2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题( 陕西卷,无答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题( 陕西卷,无答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为 (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A)(C)(D) 03. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是(A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b = (C) ()log g o lo g a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25(B) 30 (C) 31 (D) 615. 对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测,长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数 (C) 若z 是虚数, 则20z ≥(D)若z 是纯虚数, 则20z <7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 27. 已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] = －[x ] (B) [x + 12] = [x ](C) [2x ] = 2[x ] (D) 1[][][2]2x x x ++=二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 13. 观察下列等式: 23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 . 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 .B . (几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩ (t 为参数)的焦点坐标是 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11nn q S q-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.19. (本小题满分12分)P有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7, 其中从B组中抽取了6人.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A , B , 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.20. (本小题满分13分)已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点.(Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.。
2013年普通高等学校统一招生考试数学题目(陕西理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为 (A) [－1,1] (B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的(A) 充分不必要条件 (B)(C) 充分必要条件 (D) 4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π- (D) 4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定8. 设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是1(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==x1A(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ∠的角平分线, 证明直线l过定点.21. (本小题满分14分)已知函数()e,xf x x=∈R.(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x)与曲线2(0)y mx m=>公共点的个数.(Ⅲ) 设a<b, 比较()()2f a f b+与()()f b f ab a--的大小, 并说明理由.。
2013年高考真题——文科数学(陕西卷)解析版 Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)1. 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞【答案】B【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥MR C M x x 即 ,所以选B2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (B)(C) (D) 02. 【答案】C【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b m m 且 ,所以选C 3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b = (C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc = (D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+3. 【答案】B【解析】a, b,c ≠1. 考察对数2个公式: abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)数学文科
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）||=（A）2（B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）2+2 （B）（C）2（D）-1（5）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a （D）c＞a＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L 的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=-（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2013年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数f（）=的定义域为M，则∁RM为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．（5分）已知向量=（1，m），=（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．03．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A．loga b•logcb=logca B．logab•logca=logcbC．loga bc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．615．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜07．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．28．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为（m）．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C ，PD=2DA=2，则PE= ．17．（坐标系与参数方程选做题） 圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos ，﹣），=（sin ，cos2），∈R ，设函数f （）=． （Ⅰ） 求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和．（Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式；（Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=． （Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；（Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．22．（13分）已知动点M（，y）到直线l：=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．23．（14分）已知函数f（）=e，∈R．（Ⅰ）求f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点．（Ⅲ）设a＜b，比较f（）与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R ，函数f （）=的定义域为M ，则∁R M 为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．[1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M ，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣≥0，得≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R ，所以∁R M=（1，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．2．（5分）已知向量 =（1，m ），=（m ，2），若∥，则实数m 等于（ ）A ．﹣B ．C ．﹣或D ．0【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．【解答】解：∵=（1，m ），=（m ，2），且，所以1•2=m •m ，解得m=或m=． 故选：C ． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是1y 2﹣2y 1=0，是基础题．3．（5分）设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log a b •log c b=log c aB ．log a b •log c a=log c bC ．log a bc=log a b •log a cD ．log a （b+c ）=log a b+log a c【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），判断选项即可．【解答】解：对于A ，log a b •log c b=log c a ⇒，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b •log a a=log a b ，⇒，符合换底公式，所以正确； 对于C ，log a bc=log a b •log a c ，不满足对数运算公式log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；对于D ，log a （b+c ）=log a b+log a c ，不满足log a （y ）=log a +log a y （、y ＞0），所以不正确；故选：B ．【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．4．（5分）根据下列算法语句，当输入为60时，输出y 的值为（ ）A ．25B ．30C ．31D ．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值． 当=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．6．（5分）设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若2≥0，则是实数B．若2＜0，则是虚数C．若是虚数，则2≥0 D．若是纯虚数，则2＜0【分析】设出复数，求出2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设=a+bi，a，b∈R，2=a2﹣b2+2abi，对于A，2≥0，则b=0，所以是实数，真命题；对于B，2＜0，则a=0，且b≠0，⇒是虚数；所以B为真命题；对于C，是虚数，则b≠0，所以2≥0是假命题．对于D，是纯虚数，则a=0，b≠0，所以2＜0是真命题；故选：C．【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．7．（5分）若点（，y）位于曲线y=||与y=2所围成的封闭区域，则2﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2【分析】先根据曲线y=||与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2﹣y的最大值即可．【解答】解：画出可行域，如图所示解得A（﹣2，2），设=2﹣y，把=2﹣y变形为y=2﹣，则直线经过点A时取得最小值；所以=2×（﹣2）min﹣2=﹣6，故选：A．【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题．8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：2+y2=1外，则直线a+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线a+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r 的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线a+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．10．（5分）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有（）A．[﹣]=﹣B．[+]= C．[2]=2 D．+[+]=[2]【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案．【解答】解：对A，设=﹣1.8，则[﹣]=1，﹣=2，所以A选项为假．对B，设=1.8，则[+]=2，=1，所以B选项为假．对C，=﹣1.4，则[2]=[﹣2.8]=﹣3，2=﹣4，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线的离心率为．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可．【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．表面积是底面积与半球面积的和，其表面积=．故答案为：3π．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．13．（5分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为20 （m）．【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=+y且＞0，y＞0，＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且＞0，y＞0，＜40，y＜40，⇒40=+y≥2，仅当=y=20m时，矩形的面积s=y取最大值400m2．故答案为：20．【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=+y是关键，属于中档题．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）设a，b∈R，|a﹣b|＞2，则关于实数的不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R ．【分析】判断函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），利用已知条件推出不等式的解集即可．【解答】解：函数f（）=|﹣a|+|﹣b|的值域为（|a﹣b|，+∞），因此，当∀∈R时，f（）≥|a﹣b|＞2，所以不等式|﹣a|+|﹣b|＞2的解集是R．故答案为：R．【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力．16．（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE= ．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．17．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是（1，0）．【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C 的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可．【解答】解：由方程（t为参数）得y2=4，它表示焦点在轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cos，﹣），=（sin，cos2），∈R，设函数f（）=．（Ⅰ）求f（）的最小正周期．（Ⅱ） 求f （）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （）的最小正周期．（Ⅱ） 通过在[0，]，求出f （）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f （）==（cos ，﹣）•（sin ，cos2）=sincos=sin （2﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当∈[0，]时，2﹣∈，由正弦函数y=sin 在的性质可知，sin ，∴sin （2﹣），∴f （）∈[﹣，1]， 所以函数f （）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．（12分）设S n 表示数列{a n }的前n 项和． （Ⅰ） 若{a n }为等差数列，推导S n 的计算公式； （Ⅱ） 若a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．判断{a n }是否为等比数列，并证明你的结论．【分析】（I ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n ﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II ）利用a n+1=S n+1﹣S n 即可得出a n+1，进而得到a n ，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，可得a 1+a n =a 2+a n﹣1=…，由S n =a 1+a 2+…+a n ， S n =a n +a n ﹣1+…+a 1．两等式相加可得2S n =（a 1+a n ）+（a 2+a n ﹣1）+…+（a n +a 1）， ∴．（II ）∵a 1=1，q ≠0，且对所有正整数n ，有S n =．∴a n+1=S n+1﹣S n ==q n ．∴，可得（n ∈N *），∴数列{a n }是以a 1=1为首项，q ≠1为公比的等比数列．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n 项和的公式是解题的关键．20．（12分）如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=．（Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； （Ⅱ） 求三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积．【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等，可得 BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由勾股定理可得A 1O= 的值，再根据三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O ，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1 和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1． 同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ． （Ⅱ） 由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题．21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A ，B 两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下： 号歌手的概率为．B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A ，B 是否发生相互独立，则p （AB ）=p （A ）p （B ），是中档题．22．（13分）已知动点M （，y ）到直线l ：=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍．（Ⅰ） 求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 过点P （0，3）的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）经分析当直线m 的斜率不存在时，不满足A 是PB 的中点，然后设出直线m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出1+2，12，结合21=2得到关于的方程，则直线m 的斜率可求．【解答】解：（Ⅰ）点M （，y ）到直线=4的距离是它到点N （1，0）的距离的2倍，则|﹣4|=2，即（﹣4）2=4[（﹣1）2+y 2]， 整理得．所以，动点M 的轨迹是椭圆，方程为； （Ⅱ）P （0，3），设A （1，y 1），B （2，y 2），由A 是PB 的中点，得21=0+2，2y 1=3+y 2． 椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 的斜率存在．设直线m 的方程为：y=+3． 联立，整理得：（3+42）2+24+24=0．．因为21=2． 则，得， 所以． 即，解得． 所以，直线m 的斜率． 【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．23．（14分）已知函数f （）=e ，∈R ．（Ⅰ） 求f （）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ） 证明：曲线y=f （）与曲线y=有唯一公共点． （Ⅲ） 设a ＜b ，比较f （）与的大小，并说明理由．【分析】（I ）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II ）令h （）=f （）﹣=，利用导数研究函数h （）的单调性即可得出；（III）设b﹣a=t＞0，通过作差﹣f（）=，构造函数g（t）=（t＞0），可得g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），利用导数研究其单调性即可．【解答】（I）解：函数f（）=e的反函数为g（）=ln，∵，∴g′（1）=1，∴f（）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（﹣1），即y=﹣1；（Ⅱ）证明：令h（）=f（）﹣=，则h′（）=e﹣﹣1，h′′（）=e﹣1，当＞0时，h′′（）＞0，h′（）单调递增；当＜0时，h′′（）＜0，h′（）单调递减，故h′（）在=0取得极小值，即最小值，∴h′（）≥h′（0）=0，∴函数y=h（）在R上单调递增，最多有一个零点，而=0时，满足h（0）=0，是h（）的一个零点．所以曲线y=f（）与曲线y=有唯一公共点（0，1）．（Ⅲ）设b﹣a=t＞0，则﹣f（）===e a=，令g（t）=（t＞0），则g′（t）==（t＞0）．令h（）=e﹣﹣1（＞0），则h′（）=e﹣1＞0，∴函数h（）在（0，+∞）单调递增，∴h（）＞h（0）=0，因此g′（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0．∴＞f（）．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标I卷)Word版无答案
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年陕西高考数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为 D(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为C (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 C (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 B (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 A(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D)4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 D(A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC的1形状为 B (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形 (D) 不确定8.设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 A (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是 C(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30] (D) [20,30] 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 D(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ](C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 9 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 ∏/3 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 -4 . 14. 观察下列等式: 211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为.15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 2 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝.C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θx为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为.三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD,1AB AA ==1A(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是 的角平分线, 证明直线l过定点.PBQ21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.。
2013年陕西高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 设全集为R ,函数()f x =M ,则M R ð为 ( ). A.()1,-∞B.()1,+∞C.(]1,-∞D.[)1,+∞【测量目标】函数的定义域及补集运算.【考查方式】根据函数求出定义域，算出补集. 【参考答案】B【试题解析】函数()f x 的定义域M =(],1-∞，则M R ð=()1,+∞.2. 已知向量()1,m =a ,(),2m =b ,若a ∥b ,则实数m 等于 ( ).A.C.D.0【测量目标】平行向量的坐标运算.【考查方式】利用向量平行的比例关系，直接求出结果. 【参考答案】C【试题解析】由a ∥b ⇒2m =1×2⇒=m ±3. 设,,a b c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ). A.log log log a c c b b a ⨯= B.log log log a c c b a b ⨯=C.log log log a a a bc b c =⨯D.()log log log a a a b c b c +=+【测量目标】对数的化简和求值，换底公式.【考查方式】运用换底公式，真数相加即为乘，真数相除即为减. 【参考答案】B【试题解析】由对数的运算公式log ()log log a a a bc b c =+可判断选项C ，D 错误.(步骤1) 选项A ，由对数的换底公式知，log a b ×log c b =log c a⇒log log log log c a b c ab a b==，等式两边矛盾，此式不恒成立.（步骤2） 应选B ，由对数的换底公式知，lg lg log log lg lg lg b aa c c a cb a b ⋅=⋅=，故恒成立.（步骤3） 4. 根据下列算法语句,当输入x 为60时，输出y 的值为 （ ）.A. 25B. 30C. 31D. 61 【测量目标】条件语句，分段函数. 【考查方式】由算法语句（条件语句），写出函数解析式，进而求得y 值. 【参考答案】C【试题解析】由题意，得()0.5,50,250.650,50x x y x x ⎧⎪=⎨+->⎪⎩…，当60x =时，用()250.6605031+⨯-=.所以输出的y 值为31.5. 对一批产品的长度(单位:m m )进行抽样检测,下图喂检测结果的频率分布直方图.根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取1件, 则其为二等品的概率为 ( ).第5题图 A. 0.09 B. 0.20 C. 0.25 D. 0.45 【测量目标】频率分布直方图,随机事件的概率. 【考查方式】分层抽样，逐一求出概率. 【参考答案】D【试题解析】由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.6. 设z 是复数,则下列命题中的假命题是 （ ）. A. 若2z 0…,则z 是实数. B. 若2z 0<,则z 是虚数.C. 若z 是虚数,则2z 0….D. 若z 是纯虚数,则2z 0<.【测量目标】复数的概念及运算性质，真假命题的判断.【考查方式】以判断命题真假的形式考察了复数的概念及运算. 【参考答案】C【试题解析】设i(,),z a b a b =+∈R 选项A ，2222(i)2i 0,z a b a b ab =+=-+…则220,.ab a b =⎧⎨⎩…故0b =，,a b 都为0，即z 为实数，正确；（步骤1）选项B ，2222(i)2i 0,z a b a b ab =+=-+<则220,,ab a b =⎧⎨<⎩则00a b =⎧⎨≠⎩，故z 一定为虚数，正确；（步骤2）选项D,()22222i i <0z b b b ===-恒成立，正确.故选C.(步骤3) 7. 若点()x,y 位于曲线y x =与2y =所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为 ( ). A. －6 B. －2 C. 0D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】画出封闭区域，找出最优解，简单的数形结合能力. 【参考答案】A 【试题解析】曲线2y x ,y ==所围成的封闭区域如图阴影部分所示， 当直线l :2y x =向左平移时，()2x y -的值在逐渐变小，当l 通过点A (-2,2)时，min (2) 6.x y -=- 第7题图8. 已知点()M a,b 在圆22:1O x y +=外,则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是 ( ). A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【测量目标】直线、点与圆的位置关系，点到直线的距离公式.【考查方式】根据点到直线距离公式算出圆心与直线的距离,与半径作比较即可求得答案. 【参考答案】B【试题解析】由题意知，点在圆外，则221,a b +>圆心到直线的距离1,d =<故直线与圆相交.9. 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为（ ）.A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D.不确定 【测量目标】余弦定理，三角形内角和.【考查方式】利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为边边关系,进一步化简即可求出三角形形状. 【参考答案】A 【试题解析】22222222222222cos cos sin ,2222b a c c a b b a c c a b a b C c B b c a a A ab ac a a +-+-+-++-+=⋅+⋅====sin 1.A ∴=π(0π),,2A A ∈∴=，即ABC △是直角三角形. 10. 设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数x,y ,有 （ ）. A. [][]x x -=-B.[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦C. [][]22x x =D.[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦【测量目标】数学的新定义.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1）选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.（步骤3）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .【测量目标】双曲线的几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质求解离心率. 【参考答案】54【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又29,b =则222169255,c a b c =+=+=⇒=故5.4c e a == 12. 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】观察三视图，了解半个球面面积与截面面积. 【参考答案】3π【试题解析】由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即14ππ3π.2⨯+= 13. 观察下列等式:()1121,+=⨯()()22122213++=⨯⨯,()()()3313233213 5.+++=⨯⨯⨯…照此规律,第n 个等式可为 .【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【参考答案】()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-【试题解析】从给出的规律可以看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的质数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐渐加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为()()()()1221321n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-.14. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长为 （m ）第14题图 【测量目标】二次函数的模型.【考查方式】利用给定函数模型解决简单的实际应用. 【参考答案】20【试题解析】设矩形花园的宽为y m ，则40,4040x y -=即40,y x =-(步骤1) 矩形花园的面积()()22404020400,S x x x x x =-=-+=--+（步骤2）∴当20x =时，面积最大.（步骤3）15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A .(不等式选做题)设a,b ∈R , 2a b ->,则关于实数x 的不等式2x a x b -+->的解集是 . 【测量目标】绝对值不等式.【考查方式】运用2a b ->，将不等式问题转化为几何进而求解含参数的绝对值不等式. 【参考答案】(),-∞+∞【试题解析】,,a b ∈ R 则2a b ->,其几何意义是数轴上表示数a,b 的两点距离大于2，x a -+x b -的几何意义为数轴上任意一点到a,b 两点的距离之和，当x 处于a,b 之间时x a x b-+-取最小值.距离恰巧为a,b 两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R .B.(几何证明选做题)如图,AB 与CD 相交于点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P.已知A C ∠=∠,22PD DA == ,则PE = .第15题图 【测量目标】线段成比例定理，三角形的相似判定.【考查方式】利用角相等，线段成比例，判定三角形相似求解.【试题解析】PE ∥BC , .C PED ∴∠=∠（步骤1）又,.C A A PED ∠=∠∴∠=∠ 又,P P PED ∠=∠∴△∽,PAE △则,PD PEPE PA=（步骤2）即2236PE PD PA =⋅=⨯=,故PE =（步骤3）C .(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线22x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是 .【测量目标】含参方程与坐标方程的相互转化.【考查方式】参数方程与直角坐标方程的互化，而后利用抛物线的简单性质求得焦点坐标. 【参考答案】（1,0）【试题解析】将参数方程转化为普通方程为24,y x =表示开口向右，焦点在x 轴正半轴的抛物线，由24p =⇒2p =,则焦点坐标为（1,0）.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=-⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()·f x =a b . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期. (Ⅱ)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化，正弦函数.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 222x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（Ⅰ）()f x 最小正周期为2πT =ω2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（Ⅱ）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3） 由正弦的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5） 当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17.（本小题满分12分)设n S 表示数列的前n 项和.(Ⅰ)若{}n a 为等差数列,推导n S 的计算公式;(Ⅱ)若11,0a q =≠,且对所有正整数n ,有11nn q S q-=-.判断{}n a 是否为等比数列.【测量目标】等差数列的前n 项和，等比数列的证明.【考查方式】利用等差数列的性质倒序相加求和，由等比数列的性质进行证明. 【试题解析】（Ⅰ）方法一：设{}n a 的公差为d ,则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦.又()()1n n n n S a a d a n d =+-+⋅⋅⋅+--⎡⎤⎣⎦，（步骤1） ()12,n n S n a a ∴=+()1.2n n n a a S +∴=（步骤2） 方法二：设{}n a 的公差为d,则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦（步骤3）又11n n n S a a a -=++⋅⋅⋅+，()()1122121n S a n d a n d ∴=+-++-+⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()112121,a n d na n n d +-=+-⎡⎤⎣⎦（步骤4）()11.2n n n S na d -∴=+（步骤5） （Ⅱ）{}n a 是等比数列，证明如下：1,1n n q S q -=- 11n n n a S S ++∴=-11111n nq q q q+--=---n q =.（步骤1）11,0a q =≠ ，∴当1n …时，有11nn n n a q q a q+-==.（步骤2）因此，{}n a 是首项为1且公比为q ()1q ≠的等比数列.（步骤3）18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心,1AO ⊥平面ABCD ,1AB AA ==(Ⅰ) 证明:平面1A BD ∥平面11CD B ； (Ⅱ)求三棱柱111ABD A B D -的体积.【测量目标】面面平行的判定，三棱柱的几何性质.【考查方式】线面平行得出面面平行，进而求解三棱柱体积. 【试题解析】(Ⅰ)由题设知，1BB 平行且等于1DD ,∴四边形11BB D D 是平行四边形.BD ∥11B D .（步骤1） 第18题图又 BD Ö平面11CD B ，BD ∴∥平面11CD B .（步骤2）11A D 平行且等于11B C 平行且等于BC ， 11A BCD ∴是平行四边形. 1A B ∴∥1D C .（步骤3）又1A B Ö平面11CD B ,1A B ∴∥平面11CD B .又1,BD A B B = ∴平面1A BD ∥平面11CD B .（步骤4）(Ⅱ）1AO ⊥平面ABCD ，1AO ∴是三棱柱111ABD A B D -的高.又112AO AC ==,1AA =11AO ∴==.（步骤5）又112ABC S ==△, 11111ABD ABD A B D V S AO -∴=⋅=△三棱柱.（步骤6）19.(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将大众评委分为5组,各组的人数如下:(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B 组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中,若A ,B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.【测量目标】分层抽样、树状图法求解古典概型的问题. 【考查方式】古典概型中简单的分析、解决问题.【试题解析】(Ⅰ)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各族抽取的人数如下表：(Ⅱ)计从A 组抽到的3位评委分别为123,,a a a ，其中12,a a 支持1号歌手；从B 组抽到的6位评委分别为123456,,,,,b b b b b b ，其中12,b b 支持1号歌手，从{}123,,a a a 和{}123456,,,,,b b b b b b 中各抽取1人得所有结果图：第19题图由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有111222,,a b a b a b 共4种，故所求概率42189P ==.20.(本小题满分13分)已知动点(),M x y 到直4l :x =的距离是它到点()1,0N 的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点()0,3P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点.若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率. 【测量目标】曲线方程的确定及直线与椭圆的综合.【考查方式】椭圆的定义，点点、点线的距离公式，直线与椭圆的位置关系、直线的斜率. 【试题解析】(Ⅰ)如图①，(),Mx y 到直线4x =的距离,是到点()1,0N 的距离的2倍，则134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x .（步骤1） ∴动点M 的轨迹为椭圆，方程为22143x y +=.（步骤2） （Ⅱ）方法一： ()0,3P , 设()()1122,,,,A x y B x y 如图（Ⅱ），由题意知：121220,23x x y y =+=+（步骤3） 第20题图①椭圆的上下顶点坐标分别是(和(0，，经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在. 3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：()223424240k xkx +++=，（步骤4）其中()()22=2442434k k ∆-⨯+=()29623k -＞0，由根与系数的关系，得1222434k x x k +=-+①,1222434x x k=+②，（步骤5） 又A 是PB 的中点，故212x x =③. 将③代入①②中得，21122812,3434k x x k k =-=++，（步骤6） 可得，2228123434k k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭，且2k ＞32. 解得，32k =或32k =-. ∴直线的斜率为32-或32.(步骤7)方法二：由题意，设直线m 的方程3y kx =+，()()1222,,,A x y B x y ，如图②A 是PB 的中点，212x x ∴=①，2132y y +=②， 又2211143x y +=③，2211143x y +=④. （步骤3） 联立①②③④，解得2220x y =⎧⎨=⎩或2220x y =-⎧⎨=⎩，即点B 的标: ()()2,02,0-或.（步骤4） 第20题图②∴直线m 的斜率为32或32-.（步骤5）21.(本小题满分14分)已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求()f x 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明:曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a b <,比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小,并说明理由.【测量目标】反函数，导函数的几何意义,函数的基本性质.【考查方式】函数的零点、利用导数研究函数极值及单调性.【试题解析】(Ⅰ)解：()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k .1(),(1)1g x k g x''=∴== .（步骤1） 于是在点()1,0处的切线方程为1y x =-.（步骤2）(Ⅱ)方法一：曲线e x y =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数21()e 12x x x x =---ϕ零点的个数， (0)110ϕ=-= ，()x ϕ∴存在零点0x =.（步骤1）又()e 1x x x '=--ϕ，令()()e 1x h x x x ϕ'==--则()e 1x h x '=-.（步骤2）当x ＞0时，()h x '＞0在上单调递增，当x ＜0时，()h x '＜0在上单调递减.（步骤3）()x ϕ'∴在0x =处有唯一的极小值(0)0ϕ'=.即()x ϕ'在R 上的最小值为(0)0ϕ'=.（步骤4） ()0x ϕ'∴…（当且仅当0x =时等号成立）()x ϕ∴在R 是单调递增的.()x ϕ∴在R 上有唯一的零点.故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一的公共点.（步骤5） 方法二：e x ＞0，2112x x ++＞0， ∴曲线e x y =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112ex x x y ++=与1y =公共点的个数. （步骤1） 设2112()ex x x x ++=ϕ，则(0)1ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点. 又()2211e 1e 2()e x x x x x x x ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭'=ϕ2120e xx -=…（当且仅当0x =时等号成立） ()x ϕ在R 上单调递减.()x ϕ∴与1y =有唯一的公共点.(步骤2)故曲线()y f x =与曲线2112y x =++有唯一的公共点.（步骤3） (Ⅲ)()()()2f b f a a b f b a -+-=-2e e e a b b a b a+--=-22e e e e a b a b b a b a b a ++--+-()222e e e a b b a a b b a b a +--⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦. （步骤1） 设函数()1()e 20e x x u x x x '=--…，则1()e 220e x x u x '=+-=…，（步骤2） ∴()0u x '…（当且仅当0x =时等号成立）， ()u x ∴单调递增.（步骤3）当x ＞0时，()u x ＞(0)0u = 令2b a x -=，则得，()22e e b a a b b a -----＞0，（步骤4） 又2e a bb a +-＞0，()()f b f a b a -∴-＞()2a b f +.(步骤5)。
2013年高考陕西数学(文)试题解析版
指引考生高考数学复习必须回归课本，回归基本知识的生成过程和基本思维活动经验,摒弃死抱住复习资料不放,盲目搞题海战术。
第五、图表的观察分析能力得到较好考查，体现了新课程的特点，也是当前信息时代信息处理的需要。
统计图，三视图、立体直观图的凸显，增强了试卷的视觉效应，对甄别学生的数学潜能具有良好的作用。
本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数()1f x x =-的定义域为M, 则C M R 为 (A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==r r, 若a//b, 则实数m 等于(A) 2-2(C) 2-或2 (D) 03. 设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) c ·log log log a a b a b = (C) ()log og g l lo a a a b c bc =g(D) ()log g og o l la a ab bc c +=+4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】：60,250.660-50)31x y =∴=+⨯=Q （,故选择C 。
【学科网考点定位】本题考查算法程序，重点突出对条件语句的考查. 是容易题。
5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09(B) 0.20(C) 0.25(D) 0.45输入xIf x ≤50 Theny =0.5 * x Else y =25+0.6*(x -50) End If 输出y6. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数 (C) 若z 是虚数, 则20z ≥(D) 若z 是纯虚数, 则20z <7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 (A) －6(B) －2(C) 0(D) 28. 已知点M(a,b)在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定【答案】B【解析】点M(a,b)在圆221:O x y +=外，可知221a b +> ，由点到直线距离公式有222200111a b a ba b⨯+⨯-=<++ ，故直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是相交。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标II卷,解析版1)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ） （A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以M N {2,1,0}=--，选C.2、21i=+（ ）（A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i ii i --===-+-+，所以21i=+ C.3、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233z y x =-。
作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233z y x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4、A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则A B C ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1 【答案】B 【解析】因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212b c A π=⨯⨯.因为7231si n s i ()()12342222222ππ=+⨯+=+，所以1231s 22()32222b c =+=+，选B. 5、设椭圆2222:1x y C ab+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212P F F F ⊥，1230P F F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A6（B ）13（C ）12（D3【答案】D【解析】因为21212,30P F F F P F F ⊥∠=,所以212tan 30,33P F c P F ===。
2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ， 则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16． 解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分 解得a 1=1，d =-1. …4分 故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分 从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分 从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高． 又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0， 解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分 当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ， 则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25， 将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。
2013年陕西高考文科数学试题及答案
2013年陕西高考文科数学试题及答案注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)1. 第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数()f x =M , 则C M R 为(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (,1]-∞(D) [1,)+∞【答案】B【解析】),1(],1,(.1,0-1∞=-∞=≤∴≥MR C M x x 即 ,所以选B 2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A)(C)(D) 02. 【答案】C【解析】.221,//),2,(),,1(±=⇒⋅=⋅∴==m m m b m m 且 ,所以选C 3. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b =(C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc =(D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+3. 【答案】B【解析】a, b,c ≠1. 考察对数2个公式: abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+=对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。
对选项B: abb b a bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式一致，所以为真。
2013年高考陕西卷(文理合卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25 (B) 30 (C) 31(D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件[来源:学*科*网Z*X*X*K]4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D)4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若12||0z z -=, 则12z z =(B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若||||21z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z = 7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定[来源:学科网]8.设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y +≤*x ]＋[y ] (D) [x －y +≤*x ]－[y ] 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 9 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为3π.[来源:]13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 -4 . 14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-[来源:学*科*网] …照此规律, 第n 个等式可为 )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列.(Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.1A19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ∠的角平分线, 证明直线l过定点.21. (本小题满分14分)已知函数()e,xf x x=∈R.(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x)与曲线2(0)y mx m=>公共点的个数.(Ⅲ) 设a<b, 比较()()2f a f b+与()()f b f ab a--的大小, 并说明理由.参考答案一、选择题1．D [来源:] 2．C 3．C 4．B 5．A6．D [来源:学科网ZXXK] 7．B 8．A 9．C 10．D 11．912．3π 13．- 4 [来源:学。
2013年高考真题陕西卷(文科数学)Word版(无答案)
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i（B）-1 + i（C）1 + i（D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年陕西省高考文科数学.doc
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x =的定义域为M , 则C M R 为（ ） (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (,1]-∞ (D) [1,)+∞2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（ ）(A)(B)(C)(D) 03. 设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ） (A) ·log log log a c c b a b = (B) ·log lo log g a a a b a b =(C) ()log ?l g o lo g a a a b c bc =(D) ()log g og o l l a a a b b c c +=+4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为（ ） (A) 25 (B) 30 (C) 31(D) 615. 对一批产品的长度(单位:. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为（ ）(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.456. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是（ ） (A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数(C) 若z 是虚数, 则20z ≥(D) 若z 是纯虚数, 则20z <7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为（ ）(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 28. 已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是（ ）(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定9. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有（ ）(A) [－x ] = －[x ] (B) [x +12] = [x ] (C) [2x ] = 2[x ] (D) 1[][][2]2x x x ++= 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 13. 观察下列等式:23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯…照此规律, 第n 个等式可为 .14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 .B . (几何证明选做题) 如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是 .P(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设S n 表示数列{}n a 的前n 项和. (Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11nn q S q-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.19. (本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.20. (本小题满分13分)已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;★(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;★(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点. ★(Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.1A。
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(A)相切(B)相交(C)相离(D)不确定
7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosCccosBasinA,则△ABC的形状为
(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不确定
10.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有
(A)若z20,则z是实数(B)若z20,则z是虚数
(C)若z是虚数,则z20(D)
若z是纯虚数,则z20
7.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区
域,则2x－y的最小值为
(A)－6(B)－2(C)
0(D)2
7.已知点M(a,b)在圆O:x2y21外,则直线ax+by=
5.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,
长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间和
[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为(A)0.09
(B)0.20(C)0.25(D)0.45
6.设z是复数,则下列命题中的假命题是
(D)0
3.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是
logcblogcalogaalogab(A)logab·(B)logab·
(C)loga(bc)logabogac(D)loga(bc)logablogac
4.根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(A)25(B)30(C)31(D)61
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设全集为R,
函数f(x)M,则CRM为
(A)(－∞,1)(B)(1,+∞)(C)(,1]
2.已知[1,)(C)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学
注意事项:
1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.
2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)
1(A)[－x]=－[x](B)[x+]=[x]2
1(C)[2x]=2[x](D)[x][x][2x]2
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