分块矩阵
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§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
§2.4 分块矩阵
17 17
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
线性代数3-4分块矩阵
B21
E
B22
B11
A1 B11
B21
E
A1
B22
.
又A1B11
B21
1
1
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
2 4
1
1 ,
1 2 4 1 3 3
A1
B22
1
1 2 0 3 1 ,
1
1 0 1
1 1 2 0
则
E
AB
A1
O B11
E
B21
E
B22
B11 A1B11
B21
E
A1
B22
.
4、转置
设分块矩阵
A
A11 A21
A12 A22
Ap1
Ap2
A1t
A2t
,
则
Apt
22 , 31,52 22 ,43,52 20 1,3 ,2 20 1,2 ,3
20 A 100.
解法二：
1 3 0 1 3 0
B 1,2 ,3 2 0 5 A2 0 5
0 4 0 0 4 0
说明: 1.当左边分块矩阵的列的分块方法和右边分块矩阵的分 块方法相同时, 两个分块矩阵才可以相乘.
2.两个分块矩阵的乘积仍是分块矩阵,并且乘积分块矩 阵的行数等于左边分块矩阵的行数, 乘积分块矩阵的列 数等于右边分块矩阵的列数.
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
分块矩阵
2
O
1 11
2
2 2
M M
m
m
m
m
(2)以对角阵n右乘矩阵Amn时 把A按列分块 有
AAmmnnn n(a(a1,1a, a2,2,,a, an)n)1 12 2mm((1a1a1,1, 2a2a2,2,,, nanan)n)
例4 设ATAO 证明AO
证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 则
例5 设4阶矩阵A α, γ2, γ3, γ4 , B β, γ2, γ3, γ4 ,其中
α, β, γ2, γ3, γ4均为4行1列的分块矩阵，已知 A 4, B 1,
则 AB
.
解 A B α, γ2, γ3, γ4 ＋ β,γ2,γ3,γ4 ＝α＋β, 2γ2, 2γ3, 2γ4
AT
A
a1T a2T
anT
(a1,
a2,
an
)
a1T a1 a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
a1T an a2T an
anT an
因为ATAO 所以
aiT
ai
(ai1,
ai2,
,
ain)
ai1 ai2
ain
ai21 ai22 ai2n 0 (i1 2 n) 从而ai1ai2 ain0(i1 2 n) 即AO
A12 L A22 L
A1s
A
2s
M M M
Ar1 A r2 L Ars
AT
A1T1 A1T2 M
A
T 21
L
A
T 22
L
A
T
2.3 分块矩阵(《线性代数》闫厉 著)
A
7
2
3
3
5
1
求逆矩阵 A 。
解
将矩阵A划分成分块对角矩阵 A diag A1 , A2 , A3 ，其中
8 5
A1
,
3 2
A2 7 ,
2 3
A3
3
5
由公式计算出
2 5
A
,
3 8
T
A22
A2Tt
A1t
A2 t
Ast
AsT1
AsT2
T
Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序
号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
五、分块对角矩阵
8 5
3
2
A
7
2
3
3
5
五、分块对角矩阵
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零
E
A1 B22
而
1
A1 B11 B21
1
3
0
2 1 0 1 0
1 1 2 1 1
4 1 0 2 4
2 1 1 1 1
1 2 4 1 3 3
a
31
a12
2.3 分块矩阵
(3) 按行分块
a11 a12 a1n β1 a a a β2 21 22 2n A am1 am 2 amn βm
矩阵的分块
7/24
注 究竟选择哪种分块方法, 这取决于矩阵的特点和问 题的需要, 应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、
A22 As 2
, Ass
A22
矩阵的分块
9/24
的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵, 分块下三角矩阵, 分块对角矩阵, 其中 Aii 都是方阵, i 1,2,, s. 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵. 上述分块对角矩阵记作 diag(A11, A22, , Ass) .
矩阵的分块
21/24
a11 a12 a a22 21 增广矩阵 A am1 am1 [A [ A | b], 或 A 记为 A
a1n a2 n amn
b] .
b1 b2 , bm
注 1861年, Smith 引进了增广矩阵 . 对方程组做初等变换时 , 只是对系数和常数项进行了
矩阵的分块
10/24
2.3.2 分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法
设
A11 A1t B11 B1t , B , A As1 Ast Bs1 Bst A11 B11 A B As1 Bs1 A1t B1t . Ast24
在 mn 线性方程组 Ax b 中, 将未知量向量 x 换成 ns 未知量矩阵 X 、常数项向量 b 换成 ms 矩阵 B, 就得到 所谓的矩阵方程 AX B, 并且称 [A B] 为增广矩阵.
a11 a12 a1n β1 a a a β2 21 22 2n A am1 am 2 amn βm
矩阵的分块
7/24
注 究竟选择哪种分块方法, 这取决于矩阵的特点和问 题的需要, 应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、
A22 As 2
, Ass
A22
矩阵的分块
9/24
的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵, 分块下三角矩阵, 分块对角矩阵, 其中 Aii 都是方阵, i 1,2,, s. 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵. 上述分块对角矩阵记作 diag(A11, A22, , Ass) .
矩阵的分块
21/24
a11 a12 a a22 21 增广矩阵 A am1 am1 [A [ A | b], 或 A 记为 A
a1n a2 n amn
b] .
b1 b2 , bm
注 1861年, Smith 引进了增广矩阵 . 对方程组做初等变换时 , 只是对系数和常数项进行了
矩阵的分块
10/24
2.3.2 分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法
设
A11 A1t B11 B1t , B , A As1 Ast Bs1 Bst A11 B11 A B As1 Bs1 A1t B1t . Ast24
在 mn 线性方程组 Ax b 中, 将未知量向量 x 换成 ns 未知量矩阵 X 、常数项向量 b 换成 ms 矩阵 B, 就得到 所谓的矩阵方程 AX B, 并且称 [A B] 为增广矩阵.
分 块 矩 阵
，
B
3 0
4 1
1 3
B11 B21
1 0 1
B12 B22
．
所以，
AB
A11 A21
A12 B11
A22
B21
B12 B22
A11B11 A21 B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21 B12
A12 B22 A22 B22
．
1.1 分块矩阵的运算
1 1
2 3
1，| A3 | 5 ，都不为零，均可逆，故 A 可逆。
又因为
A11
1 3
，
A21
3
1
2 1
，
A31
1 5
，则
．
1.1 分块矩阵的运算
5.例题
由于
A1
A2
A2
A1
A2
A12
A22
，
A3
A3
A32
且
A12
9 ，A22
1 1
2
2
3
3
4
8 11
，A32
C
O
时，有
A O
O 1 A1
B
O
O B 1
．
线性代数
A21
A22
As1 As2
A1r
A2r
Asr
B11 B12
B
B21
B22
Bs1 Bs2
B1r
B2r
Bsr
则 ，
A11 B11
A
B
A21
B21
As1 Bs1
A12 B12 A22 B22
As2 Bs2
A1r B1r
第二章§4 分块矩阵
把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. 把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. 矩阵分块后，能突出该矩阵的结构， 矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利用 它的特殊结构，使运算简化. 它的特殊结构，使运算简化. 可为某些命题的证明提供方法. 可为某些命题的证明提供方法.
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
分块矩阵
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：， 其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B=111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算 设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭， 其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且1nij ij iji C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
2、分块矩阵的一些简单基本性质命题 阶准对角矩阵有如下性质：（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵）， A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B=12S B B B ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有； AB=1122S S A B A B A B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）、；（3）、A 可逆等价于(1,2,)i A i n =可逆，且111121r A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
第四节 分块矩阵
A14 A4 = O O 52 O 54 2 4 , , ⇒ A1 = 4 而 A1 = A2 O 52 O
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分块矩阵的知识点
分块矩阵的知识点分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和矩阵分析中扮演着关键角色。
分块矩阵将一个大的矩阵划分为若干个小的子矩阵，从而简化了复杂的矩阵运算和计算过程。
本文将介绍分块矩阵的基本概念、构造方式以及在矩阵运算中的应用。
1.分块矩阵的定义分块矩阵是由若干个小的子矩阵组成的大矩阵。
这些子矩阵可以是任意大小和形状，而且它们可以是实数矩阵或复数矩阵。
分块矩阵可以表示为如下形式：A=[A11A12A21A22]其中A ij表示分块矩阵A的第i行第j列的子矩阵。
2.分块矩阵的构造方式分块矩阵的构造方式有多种，常见的有水平分块和垂直分块两种方式。
–水平分块：将大矩阵按行划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]–垂直分块：将大矩阵按列划分为若干个子矩阵。
例如，将一个m×n的矩阵划分为两个子矩阵A1和A2，则可以表示为：A=[A1A2]分块矩阵的构造方式可以根据实际问题的需求选择，不同的构造方式对于矩阵运算的简化程度有所差异。
3.分块矩阵的运算分块矩阵的运算可以通过对子矩阵进行逐个操作来完成。
常见的分块矩阵运算包括矩阵的加法、乘法和转置。
–矩阵的加法：对应位置的子矩阵进行相加。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其加法运算可以表示为：A+B=[A11+B11A12+B12A21+B21A22+B22]–矩阵的乘法：通过子矩阵的乘法和求和得到结果。
例如，对于两个分块矩阵A和B，其乘法运算可以表示为：AB=[A11B11+A12B21A11B12+A12B22 A21B11+A22B21A21B12+A22B22]–矩阵的转置：将子矩阵沿主对角线进行交换。
例如，对于一个分块矩阵A，其转置运算可以表示为：A T=[A11T A21TA12T A22T]通过分块矩阵的运算，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。
4.分块矩阵的应用分块矩阵在各个领域中都有广泛的应用，特别是在数值计算和矩阵分析中。
分 块 矩 阵
分块矩阵
3. 分块矩阵的乘积
设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，即 AB有意义．在对A，B进行分块时，为使 分块矩阵的乘积AB有意义，要使左乘矩阵 A的列的分法与右乘矩阵B的行的分法相同， 至于A的行的分法与B的列的分法则无任何 要求．即
分块矩阵
【例2-18】
分块矩阵
把A分成具有特殊子块的分块矩阵，并求分块矩阵 A与B的乘积．
分块矩阵
其中E3和E2分别表示3阶和2阶单位矩阵，而 上述矩阵也可以采用另外的分块方法．例如，令
分块矩阵
则有
矩阵的分块方式可以是任意的，但要根据原矩阵的结 构特点和运算内容的需要来选择适当的分块方法，既要使 子块在参与运算时有意义，又要为运算的方便考虑，这才 是矩阵分块的目的．
分块矩阵
二、 分块矩阵的基本运算
分块矩阵
分块矩阵
为使分块乘积AB有意义，把B分块成
分块矩阵分块矩阵4. 分 Nhomakorabea矩阵的转置
求分块矩阵的转置时，不但要把分块矩阵的行与列互换， 同时每一个子块也要做转置．
分块矩阵
分块矩阵
分块矩阵
分块矩阵
上述对角分块矩阵具备下列运算规律： （1）同结构的对角分块矩阵的和、积仍是对角分块矩阵．
分块矩阵
（2）对角分块矩阵的行列式具有下述性质：
分块矩阵
【例2-19】
分块矩阵
谢谢聆听
分块矩阵
分块矩阵
为了计算简便或理论研究的需要，有 时我们需要将一个行数和列数较多的大型矩 阵划分为若干块小矩阵，使大矩阵的运算问 题转化成小矩阵的运算问题，这种做法称为 矩阵分块．它是矩阵运算中的一种简化技巧， 也是处理阶数较高的矩阵的重要方法．
分块矩阵
一、 分块矩阵的概念
分块矩阵
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B1 B2 ,
B3
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1 13
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算：2 2 (2 1) 12 子块运算：2 2 (2 1) 2 2 2 20
称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块 方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x22 xnn b
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则
Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
r
Cuw Auv Bvw v1
(u 1,, s; w 1,,t)
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
A11
A
分块矩阵的定义及应用
分块矩阵的定义及应用分块矩阵，也称为块矩阵或子矩阵，是由多个小矩阵按照一定规则排列所组成的矩阵。
它的特点是矩阵中的各个元素被分成了若干个块，每个块是一个分离的矩阵。
分块矩阵的形式可以写为：A = [A11 A12 (1)A21 A22 (2)... ... ... ...An1 An2 ... Anm]其中，A11、A12、...、A1m是行向量组成的矩阵；A21、A22、...、A2m是行向量组成的矩阵；...；An1、An2、...、Anm是行向量组成的矩阵。
每一个Aij 都表示一个分块矩阵，大小及形状可以不同。
分块矩阵的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1. 线性方程组求解：分块矩阵可以用于解决大规模线性方程组的求解问题。
通过将系数矩阵分块，可以降低计算复杂度，并且可以通过并行计算来提高求解效率。
2. 矩阵乘法加速：分块矩阵可以用于加速矩阵乘法运算。
将矩阵分块后，可以利用并行计算的优势，同时进行多个小矩阵的乘法运算，从而提高运算效率。
3. 特征值计算：分块矩阵可以用于求解大型矩阵的特征值和特征向量。
通过分块矩阵的分解，可以降低计算复杂度，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。
4. 矩阵的逆和广义逆：分块矩阵可以用于求解矩阵的逆和广义逆。
通过分块矩阵的分解，可以减小计算量，并且可以采用迭代方法进行求解，从而提高求解效率。
5. 随机矩阵的分析：分块矩阵可以用于随机矩阵的分析。
通过分块矩阵的分解，可以对矩阵的结构和随机性进行分析，从而研究矩阵的统计特性和性质。
除了上述应用之外，分块矩阵还可以用于矩阵的分解、正交化、正则化等问题的求解。
分块矩阵的应用不仅仅局限于数学领域，也被广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
总之，分块矩阵是将大型矩阵拆分为多个小矩阵，通过分块的方式来简化复杂的计算问题。
它在线性方程组求解、矩阵乘法加速、特征值计算、矩阵逆和广义逆求解、随机矩阵分析等方面有着广泛的应用。
分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
分块矩阵
…
… …
… …
am1 am2 … amn xn
bm
设A = [A1, A2, …, An], 其中Ai为列向量，则
Ax = A1x1 + A2x2 + … + Anxn = x1A1 + x2A2 + … + xnAn = b
b是A1, A2, …, An 的线性组合
第二章 矩阵
例4. 证明行列式的乘法定理
§2.3 分块矩阵
2. 分块数乘
设矩阵A =
A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r …………
As1 As2 … Asr
, 为常数.
A11 A12 … A1r
则A =
A21
…
A22 … A2r
… ……
.
As1 As2 … Asr
第二章 矩阵
3. 分块转置
A11 A12 … A1r
设矩阵A =
§2.3 分块矩阵
|AB| = |A| |B|
证：
|A| |B| =
A E
O B
=
A E
AB = (1)n AB A
O
OE
=
AB O
A E
= |AB| |E|
= |AB|.
E A1+B22
=
1 2
2 4
01 33
.
1 1 3 1
第二章 矩阵
例2. 设As, Bt是可逆矩阵, 证明 AC OB
§2.3 分块矩阵
可逆，且求其逆.
特别地，
A O
O1 A1
B
O
O
B
1
第二章 矩阵
§2.3 分块矩阵
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A1 B22 E
0 1 3 1
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程 更简单，计算量更少。
例1的计算量比较：
直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112
用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算： 2 2 (2 1) 12 子块运算： 2 2 (2 1) 2 2 2 20
2、矩阵分块一般形式
矩阵A = ( aij )m×n，在行方向分s块，列方向分t块，
称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩
阵。
A11 A21 A A s1 A12 A22 As 2 A1t m1 A2t m 2 Ast ms
初等行变换，可以将矩阵A化为阶梯形矩阵。这个
合计32次
4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是s×r 阶分块矩阵
T T A11 A1r A A s 1 11 T T T A , 则 A ( A ) . A A AT AT sr s1 sr 1r
1 1 2 3 1 1 X 2 2 2 3 5 3
解：对增广矩阵( A, B )进行初等行变换
1 1 2 3 ( A, B ) 1 1 2 2 2 3 5 3
则 AB A(1, 2 ,, t )
( A1, A2 ,, At )
说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组
Ax1 = b1, Ax2 = b2, …, Axt = bt
其中B = ( b1, b2, …, bt )， X = ( x1, x2, …, xt ) 例3. 求解下列矩阵方程
r2+r1 r3-2r1
1 1 2 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 1 1 0 0 0
r3+r2 -r2 r1-2r2
1 于是方程组Ax1 = b1有解 x1 1 3 当且仅当λ= 0 时，Ax2 = b2有解 x2 1
各子块行数
m
k 1
s
k
m
n1
n2
nt
各子块列数
n
l 1
t
l
n
说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依 据问题需要，子块可以作元素运算。
一、分块矩阵的运算规则
1、分块加法 设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将 A、B分块如下：
A11 A21 A A s1 A12 A22 As 2 A1t A2t Ast B11 B21 B B s1 B12 B22 Bs 2 B1t B2t Bst
E B22
A1 B22 E
1 2 1 0 1 0 又 A1B11 B21 1 1 1 2 1 1
3 4 1 0 2 4 0 2 1 1 1 1
AA E A11 A12 X 1 X 2 1 AA X X A 3 4 22 A11 X 1 A12 X 3 A11 X 2 A12 X 4 E 0 A X A X 22 3 22 4
1 0 0 1 4 1 2 0
0 1 1 2 B 1 0 1 1
B11 E B21 B22
E O B 11 则 AB A E B 1 21
B11 AB B 21 1 11
所以矩阵方程AX = B 在参数λ= 0 时，有解：
1 3 X ( x1 , x2 ) 1 1
说明：利用增广矩阵的初等行变换，可以对矩阵 方程AX = B 的 t 个线性方程组同时进行求解。
4. 矩阵乘积AB，A按列分块，B每个元素为块 （1）设矩阵A是s×n 矩阵，X 是n×1矩阵：
我们将表达式 x11 x2 2 xn n 称为向量 1 , 2 , , n 的线性组合， x1, x2 , , xn 称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块
方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x2 2 xn n b
a11 a21 A a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
x1 x2 X x n
将A按列分块，即 A (1, 2 , , n ) x1 x2 则 AX (1 , 2 , , n ) x11 x2 2 xn n x n
则定义 A B Akl Bkl st
注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一 是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。
2、分块数乘
设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义
kA kAkl st
3、分块乘法 设A是m×l阶矩阵， B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
分块矩阵
矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大 规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。
一. 分块矩阵的运算规则 二. 分块矩阵的一些例子
1、矩阵分块的方法 在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 a 例如 A 1 0 0 1 B1 B2 , B 3
例2. 求下列2阶分块逆矩阵
A11 (1) A (2) B B 21
1
A12 其中A11， A22可逆矩阵 A22 B12 其中B12， B21可逆矩阵 B22 X2 X4
解(1) ：设A的分块逆矩阵为
X1 A X 3
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 A1 A2 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的 分块方法，应根据需要进行选择。
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则 Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
（2）设矩阵A是s×n 矩阵，B 是n×t 矩阵，将A
按列分块，则
b11 b12 b1t b21 b22 b2t AB (1 , 2 , , n ) b b b nt n1 n 2
(2) （解略，请仿(1)方法自行求解）
1 22
2. 分块对角矩阵
设A1, A2, … , As均为方阵（不一定同阶），则称 下面的A为分块对角矩阵
A1 A
A2
As
如果矩阵A1, A2, … , As均可逆，则分块对角矩阵A 可逆，且其逆矩阵为
( bi1 i , , bit i )
i 1 i 1
n
n
即AB的每个列向量，都是A的列向量的线性组合。
例4. 设A是2阶矩阵，x是2维非零列向量。若
A x Ax 6x, B ( x, Ax)
2
求矩阵C，使得AB = BC。
（见教材P69例2.15）
§2.4 矩阵的秩
0 0 0 0 b 1 1 b
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0 即 A 0 0 B1 B2 B 3
1 a 1 1
0 0 1 1
0 0 b b
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 A O a b 0 1 0 1 , 其中O B E A 1 1 0 0 b a 1 E B b
A11 X 1 A12 X 3 E A X A X 0 11 2 12 4 得到4个矩阵方程组 A22 X 3 0 A22 X 4 E
1
0 E
求解该方程组，得
X4 A X3 0 T X 1 A11 1 1 X 2 A11 A12 A22
1 0 4 2 0 1 1 0
解：把A, B分块成
1 1 0 0 A A 1 1
0 0 1 1 2 1
0 00 0 0 0 00 E O , A1 E 1 00 1 0 1 0 1
Cuw Auv Bvw
v 1
r
(u 1,, s; w 1,, t )
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
（1）作为分块阵元素参与运算Cuw Auv Bvw
v 1
r
（2）作为矩阵也要满足乘法条件 Auv Bvw 例1. 用分块矩阵法求AB
1 0 A 1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 B 0 1 0 1 1 1
1 2 4 1 3 3 A1 B22 3 1 1 1 2 0