分块矩阵的应用论文

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分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，那么有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比方，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的假设干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，那么可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.1 分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设A 是一个m n ⨯矩阵，假设用假设干横线条将它分成r 块，再用假设干纵线条将它分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中ij A 表示的是一个矩阵.1.2分块矩阵的相关运算性质 1.2.1加法设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=，用同样的方法对,A B 进行分块()ij r sA A ⨯=，()ij r sB B ⨯=，其中ij A ，ij B 的级数相同，那么 ()ij ij r s A B A B ⨯+=+. 1.2.2数乘设是任()(),ij ij m n r s A a A k ⨯⨯==为任意数，定义分块矩阵()ij r s A A ⨯=与k 的数乘为()ij r skA kA ⨯=1.2.3乘法设()(),ij ij s n n m A a B b ⨯⨯==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ⨯⨯==，其中ij A 是i j s n ⨯矩阵，ij B 是i j n m ⨯矩阵，定义分块矩阵()ij r l A A ⨯=和()ij l r B B ⨯=的乘积为()1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、1.2.4转置设()ij s n A a ⨯=分块为()ij r s A A ⨯=，定义分块矩阵()ij r s A A ⨯=的转置为()ji s rA A ⨯''=1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的以下三种变换称为初等行变换： (1) 对调A 的两行(用i j r r ↔表示对调i 、j 两行)；(2) 用一个可逆阵K 左乘A 的某一行的所有子矩阵(用i K r ⨯表示用K 左乘第i 行)； (3) 将A 的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K 再加到另一行的对应子矩阵上去(i j r K r +⨯表示将第j 行左乘K 再加到第i 行).将上述定义中的“行〞换成“列〞,“左乘〞换成“右乘〞, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2 分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的?高等代数?教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理2.1([3])假设A 为k 阶方阵，B 为r 阶方阵，C 为r k ⨯矩阵, 那么有A ABC B= 在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论. 定理2.2([3])假设n 阶方阵P 可分为A B P CD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中A 为r 阶方阵, B 为()r n r ⨯-矩阵, C 为()n r r -⨯矩阵, D 为()n r -阶方阵, 那么有〔1〕当A 为可逆矩时1P A D CA B -=-；〔2〕当D 为可逆矩阵时1P D A BD C -=-.在进行行列式的求值运算时, 假设能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例2.3 计算行列式 013c ...0 (00)...0.........0...nb b b ac P ac a c =其中10,123...c i n ≠=.解设 0()A c =，()...B b b b =，()...TC a a a =130...00...0,0,1,2,,.........00 (i)n c c D c i n c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 那么D 为可逆矩阵，由定理1的结论〔2〕知1A BP D A BD C C D-==- ，将 1111210...00...0.........00...n c c D c ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦及,A B C D ,,代入得 1111212...((...))n n P c c c a ab c c c ---=-+++.例2.4 矩阵()ij ai j P a bi j =⎧==⎨≠⎩当时当时，求行列式P 的值.解：行列式P 的主对角线元素为a ，其余元素为b ，因此：〔1〕当a b =时，由行列式的性质知P =0；〔2〕当a b ≠时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得...000 (00).........000......a b b a a b b a P a b b abbbb a ----=--，令...000...000.........,, 000 000...0a b b a a b b a A B a b b a o a b b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()()...,,C b b b b D a ==由定理2.2可知 1P A D CA B -=-，而 ()1n A a b -=- ，()011,,,>a b i jA i j --⎧-≤⎪=⎨⎪⎩计算结果得 ()()()()()()111+1n n P a b a n b a b a n b --=---=--.假设定理中的矩阵A 和D 均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式11D A BD C A D CA B---=-进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5 假设,,,A B C D 均为n 阶方阵，且A 可逆，AC CA =，那么 ABT AD CB C D==-. 例2.6 计算行列式 1111122310250121T -=.解对T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 11111025,,,,12230121A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 显然A 可逆，且AC CA =，所以T AD CB =-，而 4667AD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1123CB ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以， 3510410T ==. 定理2.7 假设,A B 均为n 阶方阵，那么A BA B A B B A =+-.. 例2.8 计算行列式 1234234134124123T =.解对矩阵T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 1234,,2341A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由于 4664A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，22,22A B --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦ 所以 (20)(8)160T A B A B =+-=-⨯-=. 2.2 分块矩阵在解线性方程组中的应用例2.9设n 个未知数m 个方程的线性方程组为11112211211222221122...............n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 〔1〕记()ij m n A a ⨯=,()12X=,,...,Tn x x x 〔其中T 表示矩阵的转置〕, ()12,,...,Tm B b b b = ,那么方程〔1〕的矩阵形式为 AX B =.把方程〔1〕的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式111211212222AA XB A A X B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中 111111........................r r rr a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111121........................r n rr rn a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()11112A A A =，111211........................r r r m mr a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111221........................r r r n mr mn a a A a a ++++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()22122A A A =，()112...Tr X x x x =，()212...Tr r n X x x x ++=，()112...T r B b b b =，()212...Tr r m B b b b ++=，方程组〔1〕有解时，我们解方程组〔1〕时总是把〔1〕化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理2.10. 设方程组〔1〕有解且()()11,r A r n r A r =≤=，那么方程组()1112A A X B =与AX B =同解.例2.11．方程组1112132223243132333441424344212212330x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪--=⎪⎨+++=-⎪⎪+++=⎩ 〔2〕求此方程组的解并证明此方程组和方程组111213222324212x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩ 〔3〕同解.解：令1210011111212331A ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11121210()0111A A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，其中 111201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，1210B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，112B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011210112101011120111201112112110111200000233100111200000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以此方程组的齐次线性方程组的解为1232111001c c --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又3200-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是方程组的一个特解，所以此方程组的解为 12323112100010c c ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由上可知()2r A =并且11()2r A =，所以由定理3可证方程组〔2〕和〔3〕同解. 2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理2.12.如果方阵~A B ，方阵~C D ，那么00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 证明因为方阵~A B ，方阵~C D ，所以 110000000000E A XE X Y C E Y E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11110000000000A XB X X AXC YD Y Y CY ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，而 1110000E XY E ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭1100E Y --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100X E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0000XE E Y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题定理2.13.设0A M C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,A 为m n ⨯矩阵，B 为k l ⨯矩阵，那么有()()()r M r A r B ≥+，且0C =时，()()()0A r M r r A r B C B ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦ 证明设A 在初等变换下的标准形为1000rE D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()r r A =，又设B 在初等变换下的标准形为 2000sED ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()s r B =，那么，对M 前m 行前n 列作初等变换，对它的后k 行后l 列也作初等变换可把M 化为11120D C M D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，现在利用1D 左上角的1经列初等变换消去1C 位置中的非零元；再用2D 左上角的1经行初等变换消去它上面1C 处的非零元素，于是把1M 再化作220000000000000r s E C M E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么有 ()()()()()()122r M r M r M r s r C r s r A r B ===++≥+=+.利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式.例2.14. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n l ⨯矩阵，假设0AB =，那么()()r A r B n +≤. 证明因为()()00000000n n n n A AB A r A r B r r r r r n E B E B E B E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=≤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 ()()r A r B n +≤.例2.15. 设A 、B 都是n 阶矩阵，求证：()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明：因为 0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(1)E -⨯+−−−−→0A AB A B +⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)()(2)B E ⨯--+−−−−−→00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以 0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦00A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，又0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦都可逆，所以 000A AB A B A r r B B ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 ()0A AB A B r r AB A B B ++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦ 又 ()()00A r r A r B B ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，所以 ()()()r AB A B r A r B ++≤+. 2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.定理2.16. 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 AB BA I == 那么矩阵称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵.假设,A B 都可逆，那么 100A B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100A B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A A CB B ----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A B CAB ----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, 1111110000kk n k n k E A B E A B A CA E C D E D -------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中1D 1D CA B -=-.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.例2.17. 矩阵1200210000120025A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求1A -. 解：可以将矩阵A 分成四块12A 00A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 1221⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2A 1225-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，根据分块矩阵的性质，1A -111200A A --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而1A ，2A 为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为 11A -12552155⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，12A -5221--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，所以 1A -12005521005500520021⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦ 2.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有根本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定理2.18. 设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如方程AX X λ=,存在非零解向量，那么称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为与特征值λ对应的特征向量.定理2.19.设A 为n 阶矩阵，含有未知量λ的矩阵I A λ-称为A 的特征矩阵，其行列式I A λ-为λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式0I A λ-=称为A 的特征方程，λ是矩阵A 的一个特征值，那么一定是0I A λ-=的根，因此又称为特征根.假设λ是0I A λ-=的i n 重根，那么λ称为A 的i n 重特征值.引理2.20.设A 为n 阶矩阵，那么A 为幂等矩阵的充要条件()()r A E r A n -+=，这里E 为n 阶单位矩阵，()r A 表示A 的秩.引理2.21.幂等矩阵()1112A A X B = 与000rE ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 或000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦相似，其中()r r A =. 例2.22. 设12,,A A A 均为n 阶方阵，且12A A A =+，()()(),1,2i i r A r r A r i ===，求证：假设212,A A r r r ==+，那么12,,A A A 的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.证明：〔1〕当A 可逆时，即()r A n =，因为2A A =，所以A E =，又 12r r r =+，12E A A =+，由得()()()12r A r A r A n =+=，由引理2.20得到211A A =.同理222A A =，所以1A ，2A 是幂等矩阵，由引理2.21得10~00rEA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，200~0r A E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12,,A A A 和E ，000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦，000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有相同的特征根，所以12,,A A A 的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等.〔2〕当()0r A =时，即0A =，结论显然成立.〔3〕设0r n <<，即A 为非零由布可逆矩阵，又因为2A A =，故存在可逆矩阵P 使11112P AP P A P P A P ---=+，()r r A =，令 000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦1112111221222122A A B B A A B B ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这里 ()1ij P AP A -= ()121111ij r P A P B E A B -=⇒=+，所以 ()()()()()1111111111=r r A B r A r B r A r B r +≤+≤+=，从而 ()()()()()1111111112=r r A B r A r B r A r A r +≤+≤+=，又因为 ()()()11121100r A r A A B -≥-≥， r ，从而 ()()111r A r A =，()211r A B =，这样1111Er A B =+，且()1111r A B r +=，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q ，使11110Q=00r E Q A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，211100Q=0r Q B E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 111112n-n-n-n-00000000000rr r r r E Q QQ Q P A P P A P E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122n-n-n-n-00000000r r r r A A B B Q Q Q Q A A B B E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122Q A Q Q A Q B Q Q B A Q A B QB ----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设 1111122122Q A Q Q A A Q A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1121111222000r E C C G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又因为11211111222000r E C r C r G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以21120,0G G ==，设 211111112r 212122*********W Q B QQ B E W B QB Z Z B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，同上可得110Z =，110W = ，故111121120,0,0,0C G W Z ====，又1111112212222000000r E Q A Q Q A A Q A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，从而220A =，同理 211111221220000000r Q B QQ B E B QB --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，100n r Q T P E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故有1210000,000rrET AT E-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12111200000000,00000000rrET AT T A T E--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，综上所述,结论成立.小结本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关内容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的表达充分表达了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的表达中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.参考文献[1] 蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2007：141-149.[2] 杜之韩,刘丽,吴曦.线性代数[M].成都：西南财经大学出版社，2003：61-68.[3] 郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].唐山师专学报，1999(5):37-38.[4] 王萼芳.线性代数学习指导[M].北京：清华大学出版社，2021：104-108.[5] 祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2021：1-4.[6] 孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006〔5〕：24-25.[7] 王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报，2021〔3〕：98-99.[8] 严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建播送电视大学学报，2006〔59〕：71-73.[9] 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分块矩阵的应用毕业论文

本科毕业论文题目分块矩阵的应用院别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级姓名学号2011 年 5 月16 日分块矩阵的应用目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)1引言 (1)2分块矩阵及其性质 (1)2.1分块矩阵 (1)2.2分块矩阵的性质及其推论 (1)2.3分块矩阵常见的分块方法 (3)3分块矩阵在证明方面的应用 (4)3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用 (5)3.3分块矩阵在相似问题中的应用 (6)4分块矩阵在计算方面的应用 (7)4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用 (7)4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (9)4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用 (11)4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用 (12)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)内江师范学院本科毕业论文摘要：分块矩阵是线性代数中的一个重要工具，在理论研究和实践计算方面都有广泛的应用．特别是在处理阶数较高的矩阵时，分块之后，可以使矩阵的结构更加清晰明朗，从而使一些矩阵的相关表达和计算简单化，进一步用来解决很多与矩阵相关的问题．在分析和总结分块矩阵的概念和性质的基础上，提出了分块矩阵在计算和证明方面的应用，主要包括矩阵的秩、矩阵的相关性理论、相似问题、以及行列式的计算、逆矩阵的求解、以及矩阵方程等方面．关键词：分块矩阵；矩阵分块；证明；计算Abstract：The partitioned matrix is an important tool of linear algebra, in theoretical study and practical calculation are widely used in processing order number. Especially when high matrix, block after, can make the matrix structure more wide-awake, which makes some matrix expression and calculation related to solve many further simplification, with matrix related problems. In analyzing and summarizing the partitioned matrix of the concepts and properties was put forward on the basis of partitioned matrix in computing and proof applications, including matrix rank, matrix correlation theory, similar problems, and determinants of calculation, inverse matrix of solving, and matrix equation.Keyword：The partitioned matrix; Matrix block, Proof; calculation1 引言在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据．矩阵作为数学工具之一有着重要的实用价值，它常见于许多学科中，如线性代数、线性规划、组合数学、统计分析等．在实际生活中，很多问题都是借用矩阵抽象出来进行表述并加以解决的，比如一些电脑的应用如VLSI 芯片设计上都有分块矩阵的思想．矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，但对于矩阵的运算和应用，则有很多问题值得我们去研究，尤其是当矩阵的阶数比较大时矩阵的运算和证明将是一个很繁琐的过程，因此这时我们需要一个新的矩阵处理工具，在这种情况下，分块矩阵的思想就产生了．在高等代数中，对高阶矩阵的处理是矩阵相关内容中重要的一部分，分块矩阵揭示了一个复杂或是特殊的矩阵的内部本质结构，本文即是通过查阅相关的文献资料和学习相关的知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，通过具体的实例的应用来突出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性．2 分块矩阵及其性质2.1分块矩阵定义[1] 用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：111212122212t t s s st A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中每个小矩阵()1,2,,;1,2,,ij A i s j t ==叫做矩阵A 的一个子矩阵；分成子块的矩阵叫做分块矩阵．运算规则[2]()()()()()()()()()1(1);(2);(3),1,2,;1,2,,.ij ij ij ij stststT Tij ij ststtij ij ij ij ik kj sttpspk A B A B A A A B C C A B i s j p =±=+====,=∑在用规则(1)时，A 与B 的分块方法须完全相同；用规则(3)时A 的列的分法与B 的行的分法须相同．2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式的计算中我们经常用到下列三条性质[3]（1）若行列式中某行(列)有公因子，则可提到行列式号外面；（2）把行列式的某两行(列)互换位置，其值变号，（3）把行列式的某行(列)乘上某一个非零数，加到另一行(列)去，其值不变利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质1 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123123123A A A H MB MB MB C C C ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭，则H M H '=⋅．性质2 设H 和H '写成如下形式123123123123123123,A A A B B B H B B B H A A A C CC C C C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，则,,H s H H s ⎧⎪'=⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时.性质3 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123112233123A A A H MC B MC B MC B CC C ⎛⎫⎪'=+++ ⎪ ⎪⎝⎭，则H H '=．推论1 设,A B 都是n 阶方阵，则有A B A B A B BA=+⋅-．证明根据性质3并应用于列的情况，有A B A B B A BABA++=，根据性质1有A B B A E E A B A B A B BABA++=+⋅=+⋅-，则A B A B A B BA=+⋅-．推论2 设,A B 都是n 阶方阵，则有AB A B =⋅．证明作2n 阶行列式0AB AC E=，由拉普拉斯展开定理得：C AB E AB =⋅=．又根据性质3并应用于列的情况,有：000AB A AB AB A AA B EEBEB E-===⋅--，则AB A B =⋅．推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则有A B AD BC C D=-．证明根据性质3，由A ≠0知1A -存在，并由AC CA =，用()1CA --乘矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭的第一行后加到第二行去得：10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭，从而1110A B A B A D CA B AD ACA B AD CB CD D CA B ---⎛⎫==⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 2.3分块矩阵常见的分块方法[2]矩阵的分块技巧较强，因此要根据不同的问题进行不同的分块，常见的分块方法有四种：(1)列向量分法 ()12,,,n A ααα=，()1,2,,i i n α=为A 的列向量.(2)行向量分法12n A βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()1,2,,i i n β=为A 的行向量．(3)分成两块()12,A A A =其中12,A A 分别为A 的若干列,或12B A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中12,B B 分别为A 若干行.(4)分成四块1234C C A C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭．对分块矩阵还可以进行广义的初等变换,广义的初等变换分为三种: (1)交换分块矩阵的两行(列)；(2)用一可逆阵乘以分块矩阵的某一行（列）； (3)用某一矩阵乘某一行（列）加到另一行（列）. 根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵[4]：（1）00mn E E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）00,,,00A E A B E B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭均为可逆矩阵；（3）0,0E E B A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的相关的秩的相关证明中的应用定理1[2] ()(),R A R B 分别为矩阵,A B 的秩，则()()()R A B R A R B +≤+．例１设,A B 分别为,s n n m ⨯⨯阶矩阵，则()()()R A R B R AB n +≤+.证明构造分块矩阵0nEB A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对0nE B A⎛⎫⎪⎝⎭进行广义初等变换，则000n n nE B E B E AA AB AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 根据矩阵初等变换的性质有()()()000n n n E B E R R R E R AB n R AB AAB ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，而()()0nE B R R A R B A⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以()()()R A R B R AB n +≤+．利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一种是利用已知矩阵作为元素来拼成高阶数的矩阵来证明，另一种方法就是将已知矩阵拆成阶数较低的矩阵来证明．这两种方法在证明问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题，都可以用分块矩阵来证明[5]．3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性性及矩阵的分解中有着广泛的应用，但要达到运用自如却非易事，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境．作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们往往容易忽略它重要的一点---矩阵分块的作用．下面就通过一些例子介绍一下它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.定理2[2] 矩阵A 列线性无关的充要重要条件是0AX =只有零解．推论4 设0st A ≠，则（1）st A 的列线性相关（即()R A t <）的充要条件是存在0ts B ≠使0AB =；（2）st A 的行线性相关（即()R A s <）的充要条件是存在0ts C ≠使0CA =．证明(1)充分性设A 的列线性相关,由定理2，存在0b ≠使0Ab =，作(),0,,0B b =，则0B ≠，故0AB =．必要性设有0ts B ≠，()12,,,s B b b b =，i b 为B 的列向量，1,2,,i m =且0i b ≠，使0AB =，即()12,,,0s Ab Ab Ab ≠，因0i b ≠，由定理2可知，A 的列线性无关．类似可证(2)．例2 矩阵A 列线性无关，AB C =，求证：C 列线性无关的充要条件是B 列线性无关．证明充分性要使0CX =，即()0A BX =，记BX Y =，则0AY =．因A 列无关，须0Y =，即0BX =，又B 列无关，须0X =，从而C 列无关．必要性要使0BY =，两边左乘A ，则0ABY =，即0CY =，又C 列无关，即0Y =，则B 列无关．矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵，因为矩阵的行（列）都可以看作是矩阵的子块，在处理矩阵的分解问题时也是一样，在线性代数中还有很多问题也可以分块矩阵来解决．例3 设()mk R A γ=，则（1）()(),,mj jk M N R M R N γ∃==，使得A MN =；（2）()(),,mk kk H S R H R S γ∃==，使得A HS =．证明 ,,0,0mm kk P Q P Q ≠≠，使000mkI PAQ γ⎛⎫=⎪⎝⎭， 11000mkIA P Q γ--⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． (1)将1P -与1Q -作如下的分块：()11,,jk mj N P M L Q G --⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()0,00jk nj N IA M L MN G γ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因000000000mk mk kk I I I γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1100,0000mk kk mk kkI I H P S Q γγ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得A HS =．3.3分块矩阵在相似问题中的应用众所周知，若,A B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶非奇异矩阵存在，使得1P AP B -=成立，则称矩阵A 与B 相似．但如果,A B 的阶较高，在证明的过程中找到一个n 阶非奇异矩阵变得非常困难，而分块矩阵通过证明矩阵中小矩阵的相似达到证明大矩阵相似的目的，为相似矩阵的证明提供了一种新的思路[7]．例4 如果方阵~A C ，方阵~B D ，则00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.证明因方阵~A C ,方阵~B D ，则11110000000000000000E A X E A XX X Y B E Y B Y E Y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11000CX AX D Y BY --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而1111111000000000000E E XE X X Y Y E Y E E -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 4分块矩阵在计算方面的应用4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用在线性代数中，分块矩阵是一个重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，还可以利用分块矩阵来解决行列式的计算问题．事实上，利用分块矩阵来计算行列式时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果．本节将给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法．定理3[2] 设矩阵12*s A A H A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭或12*s A A H A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,,s A A A 均为方阵，则12s H A A A =．定理4[2] 设,A B 分别为m 与n 阶方阵．则： (1)当A 可逆时，有1A D A B CA D CB-=⋅-；(2)当B 可逆时，有1A D A DB C B CB-=-⋅．推论5 设,,,A B C D 分别是,,,m n n m m n ⨯⨯矩阵，则（1）m E D B CD CB=-；（2）nA D A DC C E =-；（3）m m mE D E DC CE =-．证明只需要在定理4的（1）中令m A E =，即可证得；在(2)令n B E =，即可证得；在(3)中令,m m A E B E ==，即可证得．例5 求2n 阶方阵()0a b a bH a b ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式．解令,a b A B a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B H B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又0a ≠则0,A A ≠可逆，由定理4（1）可知1H A A BA B -=-，而12112a a b A BA B a a b ---⎛⎫-⎪-=⎪ ⎪-⎝⎭，由此可得()()()1121222,nnnnA BAB a a bH a a a bab----=-=-=-．例6 计算下列行列式（1）()012111100100,0,1,2,,1i na a a a i n a ≠=；（2）1231231000010000100001n na a a ab b b b c．解（1）设A D H C B=，其中()0A a =，12n a a B a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,,1TC =，()1,1,,1D =，因为0,1,2,,i a i n ≠=，所以B 是可逆矩阵，则1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑，从而由定理4中的（2）得112011nn i i A D H A DB C B a a a a CBa -=⎛⎫==-⋅=- ⎪⎝⎭∑．（2）设n E DH C B=，其中()()()1212,,,,,,,,Tn n B c C b b b D a a a ===．由于()()12121,,,,,,nTn n j i i CD b b b a a a a b ===∑，从推论5知1nn j i i E D H B CD c a b CB===-=-∑．行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，利用分块矩阵，求解行列式时应具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程，达到快速解决问题的目的． 4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用求分块矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对阶数较高的矩阵运算量比较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可以起到事半功倍的作用．定理5[8]设A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中B 为r 阶方阵，当B 与()1C DB A --都是可逆矩阵时，则H 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111C DB A DB C DB A H B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎛⎫--- ⎪= ⎪ ⎪+---⎝⎭，特别地（1）当0,0A D ==，B 与C 都可逆时，有11100C HB---⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）当0,0A D =≠，B 与C 都可逆时，有111110C DB C HB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）当0,0A D ≠=，B 与C 都可逆时，有111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭．定理6[8] 设A B G CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中A •为r 阶矩阵，D 为k 阶矩阵，当A 与()1D CA B --都是可逆矩阵时，则G 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111A AB D CA B CA A B D CA B G D CA B CA D CA B --------------⎛⎫+--- ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭，特别地（1）当0,0B C ==，A •与D 都是可逆时，有11100A G D ---⎛⎫=⎪⎝⎭；（2）当0,0B C ≠=，A •与D 都是可逆时，有111110A A BD G D -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）当0,0B C =≠，A •与D 都是可逆时，有111110A G D CAD -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭．例7 求矩阵3521214335400000200003400H ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵．解令4000035212,,020,001433503400A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原矩阵A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由定理5中(3)知111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭．先求出矩阵,B C 的逆矩阵，从而得到111004521,0031231084B C --⎛⎫ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则111111000041000023100084135271435331284C H BB AC -----⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪----- ⎪⎪- ⎪⎝⎭．注：在用分块矩阵求逆矩阵时，常常针对几种特殊的情形，对一般矩阵而言，此种方法并没有多大的实用价值！相比较而言，初等变换更具优势．这启示我们要具体问题具体分析，培养求简的数学精神和实事求是的科学态度． 4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用设矩阵方程形如AXB C =，其中,A B 分别为,m n 阶可逆矩阵，求X ．我们容易知道解为：11X A CB --=，对此我们需要先求得11,A B --，再求得11A CB --．有时这样计算比较复杂，对此我们需要一个简便的方法[9]．由于AXB C =，同时取行列式可得AXB C =，即0C AXB -=，对此我们可以用分块矩阵的方法构建一个行列式，可得100000CAX BX -=•，其对应的矩阵为10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭•，经过广义的初等变换可得 111100000m m n nA CB E X E X X E X E X ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11X A CB --= 但此方法仍比较繁琐，对此我们需要对此进行简化，由初等变换我们知道矩阵10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中的第二行和第二列以及1X -都对初等变换没有作用，可以说是多余的，去掉第二行和第二列，1X -的位置用0代替，这样我们得到了一个新的矩阵0CA B ⎛⎫⎪⎝⎭，在经过一系列初等变换得到110m nA CB E E --⎛⎫⎪⎝⎭，即：0m nX E E ⎛⎫⎪⎝⎭．由此我们就可以通过构造分块矩阵然后通过初等变换求得X ．例8 求解满足条件的X ．1112315110141432115X --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解构造分块矩阵得：2311114110153211500014000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭620100516010********00014000-⎛⎫⎪- ⎪⎪−−−−−→-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭一系列初等变换−−−−−→一系列初等变换410100490103120011000001000--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故41049312X --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用定理7 [10] 如果A 是一个n 阶非奇异矩阵()(),,1,2,,ij A a i j n ==，将A 进行分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,A A A A 分别是,,,k k k m m k m m ⨯⨯⨯⨯矩阵，若22A 是非奇异方阵，那么一定存在一个上三角分块矩阵112220km I A A M I -⎛⎫-=⎪⎝⎭，使得21220C MA A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵．对于该结论用来解决n 个方程的非齐次线性议程组是比较方便的．设非齐次线性方程组为11112211211222221122+++n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩，该方程组可写成矩阵方程AX B =．其中A 为系数矩阵，11,n n x b X B x b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若0A ≠，则该方程组有唯一定解．现将矩阵A 分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并注意使220A ≠，同时将X 及B 进行分块，令1122,X B X B X B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1B 行数等于1112,A A 行数，2B 行数等于2122,A A 行数，则矩阵的方程可改成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同时左乘上三角分块矩11222km I A A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有11112222122220C X B A A A A X B -⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵．从而得到矩阵方程组11112222112222CX B A A A X A X B -⎧=-⎨+=⎩，解方程组可知12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．例9 求解方程组1234512345123451234512345224123428323434222233x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩．解将方程写成矩阵方程并进行分块，从而得到：111211212222AA XB A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这里，1112,21A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 12241342A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭2131,4311A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22121,422123A --⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭．首先求出22A 的逆矩阵12211325101112101011022A -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则11222510225132510A A -⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，在方程AX B =两端同时乘以112220km IA A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到12345610001042684000555311213434222111233x x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭----⎝⎭⎝⎭，解矩阵方程可得12414x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，3454713x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则所求方程组的解为123454144713x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．结束语本文主要是对分块矩阵在计算和证明中的应用，通过概念的介绍以及实例的说明，让人对分块矩阵这一工具的实用价值有所认识和了解，它既是一种解题的方法又是一种技巧．但它的应用并不仅仅是所举的几个方面，它还有更宽广的应用还有待于我们去深入的研究与探索．参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:人民教育出版社,1995:199-208.[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978:91-99,177-181.[3]林谨瑜.分块矩阵的若干性质及其应用[J].广东广播电视大学学报,2006,(02):109-112.[4]王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报,2008,(09):97-99.[5]杨子胥.用分块矩阵证明秩的一些性质[J].数学通报,1985,(03):74-76.[6]张锦来.分块矩阵及其应用[J].湖州师范学院学报,2008,(02):116-118.[7]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].高校理科研究,2008,(03):26-27.[8]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报,2010,(05):106-109.[9]刘红超.分块矩阵在两类矩阵问题中的应用[J].株洲师范高等专科学校学报,2005,(10):37-41.[10]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004,(04):50-53.。

矩阵的分块及应用

矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。

分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。

分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。

讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。

通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。

关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。

I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it isvery important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。

分块矩阵的应用研究文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学分块矩阵的应用研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念：分块矩阵的概念[]1：当矩阵的行数与列数较大时, 为便于运算, 有时把它分成若干个小块, 每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成, 这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵, 称为子块.如对矩阵A 分块如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1011012100100001A 其中记⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121,0000,10011A O E ,则A 可表示为分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=E A O E A 1 矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A 也可分块如下:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1011012100100001A 通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年.1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法.1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix 一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用.预备知识[][]32-分块矩阵的运算: 矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种：（1）列向量分法),,2,1(),,,,(21n i a a a a A i n ΛΛ==为A 的列向量.（2）行向量分发),,2,1(21n i A i n ΛM =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ββββ为A 的行向量.（3）分成两块),,(21A A A =其中21,A A 分别为B 的若干行.（4）分成四块⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321C C C C A 对分块矩阵可以进行广义初等变换，广义初等变换分为三种：（1）交换分块阵的两行（或列）；（2）用一可逆矩阵乘以分块矩阵的某一行（或列）；（3）用某一矩阵乘以某一行（或列）加到另一行（或列）. 根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡00nm E E ; （2）G D G E E D ,,00,00⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡均为可逆阵；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡E H E E ME,0. 分块矩阵的加法计算B A +时，若对AB 分块,则要求用子块表出的AB 应同型且对应位置的子块也应同型.如对矩阵A 分块为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E C O E A 1011012100100001则对B 也应予以同型的分块⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E G O D B 1026013600020021从而按分块相加，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+O G C D E B A由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+122202211001D E 因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+0026003642123122B A 分块矩阵的乘法计算AB 时，若对B A ,分块，则要求用子块表出的A 的列数等于用子块表出的B 的行数且对应的子块ij A 与pq B 应满足.p j =如对矩阵A 分块如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E CO E A 1011012100100001可对B 分块如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=E G O D B 1026013600020021则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=E GC CGDE G O D E O C E AB 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+238125263642310221CG D 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=102601364223831125AB 分块矩阵在矩阵中是一块重要内容，它是解决许多实际问题的提供方法，下面介绍个分块矩阵在解决线性代数问题中的一些简单应用[][]153-1. 用分块矩阵解决行列式问题在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.这里给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理1：设x ，y 为任意矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡p mI x I 0与⎥⎦⎤⎢⎣⎡p mI y I 0都可分解为第三类初等矩阵的乘积.（即对单位矩阵仅仅施行第三类初等变换就可使它的右上角或左下角变成给定的任何矩阵）.证明：任取)(max ij y y =，把单位矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=p mI I I 00的第一列的11y 倍，第2列的21y 倍，……第m 列的1m y 倍，都加到第1+m 列上去；这时，I 的右上角第一列变化成y 的第一列.这相当于对单位矩阵作了m 次第三类列的初等变换.类似地，m 次列的第三类初等列变换，可使I 的右上角第二列化为y 的第二列，……因此⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=p mm I y I Q Q IQ 021Λ. 定理1（拉普拉斯定理）：设在行列式D 中任意取定了()11-≤≤n k k 行，由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .定理2 设B A ,都是n 阶矩阵，则B A AB =证：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000n n nn I AB AI B I B I A，由引理⎥⎦⎤⎢⎣⎡n nI B I 0可分解为第三类初等矩阵的乘积.因此，用它右乘一个矩阵M ，相当于对M 进行一系列的第三类初等列变换.从而不改变M 的值.所以0nnI AB A BI A -=-两边均对后n 列用拉普拉斯定理，得左边==B A 右边AB I AB n nn n =--=++++++)()1(2)1()21(ΛΛ.例1 求证：()n n nnβαβαβααααβββ+++-=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112121010010001证明：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A B BA I I I AB B A I I I 000由引理和拉普拉斯定理，两边取得列式，得B A B A A B B A -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 例2 计算下面2n 阶行列式()02≠=a bcb c d a da H n ON N O解令.,,,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=d dD c c C b bB a aA O O O O 为n 阶方阵.由于0≠a ，故A 为可逆方阵.又易知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-----d ca b dca b d ca b D CA B 1111O从而得出()().112nnn n cd ab d ca b a D CA B A B C D A H -=-=-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--2. 利用矩阵分块的方法求逆矩阵求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决, 而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大, 对某些矩阵可以适当分块后再进行运算, 可起到事半功倍的作用.例3 设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=6000004000001001095201473M ，求1-M .解：令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=600040001,000000,109014,3275D C B A 则很容易求得，,61000410001,327511⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--D A且.21211967454361000410001109014327511⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---BD A .610000041000001002121193267454375011111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴-----D BD A A M例4：求矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0043000020000045300021000M 的逆矩阵.解：设.000000,430020004,5321,000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A则,4183002100041,13251⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-C B 由定理可得，.001300025418300002100000410000111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---BC M 3. 用分块矩阵求解非齐次线性方程组在线性代数中，我们知道：如果A 是一个n 阶非奇异阵(),,,3,2,1,,n j i a A ij Λ==将A进行分块,22211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A A A 其中22211211,,,A A A A 分别是k m m k k k ⨯⨯⨯,,和m m ⨯矩阵.若22A 是非奇异方阵，那么一定可以找到一个上三角分块矩阵,012212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-m kI A A IM 使得,02221⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A AG MA 其中,211221211A A A A G --=且G 是非奇异阵.对于该结论，如果用来求解n 个方程的非齐次线性方程组是比较方便的.可按如下过程求解：设非齐次线性方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1）将（1）式写成矩阵方程为B AX = （2）这里A 为系数矩阵.,2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b B x x x X M M 若A 是非奇异阵，即,0≠A 则方程组（1）有唯一确定的解. 将阶阵A 分块：,22211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A A A 并注意22A 是非奇异阶阵，同时将X 及B 进行相应的分块.可令：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121,B B B X X X ,1B 的行数等于1211,A A 的行数，2B 的行数等于1211,A A 的行数.则矩形方程（2）可写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡212122211211B B X X A A A A （3）将（3）式两端分别左乘上三角分块矩阵,012212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-m kI A A IM 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21221212122210B A A B X X A A G（4）其中211221211A A A A G --= ()0≠G .方程（4）分解成以下两个矩阵方程⎩⎨⎧=+-=-22221211221211B X A X A A A B GX （5）因()0≠G ，故(),212212111B A A B G X ---=再将1X 代入2222121B X A X A =+中，得.1212222X A B X A -= ().12121222X A B A X -=-由此，得.21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X X X例5 已知,82593122⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=A 求一个24⨯的矩阵B ，使得0=AB ，并且秩()2=B 解：我们把矩阵B 按列分块()21,B B B ，由0=AB 即是()0,21=B B A 所以B 的每一列即是0=AX 的解，又因为秩()2=B ，所以21,B B 线性无关由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81185102321112112540232111825923211182593122⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→8118510818101 所以⎪⎩⎪⎨⎧+=-=432431811858181x x x x x x （43,x x 为自由未知量）现分别令1,043==x x 及0,143==x x 得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=018581,108118121X X 事实上21,X X 就是0=AX 方程组的基础解系，显然21,X X 线性无关.故我们方可令2211,X B X B ==,所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==0110858118181,21B B B例6 求解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-+---=-+++=-+-+=+-+--=-+-+332224343238243214225432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解将方程写成矩阵方程，并进行分块，有.212122211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X A A A A 这里.321224121,113413,243142,122122211211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A A A A 先求出22A 的逆矩阵.21021101101211035121122⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-A 计算.10351252102512212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--A A 将方程（2）两段左乘以矩阵,03122122⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-I A A IM 得到：.32358410321112243412113000565420001654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------x x x x x 解矩阵方程 .21245144113413323,144584105654216,584105654216121212121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---X A B x x x x 所以().137421245210211011012110351211212122543⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-X A B A x x x 所求方程组的解为.13,7,4,14,454321==-=-==x x x x x4. 用分块矩阵证明秩的问题例7 设A,B 分别是p n n m ⨯⨯,的矩阵，则()()(){}B r A r AB r m in ≤矩阵乘积的秩不超过各因子矩阵的秩.证明：先证()()B r B A r ≤⋅.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn ma in i n a L a L L La L a L L L a L a A 1111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m i B M B M B B 1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m i C M C M C AB 1 其中n B B ,,1Λ分别表示B 的1，2，…，n 行，n C C ,,1Λ分别表示AB 的1，2，…，m 行，由分块矩阵乘法性质得()m L i B a C nj iij i ,,11==∑=，即AB 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，在高等代数中我们知道如果向量组r i a a ,,Λ可以经向量组i i b b ,,Λ线性表出，则()()i r b L b r a L a r ,,,,11≤，所以()()B r AB r ≤.再证()()A r AB r ≤设(),,,,,1111121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==np nj n p j n n L b L b L L L L Lb L b L b B A A A A Λ ()p j D D D AB ΛΛ1=则由分块矩阵乘法规则可得()∑===ni i j p L j A b D 1,,2,1即AB的行向量组可由A 的列向量线性表出，所以()()A r AB r ≤由此得()()(){}.,m in B r A r B A r ≤⋅三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）本论文论述了分块矩阵的概念，分析了分块矩阵的性质，讨论了分块矩阵的应用问题.最后对分块矩阵的重点、难点进行归纳，给出恰当的例子.本论文重点是研究分块矩阵的应用问题.查阅各种相关文献，对各文献进行归纳总结，提取各文献中关于定积分的相关内容，系统的进行总结.其中的难点在于如何利用分块矩阵解决相关问题.相信我经过跟多的研究分块矩阵会有更多的应用.四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]张政修，曹承宾，王尚文．经济数学基础—线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2]王秀芳．分块矩阵的应用讨论[J]．连云港师范高等专科学校学报，2008，9：97-99．[3]张敏．分块矩阵的应用[J]．吉林师范大学学报，2003，2：118-120．[4]严坤妹．分块矩阵的应用[J]．福建广播电视大学学报,2006：71-73．[5]王莲花，李念伟，梁志新．分块矩阵在行列式计算中的应用[J]．河南教育学院学报,2005，3：12-15．[6]刘红旭．利用分块矩阵求解非齐次线性方程组[J]．辽宁师专学报,2003，6：21-22．[7]周兴建．分块矩阵及其应用[J]．科技资讯,2007：126-127．[8]孔庆兰．分块矩阵的应用[J]．枣庄学院学报,2006，10：24 -26．[9]同济大学数学系．线性代数[M]．北京：高等教育出版社,2007．[10]孙要伟，郑远平[J]．牡丹江大学学报．2008，8：104 -107．[11]陈志杰．高等代数与解析几何[M]．北京：高等教育出版社,2000．[12]王萼芳．高等代数教程[M]．北京：北京大学出版社,2001．[13]丘维声．高等代数[M] ．北京：高等教育出版社，2000．[14]David C．Lay．Linear Algebra and Its Applications Third Edition [M]．BEIJING :Publishing House ofElectronics Industry ,2004．[15]彭国华，李德琅．Linear Algebra [M]．北京：高等教育出版社，2006，5．。

分块矩阵的应用论文

所以，
又，都可逆，
所以，
而
又，
所以 .
2.5用分块矩阵求逆矩阵的问题
分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.
[16]刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用[J].沧州师范专科学校学报,2006,22(4):40-41.
[17]李玉梅.分块矩阵的几个重要应用[J].怀化师专学报，2000，19(4)：77-78.
综上所述,结论成立.
小结
本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关内容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.
[5]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2009：1-4.
[6]孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006（5）：24-25.
[7]王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报，2008（3）：98-99.
[8]严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建广播电视大学学报，2006（59）：71-73.
计算结果得 .

高等代数小论文--分块矩阵及其应用

高等代数期中论文课程高等代数专业班级数学0802 姓名徐锴学号 ******** 指导教师牛敏分块矩阵及其应用主要内容1.分块矩阵1.1. 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s t t A A A A A A A A A 212222111211 其中每个小矩阵 .),1;,1(t j s i A ij==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2 运算规则()1 stij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 tsT ji st Tij A A )()(= ()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==tk kjik t j s i B A 1),...1,,...1( ()4 stij st ij A k A k )()(=(k 是数量) 在用规则1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:()1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;()2 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ()3 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质 1 设方阵A 是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 级方阵 .对于矩阵B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C MB MB MB A A A则B =MA证明设s E 为s 级单位矩阵 ,则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321000000C C C B B B A A A E M E s s =A E ME s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000 于是B =0000ssE ME A =s E M s E A =MA性质 2 设矩阵是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 阶方阵 .对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=321321321C C C MC B MC B MC B A A A D 则A =D证明由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s s sE E E 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321321321C C C MC B MC B MC B A A A 其中 s E 是s 级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得A =D性质 3 设方阵A 和'A 写成如下形式A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A ,'A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C A A A B B B 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是 s ×t 矩阵，则|'A |=⎩⎨⎧-为奇数时，当为偶数时当s A s A |||,|证明 A 可由'A 中的1B ,2B ,3B 与1A ,2A ,3A 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当s 为偶数时|'A |=A 当s 为奇时|'A |=-A可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 1 设A ,都是n 阶方阵,则有AB =A B ()2.6 证明作2n 阶行列式C =EA AB由拉普拉斯展开定理得C =AB E =AB又由性质2并应用于列的情况,有E A AB0=E EB A AB AB --0=EB A -0=B A nn n --+++++++2)1(21)1( =B A 推论 2 设,A B 都是n 阶方阵,则有AB BA =B A B A -+ 证明根据定性质2并应用于列的情况,有AB BA =A AB B B A ++=B A B B A ++0=B A B A -+ 例1 计算n 2阶行列式D =ab a b a b b a b a ba 000000000000000000000000解令A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 00000a 0000a 0000aB =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000 b b b 则 D =ABBA=B A B A -+=a b a b b a b a 00000000 ab a b b aba 00000000 ---- =n b a )(+n b a )(-=nb a )(22-推论 3 设,B ,C ,D 都是n 阶方阵 ,其中A ≠0,并且AC =CA ,则有DC BA=CB AD - ()2.8 证明根据性质2,因为1-A 存在,并注意到AC =CA ,用1C A --乘矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 的第一行后加到第二行中去得⎥⎦⎤⎢⎣⎡----B CA D B CA A 110 从而D C B A=110A C A B D C A B---- =A B CA D 1--=B ACA AD 1--B CAA AD 1--=CB AD- 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A ,B ,C ,D 都是n 级方阵则有AB =A B ABBA =B A B A -+ 结论()2.6告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论()2.7则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A ,B ,B ,A 时（即AB BA ）， 2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1 秩()AB≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B }[4]证明令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n aa a ,C =()12,s γγγ 则(s γγγ 21,)=()12,naa a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b bb b b212222111211 ∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()I I ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A令=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a aa a a212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nβββ 21即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由nβββ 21,()4线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C=秩()AB ≤秩()B即秩()AB ≤()()m i n {A B }秩，秩定理 2 设、都是n 级矩阵，若0A B =则秩()A +秩()B ≤n[5].证明对分块如下:()12nB B B B = 由于0A B =即()120nA B A B A B = 即()01,2,,i A B i n == 说明的各列B 都是0A X =的解.从而秩()12nB B B ≤基础解系=n -秩()A 即秩()A+秩()B ≤n3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011B C . ()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC 证明设P 可逆，且1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k r X AY C E X BY D Z AW C Z BW DE +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为可逆，用1-B 右乘（3.2）式可得代入（3.1）式得Y -11)(---A DB C 则X =11)(----A DB C D 1-B . 用右乘（3.4）式可得=()r E W D -1-B =1-B -1W D B - 代入（3.3）式得W =1B A -11)(---A DB C则可得Z =1-B +1B A -11)(---A DB C D 1-B .所以1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C . 命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CA D 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A特例（1）当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2）当B ≠0，C=0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D BD A A 1X Y D B-=（3）当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CA D A 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------6000004000001001095201473，求1-M . 解令=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001.则很容易求得1-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001 且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D O BD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/1000004/1000001002/12/119326/74/54375 3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中sA A A ,,,21 均为方阵，则 H =s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 : (1)当可逆时 ,有BCD A =A D CA B 1-- (3.5) (2)当可逆时 ,有BCD A =C DB A 1--B (3.6) 证明根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得(3.5).()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C D A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C C DB A 01两边取行列式即得(3.6).此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵. 证明 B C DE m=CD B - ( 3.7) nE CD A =DC A - (3.8) 证明只需要在命题1的(3.5)中令=m E , 即得(3.7);在(3.6)中令=n E ,即得(3.8). 推论2 ,C D 分别是n m ⨯和mn ⨯矩阵.证明 nm E CD E =CD E n -=DC E m - (3.9) 证明在推论1的(3.7)中,令=n E ,在(3.8)中,令=m E ,即得（3.9)例3 计算下面2n 阶行列式n H 2=bcb c d a da()0a ≠解令=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a ,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dd为n 阶方阵.由于0a ≠,故为可逆方阵.又易知-D CA1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b d ca b 111从而由命题1中()1得n H 2=AD C B=DCA B A 1-- =nn d ca b a )(1--=n cd ab )(-.例4 计算行列式()1);,,2,1,0(,00100100111121n i a a a a a i n=≠ ()2cb b b b a a a a nn3213211000100010001解 ()1 设=BC DA ，其中 =()0a ,=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，=T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i ,,2,1,0 =≠所以是可逆矩阵.又易知 A -C DB 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1从而由命题1中的结论()4.2得BC D A=1A DB CB -- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1 （2）设Q =BC DE n，其中 B =（c ），C =),,,(21nb b b ，D =Tn a a a ),,(21 由于C D =),,,(21nb b b Tn a a a ),,(21 =∑=ni ii ba 1从而由推论1知,=BC DEn=B CD -=c -∑=ni ii ba 1.3.2.2矩阵,A B C D==时行列式|H|的计算命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则AC CA=|A+C||A-C| 证明根据行列式的性质和定理，有AC CA =A A C C C A ++=C A C C A -+0 =A CA C +-. 例1 计算行列式.D =000xyzx zy y z x z y x解这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00x x ，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y z z y 由命题2知D =ACCA=C A C A -+ =yzx z x y++yzx z x y ----=])(][)([2222z x y z x y --+- =))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H =BC DA （,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,ABCD 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.。

分块矩阵的若干应用

分块矩阵的若干应用摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式.关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix.Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank目录1 引言 (4)2 分块矩阵的应用 (4)2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4)2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6)2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10)2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1.分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用.2 分块矩阵的应用行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法.2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以⨯22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ⎛⎫=⎪⎝⎭,则（1）当A 为r 阶可逆矩阵时, 1A B W A D C A BCD-==-;（2）当D 为n r -阶可逆矩阵时,1A B W D A BD CCD-==-.证明（1）由1100rrn r n r E A B E A B C AE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=10A D C A B -⎛⎫⎪-⎝⎭, 得1A B W A D C A BCD-==-.（2）由1100rrn r n rE A B EB D D CE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=100A B D C D -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 得1A B W D A BD C CD-==-.推论1 设,,A B C 都是n 阶方阵,且可逆,则A B A DD=,()210nA B B CC=-.推论2 设,A B 都是n 阶方阵,则有A B A B A BB A=+-.证明A B A B B BAB AA-=-0A B B A B A BA B-==+-+.推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵,则当AC CA =时,有AB ADC BCD=-,当D B B D =时,有A B D A BC CD =-.例1 计算行列式na ca ca cb b b a P0000321=,其中n i a i ,,3,2,0 =≠.解设()1a A =,()b b b =B ,()'c c cC=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a D0000032 .则032≠=n a a a D ,故D 为可逆矩阵,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----11312100000n a a a D, 得A B P CD=1D A B D C -=-()()[]11312132---+++-=n n a a a bc a a a a .注这里并不需要10a ≠的条件.在使用定理来计算阶行列式时,关键是对矩阵进行分块,构造出可逆矩阵A 或D .例2求矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭的行列式. 解设1111B ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则BB A B B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,且20B =-≠,故B 可逆.得 B BA BB=-02B B B=-()22B B =-=16.当我们看到这道题时,首先想到的是消去法,用这种方法解级数较高的矩阵计算量很大.但当我们观察到矩阵是有若干相同的矩阵构成时,用分块矩阵的方法是很简单的.例3 计算行列式00000000a b a b D b a ba=.解设00a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭,00b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 得A B D BA=A B A B =+-()()2222b a b a b ab aab ab-==---()222b a=-.这道题看似简单,但是如果方法选择不当,做起来并不简单.这里对矩阵进行分块,大大降低了计算量.在利用分块矩阵计算阶行列式时,需要根据具体情况把原行列式的元素组成的矩阵分成若干项,它需要学生具有较强的观察能力,这种方法特别能锻炼学生的思维,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强其探究意识.2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆n 阶可逆矩阵的逆矩阵求解普遍采取初等变换的方法.除此之外,用分块矩阵来求逆矩阵也是很简单的方法.命题1]3[ 00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,A B 分别是n 阶可逆矩阵,则00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明由11000000000000n n nn nnA E BE E BBE AE E A--⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得100A B-⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.推论 1 00C D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,C D 分别是n 阶可逆矩阵,则100C D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100C D --⎛⎫⎪⎝⎭. 命题 2 0A B D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵, 其中D B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110D BDA A . 证明由111110000n n nn nnA B E AE B D E AA B DDE DE E B-----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110DBDA A . 推论 2 0AB TC ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中C B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110CTBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 推论 30A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D CA D A T.推论 4 0B T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C B ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110C D B CTB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 例4已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00000011nn a a a T ,求1T -. 解令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12100000n a a a D,则00nD T a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,得 11100n a T D---⎛⎫=⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----00000011111n n a a a. 例5已知201302240010001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,求1A -．解设2002B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1324C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1001D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则0BC AD ⎛⎫=⎪⎝⎭,且1102102B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11001D --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 11132212B C D --⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭, 所以111111130222101220001001B B C D AD -----⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫-⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．求矩阵的逆可以用伴随矩阵,初等变换等方法来解决,而这些方法对级数较高的矩阵运算量较大,对某此矩阵进行适当的分块再进行运算,可起到事半功倍的作用.定理3 2n阶方阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,,,A B C D分别是n n⨯阶矩阵,则有（1）当A可逆时,则11111111 111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BTD C A B C A D C A B--------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭;（2）当B可逆时,则1111 111111111()()()()C D B A D B C D B ATB B ACD B A D B B A C D B A-------------⎛⎫---= ⎪+---⎝⎭;（3）当C可逆时,则11111111 111111()()()()C D B A C D C C D B A C D A CTB ACD B A C D A C--------------⎛⎫--+-= ⎪---⎝⎭;（4）当D可逆时,则11111 111111111()()()()A B D C A B D C B DTD C A B D C D D C A B D C B D--------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭.证明（1）由题意可知分块矩阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆,且方阵A可逆.因为11nnA B AE A BC D C D C A BE--⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且上式的右端仍可逆,故11()D C A B---存在.由定理2的推论2知11111111 00()()A AC D C A B D C A B C A D C A B--------⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,所以有11A BTC D--⎛⎫= ⎪⎝⎭1110nnAE A BE C D C A B---⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭11111110()()nnE A B AE D C A B C A D C A D-------⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111111111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BD C A B C A D C A B-------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭.例6 求矩阵a b a bc d c dTa b a bc d c d⎛⎫⎪--⎪=⎪--⎪--⎝⎭的逆矩阵,其中0ad bc+≠.解设a bHc d⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则H HTH H⎛⎫= ⎪-⎝⎭.又有001102022HH E H H E HH E HHE HEE HE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭1102211022H E E HEE ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭11111102211022E H HEHH ----⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,故1111112HHT HH -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 由11d b H ca ad bc ---⎛⎫=⎪---⎝⎭,得112()d b d b c a c a T db d b ad bc ca ca -----⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪---+ ⎪--⎝⎭.有些矩阵阶数较高,而且形如:100A TB ⎛⎫=⎪⎝⎭,200C T D⎛⎫= ⎪⎝⎭,11121220A M A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,11122220A A MA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11123210A A M A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12421220A M A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的分块矩阵,用分块矩阵来求逆较方便,可简化计算.2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组设非齐次线性方程组为11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（1）,将（1）式写成矩阵方程[4]为A X B=,其中A 为系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222111211,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nx x X1,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nb b B1.若A 是非奇异阵,即0A ≠,则方程组有唯一确定的解.将矩阵A 分块,得11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,且22A 是非奇异矩阵.同时将X及B 进行相应的分块,令12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11,X B 的行数等于11A 的行数,22,X B 的行数等于21A 的行数.则（1）可写成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）,将（2）式两端分别左乘上三角分块矩阵11222kmE A A M E -⎛⎫-=⎪⎝⎭,其中,K M 分别为112,A A的行数,则得()111112222111122222112222,.A A A A XB A A B A X A X B --⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩由于()111122221AAA A --的逆矩阵存在,故()()111111122221112222X A A A A BA AB ---=--.再将1X 代入21122A X A X B+=,得()12222211X A B A X -=-,由此得12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例7 求解方程组123451234512345123452241,23428,323,434222,23 3.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩ 解将方程写成矩阵方程的形式,并进行分块.令11122213311A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 12414221A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 21434111A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭, 222223A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 1183B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 223B -⎛⎫=⎪-⎝⎭, 得111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 且易得11112055111710210111222A -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,12221111237625A A A A --⎛⎫⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭,()112221111233526525152652A A A A --⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭,()()111222211112221111X A A A A BA AB ---=--13⎛⎫= ⎪⎝⎭,()11111122220X A B A X -⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,即得原方程组有唯一解123452,2,01,3x x x x x ==-===.我们看到,采用分块矩阵解法后,非齐次线性方程组的解向量的求得、基础解系的构成以及通解的表示都显得更加直观,解题步骤更加简练,从而有利于学生从更高起点去理解线性方程组的结构及存在性,也有利于加深对矩阵理论及其应用的认识.2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质关于矩阵的秩的一些性质的证明,一般有联系到齐次线性方程组的基础解系来证明的,有用矩阵的初等变换或高阶矩阵来证明.下面我们将充分利用分块矩阵来证明这些性质.这种方法带有一定的技能性,但并不难掌握.特别的是这种证法与其他方法比较,不仅证明本身显得非常简洁,而且也很统一,具有较大的优越性.定理1 设,,A B C 是n 阶矩阵,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤+B CAB A 0秩秩秩. 证明[5] 设秩()r A =,秩()s B =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000000000000000000000432143214321C C C E C E C C E C C E C C E C C E B CA s rs r s r 经过若干初等变换所以()()B A s r B C A 秩秩秩+=+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0. 易见,当0=C 时,等号成立,即()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+B AB A 00秩秩秩. 定理2 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵.若0=AB ,则有()()n B A ≤+秩秩. 证明()()n E B E B E AB B E AB AB A n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+00000000秩秩秩秩秩秩秩.定理3 设B A ,分别是s n ⨯,n m ⨯阶矩阵,则()()()AB n B A 秩秩秩+≤+.证明对矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0AB E n 进行广义初等变换, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛AB E AB BE A B E nnn 0000 则()()()AB n AB E AB BE A B E n nn 秩秩秩秩秩+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00. 而()()B A AB E n 秩秩秩+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,所以()()()AB n B A 秩秩秩+≤+. 综上可知,利用分块矩阵来证明矩阵秩的不等式,思路清晰流畅,充分展示了分块矩阵的优越性,因此是一种值得重视的好方法.结论矩阵是高等代数中的一个重要内容,也是高等数学的很多分支研究问题的工具.有时,为了研究问题的需要,适当地对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的,这样可以使矩阵的结构看的更清楚,使大量的高等代数的习题变得容易.分块矩阵是矩阵的一种推广,一般矩阵的元素是数量,而分块矩阵的元素可以是数量,也可以是矩阵.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力,其应用也就更广泛.本文主要研究分块矩阵在计算行列式、求矩阵的秩、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵的秩的一些性质等方面的应用.本文是对分块矩阵几个应用方面的说明及例子,可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值的有所认识和了解,它既是一种解题的方法又是一种解题技巧,但它的应用并不仅仅是所列举的几个方面,它还有更宽更广的应用还有待于我们去深入的探索与深究.参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003:46-47.[2] 廖军.分块矩阵求n阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004,17(2):164-168.[3] 王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学报,2007,23(2):82-84.[4] 刘红旭.利用分块矩阵解非齐次线性方程组[J].辽宁师专学报,2003,5(2):9-10.[5] 常训.用分块矩阵证明矩阵秩的不等式[J].菏泽师专学报,1995,2(2):7-11.致谢本学位论文是在我的指导老师何梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的,在这里请接受我诚挚的谢意！。

浅谈分块矩阵的应用毕业论文

长沙学院CHANGSHA UNIVERSITY毕业设计（论文）资料设计（论文）题目：浅谈分块矩阵的应用系部：信息与计算科学系专业：数学与应用数学学生姓名：班级：指导教师：最终评定成绩毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。

尽我所知，除文中特别加以标注和致的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。

对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了意。

作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部容。

作者签名：日期：目录第一部分毕业论文一、毕业论文第二部分外文资料翻译一、外文资料原文二、外文资料翻译第三部分过程管理资料一、毕业设计（论文）课题任务书二、本科毕业设计（论文）开题报告三、本科毕业设计（论文）中期报告四、毕业设计（论文）指导教师评阅表五、毕业设计（论文）评阅教师评阅表六、毕业设计（论文）答辩评审表2009届本科生毕业论文资料第一部分毕业论文（2009届）本科生毕业论文浅谈分块矩阵的应用系部：信息与计算科学系专业：数学与应用数学学生姓名：涛班级：一班学号 2005031110 指导教师：兰艳职称副教授最终评定成绩2009年5月学院本科生毕业论文浅谈分块矩阵的应用系（部）：信息与计算科学系专业：数学与应用数学学号：2005031110 学生：涛指导教师：兰艳副教授2009年5月摘要分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗,从而使一些矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 本文重点就分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析，通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解，所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念，我们需要透彻的了解分块矩阵并能很好学会在何时应用矩阵分块，从而研究它的性质及应用是非常必要的。

矩阵的分块及应用

武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：数学与计算机系专业（班级）：计算机科学与技术姓名：陈航学号: 20073011014指导教师：魏耀华职称：教授完成日期：年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。

分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。

本文讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。

通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。

关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。

AbstractPartitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is very important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices.Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。

[数学]数学与应用数学本科毕业分块矩阵应用.docx

本科毕业论文论文题目：分块矩阵的应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）分块矩阵的应用题目选题时间论文（设计）完成时间字数关键词分块矩阵，行列式，矩阵的秩，逆矩阵，特征值论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源和理论：论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：创新点：附：论文（设计）本人签名：年月日目录摘要 . (1)Abstract. (1)引言 . (2)1. 分块矩阵的定义及相关运算性质 . (3)1.1分块矩阵的定义 . (3)1.2分块矩阵的相关运算性质 . (3)1.2.1加法 (3)1.2.2数乘 (3)1.2.3乘法 (3)1.2.4转置 (3)1.2.5分块矩阵的初等变换 (3)2．分块矩阵的应用 . (4)2.1用分块矩阵解决行列式的问题 . (4)2.2分块矩阵在解线性方程组的应用 (7)2.3分块矩阵在相似问题中的应用 . (9)2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题 . (9)2.5用分块矩阵求逆矩阵的问题 (11)2.6分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用 (13)结论 . (16)参考文献 . (17)分块矩阵的应用摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，在线性代数中占有非常重要的地位。

分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。

本文将分块矩阵运用于行列式运算、解线性方程组、求逆矩阵的问题以及特征值的问题的求解，还包括有关矩阵秩的证明和矩阵相似问题。

关键词：分块矩阵；行列式；矩阵的秩；逆矩阵；特征值.Applications of Block MatrixAbstract: The matrix theory is not only a significant part of algebra, but also a subject which is worth studying, also it plays an important role in linear algebra. We can use block matrix to reduce the higher matrix to a lower rank so as to make the structure of matrix much clearerand simplify the related calculation, what , it can’besmoreused for proving some problems which are related to matrix. This article will use block matrix as a tool to solve those problems which are about determinant calculation, linear equation, inverse matrix and eigenvalue. Meanwhile ，the author will try to prove the matrix rand and the similarity to matrix.Keywords: block matrix; determinant; inverse matrix ; eigenvalue.引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的预算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。

浅析分块矩阵的性质和应用

浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。

本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。

利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。

关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆T entative Analysis of Properties and Applications of BlockMatricesAuthor Name：Zhou TianClass 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Scienceof Henan Polytechnic University SchoolSummary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices.Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix§1引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。

张白雪学年论文——浅谈分块矩阵的应用

本科学年论文题目浅谈分块矩阵的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师王彬班级 2010级2班姓名张白雪学号 20100241087目录摘要................................................................................... Ⅰ Abstract ...............................................................................Ⅰ 1引言................................................................................. .. 1 2分块矩阵在证明方面的应用.. (1)2.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 (1)2.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用 (2)2.3分块矩阵在关于矩阵列（行）向量线性相关性 (4)2.4分块矩阵在矩阵的分解 (5)3分块矩阵在计算方面的应用 (6)3.1分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (6)3.2分块矩阵在行列式计算式方面的应用 (9)3.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 (12)3.2.2.矩阵A=B,C=D时行列式|H|的计算 (12)结束语 (13)参考文献 (13)摘要：分块矩阵在降低较高级数矩阵的级数，简化矩阵的相关计算，以及矩阵相关问题的一些证明问题中有着广泛的应用.因此分块矩阵在高等代数中占有很重要的低位.本论文就分块矩阵应用于矩阵的秩和部分相关矩阵的证明，以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析，通过具体实例说明分块矩阵可使许多证明问题和计算问题迎刃而解.关键词：分块矩阵；证明方面；计算方面；应用Abstract：Block matrix to reduce higher number matrix series, simplified matrixcalculation, as well as the matrix problems associated with some problems in a wide range of applications. Therefore the block matrix in advanced algebra, occupies a very important position. In this thesis the block matrix is applied to the rank of a matrix and correlation matrix has proved problematic, as well as the inverse matrix and matrix determinant computation problems are analyzed, through specific examples of block matrix can make many problems and computational problems proved to be smoothly done or easily solved.Keyword：block matrix;proof;calculation;application1引言作为数学工具之一且其重要的实用价值——矩阵，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等,矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究,其中当矩阵的行数和列数都相当大时,矩阵的计算和证明中会是一很烦琐的过程.因此，这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分,分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.2 分块矩阵在证明方面的应用2.1 分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用定理 1 秩()AB ≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B } 证明令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n a a a ,C =()12,s γγγ 则(s γγγ 21,)=()12,n a a a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b b b b b 212222111211∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()II ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A 令C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由n βββ 21,()4线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C =秩()AB ≤秩()B 即秩()AB ≤()()min{A B }秩，秩定理 2 设A 、B 都是n 级矩阵，若0AB =则秩()A +秩()B ≤n . 证明对B 分块如下:()12n B B B B =由于0AB =即()120n AB AB AB =即()01,2,,i AB i n ==说明B 的各列i B 都是0AX =的解.从而秩()12n B B B ≤基础解系=n -秩()A即秩()A +秩()B ≤n2.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例1 设A 、B 都是n 阶矩阵,求证:秩()AB A B ++≤秩()A +秩()B 证明因为(2)(1)O B A AB A B A AB A E O B +++⎡⎤⎡⎤-⨯+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (1)()(2)B E ⨯--+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-E O E E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++B O B A AB A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E E E B E =⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-E O E E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E E E B E 都可逆所以秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡++B OB A AB A=秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A 而秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡++B O B A AB A≥秩[]B A AB ++ 秩⎥⎦⎤⎢⎣⎡B O O A =秩A +秩B 所以秩()B A AB ++≤秩()A +秩()B例2 设A 为m n ⨯矩阵,s A 是从A 中取s 行得到的矩阵,则()()s A A s m ≥+-秩秩证明不妨设s A 是A 的前行,而后m s -行构成的的矩阵为B ,则00s s A A A B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦又显然有()()()A B A B +≤秩秩+秩于是()()00s s A A A m s B ⎡⎤⎡⎤≤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦秩秩+秩秩证毕.利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明，如例1；另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.2.3分块矩阵在关于矩阵列（行）向量线性相关性命题1 矩阵A 的列线性无关的充分必要条件是AX =0只有零解. 证明令()12A ,,k A A A = ,其中iA ()1,2,,i k =⋅⋅⋅是A 的列向量，且02211=+++k k A a A a A a ()1,2,,i a i k =⋅⋅⋅为实数即()12,,,k A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k a a a 21=0 也即A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k a a a 21=0 若k A A A ,,21 线性无关,则有1a =2a =…=k a =0,AX =0只有零解，反之亦成立.例3 矩阵B 列线性无关,A BC =求证:C 列线性无关的充要条件是A 列线性无关. 证明充分性.要使0=CX ,即()0=AX B ，记Y AX =,则0=BY , ∵B 列无关，须0=Y ,即0=AX ,又A 列无关，须0=X ，从而C 列无关.必要性.要使0=AY ，两边左乘B ，则0=BAY ，即0=CY ，∵C 列无关，∴0=Y ，从而A 列无关.推论设0≠nk A ， (1)A 的列线性相关(即()k A <γ)的充要条件是存在km B ≠0,使AB =0; (2)nk A 的行线性相关(即()n A <γ)的充要条件是存在C ≠0,使CA =0.证明（1）()⇐设有km B 0≠，B =(m b b b ,,,21 ),i b 为B 的列向量,i =m ,,2,1 ,且0≠j b ，使AB =0，即（m Ab Ab Ab ,,,21 ）0≠，∵0≠j b ，而啊0=j b ,由命题1，A 的列线性相关.()⇒设A 的列线性相关.由命题1，存在b ≠0使Ab =0，作B =（0,,0, b ），则B ≠0，故AB =0.类似可证(2). 2.4分块矩阵在矩阵的分解中的应用命题 2 设γ(nk A )=γ, （1）,)()(,,βγγγγγ==∃N M N M k n 使则A =MN ; （2）,)()(,,γγγ==∃S R S R kk nk 使则A =RS ; （3）,)()(,,γγγ==∃S R S R nk nn 使A =RS .证明 ,0,0,,≠≠Q P Q P kk nn 使PAQ =nkI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ∴A =1-P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γI1-Q （1）将1-P 与1-Q 作如下分块:1-P=(),n M L γ，1-Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡H N k γ则A =(),M L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡H N =MN （2）令nnP =1-P nn I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ，∵nk I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ=nk I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γkkI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ令nn P =1-P nk I⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ，kk S =kkI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ1-Q 即得 , A RS =（3）因为nk I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ=nn I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γnkI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γ,nk S =⎥⎦⎤⎢⎣⎡000γI 1-Q 即得,A RS =.矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解问题也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决.3分块矩阵在计算方面的应用3.1分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1 设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011BC .()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC 证明设P 可逆，且1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有1-P P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =E 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++r kE E WD ZB WC ZA YD XB YC XA 00，于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k rXA YC E XB YD ZA WC ZB WD E +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为B 可逆，用1-B 右乘()4.2式可得1X YDB -=代入()4.1式得Y -11)(---A DB C则X =11)(----A DB C D 1-B .用B 右乘()4.4式可得Z =()r E WD -1-B =1-B -1WDB -代入()4.3式得W =1B A -11)(---A DB C则可得Z =1-B +1B A -11)(---A DB C D 1-B .所以1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C .命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CA D 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A 特例（1）当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2）当B ≠0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D BD A A （3）当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CAD A . 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------6000004000001001095201473，求1-M . 解令A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001.则很容易求得1-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001 且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D OBD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/1000004/1000001002/12/119326/74/54375例2 求矩阵M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0043000020000045300021000的逆矩阵.解设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡5321，C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡430020004，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000. 则1-B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1325，1-C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-4/18/3002/10004/1 由命题一可得：1-M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O11=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00013000254/18/300002/1000004/100. 本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块A B C D 、、、，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别A B C D 、、、中那些可逆那些不可逆,再具体运用.3.2分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中s A A A ,,,21 均为方阵，则H =s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 :(1)当A 可逆时 ,有BC DA =A D CAB 1-- ()4.5 (2)当B 可逆时 ,有BC DA =C DB A 1--B ()4.6 证明根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得()4.5.()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C D A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C CDB A 01 两边取行列式即得()4.6.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵A 或B 可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,A B C D 分别是,,m n n m ⨯和m n ⨯矩阵. 证明BC DE m =CD B - ()4.7 nE C DA =DC A - ()4.8证明只需要在命题1的()4.5中令A =m E , 即得()4.7;在()4.6中令B =n E ,即得()4.8.推论2 ,C D 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵.证明nm E CD E =CD E n -=DC E m - ()4.9证明在推论1的()4.7中,令B =n E ,在()4.8中,令A =m E ,即得()4.9. 例3 计算下面2n 阶行列式n H 2=b cb c d a da()0a ≠解令A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a ,B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b ，C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡d d 为n 阶方阵.由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知B -D CA 1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b dca b 111从而由命题1中()1得nH 2=A DC B=D CA B A 1-- =n n d ca b a )(1--=n cd ab )(-.例4 计算行列式()1);,,2,1,0(,01001001111210n i a a a a a i n=≠ ()2cb b b b a a a a nn321321100010000100001解 ()1 设Q =BC DA ，其中A =()0a ,B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，C =T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i ,,2,1,0 =≠所以B 是可逆矩阵.又易知A -C DB 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1从而由命题1中的结论()4.2得BC DA =1A DBC B -- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1（2）设Q =BCD E n ，其中B =（c ），C =),,,(21n b b b ，D =T n a a a ),,(21由于CD =),,,(21n b b b T n a a a ),,(21=∑=ni i i b a 1从而由推论1知,Q =BCD E n =B CD -=c -∑=ni i i b a 1.3.2.2矩阵,A B C D ==时行列式|H|的计算命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则ACC A =|A+C||A-C|证明根据行列式的性质和定理，有ACC A =AAC C C A ++=CA CC A -+0 =A C A C +-. 例1 计算行列式.D =0000xyzx z y y z x z y x解这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡00x x ，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡y z z y 由命题2知D =ACC A =C A C A -+=y z x z x y ++yz x zx y ---- =])(][)([2222z x y z x y --+-=))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H =BC DA （,,,ABCD 分别是,,m n n m ⨯和m n ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,A B C D 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.结束语本文通过大量的例题对分块矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关性等问题；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题.通过本文的论述，充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位，当然在对分块矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.参考文献[1] 百度百科.矩阵[EB]. /view/10337.htm#2[2] 胡茂林.矩阵的计算与应用.科学出版社，2008年5月.[3] 刘立.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用[J].沧州师范专科学校学报.2006.[4] 李玉梅，分块矩阵的几个重要应用[J].怀师范专学报.2000.[5] 北京大学数学系几何与代数研究室代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007[6] [美]y著，沈复兴等译，线性代数及其应用（第3版修订版）人民邮电出版社，2007.[7]张天德，蒋晓云著，线性代数习题精选精讲，山东科技技术出版社，2009.。

本科数学与应用数学毕业论文《分块矩阵行列式计算的若干方法》

分块矩阵行列式计算的若干方法摘要:矩阵是线性代数中研究的重要对象，也是数字计算中的一个重要工具，矩阵运算具有整体性和简洁性的特点。

我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。

为了研究问题的需要，适当的对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚，表达和运算更简便的特点。

矩阵分块的思想在线性代数证明以及应用中是十分有用的。

运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。

本文就将分块矩阵的思想运用到行列式的计算当中来，利用分块矩阵来计算行列式，并且得出一些简便的方法。

借助准三角形分块矩阵的行列式值的结果简化高阶行列式的计算。

例如，本文讨论了利用分块矩阵计算行列式的︱H ︱=BC DA 方法，即（1）当矩阵A 或B 可逆时；（2）当矩阵A=B,C=D 时；（3）当A 与C 或者B 与C 可交换时；（4）当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时等一些方法去探究分块矩阵行列式计算求值的若干方法。

关键词:分块矩阵；准三角形分块矩阵；可逆矩阵；行列式；计算；单位矩阵Several Measures Of Block Matrix In ComputingDeterminantAbstract ：Matrix is the important object which in the linear algebra studies, is also a important tool in the digital computation . The matrix operation with integrity and simplicity of the characteristics. We should pay attention to some special rules of the matrix operation fully.In order to study the issue of the need, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expression and computing easier.The thought of dividing matrix into blocks is veryimportant in proving and applying the linear e the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations . Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determinants for quasi-triangle piece matrices ，which does not change the nature of the determinnts ，For example,this article discussed the methods of computing ︱H ︱=B C DA with using blockmatrix. That is:(1)A and B are invertible matrixes;(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided into two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determinant for Calculating its valueKey words ：block matrix; quasi —triangle piece matrices ；inverse matrices ；determinants ； computation ；unit matrix目录1、引言.............................................................................................1 1.1、矩阵分块的意义...........................................................................1 1.2、关于矩阵的引理及符号..................................................................2 1.2.1矩阵的一些符号.....................................................................2 1.2.2关于矩阵的引理.....................................................................2 1.2.3 矩阵的分块和分块矩阵的定义 (3)1.2.4 分块矩阵的性质 (3)2、将分块矩阵分成方阵元素计算行列式 (5)2.1分块矩阵行列式计算的几种情况 (5)2.1.1分块矩阵的元素可逆 (5)2.1.2分块矩阵有元素相等的情况 (8)2.1.3定理2.2的推广 (9)2.1.4分块矩阵的元素可交换 (10)2.1.5定理2.4的另一种情况 (11)3、将分块矩阵分成非方阵元素计算行列式 (13)3.1分块矩阵行列式计算的其它结果 (13)3.1.1分块矩阵元素中有行、列向量 (13)3.1.2将矩阵分成两个特殊矩阵的和 (13)3.2分块矩阵应用于行列式计算的例题 (17)3.3将分块矩阵的元素划分为m×n矩阵 (19)4、参考文献 (21)5、致谢 (22)1、引言1.1矩阵分块的意义在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。

分块矩阵的应用研究文献综述

分块矩阵的应用

本科生毕业论文（设计）册学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级 07级C班学生常会敏指导教师刘稳河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：分块矩阵的应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学班级： 07级C班学生姓名：常会敏学号： 2007010656 指导教师：刘稳职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，本文旨在总结分块矩阵在代数学中的几个重要的应用，体会分块矩阵的应用技巧，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。

本文的主要任务是通过大量理论和具体的例子总结出分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面发挥出的巨大作用。

2、论文（设计）的主要内容①分块矩阵证明有关矩阵的秩②求解矩阵方程③求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似3、论文（设计）的基础条件及研究路线在复数域上，关于分块矩阵及其初等变换的研究已经有深刻的结果，关于分块矩阵的应用也有不少的文章提及，可见分块矩阵的应用之广泛，因此要想将其应用全部总结出来是不可能的。

正式基于这样一种情况，本文分别就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面做一详细总结，展示分块矩阵的应用技巧，从而开拓思维，培养创新能力。

4、主要参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：181～320.[2]丘维声.高等教育学习指导用书[M].北京:清华大学出版社，2005：213～238.[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:北京科学出版社，2007：1～25.[4]张焕玲，刘爱奎.利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法[J].山东工业大学学报，2000，Vol.30(3):268～273.[5]钱吉林.高等代数题解精粹（修订版）[M].北京：中央民族大学出版社，2002：189.[6]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010，Vol.16(2):105～108.[7]王卿文，杨家骐.用矩阵的初等行变换解矩阵方程A X=B[J].数学通报，1993：m n ns m s16～25.[8]A.J.M.SPENCER & R.S.RIVELIN .Further Results in the Theory of Matrix Polynomials [J].Brown University Providence ,1959:214 ～230.5、计划进度指导教师：刘稳 2010 年 11 月日教研室主任： 2010 年 11 月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院学院数学与应用数学专业 2011 届河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计题目分块矩阵的应用作者姓名常会敏指导教师刘稳所在学院数学与信息科学学院专业（系）数学与应用数学班级（届） 2011届完成日期 2011 年 5 月日目录中文摘要、关键词 (1)1、分块矩阵的定义及运算法则 (1)1.1定义矩阵的分块 (1)1.2分块矩阵的运算法则 (1)2、利用分块矩阵证明有关矩阵的秩 (4)2.1证明关于矩阵乘积的秩的定理 (4)2.2证明有关矩阵秩的等式 (5)2.3证明Sylvester不等式 (6)2.4证明Sylvester公式 (7)3、利用分块矩阵求解矩阵方程 (8)3.1解矩阵方程A X=B的原理 (8)m n ns m s3.2求解矩阵方程 (9)4、分块矩阵在其它方面的应用 (10)4.1求矩阵的最小多项式 (10)4.2判断两矩阵是否相似 (12)5、总结 (13)参考文献 (13)英文摘要、关键词 (14)分块矩阵的应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师刘稳作者常会敏中文摘要：矩阵是代数特别是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，而矩阵的分块则是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。

364762$qsq350822$学年论文

分块矩阵的应用吴文翔(数学与应用数学2009级学号 09003029)摘要：通过初等变换来求行列式、逆矩阵及矩阵的秩中的具体应用，说明了分块矩阵的初等变换能简洁、快速的解决一些矩阵问题，而且该方法易理解和掌握，并给出了用分块矩阵的块初等变换来求一个可逆分块矩阵的逆矩阵的常见方法。

关键词：分块矩阵；初等变换；块初等变换；分块初等矩阵1.分块矩阵的初等变换及应用1.1求解行列式利用行列式计算的性质，可推得分块矩阵A 经三种初等变换后，与所得分块矩阵123,,A A A 的行列式之间满足下列关系：（1）1(1)stA A =- =A A ⎧⎪⎨-⎪⎩,当st 为偶数时,当st 为奇数时。

其中s,t 为变换的两行（列）中所含子块的行（列）数；（2）2A P A =，其中矩阵P 为左（右）乘某一行（列）中所含子块的行（列）数；（3）3A A =，即第三种初等变换不改变分块矩阵的行列式。

利用这些结果，再加上由拉普拉斯定理得出的一个结论0A A B C B=，会使许多行列式的证明与计算变得非常简单。

例1 已知A ，B 均为n 阶方阵，求证A BA B A B B A=+- 证明因为12210r r C C A B A B B A A BB A B A B A B+-+++⎡⎤−−−→−−−→⎢⎥-⎣⎦所以.A B A BA B A B B A B A B+=-+-- 例2 设分块矩阵A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 与C 分别为,m n n m ⨯⨯可逆矩阵，求M .解因为11212110.0r AC r r r A B C D B AC DM C DB AC DCD---↔--=−−−−→−−−→-所以1(1).0mnC D M B AC D-=--即 1(1)mn M C B AC D -=--. 例3 ,,m n m n B F A F ⨯⨯∈∈证明：E AB E BA -=-.证明：00,000E E A EA E A E A E AB B B E E BA E BA B E B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式，利用Laplace 定理展开即得。

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分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D=-；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.1 分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设A 是一个m n ⨯矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中ij A 表示的是一个矩阵.1.2分块矩阵的相关运算性质 1.2.1加法设()ij m nA a ⨯=()ij m nB b ⨯=，用同样的方法对,A B 进行分块()ij r sA A ⨯=，()ij r sB B ⨯=，其中ij A ，ij B 的级数相同，则 ()ij ij r sA B A B ⨯+=+.1.2.2数乘设是任()(),ij ij m nr sA a A k ⨯⨯==为任意数，定义分块矩阵()ij r sA A ⨯=与k 的数乘为()ij r skA kA ⨯=1.2.3乘法设()(),ij ij s nn mA aB b ⨯⨯==分块为()(),ij ij r ll rA AB B ⨯⨯==，其中ij A 是i j s n ⨯矩阵，ij B 是i j n m ⨯矩阵，定义分块矩阵()ijr lA A ⨯=和()ij l rB B ⨯=的乘积为()1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、1.2.4转置设()ij s nA a ⨯=分块为()ij r sA A ⨯=，定义分块矩阵()ij r sA A ⨯=的转置为()ji s rA A ⨯''=1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：(1) 对调A 的两行(用i j r r ↔表示对调i 、j 两行)；(2) 用一个可逆阵K 左乘A 的某一行的所有子矩阵(用i K r ⨯表示用K 左乘第i 行)； (3) 将A 的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K 再加到另一行的对应子矩阵上去(i j r K r +⨯表示将第j 行左乘K 再加到第i 行).将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2 分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理2.1([3])若A 为k 阶方阵，B 为r 阶方阵，C 为r k ⨯矩阵, 则有0A A B C B=在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论.定理2.2([3])若n 阶方阵P 可分为A B P CD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中A 为r 阶方阵, B 为()r n r ⨯-矩阵, C 为()n r r -⨯矩阵, D 为()n r -阶方阵, 则有（1）当A 为可逆矩时1P A D CA B -=-；（2）当D 为可逆矩阵时1P D A BD C -=-.在进行行列式的求值运算时, 若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例2.3 计算行列式 013c ...0...00 0 0...n b b b ac P ac ac =其中10,123...c i n ≠=.解设 0()A c =，()...B b b b =，()...TC a a a =130...00...0,0,1,2,,.........00 (i)n c c D c i n c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则D 为可逆矩阵，由定理1的结论（2）知1A B P D A BD C CD-==- ，将 1111210...00...0.........00...n c c D c ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦及,A B C D ,,代入得 1111212...((...))n n P c c c a ab c c c ---=-+++.例2.4 矩阵()ij ai j P a bi j =⎧==⎨≠⎩当时当时，求行列式P 的值.解：行列式P 的主对角线元素为a ，其余元素为b ，因此：（1）当a b =时，由行列式的性质知P =0；（2）当a b ≠时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得0 (00)0...00.........000......a b b a a b b a P a b b a b b b b a----=--，令...000 (00)0.........,, 000 000...0a b b a a b b a A B a b b a o a b b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()()...,,C b b b b D a ==由定理2.2可知 1P A D CA B -=-，而 ()1n A a b -=- ，()011,,,>a b i jA i j --⎧-≤⎪=⎨⎪⎩ 计算结果得 ()()()()()()111+1n n P a b a n b a b a n b --=---=--.若定理中的矩阵A 和D 均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式11D A BD C A D CA B---=-进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5 若,,,A B C D 均为n 阶方阵，且A 可逆，AC CA =，则 A B T AD CB CD==-.例2.6 计算行列式 1111122310250121T -=.解对T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 11111025,,,,12230121A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 显然A 可逆，且AC CA =，所以T AD CB =-，而 4667AD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1123CB ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以， 3510410T ==.定理2.7 若,A B 均为n 阶方阵，则A BA B A B BA =+-..例2.8 计算行列式 1234234134124123T =.解对矩阵T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中 1234,,2341A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由于 4664A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，22,22A B --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦ 所以 (20)(8)160T A B A B =+-=-⨯-=. 2.2 分块矩阵在解线性方程组中的应用例2.9设n 个未知数m 个方程的线性方程组为11112211211222221122...............n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）记()ij m nA a ⨯=,()12X=,,...,T n x x x （其中T 表示矩阵的转置）, ()12,,...,Tm B b b b = ,则方程（1）的矩阵形式为 AX B =.把方程（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式111211212222AA XB A A X B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中 111111........................r r rr a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111121........................r n rr rn a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()11112A A A =，111211........................r r r m mr a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111221........................r r r n mr mn a a A a a ++++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()22122A A A =，()112...Tr X x x x =，()212...Tr r n X x x x ++=，()112...Tr B b b b =，()212...Tr r m B b b b ++=，方程组（1）有解时，我们解方程组（1）时总是把（1）化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理2.10. 设方程组（1）有解且()()11,r A r n r A r =≤=，则方程组()1112A A X B=与AX B =同解.例2.11．已知方程组1112132223243132333441424344212212330x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪--=⎪⎨+++=-⎪⎪+++=⎩ （2）求此方程组的解并证明此方程组和方程组111213222324212x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩ （3）同解.解：令1210011111212331A ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11121210()0111A A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，其中111201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，1210B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，112B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，12101121011211011120111201112112110111200000233100111200000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以此方程组的齐次线性方程组的解为1232111001c c --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又3200-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是方程组的一个特解，所以此方程组的解为 12323112100010c c ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由上可知()2r A =并且11()2r A =，所以由定理3可证方程组（2）和（3）同解. 2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理2.12.如果方阵~A B ，方阵~C D ，则00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 证明因为方阵~A B ，方阵~C D ，所以 110000000000E A XE X Y C E Y E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11110000000000A XB X X AXC YD Y Y CY ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，而 1110000E XY E ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭1100E Y --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100X E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0000XE E Y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题定理2.13.设0A M C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,A 为m n ⨯矩阵，B 为k l ⨯矩阵，则有()()()r M r A r B ≥+，且0C =时，()()()0A r M r r A r B C B ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦ 证明设A 在初等变换下的标准形为1000rE D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()r r A =，又设B 在初等变换下的标准形为 2000sED ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()s r B =，那么，对M 前m 行前n 列作初等变换，对它的后k 行后l 列也作初等变换可把M 化为11120D C M D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，现在利用1D 左上角的1经列初等变换消去1C 位置中的非零元；再用2D 左上角的1经行初等变换消去它上面1C 处的非零元素，于是把1M 再化作2200000000000r sE C M E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有 ()()()()()()122r M r M r M r s r C r s r A r B ===++≥+=+.利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式.例2.14. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n l ⨯矩阵，若0AB =，则()()r A r B n +≤. 证明因为()()00000000n n n n A AB A r A r B r r r r r n E B E B E B E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=≤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 ()()r A r B n +≤.例2.15. 设A 、B 都是n 阶矩阵，求证：()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明：因为 0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(1)E -⨯+−−−−→0A AB A B +⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)()(2)B E ⨯--+−−−−−→00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以 0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦00A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，又0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦都可逆，所以 000A AB A B A r r B B ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 ()0A AB A B r r AB A B B ++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦ 又 ()()00A r r A r B B ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，所以 ()()()r AB A B r A r B ++≤+. 2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.定理2.16. 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 AB BA I ==那么矩阵称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵.若,A B 都可逆，则 100A B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100A B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111A A CB B ----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A B CA B ----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, 1111110000kk n k n k E A B E A B A CA E C D E D -------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中1D 1D CA B -=-.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.例2.17. 已知矩阵1200210000120025A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求1A -. 解：可以将矩阵A 分成四块12A 00A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 1221⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2A 1225-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，根据分块矩阵的性质，1A -111200A A --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而1A ，2A 为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为 11A -12552155⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，12A -5221--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，所以 1A -12005521005500520021⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦2.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定理2.18. 设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如方程AX X λ=,存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为与特征值λ对应的特征向量.定理2.19.设A 为n 阶矩阵，含有未知量λ的矩阵I A λ-称为A 的特征矩阵，其行列式I A λ-为λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式0I A λ-=称为A 的特征方程，λ是矩阵A 的一个特征值，则一定是0I A λ-=的根，因此又称为特征根.若λ是0I A λ-=的i n 重根，则λ称为A 的i n 重特征值.引理2.20.设A 为n 阶矩阵，则A 为幂等矩阵的充要条件()()r A E r A n -+=，这里E 为n 阶单位矩阵，()r A 表示A 的秩.引理2.21.幂等矩阵()1112A A X B = 与000rE ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 或000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦相似，其中()r r A =. 例2.22. 设12,,A A A 均为n 阶方阵，且12A A A =+，()()(),1,2i i r A r r A r i ===，求证：若212,A A r r r ==+，则12,,A A A 的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.证明：（1）当A 可逆时，即()r A n =，因为2A A =，所以A E =，又 12r r r =+，12E A A =+，由已知得()()()12r A r A r A n =+=，由引理2.20得到211A A =.同理222A A =，所以1A ，2A 是幂等矩阵，由引理2.21得 10~00rEA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，200~0r A E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12,,A A A 和E ，000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦，000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有相同的特征根，所以12,,A A A 的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等.（2）当()0r A =时，即0A =，结论显然成立.（3）设0r n <<，即A 为非零由布可逆矩阵，又因为2A A =，故存在可逆矩阵P 使11112P AP P A P P A P ---=+，()r r A =，令 000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦1112111221222122A A B B A A B B ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这里 ()1ij P AP A -= ()121111ij r P A P B E A B -=⇒=+，所以 ()()()()()1111111111=r r A B r A r B r A r B r +≤+≤+=，从而 ()()()()()1111111112=r r A B r A r B r A r A r +≤+≤+=，又因为 ()()()11121100r A r A A B -≥-≥， r ，从而 ()()111r A r A =，()211r A B =，这样1111Er A B =+，且()1111r A B r +=，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q ，使11110Q=00r E Q A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，211100Q=0r Q B E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 111112n-n-n-n-00000000000rr r r r E Q QQ Q P A P P A P E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122n-n-n-n-00000000r r r r A A B B Q Q Q Q A A B B E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122Q A Q Q A Q B Q Q B A Q A B QB ----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设 1111122122Q A Q Q A A Q A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1121111222000r E C C G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又因为11211111222000r E C r C r G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以21120,0G G ==，设 211111112r 212122*********W Q B QQ B E W B QB Z Z B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，同上可得110Z =，110W = ，故111121120,0,0,0C G W Z ====，又1111112212222000000r E Q A Q Q A A Q A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，从而220A =，同理 2111112212200000000r Q B QQ B E B QB --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，100n r Q T P E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故有 1210000,000r r E T AT E -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211120000000,00000000r r E T AT T A T E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，综上所述,结论成立.小结本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.参考文献[1] 蓝以中.高等代数简明教程[M].：大学，2007：141-149.[2] 杜之,丽,吴曦.线性代数[M].：西南财经大学，2003：61-68.[3] 郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].师专学报，1999(5):37-38.[4] 王萼芳.线性代数学习指导[M].：清华大学，2008：104-108.[5] 祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2009：1-4.[6] 孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006（5）：24-25.[7] 王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].师高等专科学校学报，2008（3）：98-99.[8] 严坤妹.分块矩阵的应用[J].广播电视大学学报，2006（59）：71-73.[9] 敏.分块矩阵的应用[J].师大学学报，2003（1）：118-120.[10] 周兴建.分块矩阵及其应用[J].科技资讯，2007（35）：126-126.[11] 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