2018届中考数学一模试题(含解析)

山东省济南市平阴县2018届中考数学一模试题
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下面四个数中比﹣2小的数是（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
2．如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（）
A．20° B．40° C．50° D．60°
3．已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3克/厘米3，1.24×10﹣3用小数表示为（）A．0.000124 B．0.0124 C．﹣0.00124 D．0.00124
4．下列事件：①打开电视机，它正在播广告；②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球；③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13；④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上．其中为随机事件的是（）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．下列运算正确的是（）
A．（3xy2）2=6x2y4B．2x﹣2=
C．（﹣x）7÷（﹣x）2=﹣x5D．（6x2）2÷3xy=2xy3
6．如图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是（）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．下列二次三项式是完全平方式的是（）
A．x2﹣8x﹣16 B．x2+8x+16 C．x2﹣4x﹣16 D．x2+4x+16
8．数据1，2，x，﹣1，﹣2的平均数是0，则这组数据的方差是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，小正方形的边长均为1，则∠1的正切值为（）
A．B．C．D．
10．A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=kx+2（k＞0）图象上不同的两点，若t=（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）
A．t＜0 B．t=0 C．t＞0 D．t≤0
11．如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y=在第一象限内的图象经过OB 边的中点C，则点B的坐标是（）
A．（1，）B．（，1）C．（2，）D．（，2）
12．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）
A．B．C．
D．
13．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是=﹣1，
﹣1的差倒数是=．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是 a3
的差倒数，…，以此类推，则a2018为（）
A． B．C．3 D．1
14．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）
A．（，1）B．（1，﹣） C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）
15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．
正确的是（）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．）
16．分解因式：x3﹣2x2y+xy2= ．
17．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是．
18．不等式组的解集为．
19．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为．
20．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒
果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣，则图中CD的长为．
21．如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD=120°，
∠EAF=30°，则= ．
三、解答题（本大题共7个小题．共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）22．（1）化简：（a+b）（a﹣b）+2b2
（2）解方程：．
23．（1）已知：如图，点M在正方形ABCD的对角线BD上．求证：AM=CM．
（2）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4．求：cosC的值．
24．某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？
25．在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率．
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．
26．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
27．（1）如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BM⊥AC 于M．求证：PE+PF=BM．
（2）应用：如图2所示，已知菱形ABCD的对角线的交点为O，AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2018个不同的点P1，P2，P3，…P2018，过点P i（i=1，2，3，…2018）作P i E i⊥AB于E i，P i F i⊥AC于F i．计算P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…+P2018E2018+P2018F2018的值．
28．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C （0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写
出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
2018年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下面四个数中比﹣2小的数是（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．
【解答】解：∵正数和0大于负数，
∴排除A与B，即只需和C、D比较即可求得正确结果．
∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣3|=3，
∴3＞2＞1，即|﹣3|＞|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣3＜﹣2＜﹣1．
故选D．
【点评】考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
2．如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】先延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，利用两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，再利用外角性质求解．
【解答】解：如图，延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，
∵l1∥l2，∠1=120°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∴∠3=∠2﹣∠4=100°﹣60°=40°．
故选B．
【点评】本题主要考查作辅助线构造三角形，然后再利用平行线的性质和外角性质求解．
3．已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3克/厘米3，1.24×10﹣3用小数表示为（）A．0.000124 B．0.0124 C．﹣0.00124 D．0.00124
【考点】科学记数法—原数．
【专题】应用题．
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据“1.24×10﹣3中1.24的小数点向左移动3位就可以得到．
【解答】解：把数据“1.24×10﹣3中1.24的小数点向左移动3位就可以得到为0.001 24．故选D．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．
将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n 位所得到的数．
把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
4．下列事件：①打开电视机，它正在播广告；②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球；③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13；④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上．其中为随机事件的是（）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【考点】随机事件．
【分析】找到可能发生，也可能不发生的事件即可．
【解答】解：①④可能发生，也可能不发生为随机事件；②一定不会发生，是不可能事件③一定会发生，是必然事件．故选B．
【点评】用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．下列运算正确的是（）
A．（3xy2）2=6x2y4B．2x﹣2=
C．（﹣x）7÷（﹣x）2=﹣x5D．（6x2）2÷3xy=2xy3
【考点】整式的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】A、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用负指数幂法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的除法，以及乘方的意义计算得到结果，即可做出判断；
D、原式先计算乘方运算，再计算除法运算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=9x2y4，故选项错误；
B、原式=，故选项错误；
C、原式=（﹣x）5=﹣x5，故选项正确；
D、原式=36x2÷3xy=，故选项错误．
故选C．
【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．如图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是（）
A．4 B．6 C．7 D．8
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】根据相对的面相隔一个面得到相对的2个数，相加后比较即可．
【解答】解：易得2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的2个面，所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6．
故选B．
【点评】考查了正方体相对两个面上，解决本题的关键是根据相对的面的特点得到相对的两个面上的数字．
7．下列二次三项式是完全平方式的是（）
A．x2﹣8x﹣16 B．x2+8x+16 C．x2﹣4x﹣16 D．x2+4x+16
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为x2﹣8x+16，故A错误；
B、x2+8x+16，正确；
C、应为x2﹣4x+4，故C错误；
D、应为x2+4x+4，故D错误．
故选B．
【点评】本题主要考查完全平方公式的结构特点，需要熟练掌握并灵活运用．
8．数据1，2，x，﹣1，﹣2的平均数是0，则这组数据的方差是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】方差；算术平均数．
【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【解答】解：1+2+x﹣1﹣2=0，解得x=0，方差S2= [（1﹣0）2+（2﹣0）2+（0﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2]=2．
故选B．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=
[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
9．如图，小正方形的边长均为1，则∠1的正切值为（）
A．B．C．D．
【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【分析】首先由圆周角证得∠1=∠2，然后由三角函数的定义，求得答案．
【解答】解：如图，∵∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2=．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是关键．
10．A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=kx+2（k＞0）图象上不同的两点，若t=（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）
A．t＜0 B．t=0 C．t＞0 D．t≤0
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题；整体思想．
【分析】将A（x1，y1）、B（x2，y2）代入一次函数y=kx+2（k＞0）的解析式，根据非负数的性质和k的值大于0解答．
【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=kx+2（k＞0）图象上不同的两点，∴x1﹣x2≠0，
∴y1=kx1+2，y2=kx2+2
则t=（x1﹣x2）（y1﹣y2）
=（x1﹣x2）（kx1+2﹣kx2﹣2）
=（x1﹣x2）k（x1﹣x2）
=k（x1﹣x2）2，
∵x1﹣x2≠0，
k＞0，
∴k（x1﹣x2）2＞0，
∴t＞0，
故选C．
【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．代入解析式后，根据式子特点，利用非负数的性质解答．
11．如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y=在第一象限内的图象经过OB 边的中点C，则点B的坐标是（）
A．（1，）B．（，1）C．（2，）D．（，2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可设C点坐标为（t，），由于C点为OB 的中点，则B点坐标为（2t，），再根据等边三角形的性质得∠BOD=60°，利用正切
的定义得到tan60°==，即=•2t，然后解方程求出t即可得到B点坐标．
【解答】解：设C点坐标为（t，），作BD⊥OA，如图，
∵双曲线y=在第一象限内的图象经过OB边的中点C
∴B点坐标为（2t，），
∵△OAB为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴tan60°==，
∴=•2t，解得t=1（t=﹣舍去），
∴B点坐标为（2，2）．
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等边三角形的性质．
12．如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】数形结合．
【分析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP 的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
【解答】解：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．
13．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是=﹣1，
﹣1的差倒数是=．已知a1=﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是 a3的差倒数，…，以此类推，则a2018为（）
A． B．C．3 D．1
【考点】规律型：数字的变化类；倒数．
【分析】据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据余数的情况确定出与a2018相同的数即可得解．
【解答】解：∵a1=﹣，
∴a2==，
a3==3，
a4==﹣，
…
2018÷3=672．
∴a2018与a3相同，为3．
故选：C．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
14．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）
A．（，1）B．（1，﹣） C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】计算题．
【分析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q 作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出OM与MQ的长，即可确定出Q的坐标．【解答】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，
∴∠POQ=120°，
∵AP=OP，
∴∠BAO=∠POA=30°，
∴∠MOQ=30°，
在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，
∴MQ=1，OM=，
则P的对应点Q的坐标为（1，﹣），
故选B
【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
15．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．
正确的是（）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b ＜0，据此判断即可．
②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴为x=﹣＞0，
∴b＜0，
∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴结论③正确；
∵=﹣2，c=﹣1，
∴b2=4a，
∴结论④正确．
综上，结论正确的是：③④．
故选D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握平移的规律和二次函数的性质，解答此类问题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题3分，共18分．）
16．分解因式：x3﹣2x2y+xy2= x（x﹣y）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】常规题型．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，
=x（x2﹣2xy+y2），
=x（x﹣y）2．
故答案为：x（x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是 2 ．【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．
【解答】解：把x=0代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0中得：
m2﹣3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题过程中要注意一元二次方程的系数不能等于0．
18．不等式组的解集为﹣2≤x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x≥﹣2，
解②得：x＜2．
则不等式组的解集是：﹣2≤x＜2．
故答案是：﹣2≤x＜2．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边
形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为cm ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理求出CE，即可得出AC的长．
【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE=BC，
∵DE=2cm，
∴BC=4cm，
∵AB=AC，四边形DEFG是正方形．
∴△BDG≌△CEF，
∴BG=CF=1，
∴EC=，
∴AC=2cm．
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单．
20．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒
果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣，则图中CD的长为
．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】新定义．
【分析】首先令y=x2﹣=0，即可求出AB的长，进而得到OC的长，令x=0，求出y的值，进而得到OD的长，由CD=OC+DO即可求出答案．
【解答】解：令y=x2﹣=0，
解得x=1或﹣1，
即AB=2，
故CO=1，
令x=0，解得y=﹣，
即OD=，
所以CD=CO+OD=1+=，
故答案为．
【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，理解“果圆”的定义是解题的关键，此题难度不大．
21．如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD=120°，
∠EAF=30°，则= ．
【考点】菱形的性质．
【分析】利用菱形的性质对角线平分对角，结合勾股定理以及锐角三角函数关系表示出AB，AE的长，进而求出即可．
【解答】解：连接AC，过点E作EN⊥AB于点N，
∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上，∠BAD=120°，∠EAF=30°，
∴∠ABD=30°，∠EAC=15°，则∠BAE=45°，
∴设AN=x，则NE=x，AE=x，BN==x，
∴==．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，表示出AB，AE的长是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题．共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）22．（1）化简：（a+b）（a﹣b）+2b2
（2）解方程：．
【考点】整式的混合运算；解分式方程．
【分析】（1）首先利用平方差公式计算，进一步合并得出答案即可；
（2）利用解分式方程的方法与步骤求得方程的解即可．
【解答】解：（1）原式=a2﹣b2+2b2
=a2+b2；
（2）
方程两边同乘（x﹣1）得
x﹣2=2（x﹣1）
解得：x=0
经检验x=0是原方程的根．
【点评】此题考查整式的混合运算与解分式方程，掌握计算的方法u步骤是解决问题的关键．
23．（1）已知：如图，点M在正方形ABCD的对角线BD上．求证：AM=CM．
（2）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4．求：cosC的值．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）首先根据四边形ABCD是正方形，可得AD=CD，∠ADM=∠CDM=45°，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ADM≌△CDM，即可判断出AM=CM；
（2）连接OD，根据切线的性质可得∠ODC=90°，可得cosC的值．
【解答】（1）证明：∵四边形是ABCD正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADM和△CDM中，
∴△ADM≌△CDM（SAS）
∴AM=CM；
（2）解：连接OD，
∵CD为圆O的切线，
∴∠ODC=90°，
∵AB=4，
∴OA=OD=2，
∵AC=7
∴OC=5，
在Rt△COD中，根据勾股定理得 CD=，
∴cosC=．
【点评】（1）此题考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四
条对称轴．
（2）本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．①教师人数+学生人数=110人，②教师的总票钱+学生的总票钱2400元．根据题意列出方程组，解得答案．【解答】解：设在这次游览活动中，教师有x人，学生有y人，由题意得：
，
解得：，
答：在这次游览活动中，教师有10人，学生各有100人．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
25．在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率．
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．
【考点】游戏公平性；一次函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
【专题】压轴题．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）根据（1）求得小明胜与小红胜的概率，比较概率大小，即可确定游戏是否公平，只要概率等则公平，否则不公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，在函数y=﹣x+5的图象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
∴点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率为： =；
（2）∵x、y满足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x、y 满足xy＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况，
∴P（小明胜）==，P（小红胜）==，
∴P（小明胜）≠P（小红胜），
∴不公平；
公平的游戏规则为：若x、y满足xy≥6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
26．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比
例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB 的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1=1，x2=3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB 的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
27．（1）如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BM⊥AC 于M．求证：PE+PF=BM．
（2）应用：如图2所示，已知菱形ABCD的对角线的交点为O，AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2018个不同的点P1，P2，P3，…P2018，过点P i（i=1，2，3，…2018）作P i E i⊥AB于E i，P i F i⊥AC于F i．计算P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…+P2018E2018+P2018F2018的值．
【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）连接AP，可分别表示出△ABC、△ABP、△ACP的面积，根据面积相等可证得结论；
（2）连接AP1，根据菱形性质得出AB=AD，AO=OC=AC=1，AC⊥BD，得出等边三角形ABD，推出AD=AB=BD，根据三角形面积公式求出P1E1+P1F1=P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1，求出即可．
【解答】（1）证明：连结AP，
∵PE⊥AB PF⊥AC BM⊥AC
∴S△ABP=AB×PE，S△ACP=AC×PF
S△ABC=AC×BM，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
∴AB×PE+AC×PF=AC×BM，
∵AB=AC
∴PE+PF=BM；
（2）解：连接P1A，设AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=AC=×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S△ABD=S△ABP1+S△ADP1，
∴×BD×AO=AB×P1E1+×AD×P1F1，
∴P1E1+P1F1=AO=1，
同理P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1，
∴P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2018E2018+P2018F2018的值为2018×1=2018．
【点评】（1）本题主要考查等边三角形的性质及等积法，利用等积法得到AB•PE+AC•PF=AC•BM 是解题的关键．
（2）本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，关键是求出P1E1+P1F1=P2E2+P2F2=P3E3+P3F3=P4E4+P4F4=…=AO=1．
28．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C （0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．
（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=•PE•y P，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P为（﹣，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将x P'坐标代入解析式，判断是否为y P'即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴，
解得，
∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，有，
解得，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=•PE•y P=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣=﹣时，S取最大值．
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，。