分块矩阵在高等代数中的应用

本科生毕业设计(论文) 题目：分块矩阵在高等代数中的应用Title: Block Matrix Of Application in AdvancedAlgebra学号 0508060357姓名邹维喜学院数信学院专业数学与应用数学指导教师甘爱萍完成时间 2008.4.15分块矩阵在高等代数中的应用【摘要】高等代数以其独特的理论体系而引人入胜，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境。

作为高等代数中的一个工具——分块矩阵，分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用，本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念和其的初等变换以及证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵来算矩阵的乘积，利用分块矩阵求逆矩阵的问题，用分块矩阵求矩阵的行列式问题.【关键词】：分块矩阵；矩阵乘积得秩；逆矩阵；行列式Block Matrix in Advanced Algebra Application【Abstract】 Higher Algebra for its unique and fascinating theoretical system based on abstract knowledge, skills and strong problem-solving approach, a little carelessness will be in trouble. Advanced Algebra as a tool - sub-block matrix, block matrix is of higher algebra an important share in higher algebra very important applications, this paper discusses the detailed and comprehensive array block matrix of the concept and its elementary transformation matrix, as well as the sub-block in the application of higher algebra, including matrices to count the product matrix, the use of sub-block matrix inverse matrix problem, with sub-block matrix of the determinant of the matrix problem.【Key words】: sub-block matrix; matrix product of a rank; inverse matrix; determinant目录1引言 (1)2 矩阵的分块 (1)2.1 矩阵分块的概念 (2)2.2 分块矩阵的运算 (2)2.3 分块矩阵的初等变换 (3)3 分块矩阵在高等代数中的应用 (3)3.1 利用分块矩阵算矩阵的乘积 (3)3.2 利用分块矩阵求逆矩阵 (4)3.3 利用分块矩阵求高阶行列式 (5)4 总结 (6)谢辞..........................................7. 参考文献 (7)1 引言高等代数是数学类专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。

它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力、开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造性能力等起到重要作用。

矩阵的分块不仅是高等代数中一个非常重要的内容，而且也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。

而我们在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，这样可以使问题的解决更简明。

分块矩阵作为处理矩阵的一种重要的方法，在学习矩阵的分块之后，我们不仅仅只会矩阵的分块，还要学会更深层的问题，要学会观察，联想，猜想。

学会用矩阵的分块去解决在高等代数中遇到的问题，比如说用矩阵的分块去求高阶行列式，求一个矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值等一些问题。

矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于学生理解和掌握，而且能开拓学生的思维，提高学生灵活应用知识解决问题的能力。

下面主要介绍了分块矩阵的概念，分块矩阵的初等变换，还有就是分块矩阵在高等代数中的几个应用。

所介绍的几个应用将对我们今后学习高等代数有重要作用。

2 矩阵的分块2.1 矩阵分块的概念将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

为了说明这个方法，我们来看以下的一个例子，在矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1011012100100001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A E O 212中，E 2表示2级单位矩阵，而 A 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1121， O=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000 这就是我们所说的矩阵的分块。

2.2 分块矩阵的运算在前面我们学过矩阵的运算，一般来说矩阵的运算是矩阵的加法，乘法。

矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，矩阵相乘就是前面矩阵的第i 行和后面的 矩阵的第j 列的对应元素乘积的和。

分块矩阵的运算法则也是一样的 ，只不过分块矩阵的每个小矩阵代替矩阵中的每个元素了。

以下举两个例子。

分块矩阵P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A ,Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡N M F E (对应的每个小矩阵的行数和列数相等），则P+Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++N D MC F B E A ,PQ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++DN CF DM CE BN AF BMAE在运算的时候我们要注意相加的矩阵必须有相同的行数和列数 ，在乘法中第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等，且第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法完全一致。

2.3 分块矩阵的初等变换分块矩阵不仅可以像普通矩阵一样做运算，而且可以对它们做初等变换。

为了对分块矩阵作更深一步的了解，我们对分块矩阵的初等变换作简单的介绍，效仿矩阵的初等变换，分块矩阵也可以做以下三种变换，称为分块矩阵的初等变换，也可以称为广义变换：（1） 互换两行（列）的位置；（2） 某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵 P ；（3） 把某一行（列）左乘（右乘）以矩阵P 加到另一行（列）去；可以看出，与初等矩阵和初等变换的关系一样，用初等矩阵去乘分块矩阵只要分块乘法能够进行，左乘就相当与对它做相应的广义初等行变换，右乘相当于做相应的广义初等列变换。

分块乘法和矩阵的初等变换有效的结合是矩阵的运算中一种极为重要的手段，灵活并巧妙的用这种手段会使某些矩阵问题较为容易的得到解决。

3 分块矩阵在高等代数中的应用3.1 利用分块矩阵来算矩阵的乘积上面我们介绍到了分块矩阵的运算，我们这里所说的用分块矩阵来算矩阵 的乘积，其实是跟矩阵的乘法是一样的，下面就举几个例子来说明下这种方法。

A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1011012100100001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A E O 212 （其中E 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，A 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1121，O=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000) B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0211140110212301=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C (其中C=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101，D=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1023，E=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1101 F=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0214 ) AB=⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A E O 212 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛F ED C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++F D E C D C A A 11其中 E C A +1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1142 F D A +1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121⎪⎪⎭⎫⎝⎛1023+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0214 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3511 所以AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3511114210212301从上面的例子可以看出利用分块矩阵算矩阵的乘积可以在一定程度上简化题目，减少我们的运算量。

不难看出，上面计算出的结果和直接按四级矩阵乘积的定义所得的结果是一样的。

3.2 利用分块矩阵求逆矩阵在求一个矩阵的逆矩阵时，一般的我们可以通过求其的伴随矩阵和矩阵，行列式来求。

但对一些矩阵。

如果我们对其进行适当的分块，并利用一定的结论可以使问题更加轻松的得到解决。

以下给出两个常用的结论：设Ai（i=1,2,3 ,s ）都是可逆矩阵，则有（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A A A s000000211=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---A AA s 100001000121（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00211A A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--011012A A（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-C B A 01=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----C A C A B 11110 前两个结论我们不证明了，下面我们来证明一下第三个结论，由矩阵的初等变换以及初等矩阵的概念我们知道了求逆矩阵的一种方法，利用分块矩阵的初等变换我们可以证明以上第三个结论，下面我们来证明。

证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A 0 ⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 对上式两边进行初等变换得:⎥⎦⎤⎢⎣⎡C A 00⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1011A B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡C 001⇔⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1011A A B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001⇔⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----C A CA B 1111所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A 0=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----C A C A B 1111以上两个结论在利用分块矩阵求逆矩阵时经常用到，下面举几个例子来说明用分块矩阵来求逆矩阵。

例 1. 求矩阵 S=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3111522100110012 的逆矩阵解：把矩阵S 分块得A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1112,B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152,C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1121A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111,B 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2153,A BC 11---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以 S 1-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2111753301900210011由于该部分比较简单，我们不再详述，但从上述例题可以看出，利用分块矩阵求逆矩阵，方法比较简单，计算时，若能把分块矩阵的性质和定理的结论综合在一起，会使适用范围更广。

3.3 分块矩阵在求高阶行列式的应用行列式是高等代数的一个重要组成部分，在高等代数中我们常常遇到 些计算高阶行列式的问题，如果我们直接去计算的话，计算量不仅很大，而且很容易出错。