几类分块矩阵的行列式
分块矩阵的行列式的计算公式
分块矩阵的行列式的计算公式分块矩阵这玩意儿，在数学的世界里可有着独特的地位。
咱今天就来聊聊分块矩阵的行列式的计算公式。
先给您说说啥是分块矩阵。
比如说，有一个大矩阵，咱把它分成几块小矩阵，这就成了分块矩阵。
就像一个大蛋糕，切成几块，每一块都有它自己的特点。
那分块矩阵的行列式咋算呢？这可有点讲究。
假设我们有一个分块矩阵，形如：\[\begin{pmatrix}A &B \\C & D\end{pmatrix}\]其中 A 是一个 k×k 的矩阵，D 是一个 (n - k)×(n - k) 的矩阵。
如果 A 可逆，那么这个分块矩阵的行列式就等于 |A|×|D - CA⁻¹B|。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这咋就得出这个公式了呢？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”我拿起粉笔，在黑板上一步一步地推导。
“你看啊，咱们先把这个分块矩阵变个形。
”我一边说一边写，“通过一系列的初等变换，把它变成一个上三角矩阵。
”学生们眼睛紧紧地盯着黑板，生怕错过一个步骤。
推导完了，我问那个提问的学生：“这回明白了不？”他挠挠头说：“好像有点明白了，老师您再给我讲讲实际应用呗。
”那咱就说实际应用。
比如说，在解决一些线性方程组的时候，分块矩阵的行列式计算公式就能派上大用场。
假设我们有一个线性方程组，通过一系列的变换，把它的系数矩阵变成了一个分块矩阵的形式。
然后利用这个公式计算行列式，如果行列式不为零，那就说明这个方程组有唯一解。
再比如，在研究矩阵的特征值和特征向量的时候，也可能会用到分块矩阵的行列式计算公式。
这能帮助我们更深入地理解矩阵的性质。
总之，分块矩阵的行列式计算公式虽然看起来有点复杂，但只要您多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现它其实挺有用的。
希望您通过我的讲解，对分块矩阵的行列式计算公式能有更清楚的认识，加油去探索数学的奇妙世界吧！。
分块矩阵的行列式公式
分块矩阵的行列式公式
分块矩阵的行列式公式指的是处理具有分块结构的矩阵的行列式求值方式，是现代数学中被广泛使用的数学方法之一。
分块矩阵是指将矩阵分成多个同大小的小矩阵，也称为分块结构，即是将原来的矩阵按一定原则划分为不同的子矩阵块。
分块矩阵的行列式公式可以用来求解处理具有分块结构的矩阵的行列式值，公式如下所示：|A|=|A11 A12|=|A11| |A21 A22| |A21|，其中A为总矩阵，A11和A21分别为其分块的子矩阵。
由于分块矩阵行列式公式提供了一种简洁明了的数学方法，因此在多学科领域中得到了广泛应用。
在平面几何、博弈论、数值计算以及统计学等领域经常使用此公式。
另外，此公式还广泛用于日常生活。
比如，它可以用来分析及预测市场趋势、预测股票行情、估算宏观经济指标和进行其他类似分析，从而指导宏观经济发展，为社会提供有效的决策支持。
总的来说，分块矩阵的行列式公式以其易用性、高效性和可靠性占据着重要的地位，广泛应用于多学科以及日常生活中，为学术界和社会发展提供了强力支撑。
分块矩阵的行列式
分块矩阵的行列式1. 介绍分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，由多个矩阵组合而成。
它的主要特点是将大的矩阵分解为较小的子矩阵，通过对这些子矩阵的运算来推导整个矩阵的性质。
在线性代数中，行列式是矩阵的一个重要概念，可以用来判断矩阵是否可逆，计算矩阵的特征值等。
本文将重点介绍如何计算分块矩阵的行列式。
2. 分块矩阵的定义分块矩阵可以看作是由多个子矩阵组合而成的一个大矩阵，其中每个子矩阵可以是一个矩阵或者是一个标量。
分块矩阵通常可以表示为以下形式：$$ A = \\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ A_{21} & A_{22} &A_{23} \\\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\\\ \\end{pmatrix} $$上述矩阵中的A ij可表示为子矩阵或者标量，每个子矩阵的形状可以不同。
根据子矩阵的位置和性质，分块矩阵可以分为多种类型，如对角分块矩阵、上三角分块矩阵、下三角分块矩阵等。
3. 分块矩阵的行列式计算方法对于分块矩阵，行列式的计算可以通过逐个计算子矩阵的行列式得到。
具体地，对于上述示例中的矩阵A，它的行列式可以计算为：$$ |A| = |A_{11}| \\cdot |A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}| \\cdot |A_{33} -A_{31}A_{11}^{-1}A_{13} - A_{32}A_{22}^{-1}A_{21} + A_{31}A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}| $$上述公式中，|A11|表示A11的行列式，A22−A21A11−1A12表示Schur补。
通过逐个计算子矩阵的行列式并按照公式相乘的方式，可以得到整个分块矩阵的行列式。
4. 适用性和优势分块矩阵的行列式计算方法适用于具有特殊结构的矩阵，比如对称矩阵、三对角矩阵等。
分块矩阵公式总结
分块矩阵公式总结对于行数和列数较高的矩阵，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。
将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例如将矩阵分成子块的分法很多，下面举出三种分块形式：分法（i）可记为其中即为的子块，而形式上成为以这些子块为元的分块矩阵。
证明公式时出现的矩阵正是分块矩阵，在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵，这与把大矩阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（i）设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中与的行数相同、列数相同，那么（ii）设为数，那么（iii）设为矩阵，为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，那么其中分块矩阵的乘法也不是很好理解的，看着和矩阵乘法很相似，但是初始做题时，还是有很多顾虑的。
要解决这些顾虑其实不难，我们可以举例说明一下。
和书上的例子一样，不过我们把过程拆开，并且多分析一下。
例设求首先按书上所说的，先把给分成4块我们把的列分成了的形式，这时候的应该怎么分块呢，我们只需要将的行分成的形式（这是因为这样可以使分块后的分块矩阵的列数也等于被乘分块矩阵的行数，从而符合矩阵的乘法），列分成多少段是无所谓的，即列的分法共有种可能。
我们找第1，3，5，8种来计算一下：第1种：则计算出结果得第3种：计算出结果得第5种：计算出结果得第8种：计算出结果得其实上面的过程也没有什么新鲜的东西，随着对分块矩阵越来越熟悉，很多都已经不是问题，只是简单总结出来：的列怎么分决定了的行怎么分；的行的分块决定了结果得行的分块，的列的分块决定了结果列的分块。
（iv）分块矩阵的转置和分块矩阵的乘法其实都是一样的，它们的运算都是整块分块矩阵的运算，其实和普通的矩阵的操作是一样的。
数学不在于第一眼是否能够想象出来，是否能看明白，很多问题光靠脑子是不够的，还得真正的拿起笔来，一步步的算，找规律。
求一些特殊类型分块矩阵的行列式
2020.32科学技术创新矩阵在数学的很多学科上例如线性代数、线性规划、组合数学等有着重要的使用价值，此外，在实际生活中的很多问题也可以抽象成矩阵进行表述和运算，因此矩阵的运算以及矩阵的应用，都值得我们去深入研究。
当矩阵的行的个数和列的个数都比较多时，这时研究矩阵的计算过程会有些复杂，为了让我们更清楚阶数更高的矩阵的结构，为了简化其运算，我们可以通过把高阶矩阵采用分块的形式来达到我们的目的，从而使有关矩阵的理论问题和实际问题都变得更加容易，这时就体现出了分块矩阵的重要性。
矩阵分块，就是把一个行数列数较多的矩阵看做是由一些小的矩阵组成。
就如矩阵的元素（数）一样，特别是在运算中，可以把这些小矩阵算作数一样处理。
把矩阵分块后再进行相应的运算会更加方便，因为利用矩阵的分块可以更加清楚矩阵间的某些联系，使得计算非常方便，方法容易总结，是处理级数较高的矩阵时常采用的方法。
定理1如果n 阶方阵p 可以分块为p=A BC D()，其中A ，D是均为方阵，且R （A ）=r ，R （D ）=n-r ，B 是r ×（n-r ）矩阵，（n-r ）×r 是矩阵。
则有如下结论：（1）当矩阵A 可逆时，有：（2）当矩阵D 可逆时，有：定理2设是M=A BC D()一个2n 级分块矩阵，其中A ，B ，C ，D都是n 阶方阵，则有结论如下：当矩阵A 可逆时AC=CA ，|M|=|AD-CB|当矩阵D 可逆时AB=BA ，|M|=|DA-CB|证明：设M=A BC D()是一个2n 级分块矩阵，其中A ，B ，C ，D都是n 阶方阵，当矩阵A 可逆时AC=CA ，|M|=|AD-CB|证明：因为矩阵A 可逆，所以A -1存在又因为AC=CA由于且得，即例1计算矩阵P 的行列式，分析：观察该行列式发现除对角元素外，其余元素都相同，所以可以用加边法升阶后对行列式进行化简，对化简后的矩阵再进行分块计算出行列式结果。
分块对角矩阵的行列式
分块对角矩阵的行列式分块对角矩阵的行列式计算是线性代数中经常遇到的问题，它在矩阵分析、图像处理、信号处理等领域中有着广泛的应用。
下面将介绍分块对角矩阵及其行列式的计算方法。
分块对角矩阵的定义分块对角矩阵是一个具有如下形式的矩阵：$A=\begin{pmatrix}A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_k\end{pmatrix}$其中$A_1,A_2,\cdots,A_k$都是方阵。
在分块对角矩阵中，每一个分块$A_i$都对角化了。
这种矩阵有许多性质，其中最重要的一条是它的行列式可以简单地计算出来。
分块对角矩阵的行列式计算方法由于分块对角矩阵是一个对角矩阵，所以它的行列式就是各个对角元素的乘积。
即：$|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_k|$这个式子并不复杂，但是我们可以将它进一步简化。
假设$A_i$的维数为$n_i$，则$A$的维数为：$n=\sum_{i=1}^{k}n_i$因此，我们可以用一个$1\times n$的行向量$r$和一个$n\times 1$的列向量$c$来表示矩阵$A$：$r=\begin{pmatrix}r_1 & r_2 & \cdots & r_n\end{pmatrix}$$c=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}$其中$r_i$和$c_i$分别是矩阵$A$中第$i$行和第$i$列的元素。
现在，我们来看一下如何用$r$和$c$来表示$A$的行列式。
根据行列式的定义，我们可以将矩阵$A$的行列式写成：$|A|=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$其中$S_n$是$n$个元素的置换群，$a_{i\sigma(i)}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$\sigma(i)$列的元素，$\sigma$的符号$(-1)^{\sigma}$表明$\sigma$是奇置换还是偶置换。
分块行列式的计算公式四个块
分块行列式的计算公式四个块
比较简单的行列式可以通过三角法快速求解，但当行列式的阶数
增大时，计算过程会变得非常繁琐。
分块行列式的概念装置了行列式
计算中的困难。
它可以将大阶行列式分割为若干个小阶子行列式，然
后利用子行列式的计算公式来求解原行列式。
当分块时，每个子块的行数和列数可以不相等，通常用大写字母A、B、C和D表示四个块，该行列式可以化简成以下计算公式：
|A B|
|C D|=det(A)*det(D)-det(B)*det(C)
其中det(A)、det(B)、det(C)以及det(D)分别表示子块A，B，C 和D的行列式值。
类似的，当分块行列式是 9 阶时，可以将其分为三块，用大写字母A、B和C表示，此时计算公式如下；
|A B|
|C D|=det(A)*det(D-CA^(-1)B)-det(B)*det(C-DA^(-1)A)
在分块行列式的计算方法中，A 子块是关键。
A 子块计算时可以
使用 LU 分解、菲薄分解、QR 分解或最小二乘的方法，也可以使用特
定的逆矩阵计算方法，只要A子块可逆。
若该矩阵不可逆，将会严重
影响求解过程，出现矩阵无法解，甚至是奇异矩阵。
因此，在求解过
程中，事先检查矩阵的可逆性是非常必要的。
分块行列式在实际的计算问题中有着极强的实用性，尤其当行列
式的阶数很大时，使用该方法大大提高了计算的效率。
与传统的三角
分解相比，分块行列式的计算公式可以用来避免计算量大的矩阵计算。
因此，它可以有效解决计算困难的矩阵问题，使得求解大型行列式变
得容易。
矩阵分块法求行列式
矩阵分块法求行列式引言在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它可以用来刻画矩阵的性质和描述线性方程组的解的情况。
矩阵分块法是一种常用的求解行列式的方法之一，它将矩阵按照一定规则进行分块，从而简化计算过程和分析问题。
矩阵的分块表示矩阵的分块表示是指将一个大矩阵按照行或列进行分割，形成数个子矩阵，并按照一定规则排列组合起来表示原矩阵。
根据分块的方法不同，可以分为水平分块和垂直分块两种。
水平分块水平分块是指将矩阵按照行进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
假设有矩阵A，可以表示为以下形式：A=[A11A12 A21A22]其中，A11、A12、A21、A22都是子矩阵。
矩阵的分块表示可以简化为：A=[A11A12][A21A22]垂直分块垂直分块是指将矩阵按照列进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
与水平分块类似，矩阵A的垂直分块表示为：A=[A11A21][A12A22]矩阵的行列式性质在矩阵的分块表示基础上，可以推导出矩阵的行列式性质，进一步简化行列式的计算过程。
行列式的性质1：行列式的分块设矩阵A能够按照水平分块的方法表示，即A=[A11A12A21A22]，则有：|A|=|A11|⋅|A22−A21A12−1A11|其中，A12−1表示A12的逆矩阵。
行列式的性质2：上（下）三角矩阵的行列式若矩阵A是上（下）三角矩阵，则A的行列式是其对角元素的乘积。
行列式的性质3：特殊矩阵的行列式对于一些特殊的矩阵，可以直接利用其定义特点求出行列式的值。
•对角矩阵：对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积。
•置换矩阵：置换矩阵的行列式等于1或-1，具体取决于该置换矩阵是奇数个偶置换还是偶数个置换。
•元素全为0的矩阵：行列式为0。
•元素全为1的矩阵：行列式为0。
（推论：如果矩阵的某一行（列）的元素全为0，则行列式为0。
）矩阵分块法求行列式的步骤根据矩阵的分块表示和行列式的性质，可以得出矩阵分块法求行列式的步骤。
几类分块矩阵的行列式
可逆， 且 Ａ－１＝
， 因此有：
１３
－１ ２
! "! "! "! " ! " ! "! " ５ ６ ０ １ ３ － ５ ５ １ ２ ５
５ ６ ５ －１ ０ ７
原式＝
－
＝
－
＝
＝－ ２１
３ ４ １ ２ －１ ２ ５ ０ １ ３
３４ ０ １ ３３
ａ
ｂ
…
…
例 ４ 计算阶行列式
ａｂ ｂａ
ｎ行 ｎ＋１ 行 （ ａｂ≠０）
．
４ －９ －３ －７
２ －６ －３ ２
解 由定理 １ 得
! "! "! " － ３ － ７ ３ － ５ ４ － ９
１３
原式＝
－
＝
＝７２．
－ ３ ２ － ２ ３ ２ － ６ － １５ ２７
０１１ａ
１０１ｂ
例 ２ 证明
＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－ ２ａｂ－ ２ｂｃ－ ２ａｃ＋２ｄ．
１１０ｃ
ａｂｃｄ
ａ１１０
! "! "! " ｂ １ ０ １ １ １ ａ １ ｃ ０ ａ＋ｂ－ ｃ ２
＝ ＣＡ－ Ｂ Ｅ ＝ ＣＡ－ Ｂ
ＥＡ
Ｃ ＣＡ－ Ｂ
! "! " Ａ Ｅ Ａ Ｅ Ｏ － Ｅ
从而有：
＝
＝ ＣＡ－ Ｂ ．
证毕．
ＢＣ ＢＣ Ｅ Ａ
定理 ２ 的证明：
作者简介：周从会（１９６８－ ）， 女， 江苏连云港人， 硕士， 讲师．
６８
泰州职业技术学院学报
第４期
! "! "! " Ａ Ｃ Ａ－１ Ｏ
一种新的四阶行列式计算方法
一种新的四阶行列式计算方法四阶行列式是指由4行4列的方阵所构成的行列式。
传统计算四阶行列式的方法是应用拉普拉斯展开或对角线法则。
下面我将介绍一种新的四阶行列式计算方法。
这种方法是基于分块矩阵的思想，即将4阶行列式按照其中一种方式分割成较小的块矩阵，并利用这些块矩阵之间的关系来简化计算。
首先，将4阶行列式按照第一行或第一列进行分割，可以得到以下四个块矩阵:A=，a11a12a13a14a21a22a23a2a31a32a33a3a41a42a43a4B=，a21a22a23a24a31a32a33a3a41a42a43a4C=，a11a13a14a21a23a2a31a33a3a41a43a4D=，a11a12a14a21a22a2a31a32a3a41a42a4接下来，我们计算这四个块矩阵的行列式。
块矩阵A的行列式可以直接计算得到。
块矩阵B的行列式可以通过递归计算得到，因为B的形式与原来的行列式形式相同。
块矩阵C的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的4次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列、第二列和第三列，最后求和。
块矩阵D的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的3次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列和第二列，最后求和。
计算得到这四个块矩阵的行列式后，我们可以将它们组合成原来的4阶行列式的结果。
具体做法是，将块矩阵B的行列式乘以a11，块矩阵C的行列式乘以a12，块矩阵D的行列式乘以-a13，最后再加上块矩阵A的行列式乘以a14总而言之，这种新的四阶行列式计算方法利用了分块矩阵的思想，将原来的四阶行列式分割成多个较小的块矩阵，并通过递归和拉普拉斯展开的方法计算出这些块矩阵的行列式，最后再根据块矩阵之间的关系得到原来行列式的结果。
这种方法可以简化计算过程，提高计算效率。
四块分块矩阵的行列式值
四块分块矩阵的行列式值在数学中，矩阵是一个非常重要的概念，是线性代数中的基础，广泛应用于各个领域。
而矩阵的行列式则是矩阵的一个重要的属性，它是矩阵的一个实数值，经常用来描述线性变换后空间的变化。
在这里，我们主要讨论一种特殊的矩阵：四块分块矩阵的行列式值。
四块分块矩阵是一种由四个形状相同的子矩阵组成的大矩阵，这四个子矩阵的大小均为n x n。
设四块分别为A,B,C,D，整个矩阵记为M，那么四块分块矩阵可以表示为：M =（A B）（C D）其中，A，B，C，D均为n x n的方阵。
矩阵的行列式值是由每行每列的元素按一定规律运算而得出的一个实数。
这个规律就是著名的拉普拉斯展开定理。
拉普拉斯展开定理告诉我们，一个矩阵的行列式值可以通过其中任意一行或一列的元素来计算。
而四块分块矩阵的行列式值同样可以通过利用拉普拉斯展开定理来计算。
具体来说，我们可以以第一行或第一列作为展开的基准，进行分类讨论，分别计算出四个小矩阵的行列式值，然后再套用拉普拉斯展开定理进行计算，最终得出整个矩阵的行列式值。
这里，我们以第一行为基准，进行分类讨论。
首先，我们将四块分块矩阵M展开为：$$M=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\b_{11}&b_{12}& \cdots&b_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\d_{11}&d_{12}&\cdots&d_{1n}\\\end{bmatrix}$$如果我们以第一行为基准，那么展开式可以表示为：$$\begin{aligned} \det (M)&=a_{11}\left|\begin{matrix}b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\ c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ d_{22}&d_{23}&\cdots&d_{2n}\end{matrix}\right|-\cdots +(-1)^{1+n}a_{1n}\left|\begin{matrix}b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2,n-1}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2,n-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ d_{21}&d_{22}&\cdots&d_{2,n-1}\end{matrix}\right| \end{aligned}式中，$\left|\begin{matrix} b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\d_{22}&d_{23}&\cdots&d_{2n} \end{matrix}\right|$等表示对应小矩阵的行列式值。
矩阵分块求行列式
矩阵分块求行列式矩阵分块是一种将大矩阵划分为小矩阵的方法，可以简化矩阵运算过程。
在求解行列式时，矩阵分块技术可以使得计算更加简单高效。
本文将介绍矩阵分块的概念及其在求解行列式中的应用。
什么是矩阵分块矩阵分块是一种将大矩阵划分为若干个子矩阵的方法。
通过将大问题转化为小问题，可以简化计算过程并提高计算效率。
常见的矩阵分块方法有水平、垂直和斜向三种方式。
水平分块水平分块是指将一个大矩阵按行划分为若干个子矩阵。
例如，对于一个n×m的矩阵A，可以将其按行划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak，每个子矩阵具有相同的列数m。
垂直分块垂直分块是指将一个大矩阵按列划分为若干个子矩阵。
例如，对于一个n×m的矩阵A，可以将其按列划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak，每个子矩阵具有相同的行数n。
斜向分块斜向分块是指将一个大矩阵按对角线划分为若干个子矩阵。
例如，对于一个n×n的矩阵A，可以将其按对角线划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak。
矩阵分块求行列式在求解行列式时，矩阵分块技术可以使计算过程更加简单高效。
通过将大矩阵拆解成小块的形式，可以减少计算量并简化计算步骤。
设A是一个n×n的方阵，可以将其按某种方式进行分块：其中，Ai,j表示第i行第j列的子矩阵，Bi,j表示第i行第j列的余子式。
根据矩阵分块的性质，行列式的计算可以转化为求解各个子矩阵的行列式，并进行一定的运算和组合。
具体计算步骤如下：1.将大矩阵按某种方式分块，得到子矩阵Ai,j。
2.计算每个子矩阵Ai,j的行列式det(Ai,j)。
3.根据分块规则，将各个子矩阵的行列式进行运算和组合，得到最终结果。
以水平分块为例，假设将一个n×n的方阵A按行划分为k个子矩阵A1, A2, …, Ak。
则有：| A1 A2 ... Ak || || B1 B2 ... Bk |其中，A表示原始矩阵，B表示对应子矩阵的余子式。
分块对角阵的行列式
分块对角阵的行列式
分块对角阵的行列式是指一个矩阵被分成多个块，其中每个块都是一个对角矩阵，也就是除了对角线上的元素外，其他元素都为0。
对于这种特殊的矩阵，它的行列式可以通过对每个块的行列式求积来得到。
具体地，假设矩阵被分成了k个块，第i个块的大小为ni x ni，那么分块对角阵的行列式可以表示为：
det(A) = det(A1) * det(A2) * ... * det(Ak)
其中，Ai表示第i个块的矩阵。
这个公式的意义是，将整个矩阵的行列式分解成每个块的行列式之积。
由于每个块都是一个对角矩阵，所以它的行列式也可以很容易地计算出来。
这种分块求行列式的方法可以大大简化计算的复杂度，特别是当矩阵比较大时，这个方法优势更为明显。
- 1 -。
矩阵分块求行列式
矩阵分块求行列式矩阵分块求行列式是一种通过将一个大矩阵分割成多个小矩阵来计算行列式的方法。
这种方法通常在处理大型矩阵时非常有用，因为它可以将复杂的行列式计算问题简化为计算较小矩阵的行列式问题。
具体来说，假设我们有一个n×n的矩阵A，可以将其分成若干个大小相等的块矩阵。
设A的形式如下：A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm]其中，每个Aij都是一个子矩阵。
根据矩阵行列式的性质，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式：det(A) = det([A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm])根据该公式，我们可以将整个矩阵的行列式计算问题转化为计算每个子矩阵的行列式问题。
这样做的好处是，每个子矩阵的大小通常较小，因此计算它们的行列式相对容易。
例如，假设我们将矩阵A分成4个大小相等的子矩阵：A = [A11 A12A21 A22]其中，A11、A12、A21和A22都是n/2×n/2的子矩阵。
那么，根据上述公式，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式：det(A) = det([A11 A12A21 A22])接下来，我们可以依次计算子矩阵A11、A12、A21和A22的行列式，并将它们的值代入上述公式来计算整个矩阵的行列式。
需要注意的是，矩阵分块求行列式的关键在于合理选择子矩阵的大小和分割方式。
通常情况下，选择子矩阵的大小使得它们的行列式能够更容易地计算出来。
此外，还需要考虑子矩阵之间的关系，以确保计算的正确性。
总结起来，矩阵分块求行列式是一种通过将大矩阵分解成小矩阵来计算行列式的方法，可以简化复杂的计算问题。
然而，具体的分块策略需要根据矩阵的特点和计算要求进行合理选择。
分块矩阵行列式公式总结
分块矩阵行列式公式总结
前言：
嘿，朋友们！你们知道吗，分块矩阵行列式公式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！今天咱就一起来好好唠唠分块矩阵行列式公式那些事儿。
正文：
咱就先说说这分块矩阵行列式的基本公式吧，就好比搭积木，一块一块的组合起来。
比如说，有个大矩阵分成了几个小块，那这个大矩阵的行列式可就有讲究啦！像[1 2;3 4]分成了[1 2]和[3 4]这两个小块，那它的行列式就不是简单的各个元素相乘啦，这里面有大学问呢！还有啊，分块对角矩阵的行列式，那就像是几条线并行不悖，相乘就得出结果啦！哎呀，这多有趣啊，怎么能不让人兴奋呢！就像你找到了解密游戏的关键线索一样让人激动！
再来说说其他一些特殊情况的公式吧，这就像是你在游戏里拿到了特别的道具，能发挥意想不到的效果。
比如在某些特定条件下，一些分块矩阵的行列式可以通过巧妙的变换和运算得出，就像你走迷宫突然发现了一条捷径
一样惊喜！举个例子，假设我们有个分块矩阵[0 A;B 0]，那它的行列式就有特别的计算方法呢，是不是很神奇？
结尾：
怎么样，分块矩阵行列式公式是不是超级有意思啊！这可真的是数学世界里的宝藏，等着我们去挖掘和运用呢！还等什么，赶紧去探索吧！。
浅谈分块矩阵的行列式及逆矩阵
【 考文献 】 参 ［ ］ 椿 林 ． 性 代 数 （ 三 版 ） 北 京 ： 子 工 业 出 版 １钱 线 第 ． 电
社 ，０ １ ５ ５ ． ２ ０ ， ８— ９
（设 ＝ ： ］ ，可 ， Ａ［ ， 。 逆 ） 若 ｃ 则
数 学 学 习 与研 究 ２ １．３ ００ １
三 、 理 证 明 及 应 用 定
０ ０Ｊ
证 明 （ ） Ａ的逆 矩 阵也 可分 块 为 １设 。＝
…
块都是零矩阵 ， 而在 副对 角线 上 的 子块 均 为 方 阵 ． 有 ： 则 （）ｅ １ ｄｔ ｘ ｅ（ １ ｄｔ Ａ ） … ・・ ｅ（ ， 中 每 Ａ＝ ｄｔＡ ）・ ｅ（ ２ ｄｔ Ａ ） 其 个 子 块 方 阵 的 阶 数 分 别 为 ， ， ， ， ｍ 为 。 ， ， … 设 ， … 中偶 数 的 个 数 ， 则
定 义及 定理 定 义 若 矩 阵 Ａ 的分 块 矩 阵具 有 以 下形 式 ：
一
＝ 一Βιβλιοθήκη Ｂ ，］ ；
、
（设 ＝ ： 曰ｃ 逆 ｚ ［ ］ 。 ， ） ， ，可 则 若 Ａ＝～ －［ ｌ ｌ － ｌ Ａ （设 ＝ ： ｃ 逆则 ｓ Ａ［ ］ ，可 ， ） ， 。 若
本文根据已有 的分块矩 阵 的行列 式 和逆矩 阵 的结论 ， 归 纳 总 结 出 几 条 定 理 并 给 出证 明 ， 阶矩 阵 经 分 块 后 有 若 高 干 子 块 是 有 特 征 的 矩 阵 时 ， 接 应 用 以上 结 论 ， 以 大 大 减 直 可
少计 算量．
Ｄ—Ｃ Ｂ 是 可 逆 的． Ａ 都 定 理 ２ 设 矩 阵 Ａ可 分 块 为 以下 情 况 ：
ＡＩ － ０
０
：
矩阵分块求行列式
矩阵分块求行列式摘要：一、矩阵分块的概念及应用二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法2.高阶矩阵的分块求行列式方法3.分块矩阵行列式的性质三、应用实例与注意事项正文：一、矩阵分块的概念及应用在矩阵运算中，我们常常会遇到一些复杂的矩阵，难以直接求得其行列式。
此时，我们可以通过矩阵分块的方法，将复杂的矩阵分解为若干个较小的矩阵，从而简化问题。
矩阵分块就是将一个矩阵按照一定的规则划分为若干个矩阵块，这些矩阵块可以是连续的行、列或元素。
矩阵分块的目的是为了便于计算矩阵的行列式，同时它也是矩阵运算中一种重要的技巧。
二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法对于三阶矩阵，我们可以通过如下方法进行分块求行列式：设矩阵A 为：```B CD EF G```我们可以将其分解为两个二阶矩阵的行列式之积：```A = (B C)(F G) - (D E)(F G)```其中，(B C)(F G) 表示矩阵B 和C 的行列式之积，(D E)(F G) 表示矩阵D 和E 的行列式之积。
2.高阶矩阵的分块求行列式方法对于高阶矩阵，我们可以采用类似的方法进行分块求行列式。
假设矩阵A 是一个m 阶矩阵，我们可以将其分解为如下形式：```A = (A11 A12...A1n)(A21 A22...A2n)...(An1 An2...Ann)```其中，Aij 表示矩阵A 的第i 行第j 列元素。
我们可以将矩阵A 分解为如下形式：```A = (A11 A21...An1) (A12 A22...An2)...(A1n A2n...Ann)```然后，我们可以将每一行或每一列的矩阵分解为二阶矩阵，从而求得原矩阵A 的行列式。
3.分块矩阵行列式的性质在分块矩阵求行列式的过程中，我们需要注意一些性质。
首先，如果分块之后至少有一块为零矩阵，那么原矩阵的行列式为零。
其次，分块矩阵的行列式等于各个分块矩阵行列式的乘积。
分块阵的行列式的计算
分块阵的行列式的计算分块矩阵是指将矩阵分割成几个较小的矩阵，这种分割有助于简化矩阵运算或者减少计算量。
计算分块矩阵的行列式可以按照以下步骤进行。
设矩阵A按照如下的分块形式进行分割：\[A =\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}\]其中$A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$是矩阵A的子矩阵。
下面将详细介绍如何计算这种分块矩阵的行列式。
Step 1: 计算子矩阵的行列式通过计算子矩阵$A_{11}, A_{12}, A_{21}, A_{22}$的行列式，分别表示为$|A_{11}|, |A_{12}|, |A_{21}|, |A_{22}|$。
Step 2: 计算分块矩阵的行列式根据分块矩阵的性质，分块矩阵的行列式可以表示为：\[|A| = |A_{11}| \cdot |A_{22} - A_{12}A_{21}|\]其中，$A_{22} - A_{12}A_{21}$是一个新的矩阵，称为舒尔补(Schur complement)。
记子矩阵$A_{22} - A_{12}A_{21}$的行列式为$D$，则\[D = |A_{22} - A_{12}A_{21}|\]Step 3: 计算舒尔补(Schur complement)的行列式计算舒尔补的行列式$D$。
这一步可能需要进一步使用分块矩阵的行列式计算方法，不断地进行分块直到简化为一个2x2矩阵或者直接求解简单的行列式。
这取决于具体矩阵的形式和大小。
Step 4: 计算分块矩阵的行列式将步骤1和步骤3的计算结果代入到行列式公式中，即可计算出整个分块矩阵的行列式。
需要注意的是，在计算分块矩阵的行列式时，我们通常首先考虑矩阵的分块形式和特性，选择适当的分块策略，然后再利用分块矩阵的性质进行计算。
这样可以提高计算效率，并减少计算量。
副对角分块矩阵的行列式
副对角分块矩阵的行列式矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数个数排成的矩形阵列。
在矩阵中，行列式是一个非常重要的概念，它可以用来判断矩阵是否可逆，从而解决线性方程组的问题。
本文将介绍副对角分块矩阵的行列式，希望能够帮助读者更好地理解行列式的概念。
一、副对角分块矩阵的定义副对角分块矩阵是一种特殊的矩阵，它由多个子矩阵组成，其中每个子矩阵都是一个对角矩阵。
对于一个n阶副对角分块矩阵A，它可以表示为：A = [A1 0 0 00 A2 0 00 0 A3 0... ... ... ...0 0 0 ... An]其中，A1、A2、A3、...、An都是对角矩阵，0表示一个全零矩阵。
二、对于一个n阶副对角分块矩阵A，它的行列式可以表示为：det(A) = det(A1) * det(A2) * det(A3) * ... * det(An)其中，det(Ai)表示第i个对角矩阵的行列式。
证明如下：由于A是一个副对角分块矩阵，所以它可以表示为：A = [A1 0 0 00 A2 0 00 0 A3 0... ... ... ...0 0 0 ... An]对于一个对角矩阵Ai，它的行列式可以表示为：det(Ai) = a1i * a2i * a3i * ... * ani其中，aij表示Ai的第i行第j列元素。
将det(Ai)代入det(A)中，得到：det(A) = det(A1) * det(A2) * det(A3) * ... * det(An)= (a11 * a22 * a33 * ... * ann) * (b11 * b22 * b33 * ... * bnn) * ...(z11 * z22 * z33 * ... * znn)= det(A1) * det(A2) * det(A3) * ... * det(An)其中，a11、a22、a33、...、ann表示A1的对角线上的元素，b11、b22、b33、...、bnn表示A2的对角线上的元素，以此类推。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
命题 8 设 A 、 B 为 n 阶方阵 , 则 AB 与 B A 有相 同的特征多项式 , 即 λE - AB = λE - B A . 证明 当λ = 0 时 , 等式成立 . 而当λ ≠0 时 , 因 λE A - A ×( 2) + ( 1) λE - AB 0
B E A E
- A
所以
r ( C) ≤ r ( E) + min{ r ( A ) , r ( B ) } ,
所以
A
2
= E Ζ r ( A + E) + r ( A - E) = n.
r ( G) = r
A + B B
命题 2 设 A 为 n 阶方阵 , 则 2 A = A Ζ r ( A ) + r ( A - E) = n. A - E 0 E ×( 2) + ( 1) 证明 0 A
收稿日期 :2008 - 02 - 28 . 基金项目 :苏州科技大学重点学科基金资助 . 作者简介 :乔占科 ( 1960 - ) , 男 , 甘肃白银人 , 副教授 , 主要从事半群代 数理论及矩阵论的教学与研究 , E _ mail :qzhke @163. com .
0 0
A + E
A - A
0
.
0
A - E
E ×( 2) + ( 1)
所以
2 r ( A - E) + r ( A ) = r ( E) + r ( A - A ) = 2 n + r( A - A ) ,
A + E
A - E A - E
- E ×( 1) + ( 2)
A - E
0
2
- 2E A - E - 2E
0
,
证明
A 0 B B A
A 0
0 B
E ×( 2) + ( 1)
E ×( 2) + ( 1)
A +B B
B B
从而
r ( A + E) + r ( A - E) =
2 r ( 2 E) + r ( A - E) = 2 n - r ( A - E) .
,
记G =
0
B
0
, 则同时有 : r ( G) = r ( A ) + r ( B ) ,
r ( B ) + r ( AB C) ≥ r ( B C) + r ( AB ) .
= =
A - D A
-1
-1
-1
CA
-1
D
-1
-1
, .
T2
-1
- AB D D
-1
0
能用分快方法证明的命题还有许多 , 限于篇幅 , 其余不再列举 . 总之 , 在学习高等代数时 , 许多问题都 可尝试用分块方法解决 .
r ( C) = r ( AB ) + r ( E) = r
0
B
- A E
≤
由此即得
E + AB 可逆 Ζ E + B A 可逆 .
r ( B , E) + r ( A ) = r ( E) + r ( A ) .
另外 ,
r
0
B
- A E
≤r
- A E
+ r( B) = r( E) + r( B) .
B ×( 2) + ( 1)
90
AB B AB
高等数学研究 2010 年 1 月
0
E
- A ×( 2) + ( 1)
0BLeabharlann - 1 E, E A
| E + BA | = - B E = E A
E + BA A
0
E
=
记C =
0
E
0
,则
0
E + AB
= | E + BA | ,
B
E
,
因此 ,
r ( AB ) ≤ min{ r ( A ) , r ( B ) } .
λE
B
λE
λ ×( 1) + ( 2)
0
E BA ,
命题 5 设 A = ( aij ) s×n , B = ( bij ) n×m , 则 r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) - n. 证明
命题 7 设 A 、 B 为 n 阶方阵 , 若 E + AB 可逆 , 则 E + B A 也 可逆 . 证明 因为 E - B B ×( 2) + ( 1) E + BA 0
A E A E - B E
B ×( 1) + ( 2)
A E A
E
,
0
E + AB
,
所以
在线性代数的学习中 , 很多读者对于涉及矩阵或 行列式的相关命题的证明感到困难 . 事实上 , 利用矩 阵分块方法可使这些命题的证明大大简化 . 本文将利 用矩阵的分块方法给出若干命题的证明 , 从而说明矩 阵分块方法对解决线性代数相关问题的重要性 . 命题 1 设 A 为 n 阶方阵 , 证明
A
A = B C.
r ( C) ≥ r ( A ) + r ( B ) ,
而
r ( C) = r ( AB ) + n.
所以
n + r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) ,
命题 10 设
T1 = A , B , D 可逆 , 则 T1
-1
A C
0
D
因此
r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) - n.
E A E E
B
λ
所以
|λ E - AB | =
0
AB
- A ×( 1) + ( 2)
λE
B
A E
=| λ E - BA | ,
0 0
AB
E
- B ×( 1) + ( 2)
- B
A
0
,
记C =
0
AB
0
,则
命题得证 . 可进而证明 , 当 A 、 B 分别为 m ×n 和 n ×m 阵时 , m- n4 λ | E m - AB | = λ |λ En - BA | . 用分块方法可更简洁地证明下述命题 : 命题 9 设 A 是秩为 r 的 m ×n 矩阵 , 则存在秩 为 r 的 m ×r 矩阵 B 和秩为 r 的 r ×n 矩阵 C , 使
B B
≥ r( A + B) ,
所以
r( A + B) ≤ r( A) + r( B) .
命题 4 设 A 为 s × m 阵 ,B 为 m × n 阵 , 且 E = Em , 则
r ( AB ) ≤ min{ r ( A ) , r ( B ) } . AB 0
证明
0 E
2
A - E
A A E A E
- E( 1) + ( 2) - A ×( 1) + ( 2)
0
A - E
0
A - E A - A
2
= E Ζ r ( A + E) + r ( A - E) = n. A + E
0 0
( E - A) ×( 2) + ( 1)
E
2
其中 E 为 n 阶单位矩阵 . 证明
, T2 =
A
B D
0 0
,
命题 6 设 A 、 B、 C 均为同阶方阵 , 则 r ( AB ) + r ( B C) ≤ r ( B ) + r ( AB C) . B 0 A ×( 1) + ( 2) 证明 0 AB C B 0 B - BC , AB A B C - C ×( 1) + ( 2) AB 0 所以
参考文献
[ 1 ] 王萼芳 . 高等 代 数 教 程 [ M ]. 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社 , 1996 :111. [ 2 ] 谢邦杰 . 线 性代 数 [ M ] . 北京 : 人民教 育 出 版 社 ,1978 : 47 - 87. [ 3 ] 屠伯埙 . 线性代数方法导引 [ M ] . 上海 : 复旦大学出版社 , 1986 :98 - 104. [ 4 ] 屠伯埙 . 高等代数 [ M ] . 上海 : 上海科学技术出版社 , 1986 :220 - 232.
2
×( 1) + ( 2)
因此
A
2
= A Ζ r ( A ) + r ( A - E) = n.
A + E A - E
命题 3 两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵 的秩的和 . 即
A + E
2
2
0 0
A - E
2
×( 2) + ( 1)
r( A + B) ≤ r( A) + r( B) .
- 2E
2
Vol. 13 ,No . 1 高等数学研究 J an. , 2010 STUDIES IN COLL E GE MA T H EMA TICS
89
矩阵分块方法的应用
乔占科
( 苏州科技大学数学系 , 江苏苏州 , 215009)
摘 要 矩阵的分块方法是矩阵论的一种重要方法 , 选择合适的分块方法可使一些证明变得简单明了 . 利用 矩阵的分块方法给出关于矩阵的秩 、 特征多项式 、 行列式的若干等式 、 不等式及相关命题的简洁证明 , 有利于初学 者理解和掌握 . 关键词 矩阵分块 ; 矩阵的秩 ; 行列式 . 中图分类号 O151 . 21