分块矩阵在行列式计算中的应用(1)
分块矩阵行列式的两种算法
分块矩阵行列式的两种算法一、分块矩阵行列式的定义分块矩阵行列式是指将一个矩阵按照某种规则进行划分，然后计算各个分块的行列式，最后组合起来得到的行列式。
分块矩阵行列式的计算有两种算法，分别是按行展开法和按列展开法。
二、按行展开法按行展开法是指将矩阵的行按照一定的顺序展开，然后计算每个展开式的行列式，最后求和得到整个矩阵的行列式。
按行展开法的算法步骤如下：1. 将矩阵按行划分为若干个分块，记作A1, A2, ..., An；2. 对每个分块Ai，计算其行列式|Ai|；3. 将每个分块的行列式与对应的代数余子式相乘，得到展开式；4. 将展开式中的所有项相加，得到矩阵的行列式。
按行展开法的优点是计算简单，只需要计算每个分块的行列式即可。
但缺点是分块的顺序会影响最终结果，因此需要选择合适的分块方式。
三、按列展开法按列展开法是指将矩阵的列按照一定的顺序展开，然后计算每个展开式的行列式，最后求和得到整个矩阵的行列式。
按列展开法的算法步骤如下：1. 将矩阵按列划分为若干个分块，记作B1, B2, ..., Bn；2. 对每个分块Bi，计算其行列式|Bi|；3. 将每个分块的行列式与对应的代数余子式相乘，得到展开式；4. 将展开式中的所有项相加，得到矩阵的行列式。
按列展开法的优点是分块的顺序不会影响最终结果，因此更加灵活。
但缺点是计算量较大，需要计算每个分块的行列式。
四、分块矩阵行列式的应用分块矩阵行列式在线性代数中有广泛的应用，特别是在矩阵的特征值和特征向量的计算中。
通过对矩阵进行适当的分块，可以简化计算过程，提高计算效率。
分块矩阵行列式还可以用于解决一些特定的问题，如线性方程组的求解、矩阵的相似变换等。
通过将矩阵按行或列进行分块，可以将复杂的计算问题转化为简单的计算步骤，从而得到更加简洁和直观的解决方法。
五、总结分块矩阵行列式是一种重要的行列式计算方法，通过将矩阵按行或列进行分块，可以简化计算过程，提高计算效率。
(完整版)分块矩阵及其应用汇总,推荐文档
分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引 言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵 的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对 阶单位矩阵作 分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质： 定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与 数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下： （1） 单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2） 对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3） 三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4） 对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5） 若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个 行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1） 标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2） 矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3） 列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ， ， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例： 因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、 利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故 ：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵， 有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵 的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
行列式计算技巧
行列式计算技巧行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，它是由矩阵中的元素组成的一种数值。
行列式的计算是线性代数中的基本操作，也是求解线性方程组、矩阵的逆等问题的重要工具。
行列式的计算方法有很多种，以下将介绍几种行列式计算的技巧。
1. 按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中的基本方法之一。
该方法的原理是利用行列式的定义式，将行列式按其中一行（列）展开成若干个代数余子式与它们对应的代数余子式所组成的和式，从而得到行列式的值。
这种方法通常适用于行列式的规模比较小的情况。
2. 范德蒙德行列式范德蒙德行列式是一种特殊的行列式形式，它在概率论、数值计算等领域中有广泛的应用。
范德蒙德行列式的定义式是一个$n\times n$的行列式，其中第$i$行第$j$列的元素为$x_i^{j-1}$。
范德蒙德行列式的值是一个关于$x_1,x_2,\cdots,x_n$的多项式，其系数和指数分别与行列式中的代数余子式有关。
3. 对角行列式对角行列式是一种特殊的行列式形式，它的所有非零元素都在对角线上，其余元素都为零。
对角行列式的值等于对角线上元素的积。
对角行列式在计算矩阵的特征值和特征向量等问题中有广泛的应用。
4. 分块矩阵行列式分块矩阵行列式是一种将大型矩阵拆分成若干小矩阵的行列式形式，通过计算每个小矩阵的行列式以及它们的代数余子式之间的运算，最终得到整个大矩阵的行列式值。
这种方法通常适用于行列式的规模比较大、结构比较复杂的情况。
以上是几种行列式计算的技巧，每种方法都有其适用范围和注意事项。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以提高计算效率和准确度。
矩阵分块法求行列式
矩阵分块法求行列式引言在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它可以用来刻画矩阵的性质和描述线性方程组的解的情况。
矩阵分块法是一种常用的求解行列式的方法之一，它将矩阵按照一定规则进行分块，从而简化计算过程和分析问题。
矩阵的分块表示矩阵的分块表示是指将一个大矩阵按照行或列进行分割，形成数个子矩阵，并按照一定规则排列组合起来表示原矩阵。
根据分块的方法不同，可以分为水平分块和垂直分块两种。
水平分块水平分块是指将矩阵按照行进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
假设有矩阵A，可以表示为以下形式：A=[A11A12 A21A22]其中，A11、A12、A21、A22都是子矩阵。
矩阵的分块表示可以简化为：A=[A11A12][A21A22]垂直分块垂直分块是指将矩阵按照列进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
与水平分块类似，矩阵A的垂直分块表示为：A=[A11A21][A12A22]矩阵的行列式性质在矩阵的分块表示基础上，可以推导出矩阵的行列式性质，进一步简化行列式的计算过程。
行列式的性质1：行列式的分块设矩阵A能够按照水平分块的方法表示，即A=[A11A12A21A22]，则有：|A|=|A11|⋅|A22−A21A12−1A11|其中，A12−1表示A12的逆矩阵。
行列式的性质2：上（下）三角矩阵的行列式若矩阵A是上（下）三角矩阵，则A的行列式是其对角元素的乘积。
行列式的性质3：特殊矩阵的行列式对于一些特殊的矩阵，可以直接利用其定义特点求出行列式的值。
•对角矩阵：对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积。
•置换矩阵：置换矩阵的行列式等于1或-1，具体取决于该置换矩阵是奇数个偶置换还是偶数个置换。
•元素全为0的矩阵：行列式为0。
•元素全为1的矩阵：行列式为0。
（推论：如果矩阵的某一行（列）的元素全为0，则行列式为0。
）矩阵分块法求行列式的步骤根据矩阵的分块表示和行列式的性质，可以得出矩阵分块法求行列式的步骤。
分块矩阵的行列式计算
分块矩阵的行列式计算嘿，大家好，今天咱们来聊聊一个看似复杂，其实挺有意思的话题——分块矩阵的行列式计算。
听起来有点吓人，是吧？其实只要你稍微用点心，多试几道题，就能慢慢找到感觉。
好比学骑自行车，起初总是东倒西歪，过一段时间就能稳稳地骑上去。
行列式它就像一个魔法盒子，里面藏着很多奥秘，打开之后哗啦啦都是惊喜。
想象一下，一个矩阵就像成千上万的小方块拼在一起，真的是琳琅满目。
分块矩阵就是把这些小方块又分成了几组，分得那叫一个细致。
你看，就像一块蛋糕，切成了几片，每一片都有自己的味道，哇，听起来是不是就让人已流口水了？每块都有自己的特点，行列式的计算也可以分开来，没有必要一股脑地喧闹，所以咱们可以轻轻松松地把它们一个个捋清楚。
在计算行列式的时候，咱们有个神奇的工具，那就是所谓的“行列式的性质”。
听起来有点炫酷，其实就是一些小法则，简单实用。
比如，如果你把一个矩阵分成四个部分，一块一块地来处理，你就能发现每块的行列式都是相互关联的，就像看一部电视剧，得先了解主角是谁、情节怎么发展，才能看懂全剧。
举个简单的例子，一个大矩阵被分成四个小块，你可以分别计算每一块的行列式，然后把它们结合起来，结果就像拼图一样，瞬间就完整了。
有的朋友可能会问，行列式有什么用呢？别小看这个小家伙，它可是在数学和工程领域里扮演着超级英雄的角色。
无论是解决线性方程组，还是找特征值，它都能派上用场。
就像拿鱼竿钓鱼，等鱼儿上钩了，才知道这杆子是不是靠谱。
行列式就能帮你判断矩阵的可逆性，是否能用来解方程。
不过，咱们有个小提醒，行列式的计算可不能马虎。
就像下围棋，一步走错就可能满盘皆输。
尤其分块的时候，要格外小心，仔细检查每个小块，看看有没有漏掉。
就像船开得太快，难免会遇上暗礁，一不小心就会翻船。
没错，细节决定成败。
最有趣的部分来了！大家知道吗，计算行列式的时候，也可以用一些巧妙的方法来简化问题。
有些时候，你不需要大费周章地算出整个行列式，采取一些简单的变换就能让它变得简单得多。
分块矩阵在行列式计算中的应用(1)
分块矩阵在行列式计算中的应用(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21030122A ．1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则A 与B可直接相加，即=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．数乘运算 设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211， 其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C CC C C AB C212222111211， 其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ij ij B A 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001， 我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222122222B B E E A O O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211是一个分块矩阵，那么它的转置为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111．分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l A O A O A21的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1) 设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21， 则有l A A A A 21=；(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l B O B O B B21， 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l l B A O B A O B A AB2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+l l B A O B A OB A B A2211 它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O O E ， 对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E O mn ； (2) 分块初等倍乘阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛P OO E m； (3) 分块初等倍加阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O Q E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE QO E ． 与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ， 只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A O E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A E O O P n ；(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛PA D PA C B AD C B AE P O E n m ． 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO B A =．证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO BA 按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO B A =．类似地行列式的形式为CB OA 时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO BA换成OC BA 又会有怎样的结论，它的值等于BC 吗？定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B A n 2)1(-=．证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此C B OC B A s )1(-=，其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B A n 2)1(-=．定理3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=． 证明 (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C BE r -=； (2)BC A E CB A s-=．证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD OB E DCB E r r -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E C OBC A E C B A ss -=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 证明 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=D C B A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，=DCB A BC DA -．证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DCB A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -=，即=DCB A CB AD -，(2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A ABB A -+=．证明 根据分块矩阵性质有BA OB B A AA B B B A ABB A -+=++=B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明 因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AE βαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1101=-=-TE E βα，从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．。
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵，也称作划分矩阵或分割矩阵，指的是一种结构十分特殊的
矩阵，其每一行和每一列都被划分成不同的若干个子矩阵，每个子矩阵中
含有的元素数是相等的。
分块矩阵的出现，为许多复杂的数值计算以及矩
阵的计算提供了一种有效的方法。
分块矩阵的计算方法能够进一步简化复杂运算的计算步骤，它是一种
非常有效的计算技术，可以极大地提高计算速度。
行列式是一种数学结构，可以定义一种矩阵的性质。
行列式的运算除
了基本的乘法、加法以外，还涉及到分块矩阵的计算。
行列式的计算可以
通过分块矩阵的计算得以简化。
分块矩阵的应用分为两种，一种是计算行列式，另一种是基于分块矩
阵的矩阵乘法，我们将这两种分别介绍。
一、计算行列式
计算一个矩阵的行列式是一件很复杂的运算，如果矩阵的阶数n很大，那么就会耗费大量的计算时间。
而引入分块矩阵可以减少这种耗时的负担。
通常情况下，一个n阶矩阵可以分割成多个小的m阶矩阵，而当m较
小时，计算行列式也会比计算n阶矩阵要简单，时间也会更快。
这样，就
可以利用分块矩阵的特性进行行列式的计算，大大缩短计算时间。
矩阵分块求行列式
矩阵分块求行列式
（最新版）
目录
1.矩阵分块求行列式的概念
2.矩阵分块求行列式的方法
3.矩阵分块求行列式的应用
正文
一、矩阵分块求行列式的概念
矩阵分块求行列式是一种求解矩阵行列式的方法，它主要通过将矩阵进行分块处理，然后运用行列式的性质进行计算。
这种方法可以简化计算过程，提高计算效率，尤其在面对大型矩阵时，具有很大的优势。
二、矩阵分块求行列式的方法
矩阵分块求行列式的方法主要包括以下几个步骤：
1.选择分块：根据矩阵的特征，选择合适的分块方式。
通常，我们会选择主对角线、副对角线或者按照矩阵的行、列进行分块。
2.计算分块矩阵的行列式：将原矩阵按照选定的方式进行分块，然后分别计算分块矩阵的行列式。
3.运用行列式的性质：根据行列式的性质，对分块矩阵的行列式进行运算，最终得到原矩阵的行列式。
三、矩阵分块求行列式的应用
矩阵分块求行列式的方法在实际应用中具有广泛的应用，尤其在线性代数、微积分、物理等领域。
例如，在求解线性方程组、特征值、特征向量等问题时，都需要用到矩阵的行列式。
通过运用矩阵分块求行列式的方法，可以简化计算过程，提高计算效率。
总之，矩阵分块求行列式的方法是一种有效的求解矩阵行列式的方法，它具有计算简便、效率高的优点。
利用矩阵和分块矩阵的乘法计算行列式的值
利用矩阵和分块矩阵的乘法计算行列式的值
陈怀琴;徐玉名
【期刊名称】《井冈山师范学院学报》
【年(卷),期】2004(025)006
【摘要】利用矩阵乘积的行列式公式计算行列式的值;将矩阵巧妙合理地分块后,利用分块矩阵的乘法计算行列式的值.
【总页数】3页(P72-74)
【作者】陈怀琴;徐玉名
【作者单位】井冈山师范学院,数学与应用数学系,江西,吉安,343009;井冈山师范学院,数学与应用数学系,江西,吉安,343009
【正文语种】中文
【中图分类】O151.22
【相关文献】
1.行列式值的矩阵分块计算方法 [J], 赵临龙
2.四分块矩阵的求逆公式和行列式值的计算 [J], 王连成
3.分块矩阵在计算行列式值中的应用 [J], 阿力非日; 张艳
4.利用矩阵和分块矩阵的乘法计算行列式的值 [J], 陈怀琴;徐玉名
5.利用分块矩阵求行列式的值 [J], 张有绪;陈伟
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关于分块矩阵求逆和行列式的方法探究与应用
上海交通大学在 2004 研究生考试的科目中，高等代数第 5 题为：求下面多项式的所有根。
||| ||
x-3 -a2
-a2
x
-
2
-
a2 2
-a3 ⋯ -a2a3 ⋯
f (x) = ||||||
|
-a3 ⋮ -an
-a3a2 ⋮
-ana2
x
-
2
-
a2 3
⋯
⋮
-ana3 ⋯
-an -a2an
||| ||
1 主要结果
为方便阅读，C 表示复数域，0 表示零矩阵，det(A)表示 A 的行列式。
引理 1 设 A ∈ Cm×m,B ∈ Cn×n, 均为非奇异矩阵, C,D 均为阶数适当矩阵，则
（1）分块矩阵
éA ëC
0ù Bû
是非奇异矩阵，且
éA ëC
0ù-1 Bû
=
é A-1 ëê-B-1CA-1
0ù B-1ûú
（2）分块矩阵
éA ë0
Dù Bû
是非奇异矩阵，且
éA ë0
Dù-1 Bû
=
éA-1
ê
ë0
-A-1DB-1ù
B-1
ú
û
证明如下：
（1）因为 A,B 均为非奇异矩阵，则 det(A) ≠ 0,det(B) ≠ 0 ，那么 detéëCA
0ù Bû
=
det(A)det(B)
≠
0
，由 此 可
知
éA ëC
0ù Bû
July, 2019
Vol.18 No.4（Gen.No.100）
DOI:10.19329/ki.1673-2928.2019.04.023
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵在行列式计算中的应用一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是将一个矩阵按照行和列进行分块的一种表示方式。
假设有一个m×n的矩阵A可以被分成k行l列的分块矩阵，则可表示为：A=[A₁₁A₁₂…A₁lA₂₁…A₂l...Ak₁ Ak₂ … Akl]其中，每个Aij都是一个子矩阵。
分块矩阵有以下重要性质：1.行列式的乘积可以转化为分块矩阵的行列式之积。
例如，设有两个分块矩阵A和B，它们的行列式分别为，A，和，B，则有：AB，=，A，B2.分块矩阵可以简化行列式的计算。
将一个大矩阵按照一定规则分为几个子矩阵后，可以通过计算子矩阵的行列式来获得原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。
1.初等行列变换2.求逆矩阵对于分块矩阵，其逆矩阵的计算也可以通过分块的方式进行。
设A为可逆矩阵，其分块矩阵表示为：A=[A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂]若A₁₁为可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：A^(-1)=[A₁₁^(-1)-A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₁^(-1)A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₂^(-1)]其中A₁₁^(-1)、A₂₂^(-1)和A₁₁^(-2)A₁₂A₂₂^(-1)都是子矩阵的逆矩阵。
3.计算特殊类型的行列式在计算特定类型的行列式时，分块矩阵的应用可以简化计算过程。
例如，计算拟对角行列式时，可以使用分块矩阵的方式将矩阵分解成多个对角块，然后分别计算每个对角块的行列式之积。
4.计算特定型的行列式分块矩阵的应用还可以用于计算特定型的行列式。
例如，计算置换矩阵的行列式时，可以将矩阵按行、列进行分块，然后计算每个子矩阵的行列式，最后通过乘法和加法运算得到最终的行列式。
以上仅是分块矩阵在行列式计算中的一些常见应用，实际上分块矩阵在线性代数的其他领域也有广泛的应用，如特征值和特征向量的计算、线性方程组的求解等。
熟练掌握分块矩阵的定义、性质和应用可以提高行列式计算的效率，并且对于理解线性代数中的其他概念和方法也具有重要意义。
分块矩阵的行列式的计算
分块矩阵的行列式的计算说到分块矩阵的行列式计算，这可是个挺有意思的话题哦。
很多同学一听到矩阵，就开始头疼了，感觉数学又来找麻烦。
其实呢，分块矩阵就像我们生活中的一个大拼图，每一块都是独立又相关的，小块之间有联系，但整体又是个大样子。
行列式，这玩意儿其实是一个用来衡量这个矩阵“大小”的东西。
可以这么想，就像你家的院子，行列式告诉你，院子到底大不大，能不能种下很多花花草草。
想象一下，你在超市里买菜。
你一手拿着大白菜，另一手拎着西红柿，结果发现袋子里装不下了。
这时候你就会考虑，把它们分开，分成两个小袋子。
分块矩阵也是这个道理，把大矩阵分成几个小块，每个小块单独计算行列式，然后再合并，这样一来，问题就变得简单多了。
这里面的魔法就在于你可以利用这些小块之间的关系，有时候它们甚至能互相抵消。
就像你跟朋友一起吃饭，AA制，最后平摊下来，大家都心里有数，谁也不亏。
我们先来看看什么是行列式。
行列式可以说是一个数字，能告诉你很多关于这个矩阵的秘密。
比如说，行列式为零，哎呀，那就意味着这个矩阵是“瘫了”，也就是说行与列之间有些奇妙的关系，可能是线性相关的。
如果行列式不为零，那就说明这个矩阵健健康康的，能发挥作用。
就好比一个球队，队员们配合得当，最后能够打出精彩的比赛。
接下来咱们看看分块矩阵。
假设有个大矩阵，咱们把它分成四个小矩阵，像个Tetris游戏那样。
这里就涉及到行列式的乘法法则。
有个公式，听着高大上，其实很简单。
假设你的大矩阵可以分成A、B、C、D四个小块，行列式的计算可以这样搞：|A| * |D| |B| * |C|。
是不是一下子觉得清晰多了？这就像在厨房里做菜，先把每个食材准备好，最后再一锅炖，味道更浓厚。
实际计算的时候也有一些小技巧，比如说，如果你能通过行变换，把矩阵化成上三角形，行列式就好计算得多了。
就像你在清理房间，把东西都搬到一边，再慢慢打理，这样就一目了然。
反正你只要记住，行变换不会改变行列式的值，心里就不会慌了。
分块矩阵的应用
目录摘要 (1)引言： (1)1.分块矩阵 (2)1.1. 分块矩阵的定义 (2)1．2 运算规则 (2)1.3分块矩阵的性质及其推论 (2)2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (6)3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (7)3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用 (10)引理设矩阵 (10)3.2.1矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 (10)3.2.2矩阵,==时行列式|H|的计算 (13)A B C D参考文献 (14)分块矩阵及其应用摘要: 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了解线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都是提出矩阵的概念..关键词：分块矩阵矩阵的分块矩阵的计算证明应用引言：在已有的相关文献中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用 .（2）通过论述证明矩阵的分块在高等代数中的应用 ,包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题 ,用分块矩阵求逆矩阵问题 ,用分块矩阵求矩阵的行列式问题 ,用分块矩阵求矩阵的秩的问题 ,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵问题.（3）给出利用分块矩阵计算行列式的H =BCD A 方法，可分几方面讨论，当矩阵A 或B可逆时；当矩阵A =B ,C =D 时；当A 与C 或者B 与C 可交换时；当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时行列式的计算.（4）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性. 主要内容1.分块矩阵1.1. 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s tt A A A A A A A A A 212222111211 其中每个小矩阵 .),1;,1(t j s i A ij==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2 运算规则()1 stij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 tsTji st T ij A A )()(= ()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==tk kjik t j s i B A 1),...1,,...1( ()4 stij st ij A k A k )()(=(k 是数量) 在用规则1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:()1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;()2 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ()3 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质 设方阵A 是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 级方阵 .对于矩阵B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C MB MB MB A A A 则B =M A证明 设s E 为s 级单位矩阵 ,则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321000000C C C B B BA A A E M E s s=A E M E s s ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000 于是B =00000ssEM EA =sEM sEA =M A性质 2 设矩阵是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 阶方阵 .对于矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=321321321C C C MC B MC B MC B A A A D 则A =D证明 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s s sE E E 00000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321321321C C C MC B MC B MC B A A A 其中 s E 是s 级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得A =D性质 3 设方阵A 和'A 写成如下形式A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A ,'A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C A A A B B B 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是 s ×t 矩阵，则|'A |=⎩⎨⎧-为奇数时，当为偶数时当s A s A |||,| 证明 A 可由'A 中的1B ,2B ,3B 与1A ,2A ,3A 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当s 为偶数时|'A |=A 当s 为奇时|'A |=-A可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 设A ,都是n 阶方阵,则有AB =A B ()2.6证明 作2n 阶行列式C =EA AB由拉普拉斯展开定理得C =ABE =AB又由性质2并应用于列的情况,有E AAB 0=E EB AAB AB --0=EB A -0=B A nn n --+++++++2)1(21)1( =B A 推论 2 设,A B 都是n 阶方阵,则有ABB A =B A B A -+ 证明 根据定性质2并应用于列的情况,有A BBA =A AB BBA ++=BA B BA ++0=B A B A -+ 例1 计算n 2阶行列式D =aba b a b b a b a b a 000000000000000000000解 令A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 000a 0000a 0000aB =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000bb b 则 D =ABB A=B A B A -+=aba b ba b a000000aba b b ab a 0000000---- =n b a )(+n b a )(-=nb a )(22-推论 3 设,B ,C ,D 都是n 阶方阵 ,其中A ≠0,并且AC =CA ,则有DCB A =CB AD - ()2.8 证明 根据性质2,因为1-A 存在,并注意到AC =CA ,用1CA --乘矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 的第一行后加到第二行中去得⎥⎦⎤⎢⎣⎡----B CA D B CA A 110 从而D CB A =11ACA B D CA B----=A B CA D 1--=B ACA AD 1--B CAA AD 1--=CB AD -把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A ,B ,C ,D 都是n 级方阵则有AB=A BABB A =B A B A -+ 结论()2.6告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论()2.7则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A ,B ,B ,A 时（即ABB A ），2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1 秩()AB ≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B }[4] 证明 令s m C ⨯=n m A ⨯s n B ⨯，A =()12,na a a ,C =()12,s γγγ 则(sγγγ 21,)=()12,n a a a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n ss b b b b b b b b b212222111211∴nns s s s nn nn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()I I ,即秩()C =秩()A B ≤秩()A令=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n n n21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ21所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m n n n21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m nn a a a a a a a a a212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ21即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由n βββ 21,()4线性表示 ∴秩()I I I ≤秩()I V ,即秩()C =秩()A B ≤秩()B即秩()A B≤()()m i n {A B }秩，秩 定理 2 设、都是n 级矩阵，若0A B =则秩()A +秩()B ≤n[5].证明 对分块如下:()12nBB B B = 由于0A B =即()120nA B A B A B = 即()01,2,,iA B i n == 说明的各列B 都是0AX =的解.从而 秩()12nBB B ≤基础解系=n -秩()A即秩()A+秩()B ≤n3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DBC --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DBC DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011BC. ()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B CDB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC证明 设P 可逆，且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有 于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k rX A Y C E X B Y D Z A W C Z B W D E +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为可逆，用1-B 右乘（3.2）式可得代入（3.1）式得Y-11)(---A DB C则X=11)(----A DB C D 1-B .用右乘（3.4）式可得=()rE W D -1-B =1-B -1WDB - 代入 （3.3）式得W =1B A -11)(---A DBC则 可得Z =1-B +1B A -11)(---A DBC D 1-B.所以1X Y D B-=1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DBA DBC A B B A DBC DB A DB C . 命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CAD 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CAD CA B CA D B CAD B A CA B CA D B A A 特例 （1） 当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2） 当B≠0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110DBDA A （3） 当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CAD A 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------60004000001001095201473，求1-M . 解 令=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--60040001. 则很容易求得1-A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--60040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D OBD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/10004/1000001002/12/119326/74/543753.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理 设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中sA A A ,,,21 均为方阵，则 H=s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 :(1)当可逆时 ,有BCD A =A D CA B 1-- (3.5)(2)当可逆时 ,有BCD A =C DB A 1--B (3.6)证明 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得(3.5).()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B CD A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C C DB A 01两边取行列式即得(3.6).此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,A B C D 分别是,,m n n m⨯和m n ⨯矩阵. 证明 BCD E m =CD B - ( 3.7) nECD A =DC A - (3.8) 证明 只需要在命题的(3.5)中令=m E , 即得(3.7);在(3.6)中令=n E ,即得(3.8). 推论2 ,C D 分别是n m ⨯和mn ⨯矩阵.证明 nm E CD E =CD E n -=DC E m - (3.9) 证明 在推论1的(3.7)中,令=n E ,在(3.8)中,令=m E ,即得（3.9) 例3 计算下面2n 阶行列式nH2=b cbc d a da()0a ≠解 令=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a,=B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b，C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡cc ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dd为n 阶方阵.由于0a ≠,故为可逆方阵.又易知-D CA 1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b d ca b 111从而由命题中()1得nH2=AD CB=D CA B A 1--=n n d ca b a )(1--=ncd ab )(-.例4 计算行列式 ()1);,,2,1,0(,00100101111210n i a a a a a i n =≠ ()2cb b b b a a a a nn3213211000010000100001解 ()1 设=BCD A，其中=()0a ,=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，=T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i,,2,1,0 =≠所以是可逆矩阵.又易知 A -C DB1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1 从而由命题中的结论()4.2得BCD A =1A DBC B --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1 （2）设Q =BCD E n，其中B =（c ），C =),,,(21n b b b ，D =Tna a a ),,(21 由于C D =),,,(21n b b b Tna a a ),,(21 =∑=ni i i b a 1从而由推论知,=BCD E n=B CD -=c -∑=ni i i b a 1.3.2.2矩阵,A B C D==时行列式|H|的计算 命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则ACC A =|A+C||A-C|证明 根据行列式的性质和定理，有A CCA =A AC CC A ++=CA C CA -+0=A C A C +-. 例1 计算行列式.D =000xyzx z yy z xz y x解 这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00xx ，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y zz y由命题2知D=ACC A =C A C A -+ =yzx z x y++yzx z x y ----=])(][)([2222z x y z x y --+- =))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++ 行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H=BCD A （,,,A B C D 分别是,,m n n m⨯和m n ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,A B C D 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.综上所述，分块矩阵是高等代数中的一个有力的工具和方法，除了以上几个方面外，分块矩阵在其它方面的应用也很广泛，我们主要是利用分块矩阵来方便计算，从而快速解决问题。
分块下三角行列式
分块下三角行列式分块下三角行列式矩阵是线性代数的一个重要工具，分块矩阵在矩阵分析中也具有重要的应用。
分块下三角矩阵是一种特殊的分块矩阵，在计算行列式等问题时非常好用。
下面，我们将详细介绍分块下三角矩阵的性质和求解方法。
一、矩阵分块矩阵分块是指把一个大矩阵划分成若干个小矩阵，以便更好地进行矩阵乘法、计算行列式等操作。
常见的矩阵分块方法有水平分块、垂直分块和对角线分块等。
二、分块下三角矩阵分块下三角矩阵是一种特殊的分块矩阵，其特点是矩阵的右上方所有元素都为零。
分块下三角矩阵可以用以下形式表示：A = [B , 0 ]C其中，B 和 C 都是方阵。
下面是一个具体的分块下三角矩阵示例：[1 0 0 0 0 0][2 3 0 0 0 0][4 5 6 0 0 0][0 0 0 7 0 0][0 0 0 8 9 0][0 0 0 0 0 10]三、分块下三角矩阵的性质1. 行列式的性质对于一个分块下三角矩阵 A，其行列式可以表示为：|A| = |B|*|C|其中，|B| 和 |C| 分别表示 B 和 C 的行列式。
这是因为 B 和 C 不相交，因此计算 A 的行列式可以先计算 B 和 C 的行列式，再相乘得到结果。
2. 逆矩阵的性质对于一个分块下三角矩阵 A，如果 C 的逆矩阵存在，则 A 的逆矩阵也存在，且可以表示为：A^-1 = [ B^-1 , 0 ]-C^-1B^-1其中，B^-1 和 C^-1 分别表示 B 和 C 的逆矩阵。
这是因为 A 的逆矩阵也具有分块下三角的形式，且满足上述公式。
四、分块下三角矩阵的求解方法1. 行列式的求解方法计算分块下三角矩阵 A 的行列式，可以先计算 B 和 C 分别的行列式，再相乘得到结果。
具体来说，可以使用行列式的对角线展开法（拉普拉斯展开）求解，即在第一行中选取一个元素，乘以对应的代数余子式，再按符号相加得到结果。
2. 逆矩阵的求解方法计算分块下三角矩阵 A 的逆矩阵，可以先求解 B 和 C 的逆矩阵，再根据上述公式得到 A 的逆矩阵。
关于分块矩阵求逆和行列式的方法探究与应用
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利用矩阵和分块矩阵的乘法计算行列式的值
矩用利绍介文本，法方多很有算计的式列行列行算计法乘的阵矩块分及式公式列行的积乘阵.值的式算计式公式列行的积乘阵矩用利l 值的式列行，阵方阶I 的上P 域数是都B 与A 设：理定则B A =AB .=I D 式列行求l 例!(s o c l l !-2!(s o c )l !-3!(s o c …)l !-I )!(s o c l !-2!(s o c l)2!-3!(s o c …)2!-I )!(s o c l !(s o c )3!-2!-3!(s o c …l)3!-I )……………!(s o c l !-I !(s o c )2!-I !(s o c )3!-I l…).值的=2D ：然显：解!(s o c l l !-2)!(s o c l !-2l)=!(2s o c -l l !-2!(2n i s =)l !-2.)得以可阵矩的应对式列行此察观，时2>I 当：到!(s o c ll !-2!(s o c )l !-3!(s o c …)l !-I )!(s o c l !-2!(s o c l )2!-3!(s o c …)2!-I )!(s o c l !-3!(s o c )2!-3!(s o c …l )3!-I )……………!(s o c l !-I !(s o c )2!-I !(s o c )3!-I l …)T II I II ILT II II II J=!n i s l !s o c l 0…0!n i s 2!s o c 20…0……………!s o c I !n i s I 0…0T I I I I LT I II I J !s o c l!s o c 2!s o c ...I !n i s l !n i s 2!n i s ...I 0...00............0 (00)TI II I I IL T II I I II J ：得I B I I A I =I B A I ：式公式列行的积乘阵矩由!(s o c ll !-2!(s o c )l !-3!(s o c …)l !-I )!(s o c l !-2!(s o c l)2!-3!(s o c …)2!-I )!(s o c l !-3!(s o c )2!-3!(s o c …l)3!-I )……………!(s o c l !-I !(s o c )2!-I !(s o c )3!-I l…)=!s o c l !n i s l 0…0!s o c 2!n i s 20…0……………!s o c I !n i s I 0…0!s o c l !s o c 2!s o c …I !n i s l !n i s 2!n i s …I 0…0……………000=的式列行算计法乘的阵矩块分用利2值：知理定）e c a I p a L （斯拉普拉由A l l 0A l 2A 22=.阵方是都22A ，l l A 中其，I 22A I I l l A I ：到广推易容很A l l 0…0A l 2A 220……………A l S A 2S A …SS IS S A I …I 22A I I l l A I =收稿日期：2003-04-09，修回日期：2004-05-09作者简介：陈怀琴（l948-），女，安徽蒙城人，副教授.第25卷第6期井冈山师范学院学报（自然科学）2004年l2月JournaI of Jinggangshan NormaI CoIIege （NaturaI Sciences ）VoI.25No.6Dec.2004值的式列行算计法乘的阵矩块分和阵矩用利名玉徐,琴怀陈）900343安吉西江,系学数用应与学数院学范师山冈井（算计法乘的阵矩块分用利，后块分地理合妙巧阵矩将；值的式列行算计式公式列行的积乘阵矩用利：要摘.值的式列行法乘;块分;式列行;阵矩：词键关30-2700-60)4002(579l -600l ：号编章文A：码识标献文22.l 5l 0：号类分图中第6期线角对主的它于等式列行的阵矩形角三下块分即.积乘的式列行的块小有所上阵矩形角三上块分到得可又置转的阵矩用利：式列行的A 11A 21A …s 1A 022A …s2………...A 0ss A l =11A l l 22ls s A l …l 角对主的它于等也式列行的阵矩形角三上块分即.积乘的式列行的块小有所上线时式列行算计在阵矩形角三）下（上块分此因.的便方较比是=E ：块分行进下如阵矩位单将E m 00E IH对它进行下述三种分块矩阵的初等变换：；换对）列（行块两把D 1不式列行个一）乘右或（乘左）列（行块一某D 2;P 阵方的0为D 阵矩(P 的）列（行块一另上加）列（行块一某D 3；倍：阵矩的型类下如到得0E I E m0;P 00E I ;E m 00 P ;E m P 0E I ;E m 0P E I分一任乘左阵矩些这用，阵矩等初块分是都些这阵矩块A B C D,只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换：0E I E m 0A B C D =C DAB(1D P 00E IA B C D =PA PB C D(2D E m0P E IA B C D =A BPA+C PB+ D(3D在(3D 式中适当地选择P ,可使PA +C =0,从而使（3）式右端变成分块上三角形矩阵.例2设AB=BA 且l A l !0,证明：A BC D=l DA-CB l证明：由AB =BA 且l A l !0知：A 、B 为同阶方阵，设A 、B 为I 阶方阵，又由A B C D知，C ，D 也为I 阶方阵.由（3）式知：E I 0P E IA B C D =A BPA+C PB+ D 因为l A l !0，故A 可逆，于是可选择P =-CA -1，可得：PA+C =-CA -1A+C =-C+C =0于是E I0-CA-1E IA B C D =A B0-CA -1B+D,从而E I 0-CA-1E IA B C D=AB0-CA -1B+D由E I0-CA-1E I =1知：A B C D =A B 0-CA -1B+D=A-CA -1B+D =-CA -1B+DA =(-CA -1B+D D A =-CA -1BA+DAAB=BA-CA -1AB+DA =-CB+DA =DA-CB例3计算行列式D=0a 1+a 2…a 1+a I a 2+a 1…a 2+a I …………a I +a 1a I +a 2…,其中a i !0（i =1,2,…,I ）,I "2.解：D =-2a 10-2a 20-2a I+a 1+a 1a 1+a 2…a 1+a I a 2+a 1a 2+a 2…a 2+a I …………a I +a 1a I +a 2…a I +a I=-2a 10-2a 20-2a I+a 11a 21a I111…1a 1a 2…a IH令A =-2a 10-2a 20-2a I ,B 1=a 11a 21a I1,B 2=11…1a 1a 2…a IH则D =A+B 1B 2=A+B 1B 2E 2=A+B 1B 2B 10E 2一方面，AB 1-B 2E 2H E I 0B 2E 2H =A+B 1B 2B 1E 2H,而E I 0B 2E 2=E IE 2=1,这里E I 是I 阶单位矩阵，E 2·····················值的式列行算计法乘的阵矩块分和阵矩用利：名玉徐,琴怀陈73井冈山师范学院学报（自然科学）第25卷第6期Calculate the Value of determinant using matrixand the multiplication of diViding matrixCHEN Huai-gin,XU Yu-ming(department of Mathematics &Application Mathematics,Jinggangshan Normal College,Ji'an 343009,China)Abstract:Calculate the volue of determinant using determinant formula of matrix product.After dividing the matrix product.After dividing the matrixingen iously and reasonably,calculate the value of determinant utilizing the multiplication of dividing matrix.Key words:matrix;determinant;divide;multiplication是二阶单位矩阵.则D =A+B l B 2=A+B l B 2B lE 2=AB l-B 2E 2.另一方面，E n0B 2A-lE 2AB l-B 2E 2=AB l0E 2+B 2A -lB l,从而AB l-B 2E 2=A B l0E 2+B 2A -lB l=AE 2+B 2A -lB l因此D =A+B l B 2=AE 2+B 2A -lB l ,其中A =（-2）na l a 2…a n .A -l =-l 2a l 0-l 2a 20-l 2a n I I I I I I II I I I I I I,B 2A -l B l =l l …l a l a 2…a n-l 2a l 0-l 2a 20l 2a nI I I II I II I I I I I Ia l l a 2l a nI I II I I I Il =-n 2-l 2(l a l +l a 2+…+l a n )-l 2(a l +a 2+…+a n )-n 2 II I I II ,E 2+B 2A -l B l =l-n 2-l 2(l a l +l a 2+…+l a n )-l 2(a l +a 2+…+a n )l-n 2 II I I II,得到D =（-2）n -2a l a 2…a n(n -2)2-(a l +a 2+…+a n )(l a l +l a 2+…+la n)参考文献：〔l 〕北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第2版)〔M 〕.北京：高等教育出版社,l993.〔2〕四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第2版）〔M 〕.北京：高等教育出版社,l998.········· (74)。
浅谈分块矩阵在行列式中的应用
浅谈分块矩阵在行列式中的应用引言:在行列式的计算中,计算方法不胜枚举,它们都是以整个行列式为对象，计算不免有些麻烦，我们能否将其分成若干块，即分块矩阵来计算整个行列式的值呢？满足这种情况的行列式有怎样特殊的性质呢？ 我们知道行列式有如下性质：① 行列式的某一行加上另一行的k 倍，行列式的值不变。
（性质6） ② 用一个数乘以行列式等于行列式的某一行或某一列。
（性质2） ③ 互换行列式中两行的位置，行列式反号。
（性质4）在课本中我们计算过1112212211121112212221220000a a a a D c c b b c c b b =的值。
通过按某行某列展开可得1112111221222122a ab b D a a b b =⋅，若设1112111211212221222122,,a a b b cc A B C a a bb c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则有 0A D A B CB==后又推广为1111111111110000k k kk k l l lkl lla a a a D c cb bc c b b ==11111111k l k l lla ab b a ab b ⋅这里我们已经运用了分块矩阵的思想，下面来介绍分块矩阵的某些性质。
设方阵A 是由如下分块矩阵组成 123123123A A A A B B B C C C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中(),,1,2,3i i i A B C i =都是s 阶矩阵，又M 是任一s 阶方阵 性质1：若 123112233123A A A DB MC B M C B M C C C C ⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭, 则D A = 证明：由行列式的性质得D A = 性质2:若123123123A A A B M B M B M B C C C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则有B M A =.证明：此性质就相当于行列式的性质2. 123123123000000sS E A A A B M B B B E C CC ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B M A ∴= 性质3：设123123123B B B A A A A C C C ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭， 则有 ,2,21A s mA A s m ⎧=⎪'=⎨-=+⎪⎩，m 为自然数。
分块矩阵的行列式计算方法
分块矩阵的行列式计算方法《聊聊分块矩阵的行列式计算方法——那神奇又有趣的数学“把戏”》嘿，朋友们！今天咱来聊聊这个分块矩阵的行列式计算方法。
听起来是不是感觉很高深莫测，好像离咱普通人的生活特别远？哈哈，其实呀，它就像是数学世界里的一个神奇“把戏”，等你了解了它，说不定也会被它的奇妙之处给吸引住呢！咱一开始接触这分块矩阵的时候，可能会觉得有点晕乎。
哎呀妈呀，这一块一块的，又是矩阵又是行列式的，到底该咋算呀？别急，这就像咱学走路似的，得一步一步来。
当你慢慢掌握了它的计算方法，就会发现，哇塞，原来这些看似复杂的东西，也是有规律可循的呀！就好像找到了一把打开数学宝藏大门的钥匙。
有时候我就在想，这分块矩阵的行列式计算方法啊，就像个聪明的小机灵鬼。
它能把那些原本让人头疼的大矩阵分成一个个小块，然后通过一些巧妙的规则和技巧，让我们能更轻松地算出结果。
比如说，你可以把一个大的分块矩阵看成是由几个小的矩阵拼凑起来的。
这就好比搭积木，每个小矩阵就是一块积木，而我们要做的就是通过合适的组合和计算，搭出我们想要的形状。
当然啦，学习这个过程也不是一帆风顺的哦。
有时候会遇到一些难题，就像是在路上摔了一跤。
不过没关系呀，拍拍屁股站起来，继续向前冲。
而且啊，当你终于搞懂了一个复杂的分块矩阵行列式的计算方法，那种成就感可别提有多棒了！就好像你攻克了一座数学的高峰，站在山顶上，俯瞰着脚下的风景。
学习分块矩阵的行列式计算方法，不仅能让我们的数学能力提升一个档次，还能让我们感受到数学的魅力和乐趣。
它就像一个隐藏的宝藏，等待着我们去挖掘。
所以呀，朋友们，不要被它的外表吓倒。
勇敢地去探索，去尝试，相信我，你一定会在这个奇妙的数学世界里发现许多意想不到的惊喜！让我们一起在分块矩阵的海洋里快乐地遨游吧！。
矩阵分块求行列式
矩阵分块求行列式摘要：一、矩阵分块的概念及应用二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法2.高阶矩阵的分块求行列式方法3.分块矩阵行列式的性质三、应用实例与注意事项正文：一、矩阵分块的概念及应用在矩阵运算中，我们常常会遇到一些复杂的矩阵，难以直接求得其行列式。
此时，我们可以通过矩阵分块的方法，将复杂的矩阵分解为若干个较小的矩阵，从而简化问题。
矩阵分块就是将一个矩阵按照一定的规则划分为若干个矩阵块，这些矩阵块可以是连续的行、列或元素。
矩阵分块的目的是为了便于计算矩阵的行列式，同时它也是矩阵运算中一种重要的技巧。
二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法对于三阶矩阵，我们可以通过如下方法进行分块求行列式：设矩阵A 为：```B CD EF G```我们可以将其分解为两个二阶矩阵的行列式之积：```A = (B C)(F G) - (D E)(F G)```其中，(B C)(F G) 表示矩阵B 和C 的行列式之积，(D E)(F G) 表示矩阵D 和E 的行列式之积。
2.高阶矩阵的分块求行列式方法对于高阶矩阵，我们可以采用类似的方法进行分块求行列式。
假设矩阵A 是一个m 阶矩阵，我们可以将其分解为如下形式：```A = (A11 A12...A1n)(A21 A22...A2n)...(An1 An2...Ann)```其中，Aij 表示矩阵A 的第i 行第j 列元素。
我们可以将矩阵A 分解为如下形式：```A = (A11 A21...An1) (A12 A22...An2)...(A1n A2n...Ann)```然后，我们可以将每一行或每一列的矩阵分解为二阶矩阵，从而求得原矩阵A 的行列式。
3.分块矩阵行列式的性质在分块矩阵求行列式的过程中，我们需要注意一些性质。
首先，如果分块之后至少有一块为零矩阵，那么原矩阵的行列式为零。
其次，分块矩阵的行列式等于各个分块矩阵行列式的乘积。
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南阳理工学院本科生毕业设计（论文）学院（部）：数理学院专业：数学与应用数学学生：童家祎指导教师：宋苏罗完成日期 2013 年 5 月南阳理工学院本科生毕业设计（论文）分块矩阵在行列式计算中的应用The Application of Block Matrix in Computing Determinant总计：毕业设计（论文）25页表格：0 个插图：0幅南阳理工学院本科毕业设计（论文）分块矩阵在行列式计算中的应用The Application of Block Matrix in Computing Determinant学院（系）：数理学院专业：数学与应用数学学生姓名：童家祎学号：101109071指导教师（职称）：宋苏罗（教授）评阅教师：完成日期：2013.5南阳理工学院Nanyang Institute of Technology分块矩阵在行列式计算中的应用数学与应用数学童家祎[摘要]分块矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用．矩阵分块的思想来源于对矩阵运算复杂度和储存思想的考虑，矩阵分块能降低矩阵的阶数，使矩阵条理更清晰并简化运算．本文从研究行列式以及分块矩阵的基本性质入手，在查阅了大量文献的基础上，给出了与行列式计算有关的分块矩阵相关定理．将分块矩阵降阶的思想应用在行列式计算过程中，推导出了借助分块矩阵进行行列式计算的多种方法，最后通过具体的例子对比说明，很多时候借助分块矩阵计算行列式比用行列式的常规方法计算更简单、直观、清晰．[关键词]分块矩阵；行列式；初等变换The Application of Block Matrix in Computing Determinant Mathematics and Applied Mathematics Major TONG Jia-yiAbstract: Block Matrix is an important content of Matrix theory, which has a significant usage in Advanced Algebra. The idea of Block Matrix comes from the consideration of the memory storage and the complexity of Matrix Manipulation. Block Matrix can reduce the exponent number of Matrix to make the consecution of Matrix clearer and the operation of Matrix easier. This article starts with basic properties of Matrix, and gives some main conclusions of Block Matrix on the basis of accessing a lot of literature. And then, we use the reduction thoughts of Block Matrix in process of determinant calculation to derive multiple methods of determinant calculation with the block matrix. At last, we use object lessons to compare, shows that computing the determinant by means of block matrix is often more simple, intuitive and clear than conventional methods of determinant calculation.Key words: determinant; block matrix; elementary transformation目录0 引言 (1)1 分块矩阵的概念 (1)1.1 分块矩阵的定义 (1)1.2 分块矩阵的运算 (2)1.3 特殊的分块矩阵 (4)2 分块矩阵的初等变换 (5)3 分块矩阵的相关定理及其证明 (6)4 利用分块矩阵计算行列式 (10)4.1 利用定理1计算行列式 (10)4.2 利用定理2计算行列式 (11)4.3 利用定理3计算行列式 (13)4.4 利用定理4计算行列式 (18)4.5 利用定理5计算行列式 (19)4.6 利用定理6计算行列式 (21)结束语 (23)参考文献 (24)致谢 (25)0 引言矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．1 分块矩阵的概念1.1 分块矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1[]2 设A 是n m ⨯矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A212222111211， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ⨯矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21010301012102102301A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211A A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21030122A ．1.2 分块矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m s i i =∑=1，n n tj j =∑=1，则A 与B可直接相加，即=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．数乘运算 设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211， 其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C CC C C AB C 212222111211， 其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ijij BA 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001， 我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222122222B B E E A OO E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A212222111211 是一个分块矩阵，那么它的转置为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111． 分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l A O A O A21的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1) 设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21， 则有l A A A A 21=；(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l B O B O B B21， 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l l B A O B A O B A AB2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+l l B A O B A OB A B A2211 它们还是准对角矩阵．2 分块矩阵的初等变换与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E O O E ， 对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E O mn ； (2) 分块初等倍乘阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P，⎪⎪⎭⎫⎝⎛P O O E m； (3) 分块初等倍加阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O Q E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E QO E ． 与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ， 只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B AO E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A E O O P n ； (3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛PA D PA C B A D C B A E P O E n m ． 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．3 分块矩阵的相关定理及其证明定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO B A=．证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO B A按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO B A=．类似地行列式的形式为CB O A时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO B A换成OC B A又会有怎样的结论，它的值等于B C 吗？定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B An 2)1(-=．证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此C B OC B As )1(-=，其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B An 2)1(-=．定理3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=． 证明 (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I11两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C B E r -=； (2)BC A E CB A s-=．证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD OB E D CB E r r -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E CO BC A E CB A ss-=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CB E r s sr -=-=．证明 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CB E r s sr -=-=．定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=DC B A BC AD -；(4) 当0≠D 且BD DB =时，=DCB A BC DA -．证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DCB A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--= CB AD -=，即=DCB A CB AD -，(2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A ABB A -+=．证明 根据分块矩阵性质有BA OB B A A AB B B A A BB A -+=++=B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明 因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AEβαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1101=-=-TE E βα，从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．4 利用分块矩阵计算行列式在行列式计算的过程中，若是该行列式的结构符合上述定理条件的要求，就可按照该定理进行矩阵分块，利用定理的结论计算行列式．其中的关键是如何对行列式进行分块，什么样的行列式能进行分块．我们在运用分块矩阵计算行列式时，要仔细观察行列式的结构，先确定运用哪个公式来进行计算，再对行列式进行相应的分块．在计算的过程中，也可能遇到可以运用分块矩阵计算的行列式，因此不仅要牢记公式，也要学会灵活运用．4.1 利用定理1计算行列式能够利用定理1求解的行列式的类型为CO B A 或CB O A ，下面给出具体例子．例1 计算行列式530012000215311210241210--=H ． 解 方法1（利用定理1） 对行列式H 分块，CO B A H =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=531102210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211241B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5312C ．根据定理1，有75312531102210=-==C A H ．方法2（化三角形法） 将行列式H 化为上三角形．530012000215311210241210--=H 5300012000215311210222321----= 5312000412103674022321----=270120004132141003674022321-----= 7=．方法3（降阶法）5300012000215311210241210--=H 53012001210412115301200215341212-⋅--⋅-=5301200121041211530012001041041212-⋅----⋅-=5301201215312010412---⋅-=531253122-⋅=7=．显然方法1更简单，利用定理1计算例1极大简化了计算．4.2 利用定理2计算行列式对于可以利用定理2计算的行列式，其结构特点是OC B A型．下面是利用定理2计算行列式的具体例子．例2 计算行列式=H 0000000000000626151333231262322211615131211ba ab a b a a a a a a a a a a a a a a a ．解 方法1（利用定理2）利用定理2结论，对行列式H 分块，OC B AH =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a aa a a B 000261615，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a a b a bC 626151000， 因此=H =-B C 9)1(33b a -．方法2（降阶法）=H 0000000000000626151333231262322211615131211ba ab a b a a a a a a a a a a a a a a a 00000000062615133323126232221ba ab a ba a a a a a a a a a -= 00000623332262322ba b a a a a a a a ab-=003326232ba a a a a ab -= aa a ab 0263-=33b a -=．方法3（定义法）这是一个六阶行列式，在展开式中应有!6项，但是由于其有很多零元素，所以不等于零的项就大大减少了，展开式中一般形式是654321654321j j j j j j a a a a a a ，显然，如果41≠j ，那么11j a 这一项就为零，因此只考虑41=j 的那些项；同理，只考虑14=j 的那些项，而由于第五行只有非零元素51a 和b ，所以只考虑25=j ，同理有52=j ，63=j ，36=j ．根据定义即可计算P ，即=H 33)456123()1(b a τ-33339)1(b a b a -=-=．从上面的例子我们看到，将方法2、3与方法1比较，方法2解题步骤更多更复杂，而方法3比较抽象，要有很好的观察力，显然利用分块矩阵来解题时，行列式的结构很清楚明了，解题过程也更简单．4.3 利用定理3计算行列式下面是利用定理3计算行列式的例子． 例3 计算n 2阶行列式b cb c d a da H=，其中0≠a ．解 方法1（利用定理3） 对行列式分块，令DCB A H =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c C ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d D ．A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，0≠=n a A 得A 可逆．因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----d ca b d ca b D CA B 111，所以n n cd ab d ca b a D CA B A H )()(11-=-=-=--．方法2（降阶法）b c b c d a d a H=1212000000---=n n bc b cd a da d cb bc b c da da a2222---=n n b cb cd a da cdb cb c d a d a ab== n cd ab )(-．方法3（化三角形法）利用行列式的性质，将H 化为上三角形，即b c b c d a d a H=1--=cda b b c d a da110----=cda b cda d da dan n cda b a )(1--=n cd ab )(-=．从上面例子可以看到，行列式H 是一个高阶抽象行列式，比较上面三种方法，显然方法1更为简单，而且在利用定理3将行列式进行分块之后，该行列式的结构便十分清晰，计算过程也很简单明．例4[]9 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321，其中n i a ,,2,1,01 =≠．解 方法1（利用定理3）对该行列式先加边，再将加边后的行列式的第1行乘1-加到其余各行， 得nn a a a a D ++++=111110111110111110111110111111321na a a 000100001000100011111121 ----=，令)1(=A ，)1,,1,1( =B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=111C ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a D21， 由于01≠a ，且B 可逆，从而==DCB A D n n ni a a a a a B CA D A 211111)(∑=--+=-)11(11∑∏==+=ni in i i a a ． 方法2（化三角形法）先对行列式加边处理，再利用行列式的性质，将n D 化为三角形．1000000111111111111111111111111321n n a a a a D ++++=1111111100000100001000010000321------=na a a a11111111000010010010001010000113211n n ni i a a a a a a -----=-=∏∑∏=-=+-----=ni in n ni i a a a a a a a 1132111111111010000000100000010000001)11(11∑∏==+=ni ini i a a ． 从上面的例子我们可以看到，在利用公式计算行列式时，并不一定在最开始时就进行分块．有时候，我们可以先对行列式进行变换，再使用公式计算行列式．同时，我们也认识到行列式的计算是十分灵活的，如上面的方法1就将加边法和定理3结合起来使用，所以在计算行列式时要学会灵活运用知识．方法2中运用矩阵的初等变换将行列式化成三角形，计算过程比较繁琐且容易出错．但是在什么样的情况下利用定理3求行列式值比较简便，还有待进一步讨论，下面将给出一类特殊的行列式的例子．例5[]10 求形如11110111011110-----=M的n 阶（n 为偶数）反对称行列式的值．解 将M 按如下分块，B CA D A DCB A M 1--==，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111 B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=111111 C ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110 D 因为01≠=A ，所以A 可逆．又有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-11111101101111111 B CA ， 所以1242=======--A M M M D M n n ．从此例可以推广，形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00a a a a a a a a a a a a M (0≠a )的n 阶（n 为偶数）的反对称矩阵，其行列式的值为n a ．上面总结了定理3在一类特殊行列式上的应用，当遇到这类问题时可直接使用上述结论．当然，在其他某些数字行列式的计算上也可直接运用定理3，也可先经过行列式的某些变换使其数字更简单结构更明了，再使用定理3来计算．4.4 利用定理4计算行列式定理3虽给出了计算行列式的一种方法，但计算过程相对繁琐，计算中涉及到多次求逆和矩阵相乘，同时也不易记忆．而定理4可以说是定理3的推论，在实际应用中定理4更常用．下面将给出相关例子．例6 计算例3所给的n 2阶行列式． 解 A 、C 如例3所给，DCB A H =，而且CA AC =，则有=H =-CD AB cdab cdab cdab ---n cd ab )(-=．注意：（1）这里并不需要0≠a 这个条件；（2）在用定理4计算高阶行列式时，A 和C 有一个是n 阶单位矩阵或是n 阶数量矩阵时，那么计算方法会更简便．例7 计算行列式=H 1210520132211111-．解 方法1[]11（利用定理4） 对H 进行分块⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A H ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1252D ．显然A 可逆且CA AC =，故=H CB AD -， 所以1010453==H ．方法2（化三角形法)利用行列式的性质，将行列式H 化为三角形．=H =-1210520132211111121411041101111--5100020041101111-=10500020041101111=-=．方法3（降阶法)=H 12141141112104110411011111210520132211111--=--=- =-=5100204115102=10．我们可以看到利用定理4计算例2的过程比利用定理3和其他方法计算时更简单．4.5 利用定理5计算行列式对于能用定理5求解的行列式，我们往往很容易看出来，而且分块也很简单．下面给出具体例子．例8 计算行列式=P 0000a b c acb bc a c ba的值．解 方法1（利用定理5) 将对行列式P 进行分块，=P ABB A ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00a a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b c c b B ， 则由定理5可得=P =ABB A B A +B A -⋅bca c ab bca c ab ----++=))()()((c b a c b a b c a c b a ---+-+++=．方法2（降解法)将行列式P 按第一行展开，可得P ab c c b ca cbc a c b b a b a ca bb c aa 000000⋅-⋅+⋅= )()()(322223322c c b c a c ba bc b b a ac ab a -+---+-+-=222222444222c b c a b a c b a ---++=))()()((c b a c b a b c a c b a ---+-+++=．方法3（列归一法)将行列式的第2、3、4列都加到第1列．P 000a b c b a acc b a b c c b a cb ac b a ++++++++=0101011)(a b acbc c ba cb a ++=cba abc a bac c b b c acb ac b a ---------++=0001)( cb a a bc a b a c cb bc ac b a ---------++=)(bca cb ac a bcb bc c b a c b a --++-----++-++=0)(bc a c a bc b b c c b a c b a -------+-++=001))((])()[)((22c a b c b a c b a ---+-++=))()()((c b a c b a b c a c b a ---+-+++=．此题看似简单，但若是计算方法不佳，计算起来也不会轻松．比较上面三种方法，可以看到，利用定理5计算此题极大的简化了计算过程．4.6 利用定理6计算行列式在利用定理6计算n 阶行列式时，要根据具体情况，把原来行列式的元素组成的矩阵分成两部分，其中一部分是n 阶可逆矩阵A ，该矩阵一般为对角矩阵，那么其行列式和逆矩阵比较容易求出；另一部分是n 维列向量α和β组成的乘积T αβ．这种分法是利用定理6计算n 阶行列式的难点，需要有较强的观察力．下面列举两个具体例子加以说明． 例9 计算行列式=D ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a n n n n ++++321321321321．解 方法1（利用定理6) 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b A，T n a a a ),,,(21⋅⋅⋅=α，T)1,,1,1(⋅⋅⋅=β， 则=T βα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111()n a a a ,,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a a a a a a a a 212121， 而且TA D βα+=，又由于n b A =，并且=-βα1A T ∑=-ni iab11，从而由定理4知，)()1()1(11111∑∑=-=--+=+=+=+=ni i n ni i n T Ta b ba bb A A A D βαβα．方法2（利用方阵特征值与行列式的关系) 令矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=b a a a a a ba a a a ab a a a a a ba A n n n n321321321321，则+=n bE A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n a a a a a aa a a 212121+n bE n A ．显然，n bE 的n 个特征值为b b b ,,, ，n A 的n 特征值为0,,0,0,1∑=ni i a ，故A 的特征值为b b b a b ni i ,,,,1∑=+，由方阵特征值与对应行列式的关系知=D )(11b a bni i n +∑=-．方法3（化三角形法)=D b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a n n n n ++++3213213213211001010100111321 b a b a b a b a b n n+=101000010321b a b a b a b a b n ni i n∑==nb =)1(1+∑=ni i b a )(11b a b ni i n +=∑=-．例10 计算行列式nn n n n n b a x b a b a b a b a x b a b a b a b a x D +++=212221212111(1>n )．解 当0=x 时，0=D ；当0≠x 时，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x x A ，Tn T n b b b a a a ),,,(,),,,(2121 ==βα， 由此可得T A D αβ+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n n n T b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b b a a a2122212121112121),,,(αβ， 再因nx A =，且=-αβ1A T ∑=-ni i i b a x11，由定理6可得)()1(111∑=--+=+=+=ni i i n T Tb a x xA A A D αβαβ．容易看出，运用定理6计算行列式也有一定的规律可循，计算这类行列式时一定要弄清它的结构，对行列式进行合理分块，这样计算过程会得到很大简化．结束语本文通过对分块矩阵性质及相关结论的研究，给出了部分运用分块矩阵计算行列式的方法．从上文的一些结论和给出的例子可以看出，分块矩阵在行列式计算中的应用很多，而且利用分块矩阵计算行列式，可以有效的简化计算．在实际运用的过程中，要根据行列式的结构特点，选择合适的方法，并对行列式合理的分块，将使该方法得到更广泛的应用．参考文献[1] 李师正.高等代数解题方法现技巧[M].北京:高等教育出版社,2004[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003[3] 高白俊.分块矩阵的初等变换及其应用[J].伊犁师范学院学报,2007(12):15-17[4] 刘国良.分块矩阵行列式的一些结果[J]. 石家庄职业技术学院学报,2003(08):52-53[5] 胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004(12):51-53[6] 高振兴.矩阵分块与应用[J].辽宁师范大学学报,2011(06):157-160[7] 王莲花，李念伟.分块矩阵在行列式计算中的应用[J].河南教育学院学报,2005(03):12-15[8] 张燕.分块矩阵行列式的性质及其应用[J].高等函授学报,2010(12):31-33[9] 廖军.分块矩阵求n阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004(06):164-168[10] 吕智颖，李晓红，石国庆.分块行列式的第一降阶定理在行列式计算与证明中的应用[J].高师理科学刊,2005(2):11-13[11] 彭丽清. 矩阵分块在行列式计算中的应用[J].忻州师范学院学报,2006(04):31-32致谢此论文完成之际，首先要感谢我的指导老师宋苏罗教授，从选题到完成论文的整个过程，宋老师倾注了大量心血，给予我极大的关心和帮助，无微不至的关心着我的论文进展程度，自始至终，论文都在宋老师的指导下不断完善．毕竟“经师易得，人师难求”，希望借此机会向宋老师表示最衷心的感谢！也祝宋老师工作顺利，身体健康，万事如意！此外，我还要向在我学习和生活中给予关心、支持和鼓励的所有老师、同学们表示衷心的感谢！最后感谢论文评审组的各位老师对我论文的评阅和提出宝贵的建议；感谢国内外学者的著作和论文给我的教导和启发！向所有关心、爱护和帮助过我的人表示衷心的感谢！。