分块矩阵

1 0 4 2 0 1 1 0
解：把A, B分块成
1 1 0 0 A A 1 1
0 0 1 1 2 1
0 00 0 0 0 00 E O , A1 E 1 00 1 0 1 0 1
则定义 A B Akl Bkl st
注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一 是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。
2、分块数乘
设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义
kA kAkl st
3、分块乘法 设A是m×l阶矩阵， B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
a11 a21 A a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
x1 x2 X x n
将A按列分块，即 A (1, 2 , , n ) x1 x2 则 AX (1 , 2 , , n ) x11 x2 2 xn n x n
0 0 0 0 b 1 1 b
a 0 即 A 0 0 B1 B2 B 3
1 a 1 1
0 0 1 1
0 0 b b
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 A O a b 0 1 0 1 , 其中O B E A 1 1 0 0 b a 1 E B b
(2) （解略，请仿(1)方法自行求解）
1 22
2. 分块对角矩阵
设A1, A2, … , As均为方阵（不一定同阶），则称 下面的A为分块对角矩阵
A1 A
A2
As
如果矩阵A1, A2, … , As均可逆，则分块对角矩阵A 可逆，且其逆矩阵为
所以矩阵方程AX = B 在参数λ= 0 时，有解：
1 3 X ( x1 , x2 ) 1 1
说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵 方程AX = B 的 t 个线性方程组同时进行求解。
4. 矩阵乘积AB，A按列分块，B每个元素为块 （1）设矩阵A是s×n 矩阵，X 是n×1矩阵：
Cuw Auv Bvw
v 1
r
(u 1,, s; w 1,, t )
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
（1）作为分块阵元素参与运算Cuw Auv Bvw
v 1
r
（2）作为矩阵也要满足乘法条件 Auv Bvw 例1. 用分块矩阵法求AB
1 0 A 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 B 0 1 0 1 1 1
则 AB A(1, 2 ,, t )
( A1, A2 ,, At )
说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组
Ax1 = b1, Ax2 = b2, …, Axt = bt
其中B = ( b1, b2, …, bt )， X = ( x1, x2, …, xt ) 例3. 求解下列矩阵方程
初等行变换，可以将矩阵A化为阶梯形矩阵。这个
r2+r1 r3-2r1
1 1 2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 1 1 0 0 0
r3+r2 -r2 r1-2r2
1 于是方程组Ax1 = b1有解 x1 1 3 当且仅当λ= 0 时，Ax2 = b2有解 x2 1
分块矩阵
矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大 规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。
一. 分块矩阵的运算规则 二. 分块矩阵的一些例子
1、矩阵分块的方法 在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 a 例如 A 1 0 0 1 B1 B2 , B 3
1 1 2 3 1 1 X 2 2 2 3 5 3
解：对增广矩阵( A, B )进行初等行变换
1 1 2 3 ( A, B ) 1 1 2 2 2 3 5 3
( bi1 i , , bit i )
i 1 i 1
n
n
即AB的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。
例4. 设A是2阶矩阵，x是2维非零列向量。若
A x Ax 6x, B ( x, Ax)
2
求矩阵C，使得AB = BC。
（见教材P69例2.15）
§2.4 矩阵的秩
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 A1 A2 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的 分块方法，应根据需要进行选择。
1 0 0 1 4 1 2 0
0 1 1 2 B 1 0 1 1
B11 E B21 B22
E O B 11 则 AB A E B 1 21
B11 AB B 21 1 11
各子块行数
m
k 1
s
k
m
n1
n2
nt
各子块列数
n
l 1
t
l
n
说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依 据问题需要，子块可以作元素运算。
一、分块矩阵的运算规则
1、分块加法 设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将 A、B分块如下：
A11 A21 A A s1 A12 A22 As 2 A1t A2t Ast B11 B21 B B s1 B12 B22 Bs 2 B1t B2t Bst
A11 X 1 A12 X 3 E A X A X 0 11 2 12 4 得到4个矩阵方程组 A22 X 3 0 A22 X 4 E
1
0 E
求解该方ห้องสมุดไป่ตู้组，得
X4 A X3 0 T X 1 A11 1 1 X 2 A11 A12 A22
2、矩阵分块一般形式
矩阵A = ( aij )m×n，在行方向分s块，列方向分t块，
称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩
阵。
A11 A21 A A s1 A12 A22 As 2 A1t m1 A2t m 2 Ast ms
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则 Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
（2）设矩阵A是s×n 矩阵，B 是n×t 矩阵，将A
按列分块，则
b11 b12 b1t b21 b22 b2t AB (1 , 2 , , n ) b b b nt n1 n 2
A1 B22 E
0 1 3 1
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程 更简单，计算量更少。
例1的计算量比较：
直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112
用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算： 2 2 (2 1) 12 子块运算： 2 2 (2 1) 2 2 2 20
A11 1 A
阵形式类似。
1 A2
As1
说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩 3. 矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块 设矩阵A、B分别是s×n 和n×t 阶矩阵，A不分块， B按列分块，即
B (1 , 2 ,, t )
AA E A11 A12 X 1 X 2 1 AA X X A 3 4 22 A11 X 1 A12 X 3 A11 X 2 A12 X 4 E 0 A X A X 22 3 22 4
我们将表达式 x11 x2 2 xn n 称为向量 1 , 2 , , n 的线性组合， x1, x2 , , xn 称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块
方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x2 2 xn n b
ij
分外层、内层双重转置
说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵 元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。 特别地，对于列分块矩阵：
A1T T A ( A1 , A2 , , At ) A AT t
二、一些特殊的分块矩阵
1. 2阶分块上（下）三角形矩阵求逆
1 2 4 1 3 3 A1 B22 3 1 1 1 2 0
B11 于是 AB AB B 21 1 11
1 1 2 1 0 4 4 1 1 0 3 3
E B22
A1 B22 E
1 2 1 0 1 0 又 A1B11 B21 1 1 1 2 1 1
3 4 1 0 2 4 0 2 1 1 1 1
合计32次
4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是s×r 阶分块矩阵
T T A11 A1r A A s 1 11 T T T A , 则 A ( A ) . A A AT AT sr s1 sr 1r
例2. 求下列2阶分块逆矩阵
A11 (1) A (2) B B 21
1
A12 其中A11， A22可逆矩阵 A22 B12 其中B12， B21可逆矩阵 B22 X2 X4
解(1) ：设A的分块逆矩阵为
X1 A X 3