(1)???OB??(1)??????? ??????????????(?B?E)?(2)??A?O所以8 O?B? ? ?E?E??A?OE??O???因为AB?A?B??B??E?B?E??AO?=? ?E??E??O B???E?E??E?B?E??OE?，?E?都可逆E????所以?A秩??O而AB?A?B??AO?=秩???B??OB??A 秩??OAB?A?B???秩?AB?A?B? B??AO?秩?=秩A+秩 B ??OB?所以秩?AB?A?B?≤秩?A?+秩?B? 例 2 设A为m?n矩阵,As是从A中取s行得到的矩阵,则[7]秩?As??秩?A??s?m 证明不妨设As是A 的前行,而后m?s行构成的的矩阵为B,则?A??A??0?A??s???s???? ?B ??0??B?又显然有秩?A?B??秩?A?+秩?B? 于是?A??0?秩?A??秩?s?+秩???秩?As??m?s ?0??B?证毕. 利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明，如例1；另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例 2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明. 9 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点---矩阵分块的作用.本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.关于矩阵列(行)向量线性相关性命题1[8] 矩阵A的列线性无关的充分必要条件是AX?0只有零解.证明令A??A1,A2?,Ak?,其中Ai?i?1,2???,k?,是A 的列向量，且a1A1?a2A2???akAk?0?ai为实数i?1,2,???,k?即?A1,A2,?,Ak?也即?a1??a??2??0 ??????ak??a1??a?A ?2??0 ??????ak?若A1,A2?,Ak线性无关,则有a1=a2???ak?0,AX?0只有零解，反之亦成立.例3 矩阵B列线性无关,BC?A求证:C列线性无关的充要条件是A列线性无关. 证明充分性.要使CX?0,即B?AX??0，记AX?Y,则BY?0, ∵B列无关，须Y?0,即AX?0,又A列无关，须X?0，从而C列无关. 必要性.要使AY?0，两边左乘B，则BAY?0，即CY?0，∵C列无关，∴Y?0，从而A 列无关.推论设Ank?0，(1)A的列线性相关(即??A??k)的充要条件是存在Bkm≠0,使AB?0;(2)Ank的行线性相关(即??A??n)的充要条件是存在C≠0,使CA?0.证明???设有Bkm?0，B?(b1,b2,?,bm),bi为B的列向量,i=1,2,?,m,且10 bj?0，使AB=0，即?0，∵bj?0，而啊bj?0,命题1，A的列线性相关.???设A 的列线性相关.命题1，存在b?0使Ab?0，作B?，则B?0，故AB?0.类似可证(2).矩阵的分解命题2[9]设?(Ank)??,?Mn?,N ?k,?(M)??(N)???,使则A?MN;?Rnk,Skk,?(R)??(S) ??,使则A?RS;?Rnn,Snk,?(R)??(S)? ?,使A?RS.证明Pnn,Qkk,P?0,Q?0,使?IPAQ????00? ?0?nk?I∴A?P?1???0将P?1与Q?1作如下分块:0??1Q ?0??N?P?1??Mn?,L?，Q?1???k? ?H?则?IA??M,L????0?I令Pnn?P?1???0?I令Pnn?P?1???0因为0??N??H??MN ?0???0??I??0??nk?00? 0??kk0??I?，∵?00???nn0??I???0??nk?00??I??S，kk?00??nk?0??1Q即得, ?0?kkA?RS ?I??0? 0??I???0??nk?00?0??nn?I??0?110??I??S,nk?00??nk?0??1Q ?0?即得, A?RS. 矩阵的列向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列都可看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解问题也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决. 12 第4章分块矩阵在计算方面的应用分块矩阵在求逆矩阵方面的应用?AB?命题1[10] 设P??是一个四分块方阵，其中B为r阶方阵, C 为k阶方阵,当??CD?B与(C?DB?1A)都是可逆矩阵时，则P是可逆矩阵，并且P?1??(C?DB?1A)?1DB?1???1?1?1?1?1?B ?BA(C?DBA)DB?(C?DB?1A)?1? ? B?1A(C?DB?1A)?1??1特例?1? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?0C?1????1?.0??B??C?1DB?1C?1?????1B0???0? ??1?BC?1??1?1??BAC??2? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?1?3? 当A?0，D?0，B与C都可逆时，有P?1证明设P可逆，且P?1?X???ZY?，其中Y为k阶方阵，Z 为r阶的方阵.则应有W??Y?W???AB??CD??E ???XP?1P???Z 即?XA?YC?ZA?WC?于是得到下面的等式XB?YD??Ek??ZB?WD???00?，Er??()()()() ?XA?YC?Ek??XB?YD? 0??ZA?WC?0?ZB?WD?E?r因为B可逆，用B?1右乘??式可得13X?YDB?1 代入??式得Y?(C?DB?1A)?1 则X??(C?DB?1A)?1DB?1. 用B右乘??式可得Z??Er?WD?B?1?B?1?WDB?1 代入??式得W?B?1A(C?DB?1A)?1 则可得Z?B?1+B?1A(C?DB?1A)?1DB?1.所以P?1?X???ZY?W????(C?DB?1A)?1DB?1? ?1?1?1?1?1?B?BA(C?DBA)DB?(C?DB?1 A)?1. ?1?1?1??BA(C?DBA)??AB?命题2 设Q???是一个四分块方阵，其中A为r 阶方阵，D为k阶方阵，当CD??A与都是可逆矩阵时，则Q是可逆矩阵,并且?A?1?A?1B(D?CA?1B)?1CA ?1?AB???Q=???(D?CA?1B)?1CA?1??CD ??1?1?1?A?1B(D?CA?1B)?1?? ?1?1(D?C AB)??A?1特例当B?0，C?0，A与D 都可逆时，有Q???0?A?1当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???0?1?10??1?D??A?1BD?1???1D?0?.?1?D??A?1当B?0，C?0，A与D都可逆时，有Q???1?1??DCA 此结论参考命题 1.147?410??3??2?590?1???0?100?，求M?1.例 1 设M??0??00040???000?6??0??00?7??3??41 0??00?，D???解令A??，，BC??90?1?????2?5?????00??则很容易求得A?1??100??040?.????00?6??7??5??，D?1????2?3?0???10?01/4? 0???0?1/6??0?且7??5?A?1BD?1?-????2?3?命题2可得，??410??90?1?????100??040??? 43?5/4?7/6? ????191/21/2?????00?6??M? 1?A?1???O743?5/4?7/6??5??2?3?191/2?1/ 2??A?1BD?1??0?100? ???0?1D???0001/4 0???000?1/6??0??0?0?例 2 求矩阵M??4??0??00002300004130002?5??0?的逆矩阵. ?0?0???400??12??000??解设A??，，C??020?，D?B??????35??000???034??则B?1?00??00?. ????00??00??1/4??52??1?0 ? ???C，1/20????3?1???0?3/81/4??15 命题一可得：?OM?1???1?B01/400 ??0?0?001/20?C?1??00?3/81/4?. ???0O?? ??52000???00??3?10?本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块A、B、C、D，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别A、B、C、D中那些可逆那些不可逆,再具体运用. 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法. 引理设矩阵?A1?OH??????OA2?OA????或H?????As???A1??????AO?O?? ?????As?? A2O其中A1,A2,?,As均为方阵，则H?A1A2?As. 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算命题 1 A、B 分别为m与n阶方阵. 证明: (1)当A可逆时,有ADC B?AB?CA?1D?? (2)当B可逆时,有ADC B =A?DB?1CB?? 证明根据分块矩阵的乘法,有16?E??CA?1?0??AD??A D? ??????1?E??CB??0B?CAD?引理知，两边取行列式即得??. ?2? 根据分块矩阵的乘法,有?E?DB?1???0E???AD??A?DB?1 C?CB???C???0?? B?两边取行列式即得??.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵A或B可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用. 推论1 设A,B,C,D分别是m,n,n?m和m?n矩阵. 证明EmCDB?B?CD?? AD?A?DC?? CEn证明只需要在命题1的??中令A?Em, 即得??;在??中令B?En,即得??. 推论2 C,D分别是n?m和m?n矩阵.证明EmCD?En?CD?Em?DC?? En证明在推论1的??中,令B?En,在??中,令A?Em,即得??. 例 3 计算下面2n阶行列式a??adc?c解令dH2n?b?b?a?0? c??a??b???,B????，C????，D??A????????????a?b??????c? 17 d????? ?????d? 为n阶方阵.于a?0,故A为可逆方阵.又易知?b?ca?1d?B-CA?1D????????b?ca ?1d? ???b?ca?1d??从而命题1中?1?得HAD2n?CB ?AB?CA?1D?an(b?ca? 1d)n=(ab?cd)n. 例 4 计算行列式a011?11a10?0?1?10a2?0,(ai?0,i?1,2,?,n);?????100?an100?0a1010?0a2?2?001? 0a3?????? 000?1anb1b2b3?bnc 解?1? 设Q?ADC B，其中??a1?A??aa?20?,B??????，C?(1,1,?,1)T，??a?n?因为ai?0,i?1,2,?,n所以B是可逆矩阵.又易知A?DB?1C??n???a0??1/aii?1?? 从而命题1中的结论??得18 D?(1,1,?,1). ADC B?A?DB?1CB n???a1a2?an?a0??1/ai? i?1??设Q?EnCD，其中BB?，C?(b1,b2,?,bn)，D?(a1,a2,?an)T 于CD?(b1,b2,?,bn)(a1,a2,?an)T??aibi i?1n从而推论1知, EnQ?CnD?B?CD?c??aibi. Bi?矩阵A?B,C?D时行列式|H|的计算命题2 A,C是两个n阶方阵.则AC?|A+C||A-C| CA证明根据行列式的性质和定理，有ACA?CCA?C??CAC?AA0CA?C?A?CA?C. 例 1 计算行列式. 0xyzx0zy D?yz0xzyx0解这道题看似简单,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设?0x??y?，A??C??zx0??? 19 z? ?y? 命题2知AC?A?CA?C D?CA?yx?zx?z?yyx?zx?z ?y?[y2?(x?z)2][y2?(x?z)2] ?(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(?x?y?z) 行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H?AD的类型的行列式计算进行了分析，CB其中将一个行列式分块成A,B,C,D后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的. 20 结论通过大量的例题对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关性等问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题，在求逆矩阵方面，着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后，通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法，并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法.通过的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨. 21谢辞四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。