2013年陕西省高考数学试题(理科)及答案解析
2013年高考试题及答案陕西卷理数
掌门1对1教育 高考真题 2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R , 函数2()1f x x =-M , 则C M R 为 (A) [－1,1] (B) (－1,1) (C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假．命题是(A) 若12||0z z -=, 则12z z =(B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定输入x If x ≤50 Then y =0.5 * x Elsc y =25+0.6*(x -50)End If 输出y. 1DBEF8. 设函数61,00.,(),x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝-≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位:m )的取值范围是(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ](C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 . B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .x 40m 1121ED O A BθP O x(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期；(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==OD 1B 1C 1D ACA 1(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.(Ⅲ) 设a <b , 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
2013年高考真题—理科数学(陕西卷)精校精析
2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________． 2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am＋bn)(bm＋an)≥(＋)2＝mn(a ＋b)2＝2. B．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB与CD相交于⊙O内一点E， 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE ＝________. 图1－4 [解析] 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得 △PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD ＝6，PE＝. C． (坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜 角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________． 图1－5 (θ为参数) [解析] 设P(x，y)，则随着θ取值变化，P可以表示圆上 任意一点，由所给的曲线方程x2＋y2－x＝0⇒x－2＋y2＝，表示以，0为 圆心，半径为的圆，可得弦OP＝1×cosθ，所以可得故已知圆的参数方 程为(θ为参数)． 16．已知向量＝(cos x，－)，＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝· (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 16．解：f(x)＝(cos x，－)·(sin x，cos 2x)＝cos xsin x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝cos sin 2x－sincos 2x＝sin2x－. (1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π， 即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤. 由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1. 当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－， 当2x－＝π，即x＝时，f＝， ∴f(x)的最小值为－. 因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－. 17． 设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 17．解：(1)设{an}的前n项和为Sn，
2013年陕西省高考数学试卷(理科)
2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．613．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z 1﹣z2|=0，则= B．若z1=，则=z2C．若|z 1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z227．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定8．（5分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．159．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]10．（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y 的最小值为．14．（5分）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为．16．（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．17．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f （x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A 1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．23．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集为R，所以∁R M=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．3．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题．4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．5．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=同理可得，扇形CBF的在，面积S2=又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P===1﹣故选：A．【点评】本题给出矩形ABCD内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题．6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z 1﹣z2|=0，则= B．若z1=，则=z2C．若|z 1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z22【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．【解答】解：对（A），若|z 1﹣z2|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则z 1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，所以为假．故选：D．【点评】本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．8．（5分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15【分析】依题意，可求得f[f（x）]=，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．9．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选：C．【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．10．（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于9．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积．故答案为：．【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y 的最小值为﹣4．【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．【解答】解：如图，封闭区域为三角形．令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2），把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值；所以z min=2×（﹣1）﹣2=﹣4，故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单线性规划以及利用线性规划求函数的最值．属于基础题．14．（5分）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2．【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当时成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2=mn（a+b）2=2×1=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2．故答案为：2．【点评】本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识，属于基础题．16．（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．17．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为，θ∈R，且θ≠．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，∴OP=2r•cosθ=cosθ，∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．故答案为：，θ∈R，且θ≠【点评】此题考查了圆的参数方程，涉及的知识有：圆的标准方程，锐角三角函数定义，以及解直角三角形，弄清题意是解本题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f （x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．（12分）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；（II）分①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．【解答】解：（I）当q=1时，S n=na1；当q≠0，1时，由S n=a1+a2+…+a n，得qS n=a1q+a2q+…+a n﹣1q+a n q．两式错位相减得（1﹣q）S n=a1+（a2﹣a1q）+…+（a n﹣a n﹣1q）﹣a n q，（*）由等比数列的定义可得，∴a2﹣a1q=a3﹣a2q= 0∴（*）化为（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴．∴；（Ⅱ）用反证法：设{a n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a n+1}是等比数列．①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，数列{a n+1}不是等比数列．②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，则==，化为（q n﹣1﹣1）（q﹣1）=0，∵q≠1，∴q﹣1≠0，q n﹣1﹣1≠0，故矛盾．综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力．20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A 1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，在Rt△A 1OA中，∵，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），．由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，，．设平面OCB1的法向量为，由，得，取z=﹣1，得x=1．∴．则=．所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，∴P（A）=，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P（X=3）=•（）2=，X的分布列如下：∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分线的性质可得k PB=﹣k QB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．当x=0时，也满足上式．∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k PB=﹣k QB，∴，∴，化为8+y1y2=0．直线PQ的方程为，∴，化为，化为，y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过定点（1，0）【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．23．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；（III）利用作差法得===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．【解答】解：（I）函数f（x）=e x的反函数为g（x）=lnx，∴．设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，∴k=e﹣2．（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=，则，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．∴当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．（Ⅲ）===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）e x．g′′（x）=xe x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•e x＞0，且a＜b，∴，即当a＜b时，．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。
完整版高考理科数学陕西卷word解析版
2013 年高考理科数学陕西卷word 解析版2013 年一般高等学校夏天招生全国一致考试数学理工农医类(陕西卷)注意事项：1．本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题．2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷种类信息．3．全部解答必然填写在答题卡上指定地域内．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(共50 分)一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求(本大题共10 小题，每题5 分，共50 分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)＝A ．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D21 x 的定义域为M，则R M为()．解析：要使函数f(x)＝ 21 x 有意义，则1－x2≥0，解得－1≤x≤1，则M＝[－1,1]，R M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)依据以下算法语句，当输入x为60时，输出y 的值为()．A ．25 B．30 C．31 D．61答案：C解析：由算法语句可知y 0.5x, x 50,25 x 50 ,x 50,所以当x＝60时，y＝25＋×(60－50)＝25＋6＝31.3．(2013陕西，理3)设a，b为向量，则“|a·b |＝|a ||b|”是“a∥b”的( )．A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a∥b”的充分必需条件；若a 与b 都不为零两向量的夹角为向量，设a·b＝|a||b|cos θ，由|a·b|＝|a||b|得|cos θ|＝1，则0或π，所θ，则a与b 的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a·b |＝|a ||b|，故“|a·b| 以a∥b.若a∥b，则a与b 同向或反向，故两向量的夹角为＝|a||b |”是“a∥b”的充分必需条件．4．(2013陕西，理4)某单位有840 名职工，现采纳系统抽样方法抽取42 人做问卷检查，将840 人按1,2，⋯，840 随机编号，则抽取的42 人中，编号落入区间[481,720] 的人数为()．A ．11 B．12 C．13 D．141 / 14解析：840÷42＝20，把1,2，⋯，840 分成42 段，没关系设第 1 段抽取的号码为l，则第k 段抽取的号码为l＋(k－1) 2·0,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l＋(k－1) 2·0≤720，得25＋则25≤k≤36.满足条件的k 共有12 个．1l20≤k≤37－l20.由1≤l≤20，5．(2013陕西，理5)如图，在矩形地域ABCD 的A，C 两点处各有一个通讯基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形地域ADE 和扇形地域CBF (该矩形地域内无其余信号本源，基站工作正常)．若在该矩形地域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )．A ．1 π4B．π21 πC．22 答案：A D．π4解析：S 矩形ABCD＝1×2＝2，S 扇形ADE＝S扇形CBF ＝π.由几何概型可知该地点无信号的概率为4P＝S S S矩形ABCD 扇形ADE 扇形CBS矩形ABCDF2ππ2 1.2 46．(2013陕西，理6)设z1，z2 是复数，则以下命题中的假．命题是( )．A ．若|z1－z2|＝0，则z1 z2B．若z1 z2 ，则z1 z2C．若|z1|＝|z2|，则z1 z1 z2 z2D．若|z1|＝| z2|，则z12＝z22答案：D解析：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z z ，正确；对于选项B，若1 2 z z ，则z z z ，1 2 1 2 2正确；对于选项C，z1·z1 ＝|z1|2，z2·z 2＝| z2|2，若| z1|＝|z2|，则z1 z1 z2 z2 ，正确；对于选项D，如令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足| z1|＝|z2|，而z12＝2i，z22＝－2i，故不正确．7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为()．A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立2 / 14解析：∵bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin C c os B＝sin2A，∴sin( B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴πA ，故△ABC为直角三角形．28．(2013陕西，理8)设函数 f (x)＝61x , x 0,x则当x＞0时，f[ f(x)] 表达式的张开式中常数项为( )．x, x 0,A ．－20 B．20 C．－15 D．15 答案：A解析：当x＞0时，f(x)＝x ＜0，则f[ f(x)] ＝6 61 1x xx x.r r r61r 6 r r r 2 2 r r 3 rT C ( x) ( 1) C x x ( 1) C xr 1 6 6 6x.令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－3 3C ＝－20.1)62 的内接矩形花园(阴9．(2013陕西，理9)在以以以下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案：C解析：设矩形另一边长为y，以以以下图.x 40 y40 40，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，应选C．3 / 1410．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A ．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[ x]C．[x＋y] ≤[ x]＋[y] D．[x－y]≤[ x]－[y]答案：D解析：对于选项A，取x＝－，则[－x]＝[1.1] ＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝，则[2 x]＝[3] ＝3,2[ x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－，y＝－，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[ x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[ x]－[y]＋β1－β2] ＝[ x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[ x]－[y]＋β1－β2]＝[[ x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[ x]－[ y]－1＜[x]－[y]，应选项D 正确．第二部分(共100 分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题，每题5 分，共25 分)．2 2x y 11．(2013陕西，理11)双曲线16 m答案：951的离心率为4，则m等于__________．解析：由双曲线方程知a＝4.又 e ca54，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图以下，则其体积为__________．4 / 14π答案：3解析：由三视图可知该几何体是以以以下图的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝13π2π.2 313．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2 所围成的封闭地域，则2x－y 的最小值为__________．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝x1,x 1,x 1,x 1及y＝2 画出可行域如图暗影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x 并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4.14．(2013陕西，理14)观察以低等式12＝12－22＝－3112－22＋32＝62－22＋32－42＝－1015 / 14⋯⋯照此规律，第n 个等式可为__________．＋1n2＝(－1)n＋1·n n 1 答案：12－22＋32－42＋⋯＋(－1)n2解析：第n 个等式的左侧第n项应是(－1)n＋1n2，右侧数的绝对值为1＋2＋3＋⋯＋n＝n n2 1，故有12－22＋32－42＋⋯＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 1n n2.15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在以下三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a，b，m，n 均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2( a2＋b2)＝4ab ＋2(a2＋b2)＝2( a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝2时等号建立)．B．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 订交于e O 内一点E，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则P E＝__________.答案： 6解析：∠C 与∠A 在同一个e O 中，所对的弧都是B?D，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．∴∠APE PD＝∠PED．又∠P＝∠P，∴△PED∽△PAE，则PA PE＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝ 6 .2＝3×2＝6，∴PE＝ 6 .2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA，∴PE2＋y2－x＝0 的参数方C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 程为__________．6 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版答案：xy2cos ,sin cos(θ为参数)解析：由三角函数定义知yx＝tan θ(x≠0)，y＝xtan θ，由x2＋y2－x＝0 得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝12 1 tan2θ，则y＝xtan θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ，又＝cosπ时，x＝0，y＝0 也合适题意，故参数方2x 程为y2cos ,sin cos(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题，共75 分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12 分)已知向量a＝数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；1cos ,x ，b＝( 3 sin x，cos 2x )，x∈R，设函2(2)求f(x)在0, π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝1cosx ,·( 3 sin x，cos 2x)2＝ 3 cos xsin x－12cos 2x＝32sin 2x－12cos 2x＝ππcos sin 2x sin cos 2x6 6＝πsin 2x .62π2π(1)f (x)的最小正周期为T ，π2即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π，27 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版∴ππ5π2x .由正弦函数的性质，6 6 6当ππ2x ，即6 2πx时，f(x)获得最大值1.3当ππ2x ，即x＝0时，f(0)＝6 612，当π 52x π，即6 6πx时，2π 1f ，2 2∴f(x)的最小值为1 2 .所以，f(x)在0, π2上最大值是1，最小值是12.17．(2013陕西，理17)(本小题满分12 分)设{ a n} 是公比为q的等比数列．(1)推导{ a n} 的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{ a n＋1} 不是等比数列．(1)解：设{a n} 的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋⋯＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋⋯＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋⋯＋a1q n，②①－②得，(1－q) S n＝a1－a1qn，∴Snna1 1 q1 q，∴na ,q 1,1nS a qn111 q,q 1.(2)证明：假设{ a n＋1} 是等比数列，则对任意的k∈N＋，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)( a k＋2＋1)，2a ＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，k 1a12q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2qk＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴假设不能够立，故{ a n＋1} 不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12 分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 .8 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1 与平面BB1D1D 的夹角θ的大小．(1)证法一：由题设易知OA，OB，OA1 两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB＝AA1＝ 2 ，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1,0,0) ，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．u u u u r u u u r由＝AB ，易得B1(－1,1,1)．A B1 1u u u r u u u r∵＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，AC1u u u rBB＝(－1,0,1)，1u u u r u u u r uu u r uu u r∴·＝0，AC ·BD＝0，A1C BB1 1∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又∵ABCD 是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又∵OA1 是AC 的中垂线，∴A1A＝A1C＝ 2 ，且AC＝2，∴AC2＝AA12＋A1C2，∴△AA1C 是直角三角形，∴AA1⊥A1C．9 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．(2)解：设平面OCB1 的法向量n＝(x，y，z)，u u u r uuur ∵OC＝(－1,0,0)，O B1＝(－1,1,1)，u u u rn OC x 0, x 0,∴u u ur∴y z.n OB x y z 0,1取n＝(0,1，－1)，uu u r由(1)知，A1C＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D 的法向量，u u u r1 1∴cos θ＝|cos〈n，A1C〉|＝.2 2 2又∵0≤θ≤π，∴2π.319．(2013陕西，理19)(本小题满分12 分)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须互相独立地在选票上选3名歌手，此中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3 至5 号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有独爱，所以在 1 至5 号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示3 号歌手获得观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学希望．解：(1)设A表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则P(A)＝1C 222C 33，P(B)＝2C 343C 55.∵事件A 与B 互相独立，∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为P(A B )＝P(A) ·P( B )＝P(A) ·[1－P( B)] ＝2 2 43 5 15 . 或P AB1 3C C 42 4.2 3C C 153 5(2)设C表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则P(C)＝2C 343C 55，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝1 2 2 4 P( ABC) ，3 5 5 75P(X＝1)＝P (ABC ) P( ABC ) P( ABC )＝2 2 2 1 3 2 1 2 3 203 5 5 3 5 5 3 5 5 75，P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝2 3 2 2 2 3 1 3 3 333 5 5 3 5 5 3 5 5 75，P(X＝3)＝P(ABC )＝2 3 3 183 5 5 75，∴X 的分布列为X 0 1 2 3P 475207533751875∴X 的数学希望4 20 33 18 140 28 EX＝0 1 2 3 .75 75 75 75 75 1510 / 1420．(2013陕西，理20)(本小题满分13 分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹 C 交于不一样样的两点P，Q，若x轴是∠PBQ 的角均分线，证明直线l过定点．(1)解：如图，设动圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1 不在y轴上时，过O1 作O1H⊥MN 交MN 于H，则H是MN 的中点，2 2∴|O M | x 4 ，又12 2 |O A| x 4 y ，1∴ 2 2 2 2x 4 y x 4 ，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1 在y轴上时，O1 与O 重合，点O1 的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为y2＝8x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q( x2，y2)，将y＝kx＋b 代入y2＝8x 中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，此中Δ＝－32 k b＋64＞0.11 / 14由求根公式得，x1＋x2＝82bk2k，①x1x2＝2b2k，②由于x轴是∠PBQ 的角均分线，所以y y1 2x1 1 x2 1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)( x2＋1)＋(kx2＋b)( x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．x，x∈R. 21．(2013陕西，理21)(本小题满分14 分)已知函数f(x)＝e(1)若直线y＝kx＋1 与f(x)的反函数的图像相切，务实数k 的值；(2)设x＞0，议论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；f a f b(3)设a＜b，比较2 与f b f ab a的大小，并说明原由．解：(1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x.设直线y＝kx＋1 与g(x)＝ln x 的图像在P( x0，y0)处相切，则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝1x，解得x0＝e 2，2，1 k .2ex 与y＝mx2 的公共点个数等于曲线(2)曲线y＝e yxe2x与y＝m 的公共点个数．令xxe2x，则(x)e2x xx x3x，∴φ′(2)＝0.当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ( x)在(0,2)上单调递减；12 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递加，∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为(2)2 e 4.当0＜m＜2e4时，曲线yxe2x与y＝m 无公共点；当当2 xe em时，曲线y 2与y＝m 恰有一个公共点；4 x2e 1m时，在区间(0,2)内存在x1，使得φ(x1)＞m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)4 m＞m.由φ(x)的单调性知，曲线yxe2x与y＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x＞0时，若0＜m＜2e4，曲线y＝f(x)与y＝mx2 没有公共点；若2em ，曲线y＝f(x)与y＝mx2 有一个公共点；4若2em ，曲线y＝f(x)与y＝mx2 有两个公共点．4(3)解法一：能够证明f a f b f b f a2 b a.事实上，f a f b f b f a2 b aa b b ae e e e2 b ab a ab a e e b a 2e b a 21 1b a b a b a2 e e 2 e e 2 e 1(b＞a)．(*)令x 2(x) 1(x≥0)，x2 e 1则x x 2 x x 21 2e e 1 4e e 1(x) 0(仅当x＝0时等号建立)，x 2 x 2 x 22 e 1 2 e 1 2 e 1∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递加，∴x＞0时，ψ(x)＞ψ(0)＝0.13 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版令x＝b－a，即得(*) 式，结论得证．b a b af a f b f b f a e e e e解法二：2 b a 2 b ab a b a b abe be ae ae 2e 2e＝2 b a＝2aeb a[( b－a)e b－a＋(b－a)－2eb －a＋2]，b－a＋(b－a)－2e b－a＋2]，设函数u(x)＝xex＋x－2e x＋2(x≥0)，则u′( x)＝ex＋xe x＋1－2e x，令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋e x＋xe x－2e x＝xe x≥0(仅当x＝0时等号建立)，∴u′(x)单调递加，∴当x＞0时，u′(x)＞u′(0)＝0，∴u( x)单调递加．当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.令x＝b－a，则得( b－a)eb－a＋(b－a)－2e b－a＋2＞0，b a b a e e e e ∴2 b a >0，所以，f a f b f b f a2 b a.14 / 14。
2013年陕西高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则M R ð为 ( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1) C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【测量目标】函数的定义域，集合的基本运算. 【考查方式】根据根式定义，直接求解定义域. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】要使函数()f x =1－20x …，（步骤1）∴－1…x …1，则M ＝[－1,1]，M R ð＝(－∞，－1) (1，＋∞)．故选D.（步骤2）2．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为 （ ）第2题图A ．25B ．30C ．31D ．61 【测量目标】分段函数，选择结构的程序框图.【考查方式】由算法语句读出其功能，再利用分段函数的解析式求函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ⎧=⎨+(-)>⎩…（步骤1）∴当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故选C.（步骤2）3．设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【考查方式】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1） 若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4） 综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【测量目标】系统抽样.【考查方式】根据系统抽样的方法结合不等式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】抽样间隔：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ， 则第k 段抽取的号码为：l ＋(k －1) 20,1…l …20,1…k …42；（步骤1） 令481…l ＋(k －1) 20…720，得25＋120l -…k …37－20l.由1…l …20，（步骤2）则25…k …36.满足条件的k 共有12个．（步骤3）5．如下图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 ()第5题图A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型进行求解. 【难易程度】容易【试题解析】取面积为测度，则所求概率为：P ＝2121π12π4124FABCD ADE CB ABCDS S S S ⨯-⨯⨯⨯--==-矩形扇形扇形矩形.6．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假．命题是 ( ) A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z =D ．若12z z =，则2212z z = 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，若120z z -=，则12z z =，故12z z =，真命题；（步骤1） 选项B ，若12z z =，则122z z z ==，真命题；（步骤2） 选项C ，12z z =2212z z ⇒=1122z z z z ⇒= ，真命题；（步骤3） 选项D ，如令1z ＝i ＋1，2z ＝1－i ，满足|1z |＝|2z |，而1z 2＝2i ，2z 2＝－2i ，假命题．（步骤4） 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【测量目标】利用正弦定理判断三角形的形状.【考查方式】利用正弦定理的变形将角的正弦值转化为三角形三角之间的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，（步骤1） 即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形．（步骤2） 8．设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,,…则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 （ ） A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 【测量目标】分段函数，二项式定理.【考查方式】利用分段函数的解析式和二项式的通项公式进行求解. 【难易程度】中等【试题解析】 f (x )＝610,0,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,… 当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66(f ⎛== ⎝，（步骤1）663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛==-=- ⎝，（步骤2） 令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.（步骤3）9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ()第9题图A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 【测量目标】几何证明.【考查方式】利用三角形相似和面积比例关系求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设矩形另一边长为y ，如图所示： 由三角形相似知：404040x y -=，∴ y ＝40－x . xy …300，∴x (40－x ) …300，解得10…x …30，故选C ．第9题图10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]…[x ]＋[y ] D ．[x －y ]…[x ]－[y ]【测量目标】定义新运算.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1） 选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.故选D （步骤3）第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11. 双曲线222116x y m-=的离心率为54，则m 等于 . 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质以及离心率求解未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又54c e a ==5c ∴=22225169,3b c a b ∴=-=-=∴=即3m =．12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．第12题图【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】利用三视图，想象出几何体，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】π3【试题解析】由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则21π12π323SABV⨯⨯⨯==几何体.第12题图13．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】作出可行域，数形结合求解.【难易程度】中等【参考答案】4-【试题解析】如图，由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-⎧⎨-+<⎩…及y＝2画出可行域如图阴影部分所示，（步骤1）令2x－y＝z，⇒y＝2x－z，（步骤2）画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最小，即minz＝2×(－1)－2＝－4.（步骤3）第13题图14．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为__________．【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【难易程度】较难【参考答案】2222121121234(1)(1)n n n n n (+)----＋＋＋＋…＋＝【试题解析】第n 个等式的左边第n 项应是()11n +-n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋()11n +-n 2＝()11n +-12n n (+). 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．【测量目标】基本不等式求最值. 【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)…2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2当且仅当m ＝n “＝”.∴所求最小值为2.B ．(几何证明选做题)如下图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.第15题B 图【测量目标】三角形相似.【考查方式】通过逻辑推理判定三角形相似即可求出答案. 【难易程度】较难【试题解析】 ∠C 与∠A 在同一个圆O 中，所对的弧都是弧BD ⇒∠C ＝∠A .（步骤1） 又 PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．（步骤2） 又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A PD ．（步骤3）又 PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE （步骤4）C ．(坐标系与参数方程选做题)如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．第15题C 图【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用直角坐标方程和参数方程的转化求解参数方程. 【难易程度】中等【参考答案】2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)【试题解析】由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)⇒y ＝x tan θ，（步骤1） 由x 2＋y 2－x ＝0⇒x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，（步骤2） 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意， 故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．（步骤3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()=f x a b .(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【难易程度】容易 【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（1）()f x 最小正周期为2πT ω=2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3） 由正弦函数图象的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5）当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 【测量目标】等比数列的n 项和公式，反证法.【考查方式】利用等比数列的通项公式及概念推导前n 项和公式；利用反证法证明要证的结论. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；（步骤1） 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，（步骤2）∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩（步骤3）(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k *∈N ，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1 a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，（步骤4）∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.（步骤5）又∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，（步骤6）∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．（步骤7）18．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．第18题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用.【考查方式】利用直线的方向向量与平面内的向量垂直判定线面垂直，进而求出法向量，求解二面角. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图， ∵AB ＝AA 1OA ＝OB ＝OA 1＝1，（步骤1） ∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．11A B ＝AB，∴B 1(－1,1,1)．（步骤2） ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB＝(－1,0,1)，∴1AC BD ＝0，1AC 1BB＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）第18题（1）图证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．（步骤1） 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，（步骤2） ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又1BB BD B = ,∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧=-=⎪⎨=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩（步骤4）取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，（步骤5） ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0…θ…π2，∴π3θ=.（步骤6）19．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望【考查方式】利用古典概型和独立事件的概率求解概率进而求解分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.（步骤1） ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为：P (A B )＝P (A ) P (B )＝P (A ) [1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫()== ⎪⎝⎭ 或（步骤2） (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，（步骤3） ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为：P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，（步骤4） ∴X 的分布列为（步骤5）∴X 的数学期望4203318140280123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.（步骤6） 20． (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【测量目标】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题.【考查方式】利用曲线方程求解轨迹方程，进一步与直线方程联立求解定点.【难易程度】较难【试题解析】（1）如图（a ），设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A =，（步骤1）=y 2＝8x (x ≠0)．（步骤2） 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .（步骤3）第20题（1）图（a ）(2)如图（b ），由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，⇒∆＝－32kb ＋64＞0.（步骤4）由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，②（步骤5） x 轴是∠PBQ 的角平分线，⇒121211y y x x =-++，（步骤6） 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③（步骤7）将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时∆＞0，（步骤8）∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．（步骤9）第20题（2）图（b ）21. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由． 【测量目标】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数.【考查方式】利用导数的几何意义求解切线斜率，利用零点判断公共点个数，利用分析法求证不等式.【难易程度】较难【试题解析】(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21e k =. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x =与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0x …)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ϕ(+)-(-)'=-==(+)(+)(+)…(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ϕ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ϕ(x )＞ϕ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a ) b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x …0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝0x xe …(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-.。
2013年陕西高考理科数学试题及答案
20XX XX 高考理科数学试题与答案注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写XX 、XX 号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〔本大题共10小题，每小题5分，共50分〕1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C),1][1,)(∞-⋃+∞-(D),1)(1,)(∞-⋃+∞-[答案]D[解析]),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MR C M x x 即,所以选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A)25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 [答案]C[解析]31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·〞是“a //b 〞的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件[答案]C[解析]。
θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a若1cos ||||||±=⇒⋅=⋅θb a b a ,b //a 0，即或的夹角为与则向量πb a 为真； 相反，若b a //，则||||||0b a b a b a ⋅=⋅，即或的夹角为与向量π。
所以“||||||=a a b b ·〞是“a //b 〞的充分必要条件。
另：当b a 或向量为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 [答案]B[解析]使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
(完整版)2013年陕西高考理科数学试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )＝21x -的定义域为M ，则R M 为()．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝610,0,x x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．159．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于e O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．答案：D解析：要使函数f (x )＝21x -有意义，则1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．答案：C 解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l .由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．5．答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124F ABCD ADE CB ABCD S S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝x -＜0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝. 663221666C (1)C (1)C r r r r r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12． 答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4.14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+) 解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个e O 中，所对的弧都是»BD，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE . C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x ＝ππcos sin 2sin cos 266x x - ＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质， 当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-， 当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-. 17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q =⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩ (2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B u u u u r ＝AB u u u r ，易得B 1(－1,1,1)． ∵1AC u u u r ＝(－1,0，－1)，BD u u u r ＝(0，－2,0)， 1BB u u u r ＝(－1,0,1)， ∴1AC u u u r ·BD u u u r ＝0，1AC u u u r ·1BB u u u r ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．(2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵OC u u u r ＝(－1,0,0)，1OB u u u r ＝(－1,1,1)， ∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u r u u u r n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)， 由(1)知，1AC u u u r ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC u u u r 〉|12=. 又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=. ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=， ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A = = 化简得y ＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y y x x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ， 解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e x y x=与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x x ϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点； 当2e 4m =时，曲线2e xy x=与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点； 若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b a b a +->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e e a b a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b ab b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.。
2013年高考数学理(陕西卷)WORD解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1) (C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】()f x 的定义域为M=[-1,1],故C R M=(,1)(1,)-∞-⋃+∞,选D 2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C3.设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D)【答案】A 【解析】4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。
5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和 扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工 作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 (A)14π-(B)12π- (C) 22π-(D)4π【答案】A 【解析】由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-故所求概率为22124ππ-=-，选A. 6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =【答案】D【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，,a c b d ==，所以12z z =，故A 项正确；若12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故B 项正确；若12||||z z =，则2222a b c d +=+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A =,所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形。
2013年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集为R,函数()f x =M, 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞- 【答案】D【解析】),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MRC M x x 即,所以选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时输出y 的值为 (A) 25 (B) 30(C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C3. 设a, b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a//b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】。
θcos ||||⋅⋅=⋅若1cos ||||||±=⇒⋅=⋅θb a b a ,b //a 0，即或的夹角为与则向量πb a 为真； 相反，若//，则||||||0b a b a b a ⋅=⋅，即或的夹角为与向量π。
所以“||||||=a a b b ·”是“a//b ”的充分必要条件。
另：当b a 或向量为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12(C) 13(D) 14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
2013年陕西省高考数学试卷（理科）
2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.（5分）设全集为R,函数f（x）=S7成的定义域为M,则[r M为（）A.[-1,1]B.（-1,1）C.（-8,-1）u（1,+8）D.（-8,-1]U[1,+8）2.（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）；输入x::Ife<50Then;!7=0.5*乂；Else::y=25+0.6*（x-50）::Endlf:输出y:!_________________?A.25B.30C.31D.613.（5分）设搭，E为向量，则|斯0=后10是“项〃E”的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481, 720]的人数为（）A.11B.12C.13D.145.（5分）如图，在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）D6.（5分）设％,Z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若|Z1-z2|=0,则汀云B.若z『云，则*21=I Z2I>则Z1»~=Z2«~ D.若I Z11=I Z2|>则Z12=Z22C.若|Z17.（5分）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB二asinA,则^ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定']68.（5分）设函数f（x）=<"=■）',则当x>0时，f[f（x）]表达式的."VL x》0展开式中常数项为（）A.-20B.20C.-15D.159.（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）40wA.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]10.（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y,有（）A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]C.[x+y]W[x]+[y]D.[x-y]W[x]-[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）22（-11.（5分）双曲线L-L1的离心率为旦，则m等于_______16m412.（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为.13.（5分）若点（x,y）位于曲线y=|x-11与y=2所围成的封闭区域，则2x-y 的最小值为.14.（5分）观察下列等式：12=1I2-22=-3I2-22+32=6I2-22+32-42=-10照此规律，第n个等式可为.选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15.（5分）（不等式选做题）已知a,b,m,n均为正数，且a+b=l,mn=2,贝J（am+bn）（bm+an）的最小值为.16.（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于。
2013年陕西省高考数学试卷(理科)
2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．613．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z 1﹣z2|=0，则= B．若z1=，则=z2C．若|z 1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z227．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定8．（5分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．159．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]10．（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y 的最小值为．14．（5分）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为．16．（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．17．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f （x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．19．（12分）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A 1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．23．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．2013年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则∁R M为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集为R，所以∁R M=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25 B．30 C．31 D．61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值．当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，故选：C．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．3．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题．4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．5．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=同理可得，扇形CBF的在，面积S2=又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P===1﹣故选：A．【点评】本题给出矩形ABCD内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题．6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z 1﹣z2|=0，则= B．若z1=，则=z2C．若|z 1|=|z2|，则z1•=z2•D．若|z1|=|z2|，则z12=z22【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．【解答】解：对（A），若|z 1﹣z2|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则z 1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，所以为假．故选：D．【点评】本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．8．（5分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15【分析】依题意，可求得f[f（x）]=，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．9．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，由，得y=40﹣x，∴x（40﹣x）≥300，解得10≤x≤30．故选：C．【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．10．（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）A．[﹣x]=﹣[x]B．[2x]=2[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．故D选项为真．故选：D．【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于9．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积．故答案为：．【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y 的最小值为﹣4．【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．【解答】解：如图，封闭区域为三角形．令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2），把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值；所以z min=2×（﹣1）﹣2=﹣4，故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单线性规划以及利用线性规划求函数的最值．属于基础题．14．（5分）观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为．【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．【解答】解：观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．综上，第n个等式为．故答案为：．【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15．（5分）（不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2．【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当时成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2=mn（a+b）2=2×1=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2．故答案为：2．【点评】本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识，属于基础题．16．（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．17．（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为，θ∈R，且θ≠．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，∴OP=2r•cosθ=cosθ，∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ，则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．故答案为：，θ∈R，且θ≠【点评】此题考查了圆的参数方程，涉及的知识有：圆的标准方程，锐角三角函数定义，以及解直角三角形，弄清题意是解本题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f （x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．（12分）设{a n}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{a n}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{a n+1}不是等比数列．【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；（II）分①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，使用反证法即可证明．【解答】解：（I）当q=1时，S n=na1；当q≠0，1时，由S n=a1+a2+…+a n，得qS n=a1q+a2q+…+a n﹣1q+a n q．两式错位相减得（1﹣q）S n=a1+（a2﹣a1q）+…+（a n﹣a n﹣1q）﹣a n q，（*）由等比数列的定义可得，∴a2﹣a1q=a3﹣a2q= 0∴（*）化为（1﹣q）S n=a1﹣a n q，∴．∴；（Ⅱ）用反证法：设{a n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a n+1}是等比数列．①当存在n∈N*，使得a n+1=0成立时，数列{a n+1}不是等比数列．②当∀n∈N*（n≥2），使得a n+1≠0成立时，则==，化为（q n﹣1﹣1）（q﹣1）=0，∵q≠1，∴q﹣1≠0，q n﹣1﹣1≠0，故矛盾．综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力．20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A 1O⊥平面ABCD，．（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，在Rt△A 1OA中，∵，∴A1O=1．设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），．由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，，．设平面OCB1的法向量为，由，得，取z=﹣1，得x=1．∴．则=．所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，∴P（A）=，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P（X=3）=•（）2=，X的分布列如下：∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分线的性质可得k PB=﹣k QB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．当x=0时，也满足上式．∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k PB=﹣k QB，∴，∴，化为8+y1y2=0．直线PQ的方程为，∴，化为，化为，y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，∴直线PQ过定点（1，0）【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．23．（14分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．（Ⅲ）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；（III）利用作差法得===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．【解答】解：（I）函数f（x）=e x的反函数为g（x）=lnx，∴．设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，∴k=e﹣2．（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=，则，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．∴当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当时，曲线y=f （x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．（Ⅲ）===，令g（x）=x+2+（x﹣2）e x（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）e x．g′′（x）=xe x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•e x＞0，且a＜b，∴，即当a＜b时，．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷理科数学(2013年陕西省高考理科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试陕西省理科数学第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分).1.设全集为R，函数f(x)＝√1﹣x2的定义域为M，则∁R M为().A．[﹣1，1]B．(﹣1，1)C．(﹣∞，﹣1]∁[1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∁(1，＋∞)答案：D解析：要使函数f(x)＝√1﹣x2有意义，则1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1，则M＝[﹣1，1]，∁R M＝(﹣∞，﹣1)∁(1，＋∞).答案：C解析：由算法语句可知y＝{0.5x，x≤50，25＋0.6(x﹣50)，x>50，所以当x＝60时，y＝25＋0.6×(60﹣50)＝25＋6＝31.3.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∁b”的().A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：若a与b中有一个为零向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∁b”的充分必要条件;若a与b都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∁B ．若a ∁b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∁b ”的充分必要条件.4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( ). A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 答案：B解析：840÷42＝20，把1，2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k ﹣1)·20，1≤l≤20，1≤k≤42.令481≤l ＋(k ﹣1)·20≤720，得25＋1﹣l20≤k≤37﹣l20.由1≤l≤20，则25≤k≤36.满足条件的k 共有12个.5.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( ).A ．1﹣π4B ．π2﹣1 C ．2﹣π2 D ．π4答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为P ＝S 矩形ABCD ﹣S 扇形ADE ﹣S 扇形CBFS 矩形ABCD＝2﹣π22＝1﹣π4.6.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ). A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22答案：D解析：对于选项A ，若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，正确;对于选项B ，若z 1＝z 2，则z 1＝z =2＝z 2，正确;对于选项C ，z 1·z 1＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2，正确;对于选项D ，如令z 1＝i＋1，z 2＝1﹣i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝﹣2i ，故不正确.7.设∁ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则∁ABC 的形状为( ).A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∁b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∁sin (B ＋C)＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A>0，∁sin A ＝1，∁A ＝π2，故∁ABC 为直角三角形.8.设函数f(x)＝{(x ﹣1x )6，x <0，﹣√x ，x ≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( ).A ．﹣20B ．20C ．﹣15D ．15答案：A解析：当x>0时，f(x)＝﹣√x <0，则f[f(x)]＝(﹣√x ＋x )6＝(√x ﹣x )6.T r ＋1＝C 6r (√x )6﹣r·(x )r ＝(﹣1)rC 6r x6﹣r2·x ﹣r2＝(﹣1)r C 6r x 3﹣r .令3﹣r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(﹣1)3C 63＝﹣20.9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m )的取值范围是( ).A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.x40＝40﹣y40，则x ＝40﹣y ，y ＝40﹣x.由xy≥300，即x(40﹣x)≥300，解得10≤x≤30，故选C ．10.设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ). A ．[﹣x]＝﹣[x] B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x ﹣y]≤[x]﹣[y] 答案：D解析：对于选项A ，取x ＝﹣1.1，则[﹣x]＝[1.1]＝1，而﹣[x]＝﹣[﹣1.1]＝﹣(﹣2)＝2，故不正确;对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x]＝[3]＝3，2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确;对于选项C ，令x ＝﹣1.5，y ＝﹣2.5，则[x ＋y]＝[﹣4]＝﹣4，[x]＝﹣2，[y]＝﹣3，[x]＋[y]＝﹣5，故不正确;对于选项D ，由题意可设x ＝[x]＋β1，0≤β1<1，y ＝[y]＋β2，0≤β2<1，则x ﹣y ＝[x]﹣[y]＋β1﹣β2，由0≤β1<1，﹣1<﹣β2≤0，可得﹣1<β1﹣β2<1.若0≤β1﹣β2<1，则[x ﹣y]＝[[x]﹣[y]＋β1﹣β2]＝[x]﹣[y];若﹣1<β1﹣β2<0，则0<1＋β1﹣β2<1，[x ﹣y]＝[[x]﹣[y]＋β1﹣β2]＝[[x]﹣[y]﹣1＋1＋β1﹣β2]＝[x]﹣[y]﹣1<[x]﹣[y]，故选项D 正确.第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分).11.双曲线x 216−y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于__________. 答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又e ＝ca ＝54，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12.某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________.答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝13×π×22＝π3.13.若点(x ，y)位于曲线y ＝|x ﹣1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x ﹣y 的最小值为__________.答案：﹣4解析：由y ＝|x ﹣1|＝{x ﹣1，x ≥1，﹣x ＋1，x <1及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示.令2x ﹣y ＝z ，则y ＝2x ﹣z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A(﹣1，2)的直线l ，此时﹣z 最大，即z 最小＝2×(﹣1)﹣2＝﹣4. 14.观察下列等式 12＝112﹣22＝﹣3 12﹣22＋32＝612﹣22＋32﹣42＝﹣10……照此规律，第n个等式可为__________.答案：12﹣22＋32﹣42＋…＋(﹣1)n＋1n2＝(﹣1)n＋1·n(n＋1)解析：第n个等式的左边第n项应是(﹣1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，故有12﹣22＋32﹣42＋…＋(﹣1)n＋1n2＝(﹣1)n＋1n(n＋1)2.15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________.答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝√2时等号成立).B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于∁O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.答案：√6解析：∁C与∁A在同一个∁O中，所对的弧都是BD⏜，则∁C＝∁A．又PE∁BC，∁∁C＝∁PED．∁∁A＝∁PED．又∁P＝∁P，∁∁PED∁∁PAE，则PEPA ＝PDPE，∁PE2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∁PA＝PD＋DA＝3，∁PE2＝3×2＝6，∁PE＝√6.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2﹣x＝0的参数方程为__________.答案：{x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)解析：由三角函数定义知y＝tanθ(x≠0)，y＝x tanθ，由x2＋y2﹣x＝0得，x2＋x2tan2θ﹣x＝0，x＝11＋tanθ＝cos2θ，则y＝x tanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又θ＝π2时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为{x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数).三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分).16.(本小题满分12分)已知向量a ＝(cosx ，﹣12)，b ＝(√3sin x ，cos 2x)，x∁R ，设函数f(x)＝a ·B ． (1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，π2]上的最大值和最小值. 解：f(x)＝(cosx ，﹣12)·(√3sin x ，cos 2x)＝√3cos x sin x ﹣12cos 2x ＝√32sin 2x ﹣12cos 2x ＝cos π6sin 2x ﹣sin π6cos 2x ＝sin (2x ﹣π6).(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∁0≤x≤π2， ∁﹣π6≤2x ﹣π6≤5π6.由正弦函数的性质， 当2x ﹣π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x ﹣π6＝﹣π6，即x ＝0时，f (0)＝﹣12， 当2x ﹣π6＝5π6，即x ＝π2时，f (π2)＝12，∁f(x)的最小值为﹣12.因此，f(x)在[0，π2]上的最大值是1，最小值是﹣12. 17.(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;(2)设q≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. (1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1;当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ﹣1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①﹣②得，(1﹣q)S n ＝a 1﹣a 1q n ，∁S n ＝a 1(1﹣q n )1﹣q，∁S n ＝{na 1，q ＝1，a 1(1﹣q n )1﹣q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∁N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a k ＋12＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk ﹣1·a 1q k ＋1＋a 1q k ﹣1＋a 1q k ＋1， ∁a 1≠0，∁2q k ＝q k ﹣1＋q k ＋1. ∁q≠0，∁q 2﹣2q ＋1＝0， ∁q ＝1，这与已知矛盾，∁假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. 18.(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O∁平面ABCD ，AB ＝AA 1＝√2. (1)证明：A 1C∁平面BB 1D 1D;(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图.∁AB ＝AA 1＝√2， ∁OA ＝OB ＝OA 1＝1，∁A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣1，0，0)，D(0，﹣1，0)，A 1(0，0，1).由A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，易得B 1(﹣1，1，1). ∁A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，﹣1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，﹣2，0)， BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，1)， ∁A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∁A 1C∁BD ，A 1C∁BB 1，∁A 1C∁平面BB 1D 1D ．证法二：∁A 1O∁平面ABCD ，∁A 1O∁BD ．又∁ABCD 是正方形，∁BD∁AC ，∁BD∁平面A 1OC ，∁BD∁A 1C ．又∁OA 1是AC 的中垂线，∁A 1A ＝A 1C ＝√2，且AC ＝2，∁AC 2＝A A 12＋A 1C 2，∁∁AA 1C 是直角三角形，∁AA 1∁A 1C ．又BB 1∁AA 1，∁A 1C∁BB 1，∁A 1C∁平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∁OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，0)，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，1，1)， ∁{n ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝﹣x ＝0，n ·OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝﹣x ＋y ＋z ＝0，∴{x ＝0，y ＝﹣z .取n ＝(0，1，﹣1)，由(1)知，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，0，﹣1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∁cos θ＝|cos <n ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|＝√2×√212. 又∁0≤θ≤π2，∁θ＝π3.19.(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望. 解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝C 21C 32＝23，P (B )＝C 42C 53＝35. ∁事件A 与B 相互独立，∁观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A B )＝P(A)·P(B )＝P(A)·[1﹣P(B)]＝23×25＝415.(或P (AB )＝C 21·C 43C 32·C 53＝415.) (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝C 42C 53＝35，∁X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P(X ＝0)＝P(ABC )＝13×25×25＝475， P(X ＝1)＝P(A BC )＋P(A B C )＋P(AB C) ＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075，P(X ＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P(X ＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875， ∁X 的分布列为∁X 的数学期望EX ＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815. 20.(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)已知点B(﹣1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∁PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点.(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y)，由题意，|O 1A|＝|O 1M|，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H∁MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∁|O 1M|＝√x 2＋42，又|O 1A|＝√(x ﹣4)2＋y 2， ∁√(x ﹣4)2＋y 2＝√x 2＋42，化简得y 2＝8x(x≠0).又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ， ∁动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b(k≠0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk ﹣8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝﹣32kb ＋64>0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝8﹣2bk k 2，①x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∁PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝﹣y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b)(x 2＋1)＋(kx 2＋b)(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k)(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b)(8﹣2bk)＋2k 2b ＝0， ∁k ＝﹣b ，此时Δ>0，∁直线l 的方程为y ＝k(x ﹣1)， 即直线l 过定点(1，0).21.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝e x ，x∁R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k 的值; (2)设x>0，讨论曲线y ＝f(x)与曲线y ＝mx 2(m>0)公共点的个数; (3)设a<b ，比较f (a )＋f (b )2与f (b )﹣f (a )b ﹣a的大小，并说明理由. 解：(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.设直线y ＝kx ＋1与g(x)＝ln x 的图像在P(x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g'(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2，k ＝1e 2.(2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝e xx 2与y ＝m 的公共点个数. 令φ(x)＝e x x2，则φ'(x )＝e x (x ﹣2)x 3， ∁φ'(2)＝0.当x∁(0，2)时，φ'(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减;当x∁(2，＋∞)时，φ'(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∁φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e 24. 当0<m<e 24时，曲线y ＝e x x2与y ＝m 无公共点; 当m ＝e 24时，曲线y ＝e x x2与y ＝m 恰有一个公共点;当m>e 24时，在区间(0，2)内存在x 1＝√m，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m.由φ(x)的单调性知，曲线y ＝e xx2与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点.综上所述，当x>0时， 若0<m<e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点;若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点;若m>e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点. (3)解法一：可以证明f (a )＋f (b )2>f (b )﹣f (a )b ﹣a..事实上，f (a )＋f (b )2>f (b )﹣f (a )b ﹣a⇔e a ＋e b 2>e b ﹣e a b ﹣a⇔b ﹣a 2>e b ﹣e a e b ＋e a⇔b ﹣a 2>1﹣2e ae b ＋ea ⇔b ﹣a 2>1﹣2e b ﹣a ＋1(b>a ).(*) 令ψ(x)＝x2＋2e x ＋1﹣1(x ≥0)，则ψ'(x)＝12−2e x(e x ＋1)2＝(e x ＋1)2﹣4e x 2(e x ＋1)2＝(e x ﹣1)22(e x ＋1)2≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∁ψ(x)在[0，＋∞)上单调递增，∁x>0时，ψ(x)>ψ(0)＝0.令x ＝b ﹣a ，即得(*)式，结论得证.解法二：f (a )＋f (b )2−f (b )﹣f (a )b ﹣a＝e b ＋e a2−e b ﹣e a b ﹣a＝be b ＋be a ﹣ae b ﹣ae a ﹣2e b ＋2e a2(b ﹣a )＝e a2(b ﹣a )[(b ﹣a)e b ﹣a ＋(b ﹣a)﹣2e b ﹣a ＋2]，设函数u(x)＝x e x ＋x ﹣2e x ＋2(x≥0)，则u'(x)＝e x ＋x e x ＋1﹣2e x ，令h(x)＝u'(x)，则h'(x)＝e x ＋e x ＋x e x ﹣2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∁u'(x)单调递增，∁当x>0时，u'(x)>u'(0)＝0，∁u(x)单调递增.当x>0时，u(x)>u(0)＝0.令x ＝b ﹣a ，则得(b ﹣a)e b ﹣a ＋(b ﹣a)﹣2e b ﹣a ＋2>0， ∁e b ＋e a 2−e b ﹣e ab ﹣a >0，因此，f (a )＋f (b )2>f (b )﹣f (a )b ﹣a .。
2013年高考理科数学陕西卷-答案
【考点】平面向量的数量积运算，三角恒等变化
17.【答案】（Ⅰ）设 的前n项和为Sn，当 时， ；
当 时， ，①
，②
得， ，
∴ ，∴
（Ⅱ）证明：假设 是等比数列，则对任意的 ， ，
，
，
∵ ，∴
又∵ ，∴ ，
∴ ，这与已知矛盾，∴假设不成立，故 不是等比数列
∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为：
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴X的数学期望
【提示】（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为 ，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；
（Ⅱ）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望
（III）利用作差法得
，
令 ，利用导数研究其单调性即可证明
【考点】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数
【提示】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 的函数值
【考点】分段函数，选择结构的程序框图
3.【答案】C
【解析】若 若 ， 中有零向量，显然 ；若 ， 中均不为零向量，则
或0， ，即
若 ，则 或0， ，
其中若 ， 中有零向量也成立，即 ；
综上知：“ |”是“ ”的充分必要条件．
【考点】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用
19.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
2013年全国高考(理科)数学试卷(新课程1卷)解析
2013年陕西高考数学试题（理科）第一部分(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集为R ，函数21)(x x f -=的定义域为M ，则M C R 为（ ）A ．]1 , 1[-B ．)1 , 1(-C ．) , 1[]1 , (∞+--∞D ．) , 1()1 , (∞+--∞ 2、根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（ ） A ．25 B ．30 C ．31 D ．613、设a 、b 为向量，则“||||||b a b a ⋅=⋅”是“b a //”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1、2、 、840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间]720 , 481[的人数为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．145、如图，在矩形区域ABCD 的A 、C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．41π-B ．12-πC ．22π-D ．4π6、设1z 、2z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A ．若0||21=-z z ，则21z z =B ．若21z z =，则21z z =C ．若||||21z z =，则2211z z z z ⋅=⋅D ．若||||21z z =，则2221z z =7、设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定输入xIf x ≤50 Then y =0.5 * x Elsey =25+0.6*(x -50) End If 输出y8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=0 , 0 , )1()(4x x x x x x f ，则当0>x 时，)]([x f f 表达式的展开式中常数项为（ ） A ．-20 B ．20 C ．-15 D ．159、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于3002m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m ）的取值范围是（）A ．]20 , 15[B ．]25 , 12[C ．]30 , 10[D ．]30 , 20[ 10、设][x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x 、y ，有（ ）A ．][][x x -=-B ．][2]2[x x =C ．][][][y x y x +≤+D ．][][][y x y x -≤-二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应题号后的横线上．11、双曲线11622=-my x 的离心率为45，则m 等于__________．12、某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13、若点) , (y x 位于曲线|1|-=x y 与2=y 所围成的封闭区域，则y x -2的最小值为__________． 14、观察下列等式：112=；32122-=-；6321222=+-；1043212222=-+-； ；照此规律，第n 个等式可为__________．15、（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）A 、【不等式选做题】已知a 、b 、m 、n 均为正数，且1=+b a ，2=mn ，则))((an bm bn am ++的最小值为__________．B 、【几何证明选做题】如图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P ．已知22==DA PD ，则=PE __________．C 、【坐标系与参数方程选做题】如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆022=-+x y x 的参数方程为__________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．16、（本小题满分12分）已知向量)21, (cos -=x a ，)2cos , sin 3(x x b =（R x ∈），设函数b a x f ⋅=)(． （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在]2, 0[π上的最大值和最小值．17、（本小题满分12分）设}{n a 是公比为q 的等比数列． （1）推导}{n a 的前n 项和公式；（2）设1≠q ，证明：数列}1{+n a 不是等比数列．18、（本小题满分12分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，⊥O A 1平面ABCD ，21==AA AB ．OD 1B 1C 1DACBA 1（1）证明：⊥C A 1平面D D BB 11；（2）求平面1OCB 与平面D D BB 11的夹角θ的大小．19、（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分13分）已知动圆过定点)0 , 4(A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点)0 , 1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明：直线l 过定点．21、（本小题满分14分）已知函数x e x f =)(，R x ∈．（1）若直线1+=kx y 与)(x f 的反函数的图像相切，求实数k 的值； （2）设0>x ，讨论曲线)(x f y =与曲线2mx y =（0>m ）公共点的个数． （3）设b a <，比较2)()(b f a f +与ab a f b f --)()(的大小，并说明理由．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 【答案】D【解析】()f x 的定义域为M=[-1,1],故C R M=(,1)(1,)-∞-⋃+∞,选D【解析】),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MR C M x x 即,所以选D 2.【答案】C 【解析】31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C 3.【答案】c【解析】。
2013年陕西省数学高考试题答案和解析
2013年高考陕西省数学试题一．选择题1、设全集为R ，函数21)(x x f -=的定义域为M ，则M C R 为A 、[]1,1-B 、()1,1-C 、(),1[]1,+∞-∞-D 、(),1()1,+∞-∞-2、根据下列运算语句，当输入x 为60时，输出y 的值为A 、25B 、30C 、31D 、613、设b a ,为向量，则“b a b a =⋅”是“b a //”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 4、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人中做问卷调查，将840按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为A 、11B 、12C 、13D 、145、如图，在矩形区域ABCD 的A,C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是A 、41π-B 、12-πC 、22π- D 、4π6、设21,z z 是复数，则下列命题中的假命题是A 、若,021=-z z 则21z z =B 、若,21z z =则21z z =C 、若21z z =，则2211z z z z ⋅=⋅D 、若21z z =，则2221z z =7、设ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不确定8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=0,0,)1()(6x x x xx x f ，则当0>x 时，)]([x f f 表达式的展开式中常数项为A 、-20B 、20C 、-15D 、159、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于3002m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是A 、[15,20]B 、[12,25]C 、[10,30]D 、[20,30]10、设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x,y,有A 、[–x]=–[x]B 、[2x]=2[x]C 、[x+y]≤[x]+[y]D 、[x-y]≤[x]-[y] 二、填空题 11、双曲线11622=-my x 的离心率 为45，则m 等于 . 12、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 .If x ≤50 Then y=0.5﹡x Else y=25+0.6﹡(x-50) End if 输出y 5题21EABF DC1112题俯视图左视图主视图12X40m40m13、若点（x,y ）位于曲线1-=x y 与2=y 所围成的封闭区域，则y x -2的最小值为 . 14、观察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10......照此规律，第n 个等式可为 . 15、任选一题作答A 、（不等式选做题）已知n m b a ,,,均为正数，且,2,1==+mn b a 则))((an bm bn am ++的最小值为 .B 、（几何证明选做题）如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 做BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD=2DA=2,则PE=EDO PABCC 、（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆022=-+x y x 的参数方程为 三、解答题16、（本小题满分12分） 已知向量)21,(cos -=x a ，)2cos ,sin 3(x x b =，R x ∈，设函数b a x f ⋅=)(.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在]2,0[π上的最小值和最大值.17、（本小题满分12分） 设}{n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导}{n a 的前n 项和公式；（Ⅱ）设1≠q ，证明数列}1{+n a 不是等比数列. 18、（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD,AB=AA 1=2.（Ⅰ）证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D;（Ⅱ）求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小. 19、（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，有现场百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5号歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. （Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）x 表示3号歌手得到观众甲，乙，丙的票数之和，求x 的分布列和数学期望.20、（本小题满分13分）已知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点B(-1,0)，设不垂直于x 轴的直线L 与轨迹C 交于不同的两点P,Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线L 过定点.21、（本小题满分14分）已知函数R x e x f x∈=,)( （Ⅰ）若直线y=kx+1与)(x f 的反函数的图像相切，求实数Kd 的值;（Ⅱ）设x>0，讨论曲线)(x f y =与曲线2mx y =（)0>m 公共点的个数； （Ⅲ）设,b a <比较2)()(b f a f +与ab a f b f --)()(的大小，并说明理由.θPxyOC 1D 1B 1CABD A 1答案及解析一．选择题1、设全集为R ，函数21)(x x f -=的定义域为M ，则M C R 为A 、[]1,1-B 、()1,1-C 、(),1[]1,+∞-∞-D 、(),1()1,+∞-∞-解：1110122≤≤-⇒≤⇒≥-x x x()()+∞-∞-=⇒,11, M C R 选D2、根据下列运算语句，当输入x 为60时，输出y 的值为A 、25B 、30C 、31D 、61解：31)5060(6.0255060=-⨯+=⇒>=y x选C3、设b a ,为向量，则“b a b a =⋅”是“b a //”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 解： b a b a b a b a =><⋅=⋅,cos1,cos ±>=<⇒b a 或0=a 或0=b则b a //，反之也成立，故选C4、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人中做问卷调查，将840按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为A 、11B 、12C 、13D 、14解：840名职工中抽取42人，系统抽样应该分42组，每组20人，每组中抽取1人，在[481,720]中有720-480=240人，240÷20=12组，编号落入区间[481,720]的人数为12人.选B5、如图，在矩形区域ABCD 的A,C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是A 、41π-B 、12-πC 、22π-D 、4π解：矩形区域ABCD 的面积2，两个扇形区域面积和为π21，该地点无信号的概率是 ππ4112212-=-，选A 6、设21,z z 是复数，则下列命题中的假命题是 A 、若,021=-z z 则21z z = B 、若,21z z =则21z z =C 、若21z z =，则2211z z z z ⋅=⋅D 、若21z z =，则2221z z =解：设di c z bi a z +=+=21,，R d c b a ∈,,,A ：212122210,0)()(z z z z d b c a d b c a z z =⇒⎩⎨⎧=⇒=-=-⇒=-+-=- 正确 B ：⎩⎨⎧-==⇒-=+⇒=db ca di c bi a z z 21⎩⎨⎧+=-⇒=-=⇒di c bi a d b c a 21z z =⇒正确C ：221b a z +=2211))((b a bi a bi a z z +=-+=⋅ 正确If x ≤50 Then y=0.5﹡x Else y=25+0.6﹡(x-50) End if 输出y 5题21EABF DCD ：例如211=-=+i ii i i i 2)1(,2)1(22=+-=- 不成立 故选D7、设ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不确定 解：由正弦定理可得A ABC C B sin sin cos sin cos sin =+A CB 2sin )sin(=+因为A C B C B A -=+⇒=++ππ, 且π<+<C B 0则0sin )sin(≠=+A C B 0901sin =⇒=A A 选B8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=0,0,)1()(6x x x xx x f ，则当0>x 时，)]([x f f 表达式的展开式中常数项为A 、-20B 、20C 、-15D 、15解：61)()]([⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=x x x f x f f 常数项为20)1()(3336-=-xx C 选A9、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于3002m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是 A 、[15,20] B 、[12,25] C 、[10,30] D 、[20,30]解：设矩形的另一边长为y ，则x y y x -=⇒-=40404040 矩形面积S=x(40-x )≥300,得10≤x ≤30,选C10、设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x,y,有A 、[–x]=–[x]B 、[2x]=2[x]C 、[x+y]≤[x]+[y]D 、[x-y]≤[x]-[y] 解:例如x=2.8时，[2.8]=2，[-2.8]=-3,A 错 [2×2.8]=5，2×[2.8]=4 B 错 例如x=2.8，y=1.2时[2.8+1.2]=[4]=4, [2.8]+[1.2]=2+1=3 C 错 故选D 二、填空题11、双曲线11622=-m y x 的离心率为45，则m 等于 .解：2222)45(161616=+=⇒+=m a c m c 9=⇒m12、某几何体的三视图如图所示，则其体积为 . 解：半个圆锥，底面半径 为1，高为2， 体积 V=2123121⨯⨯⨯⨯π π31=13、若点（x,y ）位于曲线1-=x y 与2=y 所围成的封闭区域，则y x -2的最小值为 . 解：曲线1-=x y 与2=y 所围成的封闭区域如图，设直线y x z -=2过点（-1，2）时42-=-y x ；过点（3，2）时，,42=-y x 则y x -2的最小值为-4. 14、观察下列等式1112题俯视图左视图主视图12X40m40m (3,2)(-1,2)o (1,0)xy12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10......照此规律，第n 个等式可为 . 解：直接观察可得2)1()1()1(32111222+-=-+-+-++n n n n n 另解：当n 为偶数时22222)1(321n n --+-+-))1(()43()21(222222n n --+-+-=))1(()43()21(n n +---+-+-=)1(21)321(+-=++++-=n n n当n 为奇数数时22222)1(321n n +---+- 22222])1(321[n n +---+-= )1(21))1(2(21)1(21)]1(321[22+=--=+--=+-++++-=n n n n n n n n n n所以2)1()1()1(32111222+-=-+-+-++n n n n n 15、任选一题作答A 、（不等式选做题）已知n m b a ,,,均为正数，且,2,1==+mn b a 则))((an bm bn am ++的最小值为 .解：不等式中等号成立的条件， 取,2,21====n m b a ))((an bm bn am ++=2.则最小值是2.B 、（几何证明选做题）如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 做BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD=2DA=2,则PE=EDO PABC解：因为B C ∥PE,所以∠PED=∠BCE 又因为∠BAP=∠BCE,所以∠PED=∠BAP 因为∠APE 公用，所以△PE D ∽△P AE 所以62=⋅=⇒=PA PD PE PEPAPD PE PE=6C 、（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆022=-+x y x 的参数方程为 解：OQ=1 0P=cos θOM=OPcos θ, MP=OPsin θ 参数方程为）参数]2,2[(cos sin cos 2ππθθθθ-∈⎩⎨⎧==y x 也可）参数）（]2,2[(2sin 212cos 121ππθθθ-∈⎪⎩⎪⎨⎧=+=y x 三、解答题16、（本小题满分12分） 已知向量)21,(cos -=x a ，)2cos ,sin 3(x x b =，R x ∈，设函数b a x f ⋅=)(.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在]2,0[π上的最小值和最大值.θMQPxy解：（Ⅰ）x x x b a x f 2cos 21cos sin 3)(-=⋅=)62sin(2cos 212sin 23π-=-=x x x所以=)(x f )62sin(π-x最小正周期ππ==22T （Ⅱ）]2,0[π∈xπππ65626≤-≤-∴x 当262ππ=-x 即3π=x 时，最大值1)(m ax =x f当662ππ-=-x 即0=x 时，最小值21)(min-=x f17、（本小题满分12分）设}{n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导}{n a 的前n 项和公式；（Ⅱ）设1≠q ，证明数列}1{+n a 不是等比数列. 解：（Ⅰ）设}{n a 的前n 项和n s 当1=q 时，1na s n =当1≠q 时，n n a a a a s ++++= 321 因为1+=n n a q a所以q a q a q a q a qs n n ++++= 321 1432+++++=n a a a a 即11+-=-n n n a a qs sq q a q q a a s n n n --=--=1)1(111 所以⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na s n nn（Ⅱ）假设1≠q ，数列}1{+n a 是等比数列 则前三项也是等比数列，即有2)1)(1()1(112121121=+-++=+a q a q a q a a q a 得因为01≠a ,所以0122=+-q q ，则1=q 和已知1≠q 矛盾，即假设不成立，所以数列}1{+n a 不是等比数列.另解：假设1≠q ，数列}1{+n a 是等比数列 则)1)(1()1(221++=+++n n n a a a 即)1)(1()1(22++=+q a a q a n n n022=+-n n n a q a q a 得因为0≠n a ,所以0122=+-q q ，则1=q 和已知1≠q 矛盾，即假设不成立，所以数列}1{+n a 不是等比数列. 18、（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD,AB=AA 1=2.（Ⅰ）证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D;（Ⅱ）求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.OC 1D 1B 1CABD A 1解：（Ⅰ）有题设可知OA,OB,OA 1两两相互垂直，以O 点为原点，建立如图所示的坐标系， ∵AB=AA 1=2,∴0A=OB=OA 1=1,∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0) A 1(0,0,1)由AB B A =11,可得B 1(-1,1,1) ∵),1,0,1(1--=C A ),0,2,0(-=BD),1,0,1(1-=BB∴C A 10=⋅BD ,C A 101=⋅BB , ∴111,BB C A BD C A ⊥⊥ ∴D D BB C A 111平面⊥另证：∵A 1O ⊥平面ABCD,∴A 1O ⊥BD. 又∵四边形ABCD 是正方形，∴B D ⊥AC, ∴BD ⊥平面A 1OC, ∴BD ⊥A 1C. 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A=A 1C=2,且AC=2,21212CA AA AC +=∴ ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C 又BB 1∥AA 1, ∴D D BBC A 111平面⊥ （Ⅱ）设平面OCB1的法向量),,(z y x n = ∵),1,1,1(),0,0,1(1-=-=OB OC ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒=++-=⋅=-=⋅z y x z y x OB n x OC n 0001设)1,1,0(-=n ，由1知)1,0,1(1--=C A 是平面BB 1D 1D 的法向量，∴21221,cos cos 1=⨯=><=C A n θ 又∵.3,20πθπθ=∴≤≤19、（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，有现场百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5号歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. （Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）x 表示3号歌手得到观众甲，乙，丙的票数之和，求x 的分布列和数学期望.解：（Ⅰ）设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”， B 表示事件“观众乙选中3号歌手”则P(A)=322312=C C , P(B)=531063524==C C因为事件A 和事件B 是相互独立事件，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是154)531(32)()()(=-=⋅=B P A P B A P （Ⅱ）设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”P(C)=533524=C C∵x 的可能取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别是：P （x=0）=754525231)(=⋅⋅=C B A P7520535231525331525232)()()()1(=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++==C B A P C B A P C B A P x P7533535232535331525332)()()()2(=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++==C B A P BC A P C AB P x PP （x=3）=7518535332)(=⋅⋅=ABC P∴x 的分布列为x 0 1 2 3p7547520 7533 7518 x 的数学期望Ex=15287518375332752017540=⨯+⨯+⨯+⨯ 20、（本小题满分13分）已知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；OC 1D 1B 1C ABDA 1xyz（Ⅱ）已知点B(-1,0)，设不垂直于x 轴的直线L 与轨迹C 交于不同的两点P,Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线L 过定点.解：（Ⅰ）设圆心E （x,y ）则半径为22)4(y x AE +-=AE DE = 4=DFx EF =（x ≠0）由EFD Rt ∆可得22224)4(xy x +=+- 化简得x y 82=（x ≠0）当圆心在原点时，圆的半径为4，过点A （4，0）， 在y 轴上截得弦长为直径8，也满足，所以所求轨迹C 的方程为：x y 82= （Ⅱ）设直线L 的方程为：)0(≠+=k b kx y代入x y 82=得)82(222=+-+b x kb x k 06432>+-=∆kb设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，111+=x y k BP122+=x y k B Q 111+x y 122+-=x y 则0)1()1(1221=+++x y x y又因为b kx y +=11，b kx y +=22代入得02))((22121=++++b x x b k x kx又因为2221221,28k b x x k kb x x =-=+代入得 0228)(2222=+-++b kkbb k k b k 即02)28)((222=+-++bk kb b k kb得0=+b k ，此时064322>+=∆k L 的方程可化为)1(,-=-=x k y k kx y 即 所以直线L 过定点（1，0）.21、（本小题满分14分）已知函数R x e x f x ∈=,)( （Ⅰ）若直线y=kx+1与)(x f 的反函数的图像相切，求实数K 的值;（Ⅱ）设x>0，讨论曲线)(x f y =与曲线2mx y =（)0>m 公共点的个数； （Ⅲ）设,b a <比较2)()(b f a f +与ab a f b f --)()(的大小，并说明理由.解：（Ⅰ）)(x f 的反函数是x x g ln )(=设直线y=kx+1和函数)(x g 图像的切点是),(00y x 则001)(x x g k ='=，0000ln 211x x x y ==+= 20e x =∴ 21e k =（Ⅱ）曲线)(x f y =与曲线2mx y =的公共点个数就是方程)0(2>=m mx e x 解的个数，也就是曲线2xe y x=和直线m y =公共点的个数.32)2(x x e x e y x x -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 当)2,0(∈x 时，,0<'y 2x e y x=是减函数；当),2(+∞∈x 时，,0>'y 2x e y x=是增函数；∴2x e y x =在),0(+∞有最小值42min e y =∴当402e m <<时，曲线)(xf y =与曲线2mx y =无公共点；(x,y)(4,0)F DAo xyE PQo yxB当42e m =时，曲线)(xf y =与曲线2mx y =有1个公共点；当42e m >时，曲线)(xf y =与曲线2mx y =有2个公共点；（Ⅲ）证明：,0>-⇒<a b b a 设要2)()(b f a f +>ab a f b f --)()(成立即2b a e e +>a b e e a b --（ab e e >）成立也就是2a b ->a b a b e e e e +-⇔2a b ->a b ae e e +-21 2a b -⇔>121+--a b e 设函数1122)(-++=xe x x h （0≥x ） 0)1(2)1()1(221)(222≥+-=+-='x x x x e e e e x h∴)(x h 在[0，+∞）上是增函数，当0>x 时0)0()(=>h x h 而,0>-=a b x 所以2a b ->121+--a b e 即2)()(b f a f +>ab a f b f --)()(。
2013年高考陕西数学(理)试题解析版
各个知识块所占的分数如下：函数不等式三角函数数列立体几何解析几何概率统计算法、平面向量、复数、推理与证明选修24分（8,10,21）15分（1,9,13）17分（7,16）12分（17）17分（12,18）18分（11,20）22分（4,5,19）20分（2,3,6,14）5分（15）16% 10% 11.3% 8% 11.3% 12% 8% 10% 3.3% 整个试卷在明确考查“三基”（基础知识、基本技能、基本方法）、“五能力”（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力、创新能力）的基础上，更加突出中学数学主要知识的考查，更加突出数学思想方法的考查，更加突出数学与现实生活的联系.注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数2()1f x x =-的定义域为M, 则C M R 为 （ ）(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 （ ） (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【答案】：C【解析】：60,250.660-50)31x y =∴=+⨯=Q （,故选择C.解答要注意条件的运用和判断. 【学科网考点定位】本题考查算法程序，重点突出对条件语句的考查. 是容易题. 3. 设a, b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a//b ”的 （ ） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） (A) 11(B) 12(C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 （ ） (A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π【答案】：A【解析】：由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-故所求概率为6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ）(A) 若12||0z z -=, 则12z z =(B) 若12z z =, 则12z z =1DEF(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A+=, 则△ABC 的形状为 （ ）(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定题关键在于掌握正弦定理和三角恒等变换，准确运算是关键.【学科网考点定位】本题考查正弦定理和三角恒等变换，涉及正弦定理的变式、两角和的正弦公式、三角形内角和定理、诱导公式和特殊角的三角函数值等知识，属于中档题.8. 设函数41,00.,(),x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝-≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 （ ） (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是（）(A) [15,20] (B) [12,25](C) [10,30] (D) [20,30]10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）(A) [－x] ＝－[x] (B) [2x] ＝2[x](C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]【答案】D第二部分(共100分)本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 【答案】4-.【解析】作出曲线1-=x y 与2=y 所表示的区域，令z y x =-2，即z x y -=2，作直线x y 2=，14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222-=--+124310…照此规律, 第n个等式可为.15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为.【答案】2【解析】：由柯西不等式可得B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于Oe内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2,则PE＝.C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{1}n a 不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 12AB AA ==(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 的大小.系，找好线面的垂直关系.空间向量的解决对法向量求解不准确，二面角的锐角和钝角判断不准会导致结果错误.【学科网考点定位】本题考查空间直线现平面的位置关系和二面角问题，考查空间想象能力和推理论证能力.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望.则X 的分布列如下： X 0 1 2 3 P754 154 2511 256 152825632511215417540=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程; (Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.32640kb ∆=-+>的条件，以防多出结果.圆锥曲线问题经常与向量、三角函数结合，在训练中要注意.本题无论是求圆心的轨迹方程，还是求证直线过定点，计算量都不太大，对思维的要求挺高；设计问题背景，彰显应用魅力.【学科网考点定位】本题考查迹曲线方程求法、直线方程、圆方程、直线与圆的位置关系及直线过定点问题，属于中档题.21. (本小题满分14分)已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值;(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a<b, 比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小, 并说明理由.。
2013年高考理科数学(陕西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集为R，函数f(x)＝21x-的定义域为M，则MCR为．A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为A．25 B．30 C．31 D．613．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为．A．11 B．12 C．13 D．145．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定8．设函数f(x)＝61,0,x xxx x⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩,,则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为A．－20 B．20 C．－15 D．159．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是A．[15,20] B．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于__________． 12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为__________． 14．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为__________．15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．B ．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.C ．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16． (本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18． (本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．19． (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．20．(本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是 ∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．参考答案及其解析一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D解析：要使函数f (x )则1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31. 3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．5． 答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝＜0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝. 663221666C (1)C (1)C rr rrrr r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y，如图所示.404040x y-=，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C．10．答案：D解析：对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a＝4.又54cea==，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-≥⎧⎨-+<⎩及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·12n n(+)解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝12n n(+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋112n n(+).15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A．答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n)．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE .C ． 答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x ＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望0123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A ==化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk-，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以121211y yx x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ， 解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x x ϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b a b a +->-⇔ e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e e a b a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x xx x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]， 设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.。
13年高考真题——理科数学(陕西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为R , 函数()f x M , 则R M ð为（ ） （A ）[]1,1- （B ）()1,1- （C ）(][),11,-∞-+∞ （D ）()(),11,-∞-+∞2．根据右表算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( ) （A ）25 （B ）30 （C ）31 （D ）613．设,a b 为向量，则“||||||a b a b ⋅=”是“//a b ” 的( ) 条件 （A ）充分而不必要 （B ）必要而不充分 （C ）充分必要 （D ）既不充分也不必要4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,,840随机编号，则抽取的42人中， 编号落入区间[]481,720的人数为( ) （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．如图，在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常）。
若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无．信号的概率是（A ）14π-（B ）12π- （C ）22π-（D ）4π6．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是( )（A ）若12||0z z -=，则12z z = （B ）若12z z =，则12z z =（C ）若12||||z z =，则1122z z z z ⋅=⋅ （D ）若12||||z z =，则2212z z = 7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为( ) （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不确定8．设函数()()()()6100x x x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥， 则当0x >时，()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中常数项为( ) （A ）20- （B ）20 （C ）15- （D ）159．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于3002m 的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是（ ）输入 xIf x ≤ 50 Then y = 0.5 • x Elsey = 25 + 0.6 • x - 50()End If 输出 y（A ）[]15,20 （B ）[]12,25 （C ）[]10,30 （D ）[]20,30 10．设[]x 表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数,x y , 有（ ）（A ）[][]x x -=- （B ）[][]22x x = （C ）[][][]x y x y +≤+ （D ）[][][]x y x y -≤-二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．双曲线22116x y m-=的离心率为54，则m 等于__________。
2013年陕西省高考数学答案解析(包含理数和文数)
2013年陕西省高考数学卷答案第一部分 理数答案一、选择题：1、D2、C3、A4、B5、A6、D7、B8、A9、C 10、D 二、填空题：11、9 12、3/π 13、-414、()N *1n 21n 2222n 21n n 1n 14321∈+=+⋯+-+---++）（）（）（ 15： A 、2 ， B 、6 ， C 、πθθθ<≤=+=0,2sin 41y 2cos 4121x ；。
三、解答题: 16.17.解：18. 解：19. 解：20. 解：21. 解：第二部分 文数答案一、选择题1、B2、C3、B4、C5、D6、C7、A8、B9、A 10、D二、填空题 11、4512、π3 13、()*n )12(5312)()3)(2)(1(N n n n n n n n∈-⋅⋅⋅⋅=++++14、20 15、 A . R ， B. .6 ， C . (1, 0)三、解答题16、【解】：()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x 。
最小正周期ππ==22T 。
所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π。
(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以，f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.17、【解】：(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n )1(1-+=)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n nn n ++++++++=⇒⎩⎨⎧++++=++++=---- )21(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=⇒+=⇒. (Ⅱ) 1,011≠≠=q q a 由题知，。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R ,
函数()f x M , 则C M R 为
(A) [－1,1]
(B) (－1,1)
(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-
(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-
2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61
3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13
(D) 14
5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．
信号的概率是
(A)14
π
-
(B)
12
π
-
(C) 22π
-
(D) 4
π
6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =
(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =
(D) 若12||z z =, 则2122z z =
7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为
(A) 锐角三角形
(B) 直角三角形
(C) 钝角三角形
(D) 不确定
8.
设函数4
1,00.,
()x x f x x x ⎧⎛⎫
-<⎪ ⎪=⎝
≥⎭⎨⎪
⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20
(B) 20 (C) －15
(D) 15
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则
其边长x (单位m )的取值范围是
(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30]
(D) [20,30]
10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有
(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y
]
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线22116x y m
-=的离心率为5
4, 则m 等于 .
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.
13. 若点(x, y)位于曲线|1|
=-与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为.
y x
14. 观察下列等式:
2
=
11
22
-=-
123
222
-=
+
3
126
2222
+
-=-
310
-
124
…
照此规律, 第n个等式可为.
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为
.
x
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)
已知向量1
(cos ,),,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·
f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;
(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD
,
1AB AA ==
1
A
(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;
(Ⅱ
)
求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.
19. (本小题满分12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ
的角平分线, 证明直线l过定点.
21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a <b , 比较
()()2f a f b +与()()
f b f a b a
--的大小, 并说明理由.。