2013年陕西高考数学试题(理科)
2013年普通高等学校统一招生考试数学题目(陕西理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为 (A) [－1,1] (B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的(A) 充分不必要条件 (B)(C) 充分必要条件 (D) 4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π- (D) 4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定8. 设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是1(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==x1A(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ∠的角平分线, 证明直线l过定点.21. (本小题满分14分)已知函数()e,xf x x=∈R.(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x)与曲线2(0)y mx m=>公共点的个数.(Ⅲ) 设a<b, 比较()()2f a f b+与()()f b f ab a--的大小, 并说明理由.。
2013陕西高考数学理科试题【精简打印版】
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第一部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分）1.设全集为R ，函数()f x =M ，则R C M 为[].1,1A - ().1,1B -(][).,11,C -∞-+∞ ()().,11,D -∞-+∞ 2.根据下列算法语句，当输入x 为60时， 输出y 的值为.25A .30B .31C .61D3.设,a b 为向量，则“||||||=a a b b ·”是“a ∥b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.某单位有840名职工，先采取系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840按1,2,,840 随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间[]481,720的人数为 A.11 B.12 C.13 D.145.如图在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的通讯通讯范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机取一点，则该点无限好的概率是.14A π- .12B π-.22C π-.4D π 6.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是1.A 若120,z z -=则12z z = .B 若12,z z =则12z z =.C 若12,z z =则1122z z z z = .D 若12,z z =则2212z z =7.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin ,b C c B a A +=则ABC ∆ 的形状为.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 不确定8.设函数()61,0,,0,x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩ 则当0x >时，()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中常数项为.A -20 .B 20 .C -15 .D 159.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是[].15,20A [].12,25B [].10,30C [].20,30D10.设[]x 表示不大于x 的最大正整数，则对任意实数,x y 有[][].A x x -=- [][].22B x x =[][][].C x y x y +≤+ [][][].D x y x y -≤-第二部分（共100分）二、填空题（本大题每小题5分，共25分）11.双曲线22116x y m-=的离心率为54，则m 等于___________. 12.某几何体的三视图如图所示，则其体积为___________.13.若点(),x y 位于曲线1y x =-与2y =所围成封闭区域，则2x y -的最小值为______.14.观察下列等式40m俯视图左视图主视图2222222222111231236123410=-=--+=-+-=-照此规律，第n 个等式可为_______________________.15.（考生注意：请在下列三题中任选一道作答）A.（不等式选做题）已知,,,a b m n 均为正数，且1,2a b mn +==，则()()am bn bm an ++的最小值为____________________.B.（几何证明选做题）如图，弦AB 与CD 相交于O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知22PD DA ==，则PE =__________________.C.（极坐标与参数方程选做题）如图，过原点的直线倾斜θ为参数，则圆220x y x +-=的参数方程为______________________.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知向量)1cos ,,,cos 2,2x x x x R ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭b a ，设函数()f x = a b .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.x17.（本小题满分12分） 设{}n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和公式；（II ）设1q ≠，证明数列{}1n a +不是等比数列. 18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为是正方形，O是底面中心，11ABCD AB=AA AO ⊥平面， （Ⅰ）证明111C BB D D A ⊥平面（II ）求平面1OCB 与11BB D D 平面的夹角θ的大小.19.（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另外在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.（Ⅰ）求观众甲选出3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（II ）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望. 20. （本小题满分13分）已知动圆过定点()4,0,A 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（II ）已知点()1,0,B -设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同两点,P Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点. 21．（本小题满分13分） 已知函数(),.xf x e x R =∈（Ⅰ）若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的取值范围. （II ）设0x >，讨论()y f x =与曲线()20y mx m =>公共点的个数.（III ）设,a b <比较()()()()2f a f b f b f a b a+--与的大小，并说明理由.AD 1C 1。
2013年高考理科数学(陕西卷)解析版Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C)(D)【答案】D【解析】,所以选D输入xIf x≤50 Theny=0.5 * xElsey=25+0.6*(x-50)End If输出y2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时,输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61【答案】C【解析】,所以选C3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若,为真；相反，若，则。
所以“”是“a//b”的充分必要条件。
另：当为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。
故选B5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】该地点信号的概率=所以该地点无信号的概率是。
2013年全国高考数学理科试卷陕西卷(解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MR C M x x 即,所以选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】。
θcos ||||⋅⋅=⋅若1cos ||||||±=⇒⋅=⋅θ,//0，即或与则向量π为真； 相反，若//，则||||||0⋅=⋅，即或的夹角为与向量π。
所以“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的充分必要条件。
另：当或向量为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
2013年高考真题解析——陕西卷(数学理)纯word版
2013·陕西卷(理科数学)1． 设全集为，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁M 为( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1．D [解析] 要使二次根式有意义，则M ＝{x ︱1－x 2≥0}＝[－1，1]，故∁M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )输入x ；If x ≤50 Then y ＝0.5*x Elsey ＝25＋0.6*(x －50) End If 输出y .A ．25B ．30C ．31D ．612．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6（x －50），x >50，输入x ＝60时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.3．， 设，为向量，则“|＝是”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 由已知中|＝可得，与同向或反向，所以又因为由，可得|cos 〈，〉|＝1，故|＝||cos 〈a ，b 〉|＝||，故|·|＝||·||是∥的充分必要条件．4． 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )A ．11B ．12C ．13D ．144．B [解析] 由系统抽样定义可知，所分组距为84042＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.5． 如图1－1，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )图1－1A ．1－π4 B.π2－1C ．2－π2 D.π45．A [解析] 阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P ＝2－π22＝1－π4.6． 设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 226．D [解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈)，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ＝0⇒a ＝c ，b ＝d ，故A 正确．若z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1＝z 2，故B 正确．若|z 1|＝|z 2|，则a 2＋b 2＝c 2＋d 2，所以z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 正确．又z 21＝(a 2－b 2)＋2ab i ，z 22＝(c 2－d 2)＋2cd i ，由a 2＋b 2＝c 2＋d 2不能推出z 21＝z 22成立，故D 错．7． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．B [解析] 结合已知b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理代入可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ⇒sin(B ＋C )＝sin 2A ⇒sin A ＝sin 2A ⇒sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．8．， 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 8．A [解析] 由已知表达式可得：f [f (x )]＝1x －x 6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 61x6－r(－x )r ＝C r 6·(－1)r ·x r －3，令r －3＝0，可得r ＝3，所以常数项为T 4＝－C 36＝－20.9． 在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图1－2A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]9．C [解析] 如下图，可知△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y40，所以y ＝40－x .又xy ≥300，所以x (40－x )≥300，即x 2－40x ＋300≤0，则10≤x ≤30.10． 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x ]＝[－3.5]＝－4，－[x ]＝－[3.5]＝－3，故A 错．[2x ]＝[7]＝7，2[x ]＝2[3.5]＝6，故B 错．再取y ＝3.8，则[x ＋y ]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C 错．只有D 正确．11． 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．11．9 [解析] 由a 2＝16，b 2＝m ，则c 2＝16＋m ，则e ＝16＋m 4＝54，则m ＝9. 12． 某几何体的三视图如图1－3所示，则其体积为________．图1－312.π3 [解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V ＝12×13×π×12×2＝π3. 13． 若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．13．－4 [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x －1∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A (－1，2)时，z 取最小值为－4.14． 观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________． 14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n 项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n （n ＋1）2. 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图1－46 [解析] 利用已知可得，∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PEP A ＝PDPE，而PD ＝2DA ＝2，则P A ＝3，则PE 2＝P A ·PD ＝6，PE ＝ 6. C ．(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1－5⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) [解析] 设P (x ，y )，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0⇒x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为12的圆，可得弦OP ＝1×cos θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP ·cos θ，y ＝OP ·sin θ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)． 16．， 已知向量＝cos x ，－12，＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈，设函数f (x )＝(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 16．解：f (x )＝cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x＝sin2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f π2＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在0，π2上最大值是1，最小值是－12.17． 设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 17．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， 即a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，即a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 18．， 如图1－6，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．图1－118．解：(1)方法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图． ∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1.∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1)． 由A 1B 1→＝AB →，易知B 1(－1，1，1)． ∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)， BB 1→＝(－1，0，1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D . 方法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2， ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .又 BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1. ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量＝(x ，y ，z )． ∵OC →＝(－1，0，0)，OB 1→＝(－1，1，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取＝(0，1，－1)， 由(1)知，A 1C →＝(－1，0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19． 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望． 19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”， B 表示事件“观众乙选中3号歌手，”则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )] ＝23×25＝415.或P (AB )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”． 则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475.P (X ＝1)＝P (AB C )＋P (ABC )＋P (A BC ) ＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875.∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P475207533751875∴X 的数学期望EX ＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.20．， 已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．20．解：(1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意， |O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42，又|O 1A |＝（x －4）2＋y 2， ∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42. 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由求根公式得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2.②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1.即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1，0)． 21． 已知函数f (x )＝e x ，x ∈(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值； (2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数； (3)设a <b ，比较f （a ）＋f （b ）2与f （b ）－f （a ）b －a的大小，并说明理由．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0， 解得x 0＝e 2，k ＝1e2.(2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝e xx2与直线y ＝m 的公共点个数．令φ(x )＝e xx 2，则φ′(x )＝e x （x －2）x 3，∴φ′(2)＝0.当x ∈(0，2)时，φ′(x )<0，φ(x )在(0，2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e 24.当0<m <e 24时，曲线y ＝e xx 2与直线y ＝m 无公共点；当m ＝e 24时，曲线y ＝e xx2与直线y ＝m 恰有一个公共点；当m >e 24时，在区间(0，2)内存在x 1＝1m ，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m ，由φ(x )的单调性知，曲线y ＝e xx2与y ＝m 恰有两个公共点．综上所述，x >0时，若0<m <e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若m >e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)方法一：可以证明f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a.事实上，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a ⇔e a ＋e b 2>e b －e a b －a ⇔b －a 2>e b －e a e b ＋e a ⇔b －a 2>1－2e a e b ＋e a⇔b －a 2>1－2e b －a ＋1(b >a )．(*)令φ(x )＝x 2＋2e x ＋1－1(x ≥0)，则φ′(x )＝12－2e x（e x ＋1）2＝（e x ＋1）2－4e x 2（e x ＋1）2＝（e x －1）22（e x ＋1）2≥0(仅当x ＝0时等号成立)．∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴x >0时，φ(x )>φ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 方法二：f （a ）＋f （b ）2－f （b ）－f （a ）b －a＝e b ＋e a 2－e b －e ab －a＝b e b ＋b e a －a e b －a e a －2e b ＋2e a2（b －a ）＝e a 2（b －a ）[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]． 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x ≥0)， 则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x >0时，u ′(x )>u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增． 当x >0时，u (x )>u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2>0， ∴eb ＋e a 2－e b －e a b －a>0，因此，f （a ）＋f （b ）2>f （b ）－f （a ）b －a .。
2013年陕西省高考理科数学试题
2013年陕西省高考理科数学试题第I 部分（共50分）一、选择题1. 设全集为R ，函数的定义域为M ，则W 为（ ）A. B. C. D.2. 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出的值为（ ）A. 25B. 30C. 31D. 613. 设为向量，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，。
，840随即编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（ ）A.11B. 12C.13D. 145. 如图，在在矩形区域的A 、C 两点处各有一个通讯基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号，基站工作正常）。
若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率为（ ）A. B. 12π- C. D.6. 设是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A. 若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则 7. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c A a A +=，则的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8. 设，则当时，表达式的展开式常数项为（ ）A.20B.20C. 15D.159. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是（）A. B. C. D.10. 设表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，，有（）A.B.C.D.二. 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.双曲线的离心率为，则等于.12. 某物体的三视图如图所示，则其体积为.13. 若点位于曲线与所围成的封闭区域，则的最小值为.14.观察下列等式照此规律，第n个等式可能为.15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）已知均为正数，且，，则的最小值为 .B.（几何证明选做题）如图，AB与CD相交于内的一点P，已知PD=2DA，则PE= .C.（坐标系与参数方程）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆的参数方程为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）。
2013年陕西高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则M R ð为 ( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1) C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【测量目标】函数的定义域，集合的基本运算. 【考查方式】根据根式定义，直接求解定义域. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】要使函数()f x =1－20x …，（步骤1）∴－1…x …1，则M ＝[－1,1]，M R ð＝(－∞，－1) (1，＋∞)．故选D.（步骤2）2．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为 （ ）第2题图A ．25B ．30C ．31D ．61 【测量目标】分段函数，选择结构的程序框图.【考查方式】由算法语句读出其功能，再利用分段函数的解析式求函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ⎧=⎨+(-)>⎩…（步骤1）∴当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故选C.（步骤2）3．设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【考查方式】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1） 若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4） 综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【测量目标】系统抽样.【考查方式】根据系统抽样的方法结合不等式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】抽样间隔：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ， 则第k 段抽取的号码为：l ＋(k －1) 20,1…l …20,1…k …42；（步骤1） 令481…l ＋(k －1) 20…720，得25＋120l -…k …37－20l.由1…l …20，（步骤2）则25…k …36.满足条件的k 共有12个．（步骤3）5．如下图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 ()第5题图A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型进行求解. 【难易程度】容易【试题解析】取面积为测度，则所求概率为：P ＝2121π12π4124FABCD ADE CB ABCDS S S S ⨯-⨯⨯⨯--==-矩形扇形扇形矩形.6．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假．命题是 ( ) A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z =D ．若12z z =，则2212z z = 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，若120z z -=，则12z z =，故12z z =，真命题；（步骤1） 选项B ，若12z z =，则122z z z ==，真命题；（步骤2） 选项C ，12z z =2212z z ⇒=1122z z z z ⇒= ，真命题；（步骤3） 选项D ，如令1z ＝i ＋1，2z ＝1－i ，满足|1z |＝|2z |，而1z 2＝2i ，2z 2＝－2i ，假命题．（步骤4） 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【测量目标】利用正弦定理判断三角形的形状.【考查方式】利用正弦定理的变形将角的正弦值转化为三角形三角之间的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，（步骤1） 即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形．（步骤2） 8．设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,,…则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 （ ） A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 【测量目标】分段函数，二项式定理.【考查方式】利用分段函数的解析式和二项式的通项公式进行求解. 【难易程度】中等【试题解析】 f (x )＝610,0,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,… 当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66(f ⎛== ⎝，（步骤1）663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛==-=- ⎝，（步骤2） 令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.（步骤3）9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ()第9题图A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 【测量目标】几何证明.【考查方式】利用三角形相似和面积比例关系求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设矩形另一边长为y ，如图所示： 由三角形相似知：404040x y -=，∴ y ＝40－x . xy …300，∴x (40－x ) …300，解得10…x …30，故选C ．第9题图10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]…[x ]＋[y ] D ．[x －y ]…[x ]－[y ]【测量目标】定义新运算.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1） 选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.故选D （步骤3）第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11. 双曲线222116x y m-=的离心率为54，则m 等于 . 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质以及离心率求解未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又54c e a ==5c ∴=22225169,3b c a b ∴=-=-=∴=即3m =．12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．第12题图【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】利用三视图，想象出几何体，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】π3【试题解析】由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则21π12π323SABV⨯⨯⨯==几何体.第12题图13．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】作出可行域，数形结合求解.【难易程度】中等【参考答案】4-【试题解析】如图，由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-⎧⎨-+<⎩…及y＝2画出可行域如图阴影部分所示，（步骤1）令2x－y＝z，⇒y＝2x－z，（步骤2）画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最小，即minz＝2×(－1)－2＝－4.（步骤3）第13题图14．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为__________．【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【难易程度】较难【参考答案】2222121121234(1)(1)n n n n n (+)----＋＋＋＋…＋＝【试题解析】第n 个等式的左边第n 项应是()11n +-n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋()11n +-n 2＝()11n +-12n n (+). 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．【测量目标】基本不等式求最值. 【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)…2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2当且仅当m ＝n “＝”.∴所求最小值为2.B ．(几何证明选做题)如下图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.第15题B 图【测量目标】三角形相似.【考查方式】通过逻辑推理判定三角形相似即可求出答案. 【难易程度】较难【试题解析】 ∠C 与∠A 在同一个圆O 中，所对的弧都是弧BD ⇒∠C ＝∠A .（步骤1） 又 PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．（步骤2） 又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A PD ．（步骤3）又 PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE （步骤4）C ．(坐标系与参数方程选做题)如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．第15题C 图【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用直角坐标方程和参数方程的转化求解参数方程. 【难易程度】中等【参考答案】2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)【试题解析】由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)⇒y ＝x tan θ，（步骤1） 由x 2＋y 2－x ＝0⇒x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，（步骤2） 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意， 故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．（步骤3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()=f x a b .(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【难易程度】容易 【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（1）()f x 最小正周期为2πT ω=2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3） 由正弦函数图象的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5）当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 【测量目标】等比数列的n 项和公式，反证法.【考查方式】利用等比数列的通项公式及概念推导前n 项和公式；利用反证法证明要证的结论. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；（步骤1） 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，（步骤2）∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩（步骤3）(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k *∈N ，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1 a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，（步骤4）∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.（步骤5）又∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，（步骤6）∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．（步骤7）18．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．第18题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用.【考查方式】利用直线的方向向量与平面内的向量垂直判定线面垂直，进而求出法向量，求解二面角. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图， ∵AB ＝AA 1OA ＝OB ＝OA 1＝1，（步骤1） ∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．11A B ＝AB，∴B 1(－1,1,1)．（步骤2） ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB＝(－1,0,1)，∴1AC BD ＝0，1AC 1BB＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）第18题（1）图证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．（步骤1） 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，（步骤2） ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又1BB BD B = ,∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧=-=⎪⎨=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩（步骤4）取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，（步骤5） ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0…θ…π2，∴π3θ=.（步骤6）19．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望【考查方式】利用古典概型和独立事件的概率求解概率进而求解分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.（步骤1） ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为：P (A B )＝P (A ) P (B )＝P (A ) [1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫()== ⎪⎝⎭ 或（步骤2） (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，（步骤3） ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为：P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，（步骤4） ∴X 的分布列为（步骤5）∴X 的数学期望4203318140280123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.（步骤6） 20． (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【测量目标】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题.【考查方式】利用曲线方程求解轨迹方程，进一步与直线方程联立求解定点.【难易程度】较难【试题解析】（1）如图（a ），设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A =，（步骤1）=y 2＝8x (x ≠0)．（步骤2） 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .（步骤3）第20题（1）图（a ）(2)如图（b ），由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，⇒∆＝－32kb ＋64＞0.（步骤4）由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，②（步骤5） x 轴是∠PBQ 的角平分线，⇒121211y y x x =-++，（步骤6） 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③（步骤7）将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时∆＞0，（步骤8）∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．（步骤9）第20题（2）图（b ）21. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由． 【测量目标】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数.【考查方式】利用导数的几何意义求解切线斜率，利用零点判断公共点个数，利用分析法求证不等式.【难易程度】较难【试题解析】(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21e k =. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x =与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0x …)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ϕ(+)-(-)'=-==(+)(+)(+)…(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ϕ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ϕ(x )＞ϕ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a ) b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x …0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝0x xe …(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-.。
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(陕西卷)
2021年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为 （ ）A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(,1][1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞2．根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 （ ）A ．25B ．30C ．31D ．613．设a, b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a//b”的 （ ）(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．145．如图, 在矩形区域ABCD 的A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 （ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π- D ．4π 6．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =7．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 （ ）(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ）A ．[－x] ＝ －[x]B ．[2x] ＝ 2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]二、填空题11．双曲线x 216−y 2m =1的离心率为54, 则m 等于 . 12．某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.13．若点(,)x y 位于曲线|1|y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为 .14．观察下列等式:211=22123-=-2221236-+=2222123410-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .15．已知a, b, m, n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为 . 16．如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E, 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P. 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .17．(坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题18．已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()?f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 19．设{}n a 是公比为q 的等比数列.(Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{}1n a +不是等比数列.20．如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.21．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望. 22．已知动圆过定点A(4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.23．已知函数f(x)=e x ,x ∈R .(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值;(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线y =mx 2(m >0)公共点的个数.(Ⅲ) 设a<b, 比较f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a 的大小, 并说明理由.参考答案1．D【解析】[]()()()-1,1,11,R f x M C M ==-∞-⋃+∞的定义域为，故,选D.要注意避免出现1x ±及求补集时区间端点的取舍错误.【考点定位】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合运算等知识.属于容易题.2．C【解析】试题分析：输入60x =，判断50?x ≤，否，250.6(6050)31y =+⨯-= ，输出31y =故选C ．考点：算法语句．3．C【解析】a, b 为向量, cos ,a b a b a b a b ==向量a 、b 的夹角为0︒或180︒则“||||||a b a b =”是“//a b ”的充分必要条件.此类问题解答要注意掌握好命题条件和向量共线的基本知识.【考点定位】本题考查向量的数量积、向量夹角、向量模长和充要条件等知识. 属于容易题. 4．B【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人考点：系统抽样5．A【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积212121242S ππ=⨯-⨯⨯=-，所以由几何概型知，所求事件概率22124P ππ-==-，故选A ．考点：几何概型．6．D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真； 对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z = 222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．7．B【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】 因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8．A【解析】6[()]f f x=-，所以33346(20T C==-. 准确运用二项式定理是解题关键.【考点定位】本题考查分段函数和二项式定理.属于中档题.9．C【详解】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则22404040ADEABCxS yS∆∆-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以40y x=-，又300xy，所以(40)300x x-，即2403000x x-+，解得1030x. 【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题.10．D【解析】取 2.5x=，则[][ 2.5]3,[][2.5]2x x-=-=--=-=-，所以A项错误；[2][5]5,2[]2[2.5]4x x====，所以B项错误；再取 2.8y=，则[][5.3]5,[][][2.5][2.8]224x y x y+==+=+=+=，所以C项错误.【考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想.属于难题.11．9【解析】试题分析：由双曲线方程可知其实半轴长为，根据双曲线离心率公式有.考点：双曲线的离心率.12．3π 【解析】由三视图还原几何体为半个圆锥，高为2，底面半圆的半径r ＝1. ∴体积V ＝12×13(π×12×2)＝3π.13．. 4-【详解】如图，封闭区域为三角形．令|1|2x -=，解得11x =-，23x =，所以三角形三个顶点坐标分别为(1，0，)，(1,2)-，(3,2)，把2z x y =-变形为2y x z =-，则直线经过点(1,2)-时z 取得最小值； 所以2(1)24min z =⨯--=-，故2x y -在点(1,2)-取最小值4-．故答案为：4-．14．2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n N ++*+-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅∈， 【解析】观察上式等号左边的规律发现：左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3,n ⋅⋅⋅指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示；等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为，所以第n 个式子可为：2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n N ++*+-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅∈．解题的关键在于：1．通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律； 2．符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示；3．表达的完整性，不要遗漏了n N *∈．【考点定位】本题考查观察和归纳推理能力．属于中等题． 15．2 【解析】 由柯西不等式可得 （am+bn ）（bm+an ）≥16【详解】易知BCE PED BAP ∠∠=∠＝PDE PEA ∴∆~∆PE PDPA PE∴＝ 而PD DA ＝２＝２PA ∴＝３，•PE PA PD ２＝＝６故PE 【考点定位】本题考查平面几何证明，利用三角形相似即可求解，属于容易题.17．2cos x θ=,sin cos y θθ=,0.θπ≤<【解析】2222110,(),24x y x x y +-=-+=以（12,0）为圆心，12为半径，且过原点的圆它的标准参数方程为111, ,02222x cos y sina ααπ=+=≤<，，由已知，以过原点的直线倾斜角θ为参数,则0,θπ≤< 所以022θπ≤< .所以所求圆的参数方程为2cos x θ=,sin cos y θθ=,0.θπ≤<【考点定位】本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题. 18．(Ⅰ)22T ππ==(Ⅱ)max ()1f x =min 1()2f x =- 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可. 【详解】()f x a b =⋅1cos cos 22x x x -12cos 222x x =- πsin(2)6x =-（Ⅰ）()f x 的最小正周期为22T ππ==. （Ⅱ）[0,]2x π∈，52[,]666x πππ∴-∈-，1sin(2)[,1]62x π∴-∈-故当2=62x ππ-即3x π=时，max ()1f x =当2=66x ππ--即0x =时，min 1()2f x =-本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式11221212(,),(,),,x y x y x b x x y y ==∈⋅=+a b R a 若则()2sin T y A x πωφω==+以及函数图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一. 【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析 【解析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为1111...n n S a a q a q -=+++（1）将（1）式两边分别乘以q 得2111...n n qS a q a q a q =+++（2）（1）-（2）得11(1)nn q S a a q -=-当0q ≠时1(1)1n n a q S q-=-或11n n a a q S q -=- 当1q =时，12...n a a a ===，所以1n S na = （Ⅱ）方法一：{}2n 2131,a +1a +1=a +1?a +1q ≠假设数列为等比数列，那么（）（）（）2211111a q+1=a +1?a q +1(1)001,a q a q ⇒-=⇒==即（）（）（）或均与题设矛盾，故数列{}n a +1不可能为等比数列.方法二：{}2n k 111,a +1a +1=a +1?a +1k k q -+≠假设数列为等比数列，那么（）（）（）1221111111?1(1)001,k k k a q a q a q a q a q --+=++⇒-=⇒==即（）（）（）或均与题设矛盾，故数列{}n a +1不可能为等比数列.本题考查了等比数列前项和公式的推导，涉及参数q 分类讨论及错位相减法，体现高考题型源于教材的基本理念.而在第二问中要求证明数列不是等比数列，既考查了对等比数列概念的理解，又涉及到了反证法的应用；知识有机结合，考查综合能力.问中对数列的证明可以采取特殊代替一般的方法，也可以通行通法的解题思想.判断一个数列是否是等比数列一定要关注首项的验证，负责容易错误.【考点定位】本题考查等比数列的前n 项和公式推导和有关等比数列的证明. 突出对教材重要内容的考查，引导回归教材，重视教材.属于容易题.20．(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 所求夹角的大小为60 【解析】(1)证明 法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)． ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)， ∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD.又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C. 又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2， ∴AC 2＝21AA ＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C. 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)． ∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10{0n OC x n OB x y z ⋅=-=⋅=-++=∴0{x y z==-取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12.又∵0≤θ≤2π，∴θ＝3π.21．(Ⅰ)415；(Ⅱ) 2815.【详解】(Ⅰ) 由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为C 11⋅C 21C 32=23，观众乙未选中3号歌手的概率为C 43C 53=25，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为23×25=415.(Ⅱ)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(Ⅰ)知，观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙选中3号歌手的概率为1−25=35，则观众丙选中3号歌手的概率也为1−25=35，则P(X =0)=(1−23)×(1−35)2=475,P(X =1)=23×(1−35)2+(1−23)×C 21×35×(1−35)=2075=415,P(X =2)=23×C 21×35×(1−35)+(1−23)×(35)2=3375=1125,P(X =3)=23×(35)2=1875=625.则X 的分布列如下：EX =0×475+1×415+2×1125+3×625=2815.22．(Ⅰ)2=8y x ； (Ⅱ)见解析 【详解】(Ⅰ)设动圆圆心C 的坐标为（ x , y ）则222224)0)4,=8.x y x y x -+-=+（（整理得所以，所求动圆圆心的轨迹C 的方程为2=8y x (Ⅱ)证明：设直线l 方程为y kx b =+，联立得22222228(82)0k x kbx b x k x kb x b ++=⇒--+=（其中32640kb ∆=-+>）设1122(,),(,)P x kx b Q x kx b ++,若x 轴是PBQ ∠的角平分线，则()1212121221121212()2·1+?(1)11(1)1(1)1QB PB kx x k b x x bkx b kx b kx b x kx b x k k x x x x x x +++++++++++=+==++++++（）（）（）（）（）()()2128()011k b k x x +==++，即k b =-故直线l 方程为(1)y k x =-，直线l 过定点.（1,0）本题考查轨迹方程求法、直线方程、圆方程、直线与圆的位置关系及直线过定点问题.第一问曲线轨迹方程的求解问题是高考的热点题型之一，准确去除不满足条件的0x ≠点是关键.第二问对角平分线的性质运用是关键，对求定值问题的解决要控制好运算量，同时注意好判别式32640kb ∆=-+>的条件，以防多出结果.圆锥曲线问题经常与向量、三角函数结合，在训练中要注意.本题无论是求圆心的轨迹方程，还是求证直线过定点，计算量都不太大，对思维的要求挺高；设计问题背景，彰显应用魅力. 【考点定位】本题考查迹曲线方程求法、直线方程、圆方程、直线与圆的位置关系及直线过定点问题，属于中档题.23．(Ⅰ)k =1e 2 (Ⅱ)（1）m >e 24时，两曲线有2个交点；（2）m =e 24时，两曲线有1个交点； （3）m <e 24时，两曲线没有交点。
(完整版)2013年陕西高考理科数学试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )＝21x -的定义域为M ，则R M 为()．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝610,0,x x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．159．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于e O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．答案：D解析：要使函数f (x )＝21x -有意义，则1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．答案：C 解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l .由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．5．答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124F ABCD ADE CB ABCD S S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝x -＜0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝. 663221666C (1)C (1)C r r r r r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12． 答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4.14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+) 解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个e O 中，所对的弧都是»BD，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE . C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x ＝ππcos sin 2sin cos 266x x - ＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质， 当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-， 当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-. 17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q =⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩ (2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B u u u u r ＝AB u u u r ，易得B 1(－1,1,1)． ∵1AC u u u r ＝(－1,0，－1)，BD u u u r ＝(0，－2,0)， 1BB u u u r ＝(－1,0,1)， ∴1AC u u u r ·BD u u u r ＝0，1AC u u u r ·1BB u u u r ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．(2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵OC u u u r ＝(－1,0,0)，1OB u u u r ＝(－1,1,1)， ∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u r u u u r n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)， 由(1)知，1AC u u u r ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC u u u r 〉|12=. 又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=. ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=， ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A = = 化简得y ＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y y x x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ， 解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e x y x=与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x x ϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点； 当2e 4m =时，曲线2e xy x=与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点； 若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b a b a +->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e e a b a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b ab b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.。
2013年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集为R,函数()f x =M, 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞- 【答案】D【解析】),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MRC M x x 即,所以选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时输出y 的值为 (A) 25 (B) 30(C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C3. 设a, b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a//b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】。
θcos ||||⋅⋅=⋅若1cos ||||||±=⇒⋅=⋅θb a b a ,b //a 0，即或的夹角为与则向量πb a 为真； 相反，若//，则||||||0b a b a b a ⋅=⋅，即或的夹角为与向量π。
所以“||||||=a a b b ·”是“a//b ”的充分必要条件。
另：当b a 或向量为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12(C) 13(D) 14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
2013年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(数学理)word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31(D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11(B) 12(C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区1域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 (A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D)4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8.设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ](C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ](D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式:…照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2,则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线,证明直线l 过定点. 21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.。
2013年陕西高考理科数学试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ)(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分，共50分)．1．(2013陕西,理1)设全集为R ，函数f （x )＝21x -的定义域为M ，则R M 为(）．A ．[－1，1]B ．(－1,1）C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞,－1）∪（1，＋∞）1)∪（1，＋∞)．2．(2013陕西，理2）根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西,理3）设a ，b 为向量，则“｜a·b |＝｜a ｜|b ｜”是“a ∥b "的( ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720］的人数为（ ）．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5）如图,在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1,z 2是复数，则下列命题中的假．命题是（ )． A ．若|z1－z2｜＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若｜z1｜＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若｜z1｜＝｜z2｜，则z12＝z22 7．（2013陕西，理7）设△ABC 的内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．（2013陕西，理8）设函数f （x )＝610,0,x x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩,,则当x ＞0时，f ［f （x ）］表达式的展开式中常数项为A ．－20B ．20C ．－15D ．159．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m)的取值范围是（ ）．A．［15,20］ B．[12,25］C．[10，30］ D．［20，30］10．(2013陕西,理10)设［x］表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y，有（）．A．[－x］＝－[x］ B．［2x］＝2［x］C．［x＋y]≤[x］＋[y］ D．[x－y］≤[x］－［y]第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分，共25分)．11．(2013陕西,理11）双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．（2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示,则其体积为__________．13．（2013陕西，理13)若点（x,y)位于曲线y＝|x－1｜与y＝2所围成的封闭区域,则2x－y的最小值为__________．14．（2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．（2013陕西，理15)（考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数,且a＋b＝1，mn＝2,则(am＋bn）(bm＋an）的最小值为__________．B．(几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）．16．（2013陕西，理16）(本小题满分12分）已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f （x )＝a·b .(1)求f (x ）的最小正周期；（2)求f （x ）在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17）(本小题满分12分)设{a n ｝是公比为q 的等比数列．（1)推导{a n }的前n 项和公式;(2）设q ≠1,证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD,AB＝AA1.（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19）（本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．（2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点．21．（2013陕西,理21）(本小题满分14分）已知函数f （x )＝e x ，x ∈R 。
2013年高考真题——理科数学(陕西卷)解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集为R , 函数x f (x )=p1¡2的定义域为M ，则C RM为(A) [－1,1] (B) (－1,1) (C),1][1,)(∞-⋃+∞- (D),1)(1,)(∞-⋃+∞-【解析】由x 1¡2·0得¡1·x ·¡1，故CRM=fx j x <¡1orx >1g 选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【解析】由算法语句可得y=f (x )=(0:5xx ·5025+0:6(x ¡50)x >50故31f (60)=选C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的判定，一般来说有两种方法，定义法和集合大小。
本题利用定义法就行了。
由¯¢¯=¯¡j ¯cos ¯¯¡!a ¡!b ¯¯¯¯j !a ¯¯¯¡!b ¯¯µ¯¯¯故=¯¢¯=j ¯¯j cos µj 1;¯¯¡!a ¡!b ¯¯¡!aj ¯¯¡!b ¯¯，所以答案为C，这是这几年充要条件考题中很少出现的充要条件的答案了。
2013年陕西省高考数学试卷(理科)教师版
2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•陕西）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M 为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集为R，所以∁R M=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．2．（5分）（2013•陕西）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25B．30C．31D．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=，，＞的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=，，＞的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．3．（5分）（2013•陕西）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若 ⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．4．（5分）（2013•陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编，则抽取的42人中，编落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编481～720共240人中抽取=12人．故选：B．5．（5分）（2013•陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信的区域面积为2﹣，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=同理可得，扇形CBF的在，面积S2=又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信的概率是P===1﹣故选：A．6．（5分）（2013•陕西）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1﹣z2|=0，则=B．若z1=，则=z2C．若|z1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z22【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．【解答】解：对（A），若|z1﹣z2|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，，，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，，所以为假．故选：D．7．（5分）（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．8．（5分）（2013•陕西）设函数f（x）=，＜，，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15【分析】依题意，可求得f[f（x）]=，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选：A．9．（5分）（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y ＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选：C．10．（5分）（2013•陕西）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•陕西）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于9．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．12．（5分）（2013•陕西）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积．故答案为：．13．（5分）（2013•陕西）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为﹣4．【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．【解答】解：如图，封闭区域为三角形．令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2），把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值；所以z min=2×（﹣1）﹣2=﹣4，故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）（2013•陕西）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（2013•陕西）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2．【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等当且仅当时成立，即可求出（am+bn）则（a2+b2）（bm+an）的最小值．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2=mn（a+b）2=2×1=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2．故答案为：2．16．（2013•陕西）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．17．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为，θ∈R，且θ≠．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，∴OP=2r•cosθ=cosθ，∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．故答案为：，θ∈R，且θ≠三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）（2013•陕西）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，，由正弦函数y=sinx在，的性质可知，sinx，，∴sin（2x﹣），，∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．19．（12分）（2013•陕西）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；（II）分①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．【解答】解：（I）当q=1时，S n=na1；当q≠0，1时，由S n=a1+a2+…+a n，得qS n=a1q+a2q+…+a n﹣1q+a n q．两式错位相减得（1﹣q）S n=a1+（a2﹣a1q）+…+（a n﹣a n﹣1q）﹣a n q，（*）由等比数列的定义可得，∴a2﹣a1q=a3﹣a2q= 0∴（*）化为（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴．∴，，；（Ⅱ）用反证法：设{a n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a n+1}是等比数列．①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，数列{a n+1}不是等比数列．②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，则==，化为（q n﹣1﹣1）（q﹣1）=0，∵q≠1，∴q﹣1≠0，q n﹣1﹣1≠0，故矛盾．综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．20．（12分）（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，在Rt△A1OA中，∵，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），，，．由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，，，，，，，，．设平面OCB1的法向量为，，，由，得，取z=﹣1，得x=1．∴，，．则＜，＞=．所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．21．（12分）（2013•陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1歌手的歌迷，他必选1，不选2，另在3至5中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手的概率；（Ⅱ）X表示3歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手”，观众甲选中3歌手的概率为，观众乙未选中3歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手”，观众甲选中3歌手的概率为，观众乙未选中3歌手的概率为1﹣=，∴P（A）=，∴观众甲选中3歌手且观众乙未选中3歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．观众甲选中3歌手的概率为，观众乙选中3歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3歌手时，这时X=2，P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，当观众甲、乙、丙都选中3歌手时，这时X=3，P（X=3）=•（）2=，X的分布列如下：∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22．（13分）（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN 的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分线的性质可得k PB=﹣k QB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．当x=0时，也满足上式．∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k PB=﹣k QB，∴，∴，化为8+y1y2=0．直线PQ的方程为，∴，化为，化为，y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过定点（1，0）23．（14分）（2013•陕西）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=＞，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；（III）利用作差法得===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．【解答】解：（I）函数f（x）=e x的反函数为g（x）=lnx，∴．设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，∴k=e﹣2．（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=＞，则，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．∴当，时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当＞时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．（Ⅲ）===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）e x．g′′（x）=xe x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•e x＞0，且a＜b，∴＞，即当a＜b时，＞．。
2013年高考理科数学(陕西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集为R，函数f(x)＝21x-的定义域为M，则MCR为．A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为A．25 B．30 C．31 D．613．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为．A．11 B．12 C．13 D．145．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定8．设函数f(x)＝61,0,x xxx x⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩,,则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为A．－20 B．20 C．－15 D．159．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是A．[15,20] B．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于__________． 12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为__________． 14．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为__________．15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．B ．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.C ．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16． (本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18． (本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．19． (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．20．(本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是 ∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．参考答案及其解析一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D解析：要使函数f (x )则1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31. 3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．5． 答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝＜0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝. 663221666C (1)C (1)C rr rrrr r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y，如图所示.404040x y-=，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C．10．答案：D解析：对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a＝4.又54cea==，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-≥⎧⎨-+<⎩及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·12n n(+)解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝12n n(+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋112n n(+).15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A．答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n)．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE .C ． 答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x ＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望0123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A ==化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk-，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以121211y yx x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ， 解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x x ϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b a b a +->-⇔ e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e e a b a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x xx x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]， 设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.。
2013年陕西卷(理科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（陕西卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R，函数()f x =M ，则U C M 为 A.[1,1]- B.(1,1)-C.(,1][1,)-∞-+∞UD.(,1)(1.)-∞-+∞U 2.根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出x 的值为A ．25B ．30C ．31D ．613.设a r ，b r为向量，则“a b a b ⋅=r r r r ”是“a b r r ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为A ．11B ．12C ．13D ．145.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基 站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 A.14π- B.12π- C.22π-D.4π6.设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假命题是A.若120z z -=，则12z z =B.若12z z =，则12z z =C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =7.设ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定8.设函数61()0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，(())f f x 表达式的展开式中常数项为A ．20-B ．20C ．15-D ．15 9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x （单位：m ）的取值范围是A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]10.设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 A.[][]x x -=- B.[2]2[]x x = C.[][][]x y x y +≤+ D.[][][]x y x y -≤- 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，满分25分.11.双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于 . 12.某几何体的三视图如图所示，则其体积为 .40m13.若点(,)x y 位于曲线1y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为 . 14.观察下列等式:211=，22123-=-，2221263+-=，2222124310-+-=-，…，照此规律，第n 个等式可为 .15.（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）A.（不等式选做题）已知a ，，b ，m ，n 均为正数，且1a b +=,2mn =，则()()am bn bm an ++的最小值为 .B.（几何证明选做题）如图，弦AB 与CD 相交于O e 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知22PD DA ==，则PE = .C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量1(cos ,)2a x =-r，,cos 2)b x x =r ，x R ∈，设函数()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值.C17.（本小题满分12分） 设{}n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和公式；（Ⅱ）设1q ≠，证明数列{}1n a +不是等比数列. 18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB AA ==（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）求平面11OC B 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.19.（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. （Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分13分）已知动圆过定点(4,0)A ,且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)B -,设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ,Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明：直线l 过定点. 21.（本小题满分14分）ABCDA 1B 1C 1D 1O已知函数()x f x e =，x R ∈.（Ⅰ）若直线1y kx =+与()y f x =的反函数的图像相切,求实数k 的值； （Ⅱ）设0x >，讨论曲线()y f x =与曲线2y mx =（0m >）公共点的个数； （Ⅲ）设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.。