分块矩阵的应用研究

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分块矩阵的性质及其应用【开题报告】

阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的.根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用.解决的主要问题:1．了解分块矩阵的基本概念.2．探讨分块对角化的性质.3．研究分块矩阵的应用.三、研究步骤、方法及措施:研究步骤:1．查阅相关资料, 做好笔记;2．仔细阅读研究文献资料;3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4．翻译英文资料;5．撰写毕业论文;6．上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用确定合理的方法来解决问题.四、参考文献:[1] 居余马. 线性代数[M]. 清华大学出版社,1992.[2] 穆大禄, 裴惠生. 高等代数教程[M]. 山东大学出版社, 1990.[3] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 高等教育出版社.[4] 叶伯诚. 高等代数[M] . 青岛海洋大学出版社, 1989.[5]张敏. 分块矩阵的应用[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版), 2003, 1(1): 120.[6] S.K.Jain. Linear Algebra: An Interactive Approach[M]. 北京: 机械工业出版社, 2003,7.[7] Hamilton J.D, “Time Series Analysis1” Princeton University Press[J].1999, 26 – 291.。

【文献综述】分块矩阵的性质及其应用

通过上面对矩阵历史的了解我们发现矩阵是很容易理解和掌握的. 然而, 矩阵在实际应
用中还是会遇到很多问题, 在实际生活中, 我们的很多问题可以用矩阵抽象出来, 但这些矩阵
一般都是高阶矩阵, 行数和列数都是一个相当大的数字, 因此我们在计算和证明这些矩阵时
会遇到很烦琐的任务. 这时我们得有一个新的矩阵处理工具, 来使这些问题得到更好的解决！
在文献[3]中给出了分块矩阵定义: 把一个 m n 矩阵 A , 在行的方向分成 s 块, 在列的方
向分成 t 块, 称为 A 的 s t 分块矩阵, 记作 A Akl st , 其中 Akl , k 1, 2,, s ,
l 1, 2,, t 称为 A 的子块, 它们是各种类型的小矩阵.
A
=
I3 0
A1
A2
并称它是 A 的一个 2 2 分块矩阵, 其中的每一个小矩阵称为 A 的一个子块. 常用的矩阵分块
方法, 除了上例中的 4 块矩阵, 矩阵的分块还有以下几种常用的分法:
(1) 按行分块
a11 a12 ... a1n A1
A
a12Βιβλιοθήκη ...a22 ...
... ...
| M || BC | | CA1B | .
文献[5-12]中还提到了有关分块矩阵的一些用法, 比如用分块矩阵证明有关矩阵乘积的
秩的定理: 矩阵乘积的秩不超过其因子的秩, 即 r( AB) r( A), 且 r( AB) r(B), 或者表示成
r( AB) min{r( A), r(B)}, 其中 r( A) 表示矩阵 A 的秩. 还可以利用分块矩阵求矩阵的行列
AD
式问题, 比如利用分块矩阵求高阶行列式
: 设 A, C 都是 n 阶矩阵, 其中| A | 0 , 并且

(完整版)分块矩阵及其应用汇总,推荐文档

分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上，分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对阶单位矩阵作分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6）若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述：（1）标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2）矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3）列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ，， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例：因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到，以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. 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分块矩阵的初等变换及应用

十．研究创新题解：1.分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置;（2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个）（i h 阶）阶）（（i l 左(右)保秩因子Ｈ;（3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个）（i h 阶）阶）（（i l 矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵t s ij A ⨯）（的初等分块矩阵是指:（1）))((k j i P i +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss ll ii E E K E E11或ijk P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ii ll ii jj E O E E O E（2） )(H P il =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss llE H E 或)(H P ik =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ii E H E 11其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子；(1) ))((k j i P i +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss ll ii E E K E E11(2) 或))((k j i P k +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ll ll ii E E K E E11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1 (1)交换t s ij A ⨯）（的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵ijL P,其中ijL P 中的元素ii E 为ｈ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｈ(j)阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换t s ij A ⨯）（的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵ijk P ,其中ii E 为ｌ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｌ(ｒ)阶单位矩阵；(2) t s ij A ⨯）（的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于t s ij A ⨯）（左乘一个ｍ阶分块矩阵）（H P iL 中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; t s ij A ⨯）（的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于t s ij A ⨯）（右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵）（H P ik ,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵； (3) t s ij A ⨯）（的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于t s ij A ⨯）（左乘一个初等分块矩阵））（（k j i P L +;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于t s ij A ⨯）（右乘））（（k j i P k +. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵t s ij A ⨯）（施行第一种行初等变换后,对应的行列式为A j i h ），（）（1-,其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)],施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明: H H P i =）（,A k j i P =+））（（显然成立. 下证），（）（j i h irL P 1-=,ii E 所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,共进行ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把ii E 所在的行移至jj E 所在的行前,共进行ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把jj E 移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ),故），（）（j i h irL P 1-=;同理），（）（j i l irR P 1-=. 所以有A P ilj =ilj P ∙A =(-1)),(l i h A 或ilk AP =A ∙ilkP =（-1）),(j i l AA H P il )(=)(H P il A =H ∙A 或A )(H P ik =H ∙AA k j i p l ))((+=)((k j i P l +A ∙=A ))((k j i AP K +=A ))((k j i P k +=A定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明: 对于(1),相当于对n m ij a A ⨯=)(进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把n m ij a A ⨯=)(行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.定理4 (1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)=ｍ时有唯一解,当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)<ｍ时有无穷多解, 当rank (Ａ)< rank (Ａ,Ｂ)时无解;(2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当rank (Ａ)= ）（T T B A rank ,=ｎ时有唯一解,当rank (Ａ)= ）（T T B A rank ,<ｎ有无穷多解, 当rank (Ａ)< ）（T T B A rank ,时无解. 证明: (1)设rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使Q O O O I P A r ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=，Q O OB B P B ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=21 其中r I 为ｒ阶单位矩阵, 1B 为ｒ阶方阵,设Q B B B B Q X o⎢⎣⎡⎥⎦⎤=-43211,则有: Q O O O I P AX r o ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤= Q B B B B Q ⎢⎣⎡⎥⎦⎤-43211= []⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤4321B B B B O O O I P r = Q O O B B P ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤21=B所以o X 为ＡＸ=Ｂ的解,其中3B , 4B 是任意的.当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ(m I Ｏ)Ｑ,Ｂ=( 1B 2B ),显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: Q B B Q X o ）（211-=;当rank (Ａ)< rank (Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解.同理可证(2)成立(当rank (Ａ)= rank ( tA , TB )<ｎ时,X=P ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤O OO I r1-P ) 定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果rank ( ij A )= rank ( ij A ,iv A )= rank (T ij A ,Tiv A ),则称ij A 为极大元.定理5 分块矩阵22　ij A ⨯）（可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是:它有一个极大元.证明: 充分性.不妨设11A 为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使Q O O O I P A r⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=11Q O B O A P A ⎢⎣⎡⎥⎦⎤=2121，Q O O A A P A ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=2'1'12,令Ｋ=-Ｐ⎢⎣⎡⎥⎦⎤4321A A A A 1-P ,其中3A , 4A 为适当阶数的任意矩阵.则 K 11A + 21A =P -⎢⎣⎡⎥⎦⎤4321A A A A 1-P P ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤O O O I r Q ，所以22　ij A ⨯）（第一行左乘Ｋ加到第二行,得⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤+22121211A KA O A A .同理,令Ｋ＇=-1-Q ⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤4231，，，，A A A A Q , 则11A Ｋ′+12A =0,所以⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤+22121211A KA OA A 的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,得⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤+221211A KA OO A .(如先进行列变换,再进行行变换,得⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤+222111A K A OO A ，, 因为2221A KA +=⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤-2'21'22'11'1A A A A A A A A +22A =21'A K +22A ,故两种运算顺序结果相同) 必要性.反证法,不妨设rank (11A )≠rank (T A 11,T A 21)或rank (T A 11,TA 221)rank (21A ),则由定理4, X 11A =-21A 或X 21A =-11A 无解,从而不存在Ｋ,使22　ij A ⨯）（对角化.同理,当rank (11A )≠rank (11A ,12A )或rank (11A ,12A )≠rank (12A )时,不存在'K 使 -A 11K '=A 12或-'12K A =11A 成立.定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.定理 6 矩阵n m A ⨯的一种分块方法t s ij A ⨯)(可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元.证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立;设ｓ ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使t s ij A ⨯）（的前ｅ行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩阵,记为22　ij B ⨯）（.显然11B 为极大元,根据定理4, 22　ij B ⨯）（可以化成对角形:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2221B KB O OB ,又）（）（111-⨯=f e ij A B ,它的每行、列都有极大,故由假设11B 可以对角化,从而f e ij A ⨯=）（）（1可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, ）（）（1+⨯f e ij A 可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块ii A 进一步化简的方法.设Q O OO I P A i ii ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=,121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P B O B I L i i 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-211C C O I Q R Ri .根据定理1, i L ,i R 为ii A 的左(右)保秩因子,显然也是ii A 所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘i L ,右乘i R 后, ii A 可以化成⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O I i讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式. 设I 为S ×S 分块单位阵:I=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s r r r r I I I I321 其中I r i 为r i 阶单位阵(1≤i ≤S),对I 施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.引理分块初等阵的行列式有以下性质:(1)|I(i,j)|= τ)1(-,其中τ=r i (r i +1+…+r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1)(i<j). 特别地,若j=i+1,则| I(i,j)|=(-1) r i r j ; (2)|I(i(K))|=|k|,其中K 是r i 阶可逆阵; (3)|I(j(K),i)|=1,其中K 是r i ×r j 矩阵.证(1)不难验证,将I(i,j)的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j)变成I,由行列式的性质,|I(i,j)|= τ)1(-|I|=τ)1(-.(2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.由于对分块方阵A 施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质. 定理7 设A 是一个分块方阵.(1)交换|A|的i,j 两行(列),行列式变为(-1)τ|A|,其中τ= r i (r i +1+…+ r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1);特别地,交换|A|的相邻两行(列)(i 行和i+1行),行列式变为(-1) r i r i +1|A|; (2)用一个r i 阶可逆阵K 左(右)乘|A|的第i 行(列)的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|; (3)用一个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变. 由定理7的(2)可得推论分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子K,可以行列式|K|的形式提到行列式符号外.2．分块矩阵初等变换的应用一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一文中提到例1: 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C OD BP 其中Ｂ是ｒ×ｒ可逆阵,Ｃ是ｓ×ｓ可逆阵,求证:Ｐ可逆,并求1-P .分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等变换,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因Ｂ、Ｃ可逆,故|Ｂ|≠0,|Ｃ|≠0.根据拉普拉斯展开,有C B CO DB P ·==≠0,故Ｐ可逆.求C 有三种办法:解法一:利用广义初等行变换法.⎪⎭⎝E C 0012⎪⎭ ⎝-100C E (B 1-D)2r ⨯+r 1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1111000C DC B E B E 故P 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110C DC B B 本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩阵相同.作初等行(列)变换时,对矩阵Ｐ应左(右)乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下: 解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求1-P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100C B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110C D B E有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E D B E 01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛E E 00 即：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-C B 001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛E E 00=E 故有P 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 01-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100C B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110C DC B B 例2：已知A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001000000643521100010001，求A 1-.分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可块矩阵初等变换法求1-A .利用分块矩阵初等变换法先A 化分成分块矩阵，即A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001000000643521100010001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0 其中B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001，C=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001，D=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321 从而求得B 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001，C 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001然后对A 进行广义初等变换，即：⎪⎭⎝E C 0012⎪⎭⎝-100C E(B 1-D)⨯r 2+r 1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111100C DC B E B E ∴A 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110C DC B B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000001000651004201031001如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单.二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵》一文中提到例3 设P=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A 是一个分块方阵,其中A 是r 阶可逆阵,求|P|. 解: 由推论及定理7的(3):P =D C B A =A DCB A Ir 1-=ABCA D B A I r 110---=A B CA D 1-- 若A 与D 可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A 与C 可交换(即AC=CA),则|P|=|AD-CB|.例例4 设D n 2=d c d c b a b a, 其中a ≠0,求|A|解： D n 2=dcd c b a ba=DC BA由于A,C 可交换,所以D n 2=CB AD -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛bc bc ad ad = =|(ad-bc)I|=(ad-bc)n例5 设A,B,C 和D 是n 阶方阵,试证明DC B A =AB CD证两次利用定理4的(1),得D C B A =（-1）2n B A D C =（-1）2n （-1）2n A B C D =AB C D三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一文中提到：矩阵的秩有以下初等性质:设Ａ与Ｂ分别是ｒ×ｓ与ｐ×ｑ矩阵，则ｒBC A 0≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｂ)并且当Ａ(或Ｂ)是方阵且非异时,或者Ｃ=0时上式的等号成立.例6. 设Ａ是ｍ×ｎ阵DC BA 的非异顺序主子阵,则r DC B A =ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-ＣＡ1-Ｂ)证： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---r m rI CA I 10∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B CA D B A10而Ａ是非异阵,由以上性质知ｒ⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B CA D B A 10≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-CA 1-B) 例7. 设ｎ阶方阵Ａ=(Ｑij )为反对称矩阵,证明:ｒ(Ａ)必为偶数证: 对ｎ用归纳法ｎ=1,2是命题显然成立设阶数小于ｎ时命题为真则对ｎ阶及对称矩阵Ａ,将Ａ分块成Ａ=DBCA 1,其中Ａ1=01212a a -不妨设12a ≠0.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I BA I 110⎥⎦⎤⎢⎣⎡D B C A 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I C A I 011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C BA D A 11100∴ｒ(Ａ)=ｒ⎥⎦⎤⎢⎣⎡D BC A 1=ｒ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C BA D A 11100 =ｒ(Ａ1)+ｒ(Ｄ-ＢＡ11-Ｃ) =2+ｒ(Ｄ-ＢＡ11-Ｃ)但Ｄ-ＢA 11-Ｃ为阶数比Ａ低的反对称矩阵,由归纳假设ｒ(Ｄ-ＢＡ11-Ｃ)为偶数,故ｒ(Ａ)为偶数.四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用例8. 设Ａ=(ａij )是ｎ阶方阵,它的顺序主子式全不为零,证明: 存在非异下三角形矩阵Ｂ与非异上三角形矩阵Ｃ,使Ａ=ＢＣ证: 对ｎ用归纳法ｎ=1时显然成立设当ｎ-1时,结论成立,则对ｎ,将Ａ分块成Ａ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn n a A βα1由归纳假设对Ａ1-n =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1,11,11,11,1n n n n a a a a 有Ａ1-n =Ｂ1Ｃ1其中Ｂ1Ｃ1分别是ｎ-1阶非异下三角形与上三角形矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a A n 01,其中b=a nn -11--n A βa 上式两端取行列式有：A =1-n A ∙b, ∴ b ≠0∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b A n 001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡I C B 0011∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a B C 0111 于是得：A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-m n a A βα1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b B C 0111α=BC 其中B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β1-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10111n n A I β⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-10111C B β, C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b B C 0111αB =1B ≠0,C =b 1C 0≠∴B 与C 分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.。

分块矩阵的初等变换及应用_百度文库.

十．研究创新题解：1.分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指:（1）交换两行(列的位置;（2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ;（3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行.定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指:（1）=或=（2）=或=其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子；(1 =(2 或=初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵；(2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵；(3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘.定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为,其中h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l],l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l],施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明: ,显然成立.下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故;同理.所以有==(-1或==（-1）==或=====定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明: 对于(1,相当于对进行若干次行(列的交换,故命题成立;对于(2,根据定义1,显然成立;对于(3,相当于进行若干次把行(列乘以一个倍数后加到另一行(列,故命题成立.定理4 (1设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当(Ａ= (Ａ,Ｂ=ｍ时有唯一解,当(Ａ= (Ａ,Ｂ<ｍ时有无穷多解,当(Ａ< (Ａ,Ｂ时无解;(2设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当(Ａ= =ｎ时有唯一解,当(Ａ= <ｎ有无穷多解,当(Ａ< 时无解.证明: (1设(Ａ= (Ａ,Ｂ<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，其中为ｒ阶单位矩阵, 为ｒ阶方阵,设,则有: == =B所以为ＡＸ=Ｂ的解,其中, 是任意的.当(Ａ= (Ａ,Ｂ=ｍ时,Ａ=Ｐ(ＯＱ,Ｂ=( ,显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: ;当(Ａ< (Ａ,Ｂ时,ＡＸ=Ｂ无解.同理可证(2成立(当(Ａ= ( , <ｎ时,X=P定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果( = ( ,= (,,则称为极大元.定理5 分块矩阵可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是: 它有一个极大元.证明: 充分性.不妨设为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置.由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使，,令Ｋ=-Ｐ,其中, 为适当阶数的任意矩阵.则K+ =，所以第一行左乘Ｋ加到第二行,得.同理,令Ｋ＇=-, 则Ｋ′+ =0,所以的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,得.(如先进行列变换,再进行行变换,得,因为=+=+,故两种运算顺序结果相同必要性.反证法,不妨设(≠(,或(,(,则由定理4, =-或=-无解,从而不存在Ｋ,使对角化.同理,当(≠(,或(,≠(时,不存在使-A K=A或-=成立.定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.定理6 矩阵的一种分块方法可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元.证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立;设ｓ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使的前ｅ行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩阵,记为.显然为极大元,根据定理4, 可以化成对角形: ,又,它的每行、列都有极大,故由假设可以对角化,从而可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, 可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块进一步化简的方法.设,与.根据定理1, ,为的左(右保秩因子,显然也是所在行(列的左(右保秩因子,故对角化后的分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘,右乘后, 可以化成讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式.设I为S×S分块单位阵:I=其中I r为r阶单位阵(1≤i≤S,对I施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.引理分块初等阵的行列式有以下性质:(1|I(i,j|= ,其中τ=r (r+1+…+r+ r (r+1+…+ r-1(i特别地,若j=i+1,则| I(i,j|=(-1 r r;(2|I(i(K|=|k|,其中K是r阶可逆阵;(3|I(j(K,i|=1,其中K是r×r矩阵.证(1不难验证,将I(i,j的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j变成I,由行列式的性质,|I(i,j|= |I|=.(2,(3由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.由于对分块方阵A施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质.定理7 设A是一个分块方阵.(1交换|A|的i,j两行(列,行列式变为(-1τ|A|,其中τ= r (r+1+…+ r+ r (r+1+…+ r-1;特别地,交换|A|的相邻两行(列(i行和i+1行,行列式变为(-1 r r+1|A|;(2用一个r阶可逆阵K左(右乘|A|的第i行(列的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|;(3用一个矩阵左(右乘|A|的某一行(列的所有矩阵再加到另一行(列的对应元素上,行列式不变.由定理7的(2可得推论分块行列式|A|的某一行(列的所有矩阵的可逆左(右因子K,可以行列式|K|的形式提到行列式符号外.2．分块矩阵初等变换的应用一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一文中提到例1: 已知其中Ｂ是ｒ×ｒ可逆阵,Ｃ是ｓ×ｓ可逆阵,求证:Ｐ可逆,并求.分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等变换span,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因Ｂ、Ｃ可逆,故|Ｂ|≠0,|Ｃ|≠0.根据拉普拉斯展开,有≠0,故Ｐ可逆.求C有三种办法:解法一:利用广义初等行变换法.B r,C r(B D+r故P=本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩阵相同.作初等行(列变换时,对矩阵Ｐ应左(右乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下:解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求=有=即：==E故有P===例2：已知A=，求A.分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分块矩阵初等变换法求.利用分块矩阵初等变换法先A化分成分块矩阵，即A==其中B=，C=，D=从而求得B=，C=然后对A进行广义初等变换，即：B r,C r(B D r+rA==如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单.二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵》一文中提到例3设P=是一个分块方阵,其中A是r阶可逆阵,求|P|.解: 由推论及定理7的(3:====若A与D可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A与C可交换(即AC=CA,则|P|=|AD-CB|.例例4 设D=, 其中a≠0,求|A|解： D==由于A,C可交换,所以D=== =|(ad-bcI|=(ad-bc例5 设A,B,C和D是n阶方阵,试证明=证两次利用定理4的(1,得=（-1）=（-1）（-1）=三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一文中提到：矩阵的秩有以下初等性质:设Ａ与Ｂ分别是ｒ×ｓ与ｐ×ｑ矩阵，则ｒ≥ｒ(Ａ+ｒ(Ｂ并且当Ａ(或Ｂ是方阵且非异时,或者Ｃ=0时上式的等号成立.例6. 设Ａ是ｍ×ｎ阵的非异顺序主子阵,则r=ｒ(Ａ+ｒ(Ｄ-ＣＡＢ证：=而Ａ是非异阵,由以上性质知ｒ=≥ｒ(Ａ+ｒ(Ｄ考情解读B例7. 设ｎ阶方阵Ａ=(Ｑ为反对称矩阵,证明:ｒ2必为偶数(1: 对ｎ用归纳法ｎ=1,2是命题显然成立设阶数小于ｎ时命题为真则对ｎ阶及对称矩阵Ａ,将Ａ分块成Ａ=,其中Ａ=不妨设(30.=∴ｒ(Ａ=ｒ=ｒ=ｒ(Ａ+ｒ作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．Ｃ4=2+ｒ(Ｄ-ＢＡＣ但Ｄ-ＢAＣ为阶数比Ａ低的反对称矩阵,由归纳假设ｒ(Ｄ-ＢＡＣ为偶数,故ｒ(Ａ为偶数.四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用例8. 设Ａ=(ａ是ｎ阶方阵,它的顺序主子式全不为零,证明: 存在非异下三角形矩阵Ｂ与非异上三角形矩阵Ｃ,使Ａ=ＢＣ证: 对ｎ用归纳法ｎ=1时显然成立设当ｎ-1时,结论成立,则对ｎ,将Ａ分块成Ａ=由归纳假设对Ａ=有Ａ=ＢＣ其中ＢＣ分别是ｎ-1阶非异下三角形与上三角形矩阵,其中b=-上式两端取行列式有：=b,b0=于是得：A==BC其中B===,C==0,=bB与C分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.。

矩阵分块求行列式

矩阵分块求行列式摘要：1.矩阵分块求行列式的概念和意义2.分块矩阵的定义和性质3.分块求行列式的计算方法a.转置法b.代数余子式法c.行列式展开法4.矩阵分块求行列式的应用领域5.我国在矩阵分块求行列式研究方面的进展正文：矩阵分块求行列式是一种在计算机科学和工程领域中广泛应用的算法，它能够有效地解决大规模矩阵计算问题。

分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，通过对矩阵进行分块，可以将复杂的问题简化为更小的子问题，从而降低计算的复杂度。

首先，我们需要了解什么是分块矩阵。

一个n 阶矩阵A，如果可以被分为两个或两个以上的子矩阵，使得这些子矩阵的行数和列数都不超过n，那么我们就称矩阵A 为分块矩阵。

分块矩阵具有很多优良的性质，例如分块矩阵的行列式等于其主对角线元素之积减去副对角线元素之积。

矩阵分块求行列式的计算方法有很多，这里我们介绍三种常用的方法。

首先是转置法，它是一种基于行列式性质的方法，将分块矩阵的转置代入行列式公式即可求得行列式。

其次是代数余子式法，它是基于代数余子式的概念，将分块矩阵划分为多个子矩阵，然后分别计算这些子矩阵的代数余子式，最后将它们相加即可得到行列式。

最后是行列式展开法，它是一种直接计算行列式的方法，将分块矩阵展开成一个多重行列式，然后根据行列式的性质逐步化简，最终求得行列式的值。

矩阵分块求行列式在许多领域都有广泛的应用，例如计算机图形学、图像处理、控制系统等。

它可以帮助我们快速地解决大规模矩阵计算问题，提高计算效率。

近年来，我国在矩阵分块求行列式研究方面取得了显著的进展。

不仅在理论研究上有所突破，还开发出了许多高效的算法和软件。

分块矩阵的原理和应用

分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。

分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。

这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。

分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。

1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。

在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。

1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。

在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。

这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。

2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。

2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。

通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。

2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。

2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。

通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。

3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。

分块矩阵初等变换的妙用

分块矩阵初等变换的妙用分块矩阵是线性代数中常用的重要工具之一，它在矩阵运算和变换中有广泛的应用。

在实际应用中，我们经常遇到大规模矩阵的运算和变换，而分块矩阵可以通过对矩阵进行分块处理，使得复杂的运算变得简单直观。

本文将介绍分块矩阵初等变换的妙用，探讨其在线性代数中的重要作用。

一、分块矩阵初等变换的基本概念分块矩阵是将一个矩阵按照行或列进行划分，每个小块可以是一个数、一个向量、一个行/列向量，也可以是一个矩阵。

分块矩阵初等变换是指对分块矩阵进行的行/列交换、数乘、行/列加减操作。

在分块矩阵初等变换中，我们通常有以下三种基本操作：1. 行/列交换：即将两行/列进行互换。

2. 数乘：即将矩阵的某一行/列中的元素乘以一个非零数。

3. 行/列加减：即将矩阵的某一行/列加上或减去另一行/列的若干倍。

通过这些基本操作，我们可以对分块矩阵进行各种变换，从而达到简化运算、求解方程组、矩阵的相似变换等目的。

1. 矩阵的分块运算分块矩阵初等变换可以简化矩阵的运算。

对于一个大规模矩阵进行求逆运算时，可以将其分块为多个小规模的矩阵，然后对每个小矩阵进行求逆运算，最后组合起来，避免了对整个大矩阵进行求逆的复杂运算。

这样一来，不仅简化了运算，还提高了计算效率。

2. 方程组的求解分块矩阵初等变换也常用于解决方程组。

对于形如AX=B的线性方程组，其中A是一个大规模矩阵，B是一个向量，X是未知向量。

我们可以将矩阵A根据其特点进行分块处理，比如按照系数矩阵的形式进行分块，然后通过初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵或对角矩阵，从而简化了方程组的求解过程。

3. 矩阵的相似变换在线性代数中，矩阵的相似变换是一个重要的概念。

而分块矩阵初等变换可以帮助我们更直观地理解矩阵的相似性。

通过对分块矩阵进行初等变换，我们可以将一个矩阵化为对角阵或者标准型，从而得到矩阵的一些特征信息，如特征值、秩等，为矩阵的进一步研究提供了便利。

4. 线性变换的表示在线性代数中，我们经常需要研究线性变换的性质和特点。

分块矩阵在行列式计算中的应用

矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1[]2 设A 是n m ⨯矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A 212222111211，就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ⨯矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数．例如，对矩阵A 分块，=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21010301012102102301A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211A A A A ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21030122A ．1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待．加法运算设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则A 与B可直接相加，即=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．数乘运算设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211，其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C CC C C AB C212222111211，其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ij ij B A 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ，其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001，我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ，对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222122222B B E E A O O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211是一个分块矩阵，那么它的转置为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111．分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l A O A O A21的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1) 设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，则有l A A A A 21=；(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l B O B O B B21，如果它们相应的分块是同级的，那么显然有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l l B A O B A O B A AB2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+l l B A O B A OB A B A2211 它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）．定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．现将某个单位矩阵如下进行分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O O E ，对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E O mn ； (2) 分块初等倍乘阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛P OO E m； (3) 分块初等倍加阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O Q E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE QO E ．与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A ，只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A O E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A E O O P n ；(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛PA D PA C B AD C B AE P O E n m ．同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO B A =．证明利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO BA 按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO B A =．类似地行列式的形式为CB OA 时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO BA换成OC BA 又会有怎样的结论，它的值等于BC 吗？定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B A n 2)1(-=．证明将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行，在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行，第n ,,2,1 列，因此C B OC B A s )1(-=，其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B A n 2)1(-=．定理3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=．证明 (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C BE r -=； (2)BC A E CB A s-=．证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD OB E DCB E r r -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E C OBC A E C B A ss -=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=．证明只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=．定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=D C B A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，=DCB A BC DA -．证明由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DCB A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -=，即=DCB A CB AD -，(2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A ABB A -+=．证明根据分块矩阵性质有BA OB B A AA B B B A ABB A -+=++=B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AE βαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1101=-=-TE E βα，从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．。

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用
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概述
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，接着讨论了分块矩阵的初等变换，介绍了分块初等矩阵及其性质，最后举例说明了分块矩阵在高等代数中的很多计算和证明问题中的应用。
3. 两种特殊的分块矩阵（1）分块对角矩阵设A为n阶方阵，若A的分块矩阵在非主对角线上的子块皆为零矩阵，在主对角线上存在非零子矩阵，则称A为分块对角矩阵。（2）分块上（下）三角形矩阵设A为n阶方阵，若A的分块矩阵的主对角线左下（右上）方的子矩阵均为零矩阵，则称A为上（下）三角形矩阵。 4. 分块矩阵的初等变换以下三种变换称为分块矩阵A的初等行变换：（1）对调A的某两行；（2）用一个可逆阵K左乘或右乘A的某一行的所有子矩阵；（3）将A的某一行的所有子块矩阵左乘或右乘一个矩阵K再加到另一行的对应子矩阵上去。分块矩阵的初等行变换和初等列变换合称为分块矩阵的初等变换。
谢谢观看
7.在证明矩阵秩的问题中的应用以下是需要证明的ห้องสมุดไป่ตู้题：（1）秩
A O O B
=秩A+秩B。
（2）设A，B都是m×n矩阵，则秩（A+B）≤秩A+秩B。（3）设A，B都是n阶方阵，则秩（AB+A+B）≤秩A+秩B。
A B ≤秩A+秩B。（4）设A，B都是m×n矩阵，则秩（A+B）≤秩
（5）设A，B，C都是n阶方阵，则秩AB+秩BC≤秩B+秩ABC。
（6）设A，B都是n阶方阵，则秩（AB-E）≤秩（A-E）+秩（A-E）。
论文的不足
分块矩阵是数学在多个领域中的研究工具，与其相关的内容很多，由于本人知识水平有限，时间有限，所以很多内容不能一一列举。

分块矩阵的初等变换研究

分块矩阵的初等变换研究分块矩阵是一种特殊的矩阵形式，将一个大的矩阵划分为若干个小的子矩阵。

在线性代数中，分块矩阵的初等变换是一种对分块矩阵进行操作的方法，用于简化矩阵的计算和求解问题。

分块矩阵的初等变换包括行变换和列变换两种操作。

通过对分块矩阵进行初等变换，可以改变矩阵的形式和性质，从而更方便地进行矩阵计算和分析。

在实际应用中，分块矩阵的初等变换被广泛应用于线性代数、矩阵分析、数值计算等领域。

1.行交换：将分块矩阵中的两行进行交换，可以用于改变矩阵的次序和性质。

2.行相加：将一个行向量乘以一个非零标量，然后加到另一个行向量上，可以用于改变矩阵的行之间的关系。

3.行乘法：将一个行向量乘以一个非零标量，可以用于改变矩阵中每一行的系数。

4.列交换：将分块矩阵中的两列进行交换，可以用于改变矩阵的次序和性质。

5.列相加：将一个列向量乘以一个非零标量，然后加到另一个列向量上，可以用于改变矩阵的列之间的关系。

6.列乘法：将一个列向量乘以一个非零标量，可以用于改变矩阵中每一列的系数。

通过这些初等变换，可以将分块矩阵化简为更简单的形式，从而更容易进行矩阵运算、求解和分析。

下面我们将通过一个具体的例子来说明分块矩阵的初等变换。

假设有一个3×3的分块矩阵A，如下所示：A=\begin{bmatrix}A11&A12&A13\\A21&A22&A23\\A31&A32&A33\\\end{bmatrix}其中，A11、A12、A13分别代表矩阵A的子矩阵。

我们可以对矩阵A进行初等变换，将其变换为一个简化的分块矩阵。

例如，我们可以通过行交换、行相加、行乘法等操作，将矩阵A变换为一个上三角矩阵。

再通过列交换、列相加、列乘法等操作，将上三角矩阵变换为一个对角矩阵。

下面是一个具体的例子：假设矩阵A为：A=\begin{bmatrix}1&2&3\\7&8&9\\\end{bmatrix}我们可以通过以下初等变换，将矩阵A变换为一个对角矩阵：1.将第一行乘以2，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\4&5&6\\7&8&9\\\end{bmatrix}2.将第二行减去2倍第一行，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\0&-3&-6\\7&8&9\\\end{bmatrix}3.将第三行减去3倍第一行，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\1&-4&-15\\\end{bmatrix}4.将第三行加上第二行，得到新矩阵：\begin{bmatrix}2&4&6\\0&-3&-6\\1&-7&-21\\\end{bmatrix}通过这些初等变换，我们将矩阵A变换为了一个对角矩阵，更方便进行矩阵运算和分析。

分块矩阵的初等变换及其在行列式、逆和秩中的应用

／：Ｉ１０２、０．
ｆ？
１
ｆ００／＼１＼２
单位矩阵Ｉ过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．经初等矩阵有以下三种：（）Ｉ以第１初等变换得到１对施种
则＝？Ｍ１
如能捕捉生活点滴，生写作素材是丰富的，作文时学生就学写会少些无奈。学中要努力培养学生广泛的阅读兴趣，导学教引生积累丰富的写作素材，展各种有趣的活动，发学生写作开激的欲望．学生感受写作文如同说话一般，吐不快。在习作使不指导的过程中，师的职责不是传授技法和知识，是激励、教而唤醒、舞，学生学会生活、会积累、会运用。每一天都鼓让学学带着健康的情感生活，着友爱的情态关注身边的人和事，带每次都带着积极的情绪动笔，就一定能写出富有个性和真情
摘要：文把矩阵的初等变换推广到分块矩阵．用本并分块矩阵的初等变换解决了许多有关分块矩阵的问题．关键词：等变换分块矩阵分块初等矩阵初
一
定理１设Ａ＝ａ）（ …
，
一
的文章
４４
初等矩阵记为ＩｉＫ）；（（）
（）矩阵Ｋ乘Ｉ３用左的第ｊ加到第ｉ所得到的分块初等矩行行阵记为Ｉｊｋ，，时表示用矩阵Ｋ乘Ｉ第ｉ加到第ｊ所（（）ｉ同）右的列列得到的分块初等矩阵．与定理１类似，们有：我定理２对分块矩阵Ｍ做一次分块初等行（）换相当列变于在Ｍ的左边（）乘以一个相应的分块初等矩阵．右边

研究矩阵分块的方法及应用

研究矩阵分块的方法及应用矩阵分块（Matrix Partition）是一种将一个大矩阵分割成若干个块或子矩阵的方法。

这种方法在许多数学和工程应用中非常有用，因为它可以简化复杂的矩阵运算，并提供更高效的算法和快速的计算。

矩阵分块的方法具有广泛的应用，包括线性代数、微积分、信号处理、图像处理、统计学、优化等领域。

矩阵分块的方法可以根据不同的目的和要求采用不同的策略和分块方式。

一般来说，矩阵分块的方法分为两种类型：按行分块和按列分块。

按行分块是将矩阵按照横向划分为若干行向量子矩阵，而按列分块则是将矩阵按照纵向划分为若干列向量子矩阵。

除了按行和按列划分外，还可以将矩阵按照主对角线、次对角线、对称轴等方式进行分块。

矩阵分块的方法可以大大简化复杂的矩阵运算，使得问题的求解更加直观和高效。

一种常见的应用是矩阵乘法。

对于两个大型矩阵相乘的情况，采用普通的矩阵乘法算法的计算复杂度很高，但通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以采用并行计算的方式，提高计算效率。

另一个常见的应用是矩阵求逆。

对于大型矩阵求逆的计算复杂度很高，并且可能出现数值不稳定的问题。

通过将大矩阵分块成若干小块矩阵，可以使用分块逆矩阵的方法来计算整体矩阵的逆矩阵，从而提高计算的稳定性和效率。

矩阵分块的方法还广泛应用于图像处理和信号处理领域。

在这些领域中，矩阵表示图像或信号的数据，通过将大矩阵分块为若干小块，可以对局部区域进行处理，从而实现对整体数据的处理和分析。

例如，对图像进行滤波操作时，可以将图像分为若干小块，分别进行滤波处理，然后将处理后的小块矩阵合并成一个大矩阵，从而得到滤波后的图像。

此外，矩阵分块的方法还可以应用于线性代数的求解和优化问题。

例如，在解线性方程组时，可以将系数矩阵和右侧向量分块，从而将问题分解为多个小规模的子问题，通过求解这些子问题，最终获得整个线性方程组的解。

类似地，在优化问题中，可以通过将大矩阵分块为若干小块，将复杂的优化问题分解为多个简单的子问题，从而更高效地求解问题。

分块矩阵的应用

本科生毕业论文（设计）册学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级 07级C班学生常会敏指导教师刘稳河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：分块矩阵的应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学班级： 07级C班学生姓名：常会敏学号： 2007010656 指导教师：刘稳职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，本文旨在总结分块矩阵在代数学中的几个重要的应用，体会分块矩阵的应用技巧，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。

本文的主要任务是通过大量理论和具体的例子总结出分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面发挥出的巨大作用。

2、论文（设计）的主要内容①分块矩阵证明有关矩阵的秩②求解矩阵方程③求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似3、论文（设计）的基础条件及研究路线在复数域上，关于分块矩阵及其初等变换的研究已经有深刻的结果，关于分块矩阵的应用也有不少的文章提及，可见分块矩阵的应用之广泛，因此要想将其应用全部总结出来是不可能的。

正式基于这样一种情况，本文分别就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面做一详细总结，展示分块矩阵的应用技巧，从而开拓思维，培养创新能力。

4、主要参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：181～320.[2]丘维声.高等教育学习指导用书[M].北京:清华大学出版社，2005：213～238.[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:北京科学出版社，2007：1～25.[4]张焕玲，刘爱奎.利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法[J].山东工业大学学报，2000，Vol.30(3):268～273.[5]钱吉林.高等代数题解精粹（修订版）[M].北京：中央民族大学出版社，2002：189.[6]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010，Vol.16(2):105～108.[7]王卿文，杨家骐.用矩阵的初等行变换解矩阵方程A X=B[J].数学通报，1993：m n ns m s16～25.[8]A.J.M.SPENCER & R.S.RIVELIN .Further Results in the Theory of Matrix Polynomials [J].Brown University Providence ,1959:214 ～230.5、计划进度指导教师：刘稳 2010 年 11 月日教研室主任： 2010 年 11 月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院学院数学与应用数学专业 2011 届河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计题目分块矩阵的应用作者姓名常会敏指导教师刘稳所在学院数学与信息科学学院专业（系）数学与应用数学班级（届） 2011届完成日期 2011 年 5 月日目录中文摘要、关键词 (1)1、分块矩阵的定义及运算法则 (1)1.1定义矩阵的分块 (1)1.2分块矩阵的运算法则 (1)2、利用分块矩阵证明有关矩阵的秩 (4)2.1证明关于矩阵乘积的秩的定理 (4)2.2证明有关矩阵秩的等式 (5)2.3证明Sylvester不等式 (6)2.4证明Sylvester公式 (7)3、利用分块矩阵求解矩阵方程 (8)3.1解矩阵方程A X=B的原理 (8)m n ns m s3.2求解矩阵方程 (9)4、分块矩阵在其它方面的应用 (10)4.1求矩阵的最小多项式 (10)4.2判断两矩阵是否相似 (12)5、总结 (13)参考文献 (13)英文摘要、关键词 (14)分块矩阵的应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师刘稳作者常会敏中文摘要：矩阵是代数特别是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，而矩阵的分块则是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。

第四节分块矩阵

A14 A4 = O O 52 O 54 2 4 , , ⇒ A1 = 4 而 A1 = A2 O 52 O
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4）若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5）若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章矩阵及其运算
第四节分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵分块矩阵的运算基本应用
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分块矩阵的hermite矩阵

分块矩阵的hermite矩阵分块矩阵的Hermite矩阵是分块矩阵在数学中的一个重要概念。

在分块矩阵中，把一个矩阵按照行和列分成若干小块，可以称为是分块矩阵。

而Hermite矩阵是针对这种特殊结构的矩阵而设计的一种矩阵。

接下来，我们将详细介绍分块矩阵和Hermite矩阵的概念、性质和应用。

1.分块矩阵的定义：分块矩阵就是将一个矩阵拆分成若干个子矩阵，这些子矩阵可以是一个标量、一个行向量、一个列向量或者是一个矩阵。

分块矩阵一般用大写字母表示，且每个子矩阵用小写字母表示。

例如，对于一个3×3的矩阵A，我们可以将其分成4个2×2的子矩阵：A = [A11 A12; A21 A22]其中A11、A12、A21、A22分别表示了4个子矩阵。

2.Hermite矩阵的定义：Hermite矩阵是具有特殊结构的分块矩阵。

一个Hermite矩阵H具有如下的形式：H = [A B; C D]其中A、B、C、D分别是与矩阵H的行和列数相匹配的矩阵。

通常，A和D是方阵，而B和C可以是行向量或者列向量。

Hermite矩阵H的重要性体现在它的性质上。

具体来说，Hermite矩阵有以下几个重要性质：3.Hermite矩阵的性质：(1)Hermite矩阵的转置等于共轭：H^T = H*其中，H^T是H的转置，H*是H的共轭。

(2)Hermite矩阵的逆矩阵等于共轭的转置：H^(-1) = (H*)^T(3)Hermite矩阵的特征值都是实数或者纯虚数：设矩阵H的特征值为λ，对应的特征向量为x，即Hx = λx。

则λ是实数或者纯虚数。

(4)Hermite矩阵的对称子矩阵是一个Hermite矩阵：设H = [A B; C D]是一个Hermite矩阵，其中A和D是方阵。

则A和D分别是H的左上角和右下角子矩阵，它们都是Hermite矩阵。

4.Hermite矩阵的应用：Hermite矩阵在数学和工程中有广泛的应用：(1)量子力学中的Hermite矩阵：Hermite矩阵在量子力学中是非常重要的，因为它们对应了量子态的能量和动量。

浅谈分块矩阵的性质及应用

浅谈分块矩阵的性质及应用摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。

解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。

关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix.Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。

1.预备知识：1.1分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。

1.2分块矩阵的运算：1.2.1分块矩阵的加法：设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，1111n m mn B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A BA B ++⎛⎫⎪⎪ ⎪++⎝⎭1.2.2分块矩阵与数的乘法：A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭,1111n m mn A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1.2.3设A 为m l ⨯矩阵，B 为l n ⨯矩阵，分块成11111111t r s st t tr A A B B A B A A B B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么1111r s sr C C AB C C ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中1tij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r)1.2.4设1111t s st A A A A A ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，则1111T T t TT T s st A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 分块矩阵的性质及应用：2.1 分块矩阵的性质：设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=100n A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中i A （i=1，2……，s ）都是方阵，那么称A 为分块对角矩阵，分块矩阵的行列式一般据有下列性质12s A A A A =，由此性质可知，若i A ≠0(1,2i s =)则A 0≠，并有11110s A A A ---⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭例：设A=500031021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 求1A -解：500031021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=1100A A ⎛⎫⎪⎝⎭，其中()11115,5A A -⎛⎫== ⎪⎝⎭，23121A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121123A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以11005011023A -⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 2.2 将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩阵中具有重要作用：现将某个单位矩阵如下进行分块：00mn EE ⎛⎫⎪⎝⎭对其进行行（列）对换等作用，可得到如下类型一些矩阵：0000,,,,0000n m mmm n n n E P E P E E E E E P E P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭用这些矩阵左乘或右乘任一个分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭，只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换，如0mn EA B A B PE C D C PA D PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，适当选择P 可使C PA +=0，例如A 可逆时，选1P CA -=-则0C PA +=，于是上式的右端可成为10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭，其在求逆矩阵方面是非常有用的，例1：0A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭，A D 可逆，求1T -解：由10000mn E A A CA E C D D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭及1110000A A D D ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易知11100A TD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭10m n E CA E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭=11110A D CA D ----⎛⎫⎪-⎝⎭例2：1A B T C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设T 可逆，D 可逆，试证11()A BD C ---存在，并求11T -解：由10mn A B E BD C D E -⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10A BD CCD -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而又端仍可逆故11()A BD C ---存在再由上题例1可知11111111()0()A BD C T D C A BD C D -------⎛⎫-= ⎪--⎝⎭10m n E BD E -⎛⎫- ⎪⎝⎭=111111111111()()()()m m A BD C E A BD C BD D C A BD C E D C A BD C BD D ------------⎛⎫---= ⎪---+⎝⎭2．3分块矩阵在证明关于矩阵乘积的秩的定理中的作用：例：设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P m s ⨯上矩阵，于是秩（ＡＢ）min ≤秩（Ａ），秩（Ｂ），即乘积的秩不超过各因子的秩证明：只需证明秩()AB ≤秩()B ，同时秩()AB ≤秩()A ，分别证明这两个不等式设1112121222123m m n n n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示Ｂ的行向量（即对Ｂ进行分块）12,,,n C C C 表示AB 的行向量，由计算可知，i C 的第j 个分量和1122i i im m a B a B a B +++的第j 的分量都等于1mik kj k a b =∑，因而()11221,2,,i i i im m C a B a B a B i n =+++=即矩阵AB 的行向量组12,,,n C C C 可经由B 的行向量组线性表示出所以AB 的秩不能超过B 的秩，即秩()AB ≤秩()B同样，令12,,,m A A A 表示A 的列向量，12,,,s D D D 表示AB 的列向量，由计算可知，()11221,2,,i i i mi m D b A b A b A i s =+++=这个式子表明，矩阵AB 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅＼可能超过后者的秩，这就是说秩()AB ≤秩()A（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即12m B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭这就是B 的一种分块，按分块相乘就有111122121122221122m m m m n n nm m a B a B a B a B a B a B AB a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪⎪+++⎝⎭很容易看出AB 的行向量是B 的行向量的线性组合）２.４分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组11112211211222221112n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 记()ij A a =，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，11121112n m m mnm a a a b B a a a b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，A 为系数矩阵，X 为未知向量，b 为常数项向量，B 为增广矩阵按分块矩阵记法可记为()B A b =或(),B A b =此方程也可记为AX b =，把系数矩阵A 按行分成m 块，则AX b =可记做12m A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭X ＝12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭把系数矩阵A 按列分成n 块，则与相乘的X 对应按行分成n 块，记作()12,,,n ααα 12n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b =，即1122n n x x x b ααα+++=，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于n 个变量n 个方程线性方程组11112211211222221112n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果他的系数行列式0D ≠，则它有唯一解，即()()1122111,2,,j j j j n nj x D b A b A b A j n D D==+++=证明把方程组改写成矩阵方程AX b =，这里()ijn nA a ⨯=为n 阶矩阵，因0A D =≠，故1A -存在，令1X A b -=，有1AX AA b -=表明1X A b -=是方程组的解向量，由Ax b = ，有11A AX A b --= ，即1X A b -=，根据逆矩阵的唯一性，知1X A b -=是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式11A A A-*=，有11x A b A b D-*==即111211111122112122222112222212112211n n n n n n n n nnn n n n n nn x A A A b b A b A b A x A A A b b A b A b A D D x A A A b b A b A b A +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()1122111,2,,j j j n nj j x b A b A b A D j n D D=+++==结束语：矩阵得分快不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。