分块矩阵的应用论文

分块矩阵的应用

引言

矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.

矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D

=-；分块矩阵也可以在求解线性

方程组应用.

本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.

1 分块矩阵的定义及相关运算性质

1.1分块矩阵的定义

矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.

定义1设A 是一个m n ⨯矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它

分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ⎡⎤⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，其中ij A 表示的是一个矩阵.

1.2分块矩阵的相关运算性质 1.

2.1加法

设()

ij m n

A a ⨯=()

ij m n

B b ⨯=，用同样的方法对,A B 进行分块

()

ij r s

A A ⨯=，()

ij r s

B B ⨯=，

其中ij A ，ij B 的级数相同，

则 ()ij ij r s

A B A B ⨯+=+.

1.2.2数乘

设是任()

()

,ij ij m n

r s

A a A k ⨯⨯==为任意数，定义分块矩阵()

ij r s

A A ⨯=与k 的数乘为

()

ij r s

kA kA ⨯=

1.2.3乘法

设()

()

,ij ij s n

n m

A a

B b ⨯⨯==分块为()(),ij ij r l

l r

A A

B B ⨯⨯==，其中ij A 是i j s n ⨯矩阵，ij B 是

i j n m ⨯矩阵，定义分块矩阵()

ij

r l

A A ⨯=和()ij l r

B B ⨯=的乘积为

()

1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、

1.2.4转置

设()

ij s n

A a ⨯=分块为()

ij r s

A A ⨯=，定义分块矩阵()

ij r s

A A ⨯=的转置为

()

ji s r

A A ⨯''=

1.2.5分块矩阵的初等变换

分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：

(1) 对调A 的两行(用i j r r ↔表示对调i 、j 两行)；

(2) 用一个可逆阵K 左乘A 的某一行的所有子矩阵(用i K r ⨯表示用K 左乘第i 行)； (3) 将A 的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K 再加到另一行的对应子矩阵上去(i j r K r +⨯表示将第j 行左乘K 再加到第i 行).

将上述定义中的“行”换成“列”,“左乘”换成“右乘”, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.

2 分块矩阵的应用

2.1用分块矩阵解决行列式的问题

利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.

引理2.1([3])若A 为k 阶方阵，B 为r 阶方阵，C 为r k ⨯矩阵, 则有

0A A B C B

=

在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论.

定理2.2([3])若n 阶方阵P 可分为A B P C

D ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

其中A 为r 阶方阵, B 为()r n r ⨯-矩阵, C 为()n r r -⨯矩阵, D 为()n r -阶方阵, 则有

（1）当A 为可逆矩时1P A D CA B -=-； （2）当D 为可逆矩阵时1P D A BD C -=-.

在进行行列式的求值运算时, 若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：

例2.3 计算行列式 013c ...0...00 0

0

...

n b b b a

c P a

c a

c =

其中10,123...c i n ≠=.

解 设 0()A c =，()...B b b b =，()...T

C a a a =