分块矩阵的初等变换及其应用开题报告 [开题报告]

毕业论文开题报告信息与计算科学分块矩阵的初等变换及其应用一、选题的背景、意义1．选题的背景在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。

换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。

分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。

分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。

通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。

例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。

2．选题的意义矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。

在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。

分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。

因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1 分块矩阵及其初等变换2.1.1 分块矩阵的定义：将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。

以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。

我们将单位矩阵E分块：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s r r E E E 000001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1<i<s) 称E 为分块单位矩阵[2]。

2.1.2 分块矩阵与广义初等变换[3]分块矩阵可以解释为矩阵中的矩阵,而对这个矩阵进行初等变换, 相应的初等矩阵也要变为可计算的分块矩阵,所进行的变换陈维广义初等变换.其目的在于简化计算和证明.定义 1 矩阵 称为分块矩阵,如果元素A ij 为 阶矩阵,其中m 1+m 2+m 3+…+m r =M 注释：定义规定分块矩阵为与同行的矩阵有相同的行数,位于同列的元素有相同的列数.它们的行数之和构成分块矩阵的行数, 列数之和构成分块矩阵的列数. 分块矩阵的运算满足矩阵的运算定义,由于它的特殊性,故此给出各自的定义.•设 A,B 为两个分块矩阵,则定义它们的加法为 A+B=(A ij + B ij )条件：A,B 为同阶矩阵而且A ij , B ij 也为同阶矩阵.•设 A=(A ij )rxt , B=(B ij )txs 为两个分块矩阵,则定义它们的乘法为A X B=(C ij )其中∑==tj kj ikij B AC 1的列数t 等于B 的行数而且A ij x B ij 也存在.同样地,广义初等变换与广义初等矩阵可简单叙述如下：定义 2 广义初等变换是对分块矩阵进行以下的变换的统称.• 交换矩阵的两行(列)； • 将某行(列)左(右)乘可逆矩阵；•将某行(列)左(右)乘矩阵加到另一行(列)上；定义 3 设E nXn 为分块的单位矩阵,对其进行一次广义初等变换所得到的矩阵称为广义初等矩阵[4].例子 1 广义初等矩阵具体形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000mn n mE E E E , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n mE P E E 0000, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛En Q E E E mn m000 广义初等矩阵(变换)的作用如同一般的初等矩阵(变换),遵守"左行右列"原则. 例子 2 设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A M那么 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A EE m n 00, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A En P 00 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D QB C QA B A D C B A En Q E m 02.1.3 分块矩阵的初等行（列）变换的定义[5]与普通矩阵的初等行变换类似，分块矩阵也有三种类型的初等行变换：1.把一个块行的左P 倍（P 是矩阵）加到另一个块行上；2.换两个块行的位置；3.用一个可逆矩阵左乘 某一块行。

2.1.4 分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵的关系把单位矩阵分块得到的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I I 00经过一次分块矩阵的初等行（列）变换得到的矩阵称为分块初等矩阵。

例如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I P I 0, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O I I 0, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛I Q 00是三种不同类型的分块初等矩阵（其中Q 是可逆矩阵）通过直接计算可以验证：用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对这个分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换。

分块矩阵的初等行（列）变换有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵可以得到一个等式，把两者结合起来可以发挥出很大的威力。

2.1.5 分块矩阵的初等变换与矩阵的秩[6]由于分块初等矩阵是可逆矩阵，因此据可逆矩阵的性质和上述结论得到：分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩这个结论在求矩阵的秩时很有用。

2．2 分块矩阵的相关应用2.2.1 利用矩阵分块的方法计算行列式[7]利用初等变换可使分块矩阵的行列式的计算得到简化.为讨论分块矩阵行列式的计算，先讨论分块初等矩阵的行列式，它们的行列式有下列的计算公式。

引理 分块初等矩阵的行列式有以下性质：(1)︱E(i,j)︱=(-1)x ，其中i=r i (r i+1+…+r j ) + r j (r i+1+…+r j-1), (i<j)，特别地，若j=i + 1, 则︱E(i,j)︱=(-1)rr ；(2)︱E(i(P))︱=︱P ︱，其中P 是r i 阶可逆矩阵； (3)︱E(j(P),i)︱=1，其中P 是r i x r j 矩阵.定理2 设A 是一个分块矩阵：(1) 交换|A|i,j 两行（列），行列式变为(-1)x|A|，其中i=r i (r i+1+…+r j ) + r j (r i+1+…+r j-1), (i<j)，特别地，交换|A|的相邻两行（列），行列式变为(-1)rr +|A|.(2) 用一个r i 阶可逆矩阵P 左（右）乘|A|的第i 行(列)的所有矩阵，等于用|P|乘以|A|. (3) 用一个矩阵P 左（右）乘|A|的某一行（列）的所有矩阵再加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变.由定理2中的（2）可得如下推论：推论: 分块行列式︱A ︱的某一行（列）的所有子矩阵的可逆左（右）因子P ，可以以行列式︱P ︱的形式提到行列式符号外。

下面通过几个例子来说明分块矩阵初等变换应用的灵活性[8]。

例4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A M 是一个分块矩阵，其中A 是r 阶可逆矩阵，求︱M ︱. 解：由推论及定理2的（3）， ︱M ︱=DCB A =A DCB A E r1-=ABCA D B A E r 110---=A B CA D 1--⋅例5、已知A,B,C,D 均是r 阶矩阵且︱A ︱≠0，AC=CA , A B M C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：︱M ︱=DCB A =︱AD-CB ︱.设X 是r 阶矩阵，E 为r 阶单位矩阵，用⎪⎪⎭⎫⎝⎛E X E 0左乘M,得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E X E 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++D XB C XA B A (6) 因为︱A ︱≠0，故A -1存在.令XA + C = 0得X=-CA -1，代入(6)式，取行列式得： BCA D BA D CB A E XE100--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,即得 DCB A =BCA D B A 10--=1AD ACA B --=1AD CAA B --=AD CB -例6、设n D 2=d cd c b a ba ON NO，其中a ≠0，求︱A ︱.解：设n D 2=dcd c b a ba O N NO=A B CD由于A 、C 可交换，所以由例4得n D 2= AD CB -=n bc ad E bc ad bcbcad ad)()(-=-=-OO.2.2.2 应用分块矩阵求矩阵的逆[9]下面我们先将初等变换求逆矩阵的方法(M ︱E)→(E ︱M -1), 推广到分块矩阵中去。

定理 1 可逆分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ss s s s s A A A A A A A A A M ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211可以写成分块初等矩阵的乘积，其中A 11、A 22、…、A ii 、…,A 55均为矩阵。

证明：考虑A 11，若A 11不是可逆的，由于M 满秩，故必存在与A 11同阶的不等于0的子式，用初等变换，将此子式换到A 11位置，于是A 11位置的块就是可逆的，因此不妨设A 11可逆，将第一行左乘A i1A 11-1，加到第i 行(i=2,…,s)，然后将第一列右乘A 11-1A ij 加到第j列(j=2,…,s)，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''ss ss A A A A A ...0 00 (022)2211若A ’22不可逆，则A ’22用上述方法，使位置的块换成可逆的块，然后用初等变换使第二行，第二列其余的块均消为零块，如此下去，M 可变成1122ss B B B ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OO，B ii （i=1,2,…,s ）.最后用B ii -1左乘第i 行(i=1,2,…,s). 便得12S E E E ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OO，这里E i 是与B ii 同阶的单位矩阵。

则存在分块初等矩阵P 1,…,P t ，Q 1,…,Q r ，使P 1,…,P t M Q 1,…,Q r =12S E E E ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OO=E , 从而：M= P 1-1,…,P t -1 E Q 1-1,…,Q r -1 = P 1-1,…,P t -1 Q 1-1,…,Q r -1 （1） 而分块矩阵的逆也是分块初等矩阵，故命题得证。

推论 可逆分块矩阵M ，其中M 的主对角线上的块均为矩阵，可通过行或列的初等变换化为分块单位矩阵。

例1、求M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C A 0的逆，其中A,D 可逆。

解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E D C EA 000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→-----11111000000D CA DE A E E CAD E A所以，1-M=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110D CA D A . 例2、求矩阵M=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------d c dc b a b ad c d c b ab a （0ad bc +≠）的逆矩阵. 解：令A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-d c b a ，则M =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A A A ，由0ad bc +≠知A 可逆 →⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E E AE A A E EA E A A E A A EA A 21210020000 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111121210212102121021210A A EA A E E E A E E A 所以， 1-M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111121A A A A，1-A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a c b d bc ad 1，故 1-M=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+a cac b db da c a cb d b dbc ad )(21. 例3、求矩阵M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34141923233100210032的逆矩阵.解：将M 分块为M =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D CA0，其中A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000，C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--14192331，D =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3423， 显然，A ,D 可逆，且1-A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2132，1-D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3423. 所以， 由例1， 11---CA D =⎪⎪⎭⎫⎝⎛101848359 所以，1-M=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110D CA D A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3410184238359002100322.2.3 分块矩阵初等变换在秩问题中的应用[10]矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用. 而矩阵秩的问题，比较复杂，处理起来也没有一般的方法，而初等变换不改变矩阵的秩.利用分块矩阵的初等变换来处理矩阵秩的问题，要充分利用性质2，即对一个分块矩阵作一次分块矩阵初等行（列）变换，相当于用一个相应的分块初等矩阵左（右）乘该矩阵，利用分块矩阵左乘、右乘的灵活性，构造适当的分块矩阵，使问题得以简化. 例7、设A 是m x n 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A 的可逆顺序主子阵，则)()(1B CA D r A r D C B A r --+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----B CA D B A D C B A E CA E r m r1100Θ 而A 是可逆矩阵，由以上性质知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A r 0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--B CA D B A r 10)()(1B CA D r A r --+≥ 例8、设n 阶矩阵A=(Q ij )为反对称矩阵，证明r(A)必为偶数. 证明：对n 应用数学归纳法 1） n=2时命题显然成立.2） 设阶数小于n 时命题为真，则对阶数为n 的反对称矩阵A ，将A 分块成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D CB A A 1，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0012121a a A ，不妨设012≠a.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----B CA D A E B A E D C B A E CA E111111110000Θ)(2)()(0)(111111111B CA D r B CA D r A r B CA D A r D CB A r A r ----+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ 又因为B CA D 11--为阶数比A 低的反对称矩阵， 由归纳假设可知)(11B CA D r --为偶数， 所以r(A)为偶数.综合1）、2），可知命题成立 .例9、（Sylvester 公式）设A ，B 分别为m x n 和n x s 矩阵，则R(A)+r(B)-n ≤r(AB)≤min(r(A),r(B)).证明：1） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB E E B E A B E E A E ns nn n n 00000Θ， )()()(0AB r n AB r E r A B E r n n+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴ 又)()(00B r A r A E B r AB E r n n+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )()()(AB r n B r A r ≤-+∴2）记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB AB D AB A C 0,00， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000A E B E AB A s nΘ )()()(A r C r AB r =≤∴又⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000B AB B E A E m nΘ， ).()()(B r D r AB r =≤∴所以 ))(),(min()(B r A r AB r ≤ 综合1）、2），命题得证.2.2.4 用2X2分块矩阵证明实对称矩阵的正定性[11]证明如果n 阶实对称矩阵A 的所有顺序主子式全大于零，则A 是正定矩阵。