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《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
第8讲 分块矩阵、矩阵的秩.PPT
0 0 3 2
0
0
1
1
3
解：设
A
0
0
0
0 2 0 0
0 0 3 1
0 0 2 1
A1
A2
A3
A1 3 , A2 2 , A3 1
所以 A 3（ 2）1 6
又
A11
1 3
,
A21
1 2
,
A31
1 1
2
3
1 3
0
0 0
故
A1
0
12 0
2
A3 A2 A 0
2 2
1 2 0
1
0 3
1 0
32 3
3 32
0
0
2 0 0
0
0
3
3.
(1)
3 B'
2A
1 3 0
0 2
3 1 0 2 0
0 2
0 1 1 0
0 2
3 2
0 1 1 0 0 1 0 3 1
1 0 6 1 0 0 0 0 6
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是 把“r”换成“c”)．
三、 由 P 1AP B 有 P P1APP 1 P B P 1
A PBP 1 A2 AA PBP1PBP1 PBBP1 PB2P 1
A10 PB10P 1
P 1 1 1 4 3 1 1
B2 BB 1 0
0 1 2 0
0 2
(1)2 0
0 22
B3 B2B 1 0
Bs
A1 B1
0
L
0
0L A2 B2 L
LL 00
0
0
L
分块矩阵
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
1 3 4 2 1 3 , 0 2 1 0 0 2
三、小结
在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 (3) 乘法
数k乘矩阵 A, 需k乘A的每个子块
若A与B相乘, 需A的列的划分与 B的划分相一致
λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
1 0 1 −1 2 2 3 0 A= 3 1 2 2 2 0 2 −2 4 4 6 0 2A = 6 2 4 4
−1
0 ( E是n阶单位阵 ) E
A X 11 = E , A X 12 = O , 有 C X 11 + B X 21 = O , C X + B X = −1 , X 11 X 12 = O , = − B −1 C A−1 , X 21 = B −1 , X 22
A n×n
C
Bm×m
= A⋅B
C
Bm×m
A n×n ( −1)mn A ⋅ B = 0
5 2 例2 设A= 0 0
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
线性代数—矩阵的分块、子矩阵
数,
那
么
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都
是方阵.即
A1
A
A2
O
O
,
As
A1
A
A2
O
O
,
As
其中 Ai i 1,2,s 都是方阵,那末称 A为分块
对角矩阵.
若每一块 Ai 均可逆, 则A可逆，并有
A11
o
A1
A21
o
. As 1
A1 0
0 A2
0 B1 0 0
那么
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
0
0 1 0 0 0 1 3 1
0
0
2
1
0
21
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分块矩阵
2
O
1 11
2
2 2
M M
m
m
m
m
(2)以对角阵n右乘矩阵Amn时 把A按列分块 有
AAmmnnn n(a(a1,1a, a2,2,,a, an)n)1 12 2mm((1a1a1,1, 2a2a2,2,,, nanan)n)
例4 设ATAO 证明AO
证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 则
例5 设4阶矩阵A α, γ2, γ3, γ4 , B β, γ2, γ3, γ4 ,其中
α, β, γ2, γ3, γ4均为4行1列的分块矩阵，已知 A 4, B 1,
则 AB
.
解 A B α, γ2, γ3, γ4 ＋ β,γ2,γ3,γ4 ＝α＋β, 2γ2, 2γ3, 2γ4
AT
A
a1T a2T
anT
(a1,
a2,
an
)
a1T a1 a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
a1T an a2T an
anT an
因为ATAO 所以
aiT
ai
(ai1,
ai2,
,
ain)
ai1 ai2
ain
ai21 ai22 ai2n 0 (i1 2 n) 从而ai1ai2 ain0(i1 2 n) 即AO
A12 L A22 L
A1s
A
2s
M M M
Ar1 A r2 L Ars
AT
A1T1 A1T2 M
A
T 21
L
A
T 22
L
A
T
第3节 分块矩阵(全)
A12
A22
这是2阶 方阵吗？
A11
a11
a21
a12
a22
A12
a13
a23
a14
a24
为A的子块
A21 a31 a32
A22 a33 a34
矩阵形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵。
将一个矩阵分成分块矩阵的方法很多，分块时要注意矩阵的 特点。
例
1 0 0 1 2
0
A 0
1 0
0 1
2 3
3 4
E3 O23
A12
2
E2
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
其中
1 2
A12
2
3
3 4
结论：根据研究问题的实际需要，将矩阵进行分块，可以使矩 阵的结构变得更加清晰，有利于矩阵的计算。
分块矩阵的运算规则
一、分块矩阵的加法
设A、B都是m n矩阵，采用相同的分块法，得到分块矩阵
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中子块 Aij 与 Bij 同型，规定
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
如果两个同型矩阵的分块方法相同，它们相加时，即把对应的子块相加，而
每对子块之间的加法，则按着普通矩阵的加法进行运算。
对于分块对角矩阵，可求得
A A1 A2 As
由此可知 A的充0 分必要条件是 ( iA=i1，02，…，s)。从 而可知分块对角矩阵A可逆的充分必要条件是 (i=1，2A，i …，s) 均可逆。并且，当A可逆时，有
分块矩阵
【注】 分块矩阵的加法要求A、B的分块方法必须 完全一致.
例
1 2 3 1 2 3
A
B
4 7
5 8
6 9
4 7
5 8
6 9
1 1
4
4
2
5
3 2
6
5
3
6
本质是对应 元素相加结 果显然一致
7 7 8 9 8 9
分块矩阵的数乘
2 设
A
A11
As1
的增广矩阵
A
a21
a22 L
L L
A
为系数矩阵，B 为常数项.
am1
am 2
L
a1n b1
a2n
b2
( AB)
amn bm
A (12L n )
a1 j
为j 未知数 x j
在各方程中的系数
j
a2 j
L
amj
i 1
A
2
M
m
i (ai1ai2 L ain )
A11 A
As1
A1r Asr
A1T1 AT
A1Tr
AsT1
AsTr
(5) 分块对角阵的行列式
A1
A
A2
O
O
A A1 A2
As .
As
2
A1T1 A1T2
21
00
A2T1 A2T2
0
1
特殊的分块矩阵
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都
是方阵.即 A1
A
A2
O
O
,
分块矩阵
§2.4
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法的应用场景
矩阵分块法在许多领域都有广泛的应用，包括图像处理、信号处理、机器学 习和量子计算等。它在处理大规模数据和复杂模型时特别有效。
矩阵分块法的优缺点
1 优点
矩阵分块法可以显著降低计算复杂度，并提高计算效率。它还能够简化线性代数问题的 求解过程，并减少存储空间的需求。
2 缺点
矩阵分块法可能会增加算法的实现难度，并且在某些情况下可能会导致内存占用增加。 此外，分块的选择可能涉及一定的人工干预。
《矩阵分块法》PPT课件
欢迎来到Байду номын сангаас矩阵分块法》PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨矩阵分块 法的定义、原理、应用场景、优缺点以及实例分析，以及它的发展前景。
矩阵分块法的定义
矩阵分块法是一种将大型矩阵划分为较小块的策略，以便更好地处理复杂的 线性代数问题。通过分块，可以简化运算和降低计算复杂度。
矩阵分块法的原理
矩阵分块法的原理是将大型矩阵划分为多个子矩阵，然后通过对子矩阵的运算，逐步求解原矩阵的问题。 这种分块方法可以使计算过程更加可行和高效。
二维分块和三维分块的区别
二维分块和三维分块是矩阵分块法的两种常见形式。二维分块将矩阵划分为 矩形块，而三维分块将矩阵划分为立方体块。三维分块更适用于某些特定类 型的问题。
矩阵分块法的实例分析
1
步骤一
选择合适的分块策略，将大型矩阵划分为多个子矩阵。
2
步骤二
对每个子矩阵进行运算，逐步求解问题。
3
步骤三
根据求解结果，重新组合子矩阵，得到原矩阵的解。
矩阵分块法的发展前景
随着大数据时代的到来，矩阵分块法的应用前景非常广阔。它在高性能计算和科学研究中的重要性不断 增加，将在未来发挥更大的作用。
大学线性代数课程 第七节 矩阵的分块法 课件
2
1
0
0
0 0 1 2
0
0
1
1
1 2 0
A
2
5
0
1
A1
O
0 0
O A2
,
A1
A11 O
O
A2
1
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1 3
1 1
2
1
,
0 0 1 3 2 3
0
0
1 3
1
3
6、设 B 1 2 L s , 则 AB A1 2 L s A1 A2 L As .
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
k 0 k 3k
kI
kA
kO
kC
kI
0
0
0
k 0 0
2k k 0
4k
0kLeabharlann A1r M.
Asr
3、乘法 设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
b01
注： 分块时首先满足 I，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.
1、矩阵的加法 设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
6、分块矩阵
− 1 2 1 A21 B11 + B21 = 1 1 − 1
0 1 0 + −1 −1 2
− 3 4 1 0 − 2 4 = 0 2 + −1 −1 = −1 1
其中App(p=1,2,…,s)是方阵。同结构的分块上(下)三 角形矩阵的和、差、积、数乘及逆仍是分块上(下)三 角形矩阵
O B11 E2 B21
E2 B11 = B22 A21 B11 + B21
A21 + B22 E2
第一行不用再运算，只运算第二行则可，故化简了运算。
B11 AB = A B +B 21 21 11
A21 + B22 E2
1 0 例：设 A = −1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 −1 2 ,B= 1 0 2 1 0 −1 −1 1 0 1 1 0 0 1 4 1 2 0
用分块矩阵计算A+B与AB 分块的目的是化简运算，故先分析原矩阵的特点再 分块，运算。
1 0 1 A = 2 2 3 1 2 3 3 0 1 B = 0 5 3 1 4 0
同型矩阵----外 相同的----内
2、数乘运算：设A是一个分块矩阵，k为一个实数，则 kA的每个子块是k与A中相应子块的数乘。
1 0 1 A11 A = 2 2 3 = A 1 2 3 13 A12 A14
0 3
4 0 4 − 3 ，求A－1。 0 0 0 2 0 0 −1 4 −1 O A O B −1 − 3 = B O = −1 A O 0 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 − 2 2 = 3 4 0 0 25 25 4 − 4 0 0 25 25
第二章§4 分块矩阵
把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. 把大矩阵的运算化为小矩阵的运算. 矩阵分块后，能突出该矩阵的结构， 矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利用 它的特殊结构，使运算简化. 它的特殊结构，使运算简化. 可为某些命题的证明提供方法. 可为某些命题的证明提供方法.
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
第四节 分块矩阵
A14 A4 = O O 52 O 54 2 4 , , ⇒ A1 = 4 而 A1 = A2 O 52 O
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵