分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义1.11 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把m n ⨯矩阵分割为如下形式的矩阵：m nA ⨯=1111n m mn A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭特别地，对于单位矩阵分块：n nE ⨯=11000000nn E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的ijA所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2 分块矩阵2.1矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.定义2.1.1[2] n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j jnj a a a 的代数和，这一定义又可写成:111212122212n n n n nna a a a a a a a a =()()121212121n n nj j j j jnj j j ja a a τ-∑.定义 2.1.22向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.定义2.1.32 n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB BA E ==（这里E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -. 定义2.1.43对分块矩阵施行下列三种初等变换：(1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.定义2.1.53 对m n +阶单位矩阵作22⨯分块，即m n I +=mn IO O I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵nm I O OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；(2) 分块初等倍乘阵0n P O I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0mI O Q ⎛⎫⎪⎝⎭；(3) 分块初等倍加阵1mn I R OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，m n I O SI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 其中P ,Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且1m nR R ⨯∈，n m S R ⨯∈为非零阵.2.2矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义2.2.14 矩阵加法：设()=ij sn A a ， ()=ij snB b 是两个同型矩阵，则矩阵()ij sn C c ==()ij ij sn a b +称为A 和B 的和，记为C A B =+.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为sn O ，可简单记为O ,对于矩阵A 、B ，有:(1) A O A += (2) ()0A A +-= (3) ()A B A B -=+- (4) ()()A B C A B C ++=++(5)A B B A +=+定义2.2.24 矩阵乘法：设()=ik sn A a ，()=kj nm B b 是两个不同型矩阵，那么矩阵()ij smC AB c ==，称为矩阵A 与B 的乘积，其中：11221nij i j i j in nj ik kj kc a b a b a b a b ==++=∑ 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质： (1) ()A B C AB AC +=+ (2) ()B C A BA CA +=+ (3) ()()AB D A BD =定义2.2.34矩阵数乘：111212122212n n s s sn ka ka ka ka ka ka kaka ka ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵()ij sn A a =与数k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1A A *=；(2) ()()k lA kl A =; (3) ()k A B kA kB +=+; (4) ()k l A kA lA +=+; (5) ()k A B kA kB +=+.2.3分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设A 、B 是m n ⨯矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：加法：11111111t t s s st st A B A B A B A B A B ⎛⎫++ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭. 乘法：C AB =, 其中：11221nij i j i j in nj ik kj kC A B A B A B A B ==+++=∑.数乘：1111t s st kA kA kA kA kA ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质： 定义2.3.12 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵E 的i 行与j 行的位置; (2) 用数域P 中的非零数c 乘E 的i 行; (3) 把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行. 定义2.3.25将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对应分块矩阵：m nO E E O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=C D A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭n PO OE ⎛⎫ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=PA PB C D ⎛⎫⎪⎝⎭m n E O P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A B C PA D PB ⎛⎫ ⎪++⎝⎭2.4矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法6：(1) 列向量分法，即()1,,n A αα=，其中j β为A 的列向量.(2) 行向量分法，即1m A ββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中j β为A 的行向量.(3) 分两块，即()12,A A A =,其中1A ,2A 分别为A 的各若干列作成.或⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12B A B ，其中1B ，2B 分别为A 的若干行作成.(4) 分四块，即1234C C A C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0的n 阶方阵.（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵A 的转置和A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如00010(,)000001J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：12n A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3分块矩阵及其应用3.1行列式计算的应用定理3.1.12拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例3.1.17：（爪形行列式）计算行列式：012111101001na a a a ,其中0(1,2,,)i a i n ≠=.解:设A DQ C B=,其中0()A a = 1na B a =，(1,1,,1)T C =，(1,1,,1)D =.因为0(1,2,,)i a i n ≠=，所以 B 是可逆矩阵.又易知: 1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=-⎪⎝⎭∑. 根据分块矩阵乘法：1100E AD A DCA E C B B CA D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：1112011nn i i A DA B CA D B A DB C a a a a a C B --=⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭∑ 故：原行列式=12011nn i i a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.例3.1.27：(对角行列式)计算行列式：2n adadH c bcb =.解：令a A a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，b B b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，c C c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，d D d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶方阵. 由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：1B CA D --=111b ca d b ca db ca d ---⎛⎫-⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭故112()()n n n n A DH A B CA D a b ca d ab cd C B--==-=-=-.例3.1.38：设A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，证明当AC CA =时，A 可逆时，有A DAB CD C B=-证明：若A 可逆，110AD AE A D C B CB CA D OE --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故：11A DA B CA D AB ACA D AB CD C B--=-=-=-. 注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a dab cd c b=-，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1）标准型：11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩; （2）矩阵型：令ij m n A a ⨯⎡⎤=⎣⎦，'=12(,,,)n x x x x ，'=12(,,)m B b b b方程组可以表述为：Ax B =; （3）列向量型：令112111m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，122222m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，12n n nmn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组又可以表述为：1122n n x x x B ααα+++=;（4）行向量型： ααα''''+++=1122n n x x x B .可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：1234123412342202220430x x x x x x x x x x x x ⎧+++=⎪+--=⎨⎪---=⎩ 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：21251023122112214212203640123114303640000E C A O O ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭()2R A =，基础解系含422-=个. 而方程又满足：2112200E C O O αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相应的可以取：25234231001C E ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫-⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭有通解：1122k k βββ=+，其中12210β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2534301β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例3.2.29：（非齐次线性方程组）求解方程组：1245123451234512345232133223452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-+=⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：()3r A =，而()4r A =, 故()()r A r A ≠. 从而方程组无解.事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵45450b E ⎛⎫Λ-⎪ ⎪⎝⎭进行行列变换，都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.例3.2.3：证明：n 阶方阵A 的秩为n-1，则()=1rank A * 首先证明此例需要利用的一个引理：引理：()ij n n A a ⨯=，()ij n n B b ⨯=，()r A r =，0AB =，则()r B n r ≤- 证明：对矩阵B 进行列向量的分块，12,(,)n B B B B =,0AB =则有：0i AB =，i B 是0AX =的解. 而0AX =基础解系有n r -个解. 故：()r B n r ≤- 再证明本例：因为()1r A n =-，则0A =，A 至少有一个1n -级子式不为零,()1rank A *≥.而：0AA A E *==.利用引理得：()1rank A *≤，故()=1rank A *. 得证.3.3求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例3.3.16：设A 、B 是n 阶方阵，若A B +与A B -可逆，试证明：A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，并求其逆矩阵. 解：令AB D BA ⎛⎫=⎪⎝⎭，由假设知0A B +≠,0A B -≠.那么： 0A B A B B A BB D B A B A A A B++===+-0A B A B =+-≠.即D 可逆. 再令12134D D DD D -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 由1DD E -=，即：123400D D A B E BA D D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得：1312242400AD BD E BD AD AD BD BD AD E⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩将第一行和第二行相加、相减，得：113113()()D D A B D D A B --⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩ 解之得：1111()()2D A B A B --⎡⎤=++-⎣⎦,1121()()2D A B A B --⎡⎤=+--⎣⎦类似地：23D D =,41D D =. 所以：1111111111()()()()2()()()()A B A B A B A B A B BA AB A B A B A B ---------⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪⎪+--++-⎝⎭⎝⎭.例3.3.26：已知分块形矩阵0AB M C⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，其中B 为p p ⨯块，C 为q q ⨯块，求证：B 与C 都可逆，并求1M -.解：由()01pqM B C ≠=-，则：0B ≠,0C ≠,即证B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆：111000000pq A BE A BEBEAC C E E C EE ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111000000E B B AC E C E C EB B AC --------⎛⎫⎛⎫-→→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故：111110C MB B AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:例3.3.310：求矩阵101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的逆矩阵.解：构造矩阵：66101100101100210010012210325001022301100000100000010000010000001000001000A E D E O ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫---==→ ⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101101011000122100122100027210027211000001010001000001000000100000100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪--→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1001001001000102100102100017210027211100001010002012000011000001000100002⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→ ⎪-⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 所以;1151101100222011210511172171001222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设A 、B 均为m n ⨯矩阵，则：()r ()()r A B A r B +≤+.（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵 ,B 是n s ⨯矩阵，则：{}()min (),()r AB r A r B ≤.（3）()()0A B r r A r B C ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.（4）1ij m A r A A ⎛⎫⎪≥⎪ ⎪⎝⎭.再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式 例3.4.111：（薛尔弗斯特不等式）设()ij s nA a ⨯=，()ij n mB b ⨯=，证明：()()()rank AB rank A rank B n ≥+-证明：由分块矩阵的乘积00000n nn ns m E E B E B E A E E A AB ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭知：()()()0nn E B rank rank E rank AB n rank AB A ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 但,()()00n n E B B E rank rank rank A rank B AA ⎛⎫⎛⎫=≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()n rank AB rank A rank B +≥+得证.备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：(1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造00A B ⎛⎫⎪⎝⎭;(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造0A E B ⎛⎫ ⎪⎝⎭或者0AE B ⎛⎫⎪⎝⎭.具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例3.4.26：（Frobenius 不等式）设A 、B 、C 是任意3个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：()()()()r ABC r AB r BC r B ≥+-证明：设B 是n m ⨯矩阵，()r B r = 那么存在n 阶可逆阵P ，m 阶可逆阵Q ，使000r E B P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭.把P 、Q 适当分块：(),P M S =,NQ T ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由上式有： ()0,00r E N B M S MN T ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()()r ABC r AMNC r AM r NC r =≥+- ()()()r AMN r MNC r B ≥+-()()()r AB r BC r B =+-.得证.3.5矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例3.5.111：设A 为m k ⨯矩阵，B 为k n ⨯矩阵，则证明：{}()+rank(B)-k rank(AB)min (),()rank A rank A rank B ≤≤证明：先证明右边的不等式，由：()0()()0knE B A A AB E =;⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00km E B B AB A E , 可得：()rank (0)()()rank A A rank A AB rank AB ==≥; ⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0B B rank B rank rank rank AB AB .再证左边的不等式.注意到下列事实：00000mkkk k n E A E B A AB E B E E E ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：000kk A AB rank rank E B E ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是：0()rank ()rank ()()()k k A rank A B rank AB rank E rank AB k E B ⎛⎫+≤=-+=+⎪⎝⎭从而: ()()()rank A rank B k rank AB +-≤.这里也是用到构造矩阵的方法.例3.5.26：设n 阶矩阵A 、B 可交换，证明：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+- 解：利用分块初等变换，有：A O AB A BB O B O B BB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+→→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为AB BA =，所以：E OA B B A B B BA B BB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 于是，有：()()A BB A B B rank A rank B rank rank BB OAB ⎛⎫⎛⎫+++=≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()rank A B rank AB ≥++.即：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+-. 得证.例3.5.3：设A 是n 阶方阵，且2()()r A r A =,证明：对任意自然数k ,有()()k r A r A =证：构造分块矩阵22A O O A ⎛⎫⎪⎝⎭，由Frobenius 不等式： 22332232()+r ()()()A O A A O A r A A r r r r A r A AA A O A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤===+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由：2()()r A r A =所以，322()()()r A r A A r A =*≤. 故：23r ()()A r A =.由此可推得：3445()(),()(),r A r A r A r A ==.故：对任意自然数k , 有：()()k r A r A =.3.6综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例3.6.16：（特征多项式的降阶定理）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵. 证明:AB 的特征多项式()AB f λ与BA 的特征多项式()BA f λ有如下的关系：()()n m AB BA f f λλλλ=.证：先要把上式改写为：n m m n E AB E BA λλλλ-=-.用构造法，设0λ≠，令：1n mE BH AE λ=. 对11010n n n n m m E BE E B A E AE E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 11()m m m H E AB E AB λλλ=-=-. 再对11100nnnn mm E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得：11()n n n H E BA E BA λλλ=-=-.故：11n m nmE BA E AB λλλλ-=-m n n m E BA E AB λλλλ-=-.上述等式是假设了0λ≠，但是两边均为λ的n m +次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）λ≠，从而一定是恒等式，即证. 这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用.例 3.6.26：设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，证明：AB 与BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m n n m E BA E AB λλλλ-=-. 设m 12s ()()()m s E AB λλλλλλλλ--=---,其中120m λλλ≠，即AB 有s 个非零特征值：12,,,s λλλ, 由上面两式,那么有：n-s 12()()()n s E BA λλλλλλλλ-=---即证BA 也只有s 个非零特征值：12,,,s λλλ.例3.6.36：设A 、B 分别是m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明：trAB trBA =.解：由上例知，若1()()m s m s E AB a a λλλλ--=--其中120s a a a ≠.则AB 的全部特征值为111,,,0s s s m a a λλλλ+=====,且：1(-)()n s n s E BA a a λλλλ--=-.即BA 的全部特征值为:11221,,,0s n a a ττττ+=====.从而 1si itrAB a trBA ===∑.可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1]上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982.[2]北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3]高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. 山西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154.[6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7]王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8]张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. 山东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所, 2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.。