几类分块矩阵的行列式

第６卷第４期２００６年８月

泰州职业技术学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅ

Ｖｏｌ．６Ｎｏ．４

Ａｕｇ．２００６

摘要：利用Ｌａｐｌａｃｅ展开定理的特例—分块三角阵的行列式，研究了几类分块矩阵的行列式，得到了三个结果，并利用得到的结果计算一些特殊的行列式，能达到简化计算的目的。

关键词：分块矩阵；应用；行列式

中图分类号：Ｏ１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－０１４２（２００６）０４－００６７－０３

用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块。以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵，它的重要用处是可以通过子块进行运算。本文将探讨分块矩阵在行列式计算上的应用，约定字母Ｏ和Ｅ分别表示零矩阵和单位矩阵，Ａ表示方阵Ａ的行列式。

１、定理

定理１若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，则ＡＥ

ＢＣ

＝ＣＡ－Ｂ

定理２若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，则ＡＣ

ＢＤ

＝Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ

定理３若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，且ＡＢ＝ＢＡ，则ＡＣ

ＢＤ

＝ＡＤ－ＢＣ

２、定理的证明

引理１（分块三角阵的行列式）

设分块矩阵Ｇ＝

ＡＯ

Ｃ

!"

Ｂ

，其中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ分别是ｋ阶、ｎ阶、ｎ×ｋ型、ｋ×ｎ型矩阵，则Ｇ＝Ａ·Ｂ

证明见参考文献［１］。定理１的证明：

根据分块矩阵的乘法易得：

ＡＥ

Ｂ

!"

Ｃ

Ｏ－Ｅ

Ｅ

!"

Ａ

＝

ＥＯ

ＣＣＡ－

!"

Ｂ

，

因为矩阵Ａ，Ｂ和Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，因此交换行列式Ｏ－Ｅ

ＥＡ

的第ｉ列与第ｎ＋ｉ

列（ｉ＝１，２，…，ｎ）得：Ｏ－Ｅ

ＥＡ

＝（－１）ｎ

－ＥＯ

ＡＥ

，

由引理１得：Ｏ－Ｅ

ＥＡ

＝（－１）ｎ－ＥＥ＝１，

ＥＯ

ＣＣＡ－Ｂ

＝ＣＡ－ＢＥ＝ＣＡ－Ｂ

从而有：ＡＥ

ＢＣ

＝

ＡＥ

Ｂ

!"

Ｃ

Ｏ－Ｅ

Ｅ

!"

Ａ

＝ＣＡ－Ｂ．证毕．

定理２的证明：

几类分块矩阵的行列式

周从会

（连云港职业技术学院基础部，江苏连云港２２２００６）

作者简介：周从会（１９６８－），女，江苏连云港人，硕士，讲师．

由矩阵Ａ可逆，因此可有：

ＡＣ

Ｂ

!"

Ｄ

Ａ－１Ｏ

Ｏ

!"

Ａ

＝

ＥＣＡ

ＢＡ－１Ｄ

!"

Ａ

交换行列式

ＥＣＡ

ＢＡ－１ＤＡ

的第ｉ列与第ｎ＋ｉ列（ｉ＝１，２，…，ｎ），

并根据定理１得：

ＥＣＡ

ＢＡ－１ＤＡ

＝（－１）ｎ

ＣＡＥ

ＤＡＢＡ－１

＝（－１）ｎＢＡ－１ＣＡ－ＤＡ＝Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ，

因此

ＡＣＢＤ＝

ＡＣ

ＢＤ

Ａ－１Ｏ

ＯＡ

＝

ＥＣＡ

ＢＡ－１ＤＡ

＝Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ．证毕

定理３的证明：由矩阵Ａ可逆和ＡＢ＝ＢＡ易得ＢＡ－１＝Ａ－１Ｂ，根据定理２的证明立得定理３结论。３、定理的应用

例１计算行列式．

３－５１０－２３０１４－９－３－７２－６－３２

．

解由定理１得

原式＝

－３－７

－３

!"

２

３－５

－２

!"

３

－

４－９

２－

!"

６

＝

１３

－１５２７

＝７２．

例２证明０１１ａ

１０１ｂ

１１０ｃ

ａｂｃｄ

＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ．

证明：左式＝（－１）２ａ１１０

ｂ１０１

ｃ０１１

ｄｃｂａ

＝

１１

ｂ

!"

ａ

ａ１

ｂ

!"

１

－

ｃ０

ｄ

!"

ｃ

＝

ａ＋ｂ－ｃ２

２ａｂ－ｄａ＋ｂ－ｃ

＝（ａ＋ｂ－ｃ）２－２（２ａｂ－ｄ）＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ＝右式．

例３计算２５５１１３５００１５６１２３４

解：易看出Ａ＝

２５

１

!"

３

可逆，且Ａ－１＝

３－５

－１

!"

２

，因此有：

原式＝

５６

３

!"

４

－

０１

１

!"

２

３－５

－１

!"

２

５１

５

!"

０

２５

１

!"

３

＝

５６

３

!"

４

－

５－１

０

!"

１

＝

０７

３３

＝－２１

例４计算阶行列式ａｂ

……

ａｂ

ｂａ

……

ｂａ

ｎ行

ｎ＋１行

（ａｂ≠０）

第４期泰州职业技术学院学报

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