等差中项
等差数列的中项项问题
等差数列的中项与中值一、等差三数有中项一个等差数列至少有3项，否则它不能构成等差数列.若3个数a 1、a 2、a 3成等差数列，则a 2称作a 1、a 3的中项.若5个数a 1、a 2、a 3、a 4、a 5成等差数列，则a 3既是a 2、a 4的中项. 同时，也是a 1、a 5的中项，如此等等.夹在数列的两项之间，并且与两项等距的项，称作给定两项的中项.【例1】判断等差数列a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6中能充当中项的数【解答】首项a 1不能充当中项；a 2是a 1和a 3的中项；a 3是a 1和a 5、a 2和a 4的中项； a 4是a 2和a 6、a 3和a 5的中项；a 5是a 4和a 6的中项；未尾a 6不能充当中项.【说明】相邻两项无中项；中间间隔为偶数项的两项无中项. 如例1中，a 2、a 3无中项，a 1、a 6无中项等等.二、等差中项的性质和判断若3个数a p 、a q 、a r （或等差数列中的某3项）成等差数列，则称中间的一项a q 为前后两项a p 和a r 的等差中项.容易知道，a q 为a p 和a r 等差中项的完全条件是：2r p q a a a +=. 它的图形解释为：以a p 和a r 为梯形的上、下底线，则a q 是梯形的中位线.图1【例2】 等差数列{a n }的公差d 为正数.设a 1、a 2是方程x 2-a 3x +a 4=0的两根. 求和S =a 6+a 8+a 10+a 12+a 14.【解答】 联立⎩⎨⎧==+421321a a a a a a 得d =a 1=2 202929110=⨯+=+=d a a故有S =5a 10=100.【说明】 若将例2中的求和问题改作求S =a 6+a 9+a 10+a 11+a 14，这里a 6、a 9、a 10、a 11、a 14并不成等差数列，但其结果不变.其原因何在，留给读者思考.三、在2)(1n a a S n n +=里找中项等差数列{a n }前n 项和公式2)(1n a a S n n +=的图形意义是：以a 1，a n 分别为上、下底长，以n 为高长的梯形面积公式. 其中，21n a a +为梯形中位线.图2（1）当n 为奇数时，如n =2m -1. 则a 1,a n 间有中项：21n m a a a +=.亦即等差数列的中项.此时，S n =S 2m -1=(2m -1)a m .（2）当n 为偶数时，如n =2m . 则a 1,a n 间无中项，22121++=+m m m a a a a 不是中项，亦即等差数列无中项.可称为数列的“中值”.此时，S n =S 2m =m (a m +a m +1).显然，“中项”是“中值”的特殊情况.当数列的项数为奇数2n -1，则数列求和的梯形公式化为矩形公式：矩形的长是中项a n ，矩形的高是项数2n -1.即是等差数列前奇数项之和，等于项数与中项的积.【例3】（2004年福建卷）S n 为等差数列{a n }前n 项的和，若9535=a a ，求59S S 的值. 【解答】 题目所涉项数都是奇数，利用“矩形公式”可得S 9=5a 5、S 5=5a 3. 故有19559593559=⨯==a a S S （参考） 【说明】解题的捷径表现在“绕过了通项公式”.四、中值数列21n n a a +- 如果{a n }为等差数列，则由{a n }中依次相邻两项的“中值”21n n a a +-（n ≥2）所形成的数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-21n n a a 称作{a n }的“中值数列”.如数列{2,4,6,8}是数列{1,3,5,7,9}的中值数列. 易知中值数列{b n }=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-21n n a a 也是等差数列.其首项为211n n a a b +=-，其公差与{a n }的公差相等，即d d a a a a a a b b n n n n n n n n ==-=+-+=--+-+-2222211111 如果将数列{a n }的中值数列{b n-1}依次插入{a n }，则得到一个新的数列——中值插补数列 n n n a b a b a ，b a ,,,,,,112211--等差数列的中值插补数列也是等差数列，且首项为a 1，公差为d ,项数是（与n 的奇偶性无关的）奇数2n-1,另外，三个数列：（1）原数列{a n }，（2）中值数列{b n }；（3）中值插补数列有公共的中值.21n a a + 【例4】 设等差数列{c n }={c 1,c 2,…，c 2007}的首项c 1=a ,公差为d .求{c n }中奇数项和与偶数项和的差.【解答】 数列{c n }的奇数项组成以a 为首项，2d 为公差的等差数列.由2n -1=2007得其项数为n =1004，中值为c 1004.其和S 1004=1004c 1004数列{c n }的偶数项组成以a+d 为首项，2d 为公差的等差数列{b n },项数为2007-1004=1003.中项仍为c 1004其和T 1003=1003c 1004它们的差为S 1004-T 1003=1004c 1004-1003c 1004=c 1004=a +1003d【说明】 等差数列之和与它们中值数列之和的差正好是原等差数列的中值.五、中项求和深入到高考综合题【例5】 （2007年湖北题）已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nn b a 为整数的正整数n 的个数是 A .2 B.3 C.4 D.5【解答1】 运用中值公式：2)(1n a a S n n += 3457++=n n B A n n =2)]1(22[2)]1(7262[2)3(2)457(n n nn n n n n -+⨯-+⨯=++， 可看出1,2;7,261111====d b d a11271197)1(2)1(726++=++=-+-+=n n n n n b a n n 可见，当且仅当n =1，2，3，5，11时，nn b a 为正整数. 【说明】 本解实际上是一种特值法，特值是a 1=26,b 1=2,d 1=7,d 2=1.如果将它们同时乘以一个不为0的实数k ，则为数列{a n }和{b n }的一般情况.【解答2】 运用中项定理，n n a n S )12(12-=-.()()()()212121721451438212132271912711n n n n n n n a n a A n b n b B n n n n n ----++====--+++==+++可见，当且仅当n =1，2，3，5，11时，nn b a 为正整数. 【说明】 这里，分别将数列{a n }、{b n }的项数设为奇数，是否代表问题的一般性？ 将a n 、b n 分别视作数列{a 2n -1}和{b 2n -1}的中项，这里具备一般性，至于分别从它们出发构造出来的和数列A 2n -1、B 2n -1，自然也具备着一般性.。
等差数列等差中项
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了 7 层， 试从上到下列出每层钢管的数量.
每层钢管数为 4，5，6，7，8，9，10．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个
解 因为 3，A，7 成等差数列， 所以A－3 ＝7－A， 2 A ＝3 ＋7． 解得 A＝5．
一般地，如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做
a与 b 的等差中项．
A＝
a+b
2
求下列各组数的等差中项： （1）732与－136；
49
（2） 与42．
2
例4 已知一个等差数列的第 3 项是 5，第 8 项是 20， 求它的第 25 项．
看图片数个数 ？
数 列
5.2.1
数列 数列
数列
等差数列的概念
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
（2）已知等差数列{an }中，a4 = 10，a5条边的长度成等差数列． 求证：它们的比是 3∶4∶5．
证明 设这个直角三角形的三边长分别为 a－d，a，a＋d．
根据勾股定理，得 (a－d)2 ＋a2 ＝(a＋d)2．
解得 a = 4 d ． 于是这个直角三角形的三边长是 3 d，4 d，5 d，
等差数列知识总结
等差数列知识总结一、等差数列的一般概念1、定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数．．．．．，称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d 表示。
表示为：1()n na a d n N *+-=∈ 2、通项公式：①：1(1)na a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 ②：()(,)nm a a n m d n m N *=+-∈ ③：n a An B =+（关于n 的一次表达式）3、等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，表示为：2a b A +=。
二、等差数列的性质（若数列{}n a 是公差为d 的等差数列）1、1()1、、n m k a a a a d m n k N n m k--==∈*--； 2、若()、、、m n p q m n p q N +=+∈*⇒m n p q a a a a +=+； 3、若2m n k +=⇒2()、、m n k a a a m n k N +=∈*；4、下标成等差数列且公差为m 的项()23，，，，、k k m k m k m a a a a k m N +++⋅⋅⋅∈*组成公差为md 的等差数列；5、()232,,,m m m m m S S S S S m N --⋅⋅⋅∈*也成等差数列，公差为2md ；6、①若项数为2n+1，则()21中S n a =+且奇偶中S S a -= ()1偶中奇中S na S n a =⎧⎪⎨=+⎪⎩，1奇偶S n S n += （中a 指中项，即1中n a a +=，而,奇偶S S 指所有奇数项、所有偶数项之和）②若项数2n ，则偶奇S S n d -=⋅三、等差数列的判断1、{}1()常数n n n a a d a +-=⇔是等差数列；2、{}122()n n n n a a a N a ++=+∈*⇔是等差数列；3、{}(,)为常数n n a kn b k b a =+⇔是等差数列；4、{}21(,)22-且无常数项n n d d S An Bn A B a a =+==⇔为等差数列。
等差数列知识点总结
1( n 1 n - =1 等差数列1. 定义一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为 a n - a n -1 = d （d 为常数）（ n ≥ 2）；2. 等差数列通项公式：（1） a n a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *) （首项: a ，公差 :d ，末项: a ）a = a + (n - m )dd =a n a m（2） nm． 从而n - m ；3. 等差中项A =a +b （1） 如果a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项．即：2或2A = a + b（2） 等差中项：数列 {a n }是等差数列 ⇔ 2a n = a n -1 + a n +1 (n ≥ 2) ⇔ 2a n +1 = a n + a n +24. 等差数列的前 n 项和公式：s n a + a )n2na +n (n -1) d12= 1 =+ 11 = d n2 2 (a 1- 1 d )n2= An 2 + Bn（其中A 、B 是常数） （当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为 0）5. 等差数列的证明方法（1） 定义法：若 a n - a n -1 = d 或a n +1 - a n = d (常数n ∈ N * ) ⇔ {a n }是等差数列．（2） 等差中项：数列 {a n } 是等差数列 ⇔ 2a n = a n -1 + a n +1 (n ≥ 2) ⇔ 2a n +1 = a n + a n +2 ．（3） 数列 {a n }是等差数列 ⇔ a n = kn + b （其中 k , b 是常数）。
（4） 数列{a n }是等差数列 ⇔ S = An + Bn ,（其中A 、B 是常数）。
2注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a 、d 、n 、a n 及S n ，其中a 、d 称作为基本元素。
等差数列的判定与证明—中项公式法
4
例题 2： (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首、末两项的积为－8，求这四 个数． 【思路点拨】 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求 解． 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
总结：等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d； (2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d； (3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
等差中项的应用
1 1 1 例 3：已知 a 、b 、c 成等差数列．求证： ， ， b＋c c＋a a＋b 成等差数列． 1 2 2 2 2 2 2 解：∵a 、b 、c 成等差数列，∴b ＝2(a ＋c )． a＋c＋2b a＋c＋2b 1 1 ∴ ＋ ＝ ＝ b＋c a＋b b＋ca＋b ab＋bc＋ca＋b2 a＋c＋2b 2a＋c＋2b ＝ 1 2 2 ＝a＋c2b＋a＋c ab＋bc＋ca＋2a ＋c 2 ＝ . a＋c 1 1 1 ∴ ， ， 成等差数列． b＋c c＋a a＋b
例1．已知数列的通项公式为 ，其中 p, q, 是 n 常数，且 ， 那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？
a pn q
p0
分析：由等差数列的定义，要判断 是来自是等差数列， 只要看 是不是一个与n 无关的 常数就行了.
a n a n 1(n 2)
与
{a n }
等差数列求项数公式
等差数列求项数公式
等差数列前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或
Sn=n(a1+an)/2。
等差数列{an}的通项公式为：
an=a1+(n-1)d。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差中项即等差数列头尾两项的和的一半。
第n项的值an=首项+（项数-1）×公差
an=am+(n-m)d ，若已知某一项am，可列出与d有关的式子求解an
例如 a10=a4+6d或者a3=a7-4d
前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2
公差d=(an-a1)÷（n-1）（其中n大于或等于2，n属于正整数）
项数=（末项-首项）÷公差+1
末项=首项+（项数-1）×公差。
等差数列的通项及性质7大题型 (解析版)
等差数列的通项及性质7大题型【考点预测】一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为d （常数）．1－-=n n a a d *()2，∈≥n N n （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有a A b A a b =2+a bA ．（3）等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．{}n a 1a d 1(1)=+-n a a n d 二．等差数列通项的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．{}n a d n S n （1）通项公式的推广：．*())(，=+-∈n m a a n m d n m N （2）在等差数列中，当时，．{}n a +=+m n p q *()，，，+=+∈m n p q a a a a m n p q N 特别地，若，则．2+=m n t *()2，，+=∈m n t a a a m n t N （3），…仍是等差数列，公差为．2＋＋，，k k mk ma a a *()，∈md k m N （4）若，是等差数列，则也是等差数列．{}n a {}nb {}+n n pa qb 【题型目录】题型一：等差数列通项公式运用题型二：等差中项问题题型三：等差数列通项的性质题型四：整体看成等差数列问题题型五：等差数列通项公共项问题题型六：几个连续实数成等差数列问题题型七：等差数列通项新文化试题【典型例题】题型一：等差数列通项公式运用【例1】（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）{}n a823a =1132a =66a =A ．195B ．196C ．197D ．198【例2】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若n 11a =13n n a a +-=2020n a =，则（ ）n =A ．671B ．672C ．673D ．674【答案】D【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.{}n a【详解】∵，，11a =13n n a a +-=∴13n n a a +-=∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，{}n a∴，解得.()()111312020n a a n d n =+-=+-=674n =故选：D.【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，若，，则（ ）{}n a2911a a +=41014a a +=n a =A ．B ．C ．D ．2n 21n +n 21n -【答案】C【分析】设公差为d ，利用基本量代换列方程组解出首项和公差，即可写出通项公式.【详解】在等差数列中，设公差为d ，依题意，即{}n a 294101114a a a a +=⎧⎨+=⎩11291121214a d a d +=⎧⎨+=⎩解得公差，，所以.1d =11a =n a n =故选：.C 【例4】（2022·全国·高二课时练习）数列的首项为，为等差数列，且{}n a 3{}nb ()1n n n b a a n N *+=-∈，若，，，则等于（ ）32b =-1012b =8a A ．B ．C ．D ．03811【例5】（2022全国高二课时练习）在等差数列中，若a 1＝84，a 2＝80，则使an 0，且an ＋1n ≥<0的n 为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】B【分析】用基本量表示，列出不等式组，求解即可1,a d 1,n n a a +8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩【详解】公差d ＝a 2－a 1＝－4，∴an ＝a 1＋(n －1)d ＝84＋(n －1)(－4)＝88－4n ，令10,0,n n a a +≥⎧⎨<⎩即8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩⇒，又∵n ∈N *，2122n <≤∴n ＝22.故选：B【例6】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA ．已知成公差为0.1的等差数列，且直线11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====123,,k k k OA的斜率为0.725，则（ ）3k =A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】设，则，11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意，有，且，31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以，故，30.530.30.7254k +-=30.9k =故选：D【例7】（2022·全国·高二课时练习）若数列为等差数列，，，则（ ）{}n ap a q=()q a p p q =≠p q a +=A ．B ．0C ．D ．p q +()p q -+2p q+【答案】B【分析】根据等差数列通项公式的变形形式求解：．()n m a a n m d =+-【详解】设数列的公差为．∵，∴，即．∵，∴{}n ad ()p q a a p q d=+-()q p p q d=+-()q p p q d-=-p q ≠，∴．1d =-()0p q p a a p q p d q p +=++-=-=⎡⎤⎣⎦故选：B ．【例8】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例9】（2022全国高二课时练习）（1）在等差数列{an }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.（2）已知等差数列{an }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________.【答案】 20 27【分析】（1）利用等差数列的性质求解即可，（2）利用等差数列的性质求解，或设等差数列{an }的公差为d ，利用已知条件求出公差，再利用等差数的性质求解【详解】（1）3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 3＋a 8)＝20.（2）法一 由性质可知，数列a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9是等差数列，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，则a 3＋a 6＋a 9＝2×33－39＝27.法二 设等差数列{an }的公差为d ，则(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＝3d ＝－6，解得d ＝－2，所以a 3＋a 6＋a 9＝a 2＋d ＋a 5＋d ＋a 8＋d ＝27.故答案为：（1）20 （2）27【例10】（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且{}n a 138a a +=2429a a a =⋅（1）求数列的首项､公差；{}n a（2）设，若，求正整数m 的值.()()1218n n n a a b -+=13m m m b b b +++=【题型专练】1．（2021·全国·高二单元测试）已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）{}n a3243a =a {}n aA ．B ．C ．D ．6a 7a 8a 9a 【答案】A【分析】先设等差数列的公差，根据题中条件，得出首项与公差之间关系，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，由得，∴，{}n ad 3243a =a 15a d =-6150a a d =+=故选：A ．2．（2021·全国·高二专题练习）已知等差数列中，，，则等于（ ）{}n a3822a a +=67a =4a A ．B ．1523C ．D ．729【答案】B【分析】求出等差数列的公差的值，由此可求得的值.{}n ad 4a【详解】设等差数列的公差为，则，解得，{}n ad ()()3866632222a a a d a d a d +=-++=-=8d =-因此，.()46272823a a d =-=-⨯-=故选：B.3．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列中，已知，，，则（ ）{}n a113a =45163a a +=33k a =k =A ．B ．5049C ．D ．48474．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）在数列中，，n 12a =1221n n a a +-=，则的值为（ ）101a A ．52B ．51C ．50D ．495．（2022·全国·高二课时练习）已知数列是首项为3，公差为n a d d ∈N 的等差数列，若2023是该数列的一项，则公差d 可能是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6P 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则1a n a 2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦n的取值可能是（ ）A ．B ．C ．D ．56781123A ．公差d ＝－4B ．a 2＝7C ．数列{an }为递增数列D ．a 3＋a 4＋a 5＝84【答案】BC【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算，对选项一一判断即可．【详解】解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴3a 2＝21，∴a 2＝7．∵a 1＝3，∴d ＝4．∴数列{an }为递增数列，a 4＝a 2＋2d ＝15．∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝45．故选：BC8．（2022·全国·高二单元测试）已知数列为等差数列，，，则公差d 为______．{}n a36a =918a =【答案】2【分析】由等差数列性质得，即可求得公差d936a a d =+【详解】数列为等差数列，则，可解得.{}n a9361866d a a d =+⇒=+2d =故答案为：29．（2022·全国·高二课时练习）等差数列2，4，6，…的第18项为______．【答案】36【分析】由条件确定数列的公差，再确定其通项公式，由此求其第18项.【详解】设数列的第项为，n n a 由已知数列为等差数列，且，，{}n a12a =24a =所以数列的公差，{}n a2d =所以，2(1)22n a n n =+-⨯=所以，1836a =故答案为：36.10．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果{}n a1479750a a a a ++++= ，那么______．36999a a a a ++++= 【答案】－82【分析】根据等差数列通项公式化简求解.【详解】∵是公差为－2的等差数列，{}n a ∴()()()()36999147972222a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++ ．147973325013282a a a a d =+++++⨯=-=- 故答案为：-8211．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，{}n a 22110101a a +=5611a a +=，则数列的公差d 的值为______．{}n a【答案】112．（2022·全国·高二课时练习）若，且两数列a ， ， ，b 和a ，，，a b ¹12123，b 都是等差数列，则________．3121y y x x -=-【答案】##32 1.513．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前三项分别为，，n 1a -21a +7a +，则此数列的通项公式为______．n a =【答案】43n -【分析】根据等差数列前三项可求出，即可得出首项和公差，求出通项公式.a 【详解】由题意，得，所以，()17221a a a -++=+2a =所以的前三项分别为1，5，9，公差为4，故.{}n a()11443n a n n =+-⨯=-故答案为：.43n -14．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则____________．{}n a2438a a =-5a =【答案】4【分析】利用表示，整理可得.1,a d 2438a a =-5a 【详解】设等差数列的公差为，则由得：，{}n ad 2438a a =-()11338a d a d +=+-整理可得：，即.()1128248a d a d +=+=5144a a d =+=故答案为：.415．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }，且a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21，则an ＝____________．【答案】或．1n a n =+9n a n =-+【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.{}n a d d 【详解】设等差数列的公差为，{}n ad 因为，可得，354210a a a +==45a =又由，2644(2)(2)(52)(52)21a a a d a d d d =-+=-+=解得，所以或，21d =1d =1d =-所以数列的通项公式为或．{}n a1n a n =+9n a n =-+故答案为：或．1n a n =+9n a n =-+16．（2021·全国·高二专题练习）若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则3131x x y y --＝________．17．（2022·全国·高二课时练习）存在条件：①，；②，；③，23d =-37a =713．在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足______．求数列2414a a +={}n a 的通项公式．{}n a【答案】163n a n=-【分析】不管选择哪个条件，都是求首项和公差，再求通项公式.【详解】若选择①，，1213a a d =-=数列的通项公式，{}n a()()()111313163n a a n d n n=+-=+-⨯-=-即；163n a n =-若选择②，，解得：，，112765ad a d +=⎧⎨+=-⎩113a =3d =-数列的通项公式；{}n a163n a n =-若选择条件③，解得：，，1122202414a d a d +=⎧⎨+=⎩113a =3d =-数列 的通项公式.{}n a 163n a n=-题型二：等差中项问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知则a ，b 的等差中项为（）a =b =A B C D 间的角是多少度（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【答案】B【分析】设三内角由小到大依次为,,A B C，利用等差数列定义结合三角形三内角和定理列式计算作答.【详解】设三角形三内角由小到大依次为，依题意，，而，,,A B C 2A+C =B 180A B C ++=则有，解得，3180B =60B =所以中间的角是.60故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和m 2n 2m n m n 的等差中项是（ ）A ．8B ．6C ．D ．34.5【例4】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an }满足，且，是函数122n n n a a a ++=+4a 4040a 的两个零点，则的值为（ ）2()83f x x x =-+2022a A ．4B ．－4C ．4040D ．－4040【答案】A【分析】由题设可得+＝8，根据已知条件易知{an }是等差数列，应用等差中项的性质求4a 4040a .2022a 【详解】由，是的两个零点，即，是x 2－8x ＋3＝0的两个根，4a 4040a 2()83f x x x =-+4a 4040a ∴+＝8，又，即数列{an }是等差数列，4a 4040a 122n n n a a a ++=+∴+＝8，故＝4.4a 4040a 20222a =2022a 故选：A.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列{}n a是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ）A ．B ．()1122n n n a a a n +-=+≥()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列的通项公式为D ．{}n a23n a n =-()2112n n n n a a a a n ++--=-≥A ．2BCD ．13．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若b 是2，8的等差中项，则______；b =【答案】0【分析】根据等差中项的性质即可求解.【详解】解：因为8，a ，2，b ，c 是等差数列，所以8222222a a b c b +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩解得514a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以.0a b c ++=故答案为：.0题型三：等差数列通项的性质【例1】（2022·广东肇庆·高二阶段练习）已知数列是等差数列，且满足，则{}n a2104a a +=26log a =（ ）A ．B ．C ．D ．0123【答案】B【分析】利用等差中项的性质求出的值，进而可求得结果.6a 【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，.621024a a a =+=62a =26log 1a =故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列满足，则（ ）{}n a5796a a a ++=7a =A ．B ．C D ．322-【答案】B【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，故.579736a a a a ++==72a =故选：B.【例3】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且{}n a ()*122n n n a a a n ++=+∈N ，则（ ）38132πa a a ++=()79cos a a +=A ．B ．C ．D 12-12【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，，则n a1234a a a ++=131415等于（ ）789a a a ++A ．6B ．7C ．8D ．9(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(2)数列为等差数列的充要条件是对任意，都有.{}n a*N n ∈122n n n a a a ++=+(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.{}n a(4)已知数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则数列一定是等差数列.{}n a n a pn q =+{}n aA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用等差数列定义判断（1）；利用等差中项的定义结合充要条件的意义判断（2）；利用等差数列定义结合充要条件的意义判断（3）；利用等差数列定义判断（4）作答.【详解】对于（1），若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列，（1）不正确；对于（2），因对任意，都有数列*N n ∈121212n n n n n n n a a a a a a a +++++⇔=+-=-⇔{}n a为等差数列，（2）正确；对于（3），因常数列是等差数列，而常数列的通项不是n 的一次函数，则通项公式为n 的一次函数是数列为等差数列的充分不必要条件，（3）不正确；{}n a对于（4），数列的通项公式是(其中p ，q 为常数)，则，，即数列{}n an a pn q =+N n *∀∈1n n a a p +-=一定是等差数列，（4）正确，{}n a 所以所给4个命题正确的个数为2.故选：B【题型专练】1．（2021·江西·高三阶段练习（文））设是等差数列，且，，则（ ）{}n a122a a +=344a a +=56a a +=A ．B ．C ．D ．12-0624【答案】C【分析】根据等差数列性质可知，，成等差数列，由此可构造方程求得结果.12a a +34a a +56a a +【详解】解：是等差数列，，，成等差数列，{}n a12a a ∴+34a a +56a a +，.()()()3412562a a a a a a ∴+=+++56826a a ∴+=-=故选：C.2．（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（ ）{}n a286a a +=357a a a ++=A ．9B ．12C ．15D ．16【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】解：在等差数列中，所以，{}n a28526a a a +==53a =所以；357539a a a a ++==故选：A3．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则{}n a891075a a a ++=（ ）612a a +=A ．B ．C ．D ．42485058【答案】C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.89109375a a a a ++==925a =6129250a a a +==故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，若，则的值为（ ）{}n a15915a a a ++=28a a +A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得：，所以，1595315a a a a ++==55a =故285210a a a +==故选：D5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是{}n a2a 8a 的两根，则（ ）221610x x --=()2375a a a +-=A ．B ．C ．D ．248601246．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．{}n a34567450a a a a a ++++=19a a +=【答案】180【分析】利用等差中项的性质即可求值.【详解】由，故，37169452a a a a a a a =+=+=+3456755450a a a a a a ++++==所以，则.590a =19a a +=180故答案为：1807．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）在等差数列中，若{}n a357911100a a a a a ++++=，则________．212a a +=8．（2021·河北衡水·高三阶段练习）已知等差数列中，分别是方程n 12021,a a 2410x x --=的两个根，则__________．1011a =1项，则这个等差数列的公差为___________.【答案】1【分析】根据题意，利用等差数列等差中项的性质即可求得和，进而求得公差.3a 29a10．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an }中，a 1＋a 3＋a 8＝54π，那么cos(a 3＋a 5)＝________.11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列，满足，，求数列n 23418a a a ++=23466=a a a n 的通项公式．【答案】或521=-+n a n 59=--n a n 【分析】根据是等差数列且满足求出，代入，中得到{}n a23418a a a ++=3a 23418a a a ++=23466=a a a 的方程组，并解出，从而解出，结合通项公式解出.24，a a 24，a a 1a d ，n a 【详解】是等差数列，且， ，{}n a23418a a a ++=33=18∴a 3=6a ∴解得或2342341866a a a a a a ++=⎧⎨=⎩ 242412,.11,a a a a +=⎧⎨=⎩2411,1a a =⎧⎨=⎩241,11.a a =⎧⎨=⎩当时，，.2411,1a a =⎧⎨=⎩1=16a =5-d ()()()111615521∴=+-=+--=-+n a a n d n n当时，，.241,11a a =⎧⎨=⎩1=4-a =5d ()()1141559∴=+-=-+-=-n a a n d n n 综上：或521=-+n a n 59=--n a n 题型四：整体看成等差数列问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，且公差分别为，{}n a{}n b12d =21d =，则数列的公差为（ ）{}23n n a b -A ．B ．C ．D ．7531【答案】D【分析】利用即可整理求得公差.112323n n n n a b a b ++--+【详解】，为等差数列，为等差，设其公差为，{}n a {}n b {}23n n a b ∴-d 则.()()111112232323231n n n n n n n n d a b a b a a b b d d ++++=--+=---=-=故选：D.【例2】（2022·全国·高二课时练习）定义：在数列中，若对任意的都满足{}n a n +∈N 211n n n n a a da a +++-=（d 为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则{}n a {}n a 121a a ==33a =20222020a a =（ ）A ．B ．C ．D ．2420221⨯-2420211⨯-2420201⨯-242020⨯【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列，均为等差数列，若，，则{}n a{}n b110a b +=221a b +=（ ）n n a b +=A ．B ．C ．D ．2n -1n +n1n -【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设等差数列，的公差分别为，{}n a{}n b12,d d 则，1221212211()()101d d a a b b a b a b +=-+-=+-+=-=所以1112(1)(1)n n a b a n d b n d +=+-++-.1112(1)()1a b n d d n =++-+=-故选：D【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===，则（ ）44a b =A ．B ．C ．D ．19212327【答案】B【分析】设，得出，令，可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值.4c 【详解】由题意，设，,n n a an b b cn d =+=+则，()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令，可得构成一个等差数列，n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ，，113a b =227a b =3313a b =，，所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得：，即.421c =4421a b =故选：B【例5】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等差数列，若，，则（ ）11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭114a =41a =A ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =B ．数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =-C ．1011a =-D ．1011a =1．（2021·江苏·高二单元测试多选题）在数列中，若（，，{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p 为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（ ）{}n aA ．若是等差数列，则是等方差数列{}n a {}2n a B ．数列是等方差数列(){}1n-C ．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列{}n a{}n aD ．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列{}n a{}kn a*k N ∈k 【答案】BCD【分析】利用等方差数列的定义判断.【详解】A.设等差数列的通项公式，则{}n an a kn b =+，不一定是常数，()()()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a d kn k b d-----=+-=+=-+所以不是等方差数列，故错误；{}2naB. 因为，所以数列是等方差数列，故正确；()()()112222110n nn n a a---=---=(){}1n-C.因为数列是等方差数列，则，又数列是等差数列，则{}n a 221n n a a p --={}n a ，()()()221111n n n n n n n n a a a a a d a a pa -----=+-=+=2．（2022·全国·高二课时练习）已知是等差数列，且，，则______．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21a =41a =10a =为等差数列，则______．13a =4．（2022·全国·高二课时练习）数列中，，，若数列是等差数列，则{}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭8a =__________．【例1】（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（ ）{}n a50a A ．289B ．295C ．301D ．307【答案】B【分析】根据题意，得到能被2除余1满足，被3除余1的数满足，进而求得数列21n -32n -{}n a的通项公式，即可求解.65n a n =-【详解】由题意，在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1满足，21n -被3除余1的数满足，32n -所以在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1，且被3除余1的数，按从小到大的次序排成一列，可得构成的数列是首项为，公差为的等差数列，{}n a16则数列的通项公式，{}n a65n a n =-所以.506505295a =⨯-=故选：B.【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）A ．23B ．24C ．25D ．261．（2022·全国·高二课时练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a，则此数列的项数为（ ）A ．134B ．135C ．136D ．137【答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.{}n a【详解】由题意知，被3除余1且被5除余1的数即为被15除余1的数，故．1514,n a n n N *=-∈由，得，15142019n a n =-≤135.5n ≤又因为，所以此数列的项数为135．n *∈N 故选：B2．（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被(]1,2021415除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（ ）1{}n a{}n aA ．B ．C ．D ．1011009998【答案】A【分析】将数列中的项由小到大列举出来，可知数列{}n a{}n a为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，然后解不等式，即可得解.n a 12021n a <≤【详解】由题意可知，数列中的项由小到大排列依次为、、、、，{}n a21416181L 可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，{}n a2120()21201201n a n n =+-=+由可得，解得，12021n a <≤12012021n <+≤0101n <≤，则，n N *∈ {}1,2,3,,101n ∈ 因此，数列的项数为.{}n a101故选：A.题型六：几个连续实数成等差数列问题【例1】（2022·江苏·高二课时练习）若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为（ ）A ．5，8，11B ．9，12，15C ．10，13，16D ．15，18，21【答案】B【分析】设出三边长，根据直角三角形的勾股定理，解得答案.【详解】由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列，设可三边长为 ，则，,3,6x x x ++222(3)(6)x x x ++=+解得 ，（舍去），9x =3x =-故三边长为9，12，15 ,故选：B.【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）A ．-2，4，10，16B ．16，10，4，-2C ．2，5，8，11D ．11，8，5，2【答案】AB【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可【详解】设这四个数分别为，，，，3a d -a d -a d +3a d +则解得或()()3328,40,a d a d a d a d a d a d -+-++++=⎧⎨-+=⎩7,3a d =⎧⎨=⎩7,3,a d =⎧⎨=-⎩所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知5个数组成一个单调递减的等差数列，且它们的和为5，平方和为165，则这个等差数列的第1项为___________.【答案】9【分析】根据等差数列的性质，直接求解即可【详解】设这个等差数列中的五个数分别为，，x ，2x d -x d -，.由题意，得x d +2x d +()()()()22222225,22165,x d x d x x d x d x d x d x x d x d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-+++++=⎪⎩解得或因为这个数列单调递减，所以，1,4x d =⎧⎨=⎩1,4.x d =⎧⎨=-⎩0d <即所以第1项为.1,4.x d =⎧⎨=-⎩()21249x d -=-⨯-=故答案为：9【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a前三项的和为－3，前三项的积为8．求等差数列的通项公式．{}n a【答案】或35n a n =-+37n a n =-【分析】结合等差数列的通项公式得到，求出首项与公差即可求出结果.()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩【详解】设等差数列的公差为d ，则，．{}n a21a a d =+312a a d =+由题意得，解得或()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩123a d =⎧⎨=-⎩143a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得或．()23135n a n n =--=-+()43137n a n n =-+-=-故或．35n a n =-+37n a n =-2．（2022·全国·高二单元测试）（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的96倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数.28-【答案】（1），，；（2），，，.4322-024【分析】（1）设这三个数依次为，，，根据已知条件列方程组，求得和a d -a a d +a d 的值即可得这三个数；（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，根据已知条件列方程组，求得3a d -a d -a d +3a d +20d >和的值即可得这四个数.a d 【详解】（1）设这三个数依次为，，，a d -a a d +由题意可得：，解得：，()()96a d a a d a a d a d -+++=⎧⎨-=+⎩31a d =⎧⎨=-⎩所以这三个数依次为，，.432（2）设这四个数依次为，，， (公差为)，3a d -a d -a d +3a d +20d >由题意可得，解得或(舍)，()()2338a d a d a d a d -++=⎧⎨-+=-⎩11a d =⎧⎨=⎩11a d =⎧⎨=-⎩故所求的四个数依次为，，，.2-024题型七：等差数列通项新文化试题【例1】（2022·全国·高二课时练习）中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）A ．戊分得34文，己分得31文B ．戊分得31文，己分得34文C ．戊分得28文，己分得25文D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +2a d +，再根据题意列方程组可解得结果.3a d +【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，3a d -2a d -a d -a a d +，，2a d +3a d +则，解得，32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩313a d =⎧⎨=-⎩所以戊分得（文），己分得（文），28a d +=225a d +=故选：C.【例2】（2022全国高二课时练习）中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).4646节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.56115.146105.23695.32685.41675.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长/寸65.55655.64645.73635.82625.91616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为（ ）A ．105.6寸B ．48寸C ．57.6寸D ．67.2寸【答案】C【分析】利用等差数列的基本量计算，直接求解即可.全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（ ）A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱1613-2313，就是相邻两衡间距离（半径差）为1198333里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（ ）A．396666里200步B．357000里000步C．317333里100步D．277666里200步【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则（）A．冬至的日影子长最长，为15.5尺B．立夏比谷雨的日影子长多1尺C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列D．清明的日影子长为8.5尺【答案】ACD【分析】根据给定条件结合等差数列知识，求出首项、公差，再逐一分析计算作答.【详解】依题意，从冬至起，日影长依次记为，则数列是等差数列，1212,,,a a a {}(N ,12)n a n n *∈≤因此，，而，解得，又，14737.5a a a ++=1742a a a +=412.5a =12 4.5a =设数列的公差为，于是得：，解得，A 正确；{}n a d 11312.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5,1a d ==-，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B 不正确；1091a a -=-而成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C 正确；357,,a a a ，即清明的日影子长为8.5尺.81(81)8.5a a d =+-=故选：ACD2．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至､立春､春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺.【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项.【详解】解：由题意得从冬至之日起，小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为{}n ad ，解得14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-=101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺.6.5故答案为：6.53．（2021·全国·高二课时练习）现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.。
等差数列等差中项公式
等差中项公式是：
Sn=na(n+1)/2 n为奇数
sn=n/2(A n/2+A n/2 +1) n为偶数
等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2 末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
等差数列
等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
等差数列的判定与证明—中项公式法ppt课件
与
an1 an (n 2),
an an1 (pn q) [p(n 1) q]
pn q (pn p q)
p.
3
{a } 这是一个与 n 无关的常数，所以 是等差数列，公差是p.
在通项公式中令 n＝1，得
，所以这个
n
等差数列的首项是 p+q，公差是 p.
a1 p q
注：等差数列的通项公式可以表示为
个数． 【思路点拨】 解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求 解． 【解】 (1)设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数依次为a－d，a，a＋d， 依题意，3a＝6，且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
5
化简得d2＝16，于是d＝±4， 故这三个数依次为－2,2,6或6,2，－2. (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列， ∴d>0，∴d＝1， 故所求的四个数依次为－2,0,2,4.
2
a pn q 例1．已知数列的通项公式为
，其中 p, q, 是
常数，且
， 那么这个数列是否一定是等n差数
p 0 列？如果是，其首项与公差是什么？
{a } 分析：由等差数列的定义，要判断 是不是等差数列，
只要看
是不是一个与n 无关的 n
常数就行了. a n a n1(n 2)
解：取数列
{a } 中的任意相邻两项 n
等差数列的判定与证明—中项公式法
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等差中项的定义 如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
巧用等差中项解等差数列问题
巧用等差中项解等差数列问题云南省 苏保明等差中项公式是等差数列问题中的一个重要知识点，若能理解其内在含义，就能巧妙地运用它解决某些等差数列问题。
本文介绍巧用等差中项解题的几种技巧：一、若b A a ,,成等差数列，则b a A +=2例1、已知c b a 1,1,1成等差数列，化简cbab a bc b +++22的结果是（ ）A.2)(2c a +B.)(2c a +C.2)(2c a -D.)(2c a - [点拨] 由“cb a 1,1,1成等差数列”可得cab112+=，即ac c a b 2)(=+，把cbab a bc b +++22通过变形化为a 与c 的代数式即可。
解析：∵c b a 1,1,1成等差数列，∴ca b 112+=，即ac c a b 2)(=+，∴ac a ab c bc b c a b b a c b b c ba b a bc b )()()(2222+++=+++=+++ =)(2)(21)()]([222c a c a b c a b acc a b c a b +=++=+++. 故选择（B ）.二、若b a A +=2，则b A a ,,成等差数列例2、已知c b a ,,成等差数列，试证：ab c ac b bc a ---222,,也成等差数列.[点拨] 欲证ab c ac b bc a ---222,,成等差数列，只需要证明)(2)()(222ac b ab c bc a +=-+-即可。
证明：∵c b a ,,成等差数列，∴c a b +=2，∵2222222]2)[()()()()(b ac c a c a b c a ab c bc a --+=+-+=-+-)(2222]2)2[(2222ac b ac b b ac b -=-=--=，∴ab c ac b bc a ---222,,也成等差数列. 三、若{n a }是等比数列，则112+-+=n n n a a a例3、已知等差数列{n a }中，15765=++a a a ，45765=∙∙a a a ， 求公差d 的值.[点拨] 由等差数列的性质知6752a a a =+，代入15765=++a a a ，求出6a 的值，再代入已知条件，通过解方程组可求出公差d 的值。
高中数学等差中项专项练习题含答案
高中数学等差中项专项练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是()A.3B.4C.6D.52. 中国古代数学著作《九章算数》中有这样一个问题:"某贾人擅营，月入益功疾(注：从第2月开始，每月比前一月多入相同的铜钱)2月与8月营收之和96贯，全年(4个季度)共入大量铜钱"，则该商人第二季度营收贯钱为( )A.96B.128C.144D.1923. 已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为( )A.2B.3C.4D.√54. 已知{a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=()A.30B.29C.15D.115. 已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且A nB n =7n+45n+3，则a7b7=()A.93 10B.172C.14317D.156. 两数1､9的等差中项是a，等比中项是b，则曲线的离心率为()A.或B.或C.D.7. 设等差数列{a n}满足：cos2a3cos2a5−sin2a3sin2a5−cos2a3=sin(a1+a7)，a4≠kπ2，k∈Z且公差d∈(−1, 0)，若当且仅当n=8时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是( )A.[3π2, 2π] B.(3π2, 2π) C.[7π4, 2π] D.(7π4, 2π)9. 设等比数列{a n}的前n顶和为S n，若S3，S9，S6成等差数列，且a8=3，则a5的值为________．10. （1）是不是等差数列，，，…的项？如果是，是第几项？并求其前项的和。
10.（2）已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，求的值。
11. 已知数列{a n}为等差数列，a3+a5=18，前9项的和S9=99.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3a n，求数列{b n}的前n项和T n .12. 已知函数f(x)=x2−2x−3(x>0)，在公差大于0等差数列{a n}中，a1=f(x−1)，a2=−3，a3=f(x)．2(1)求x的值及数列{a n}的通项公式a n；(2)令数列b n=2n+a n．求数列{b n}的前n项和．13. 已知等比数列{a n}的公比q>0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n.a n14. 某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2018年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2019年1月两个企业的产值再次相等．(1)试比较2018年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2019年2月1日起投入使仪器的日平均耗资（含仪器的购置费），并求日平均耗资最小时使用的天数？15. 已知数列满足，.（1）求；（2）若证明:数列中的任意三项不可能构成等差数列.16. 设函数f(x)=sin x(cos x−√3sin x)．(1)求函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间；(2)设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(B)=0，a，b，√3c成公的值．差大于零的等差数列，求sin Asin C17. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足3S n=4(a n−1).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断是否存在正整数n使得S n,15S n+1,S n+2成等差数列，若存在，请求出n7的值，不存在请说明理由.18. 已知正项等比数列{a n}是单调递增数列，且4a3与3a5的等差中项为4a4，a3与a7的等比中项为16，b n=log2a n+1.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；,n∈N∗，求数列{c n}的前n项和T n.(2)令c n=(b n+b n+1+3)n+1(b n+2)参考答案与试题解析高中数学等差中项专项练习题含答案一、选择题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）1.【答案】D【考点】等差中项【解析】此题暂无解析【解答】解：1，a，9成等差数列，则1+9=2a，解得a=5.故选D.2.【答案】C【考点】等差中项【解析】且解：由题知每月收入铜钱成等差数列，记为{a n}且a2+a8=96,∴a5=48,∴a4+ a5+a6=3a5=144，即第二季度营收144贯.故选C【解答】解：由题知每月收入铜钱成等差数列，记为{a n}且a2+a8=96,∴a5=48,∴a4+a5+a6=3a5=144，即第二季度营收144贯.故选C.3.【答案】B【考点】等差中项【解析】利用等差数列的性质直接求解．【解答】解：∵数列1，a，5是等差数列，∴2a=1+5，解得a=3．【答案】C【考点】等差中项【解析】利用等差数列的性质a3+a8=a5+a6直接求解即可．【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a8=a5+a6，∴a5=22−7=15.故选C.5.【答案】B【考点】等差中项【解析】根据等差数列的性质和前n项和公式，将数列项的比值转化为前n项和的比值，再进行求解．【解答】解：由题意得，a7b7=2a72b7=a1+a13 b1+b13=(a1+a13)⋅132(b1+b13)⋅132=A13 B13=7×13+45 13+3=172．故选B．6.【答案】A【考点】等差中项【解析】求出等差中项和等比中项后确定方程表示的曲线，再根据方程求得离心率．【解答】由题意a=1+92=5b=±√1×9=±3若b=3，曲线方程为x 2+y2=1，表示椭圆，离心率为e=√5−3=√10b=−3时，曲线方程为x25−y23=1，表示双曲线，离心率为e=√5+3√5=2√105故选：A．7.【答案】D【考点】数列与函数最值问题等差中项二倍角的余弦公式等差数列的前n项和【解析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【解答】解：∵cos2a3cos2a5−sin2a3sin2a5−cos2a3=sin(a1+a7)，∴cos2a3cos2a5−sin2a3sin2a5−cos2a3+sin2a3=sin(a1+a7)，即cos2a3(cos2a5−1)−sin2a3(sin2a5−1)=sin2a4，即−cos2a3sin2a5+sin2a3cos2a5=sin2a4，即(sin a3cos a5−cos a3sin a5)(sin a3cos a5+cos a3sin a5)=sin2a4，即sin(a3−a5)sin(a3+a5)=sin2a4，即−sin2d sin(2a4)=sin2a4，∵a4≠kπ2，∴sin2a4≠0，∴sin(2d)=−1．∵d∈(−1, 0)，∴2d∈(−2, 0)，则2d=−π2，d=−π4．由S n=na1+n(n−1)d2=na1+n(n−1)2×(−π4)=−π8n2+(a1+π8)n．对称轴方程为n=4π(a1+π8)，由题意当且仅当n=8时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴152<4π(a1+π8)<172，解得：7π4<a1<2π．二、填空题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）8.【答案】【考点】等差中项【解析】直接利用等差数列的性质求值．【解答】−2a5=a2+a8=0，∴a5=09.【答案】−6【考点】等差中项等比数列的前n项和【解析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等差中项的性质可得S3+S6=2S9，结合等比数列的前n项和公式可得a1(1−q 3)1−q +a1(1−q6)1−q=2×a1(1−q9)1−q，变形解可得q3=−12，由等比数列的通项公式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若S3，S9，S6成等差数列，即S3+S6=2S9，若q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1，则3a1+6a1=2×9a1，解得，a1=0，则有q≠1，则有a1(1−q 3)1−q +a1(1−q6)1−q=2×a1(1−q9)1−q，变形可得：1+q3=2q6，解可得q3=1或q3=−12，又由q≠1，则q3=−12，若a8=3，则a5=a8q3=−6.故答案为：−6.三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）10.【答案】（1）20,−410；（2）3+2√2【解析】（1）由题意可得等差数列的首项为8，公差为−3，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求；（2）等比数列{a n}的公比设为4，q>0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得♀，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．【解答】（1）等差数列8,5,2，的首项为8，公差为−3，可得a n=8−3(n−1)=11−3n若−49=11−3n，可得n=20则−49为该数列中的第20项；可得S2010=20×8+12×20×19×(−3)=−410．（2）等比数列{a n}的公比设为4，q>0，且a1,12a32a2成等差数列，可得a3=a1+2a n即a1q2=a1+2a1q可得q2−2q−1=0，解得q=1+√2（负的舍去），a9+a0 73=q2(a1+a3)13=d2=3+2√211.【答案】解：(1)∵{a n}是等差数列，∴a3+a5=2a4=18，a4=9，S9=(a1+a9)⋅92=9a5=99，a5=11，∴d=2，a1=3，∴a n=2n+1；(2)b n=3a n=32n+1=3⋅9n=27⋅9n−1，所以{b n}是首项为27公比为9的等比数列，T n=27⋅(1−9n)1−9=27⋅(9n−1)8.【考点】等差中项等比数列的前n项和等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】无无解：(1)∵{a n}是等差数列，∴a3+a5=2a4=18，a4=9，S9=(a1+a9)⋅92=9a5=99，a5=11，∴d=2，a1=3，∴a n=2n+1；(2)b n=3a n=32n+1=3⋅9n=27⋅9n−1，所以{b n}是首项为27公比为9的等比数列，T n=27⋅(1−9n)1−9=27⋅(9n−1)8.12.【答案】解：(1)a1=f(x−1)=x2−4x，a3=x2−2x−3，由a1，a2，a3成等差数列，得2a2=a1+a3，所以x2−4x+x2−2x−3=−3，所以x2−3x=0，又x>0，所以x=3所以a1=−3，a3=0，所以公差d=32，所以a n=−3+(n−1)×32=32n−92.(2)数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+⋯+b n =(21+22+⋯+2n)+(a1+a2+⋯+a n)=2(1−2n)1−2+n(−3+32n−92)2=2n+1+34n2−154n−2．【考点】等差中项数列的求和等比数列的前n项和等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】(1)利用函数解析式，根据a1，a2，a3成等差数列，可求x的值，从而可求数列的公差，进而可得数列{a n}的通项公式a n；(2)根据数列{b n}的通项，分组求和，即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：(1)a1=f(x−1)=x2−4x，a3=x2−2x−3，由a1，a2，a3成等差数列，得2a2=a1+a3，所以x2−4x+x2−2x−3=−3，所以x2−3x=0，所以a 1=−3，a 3=0，所以公差d =32，所以a n =−3+(n −1)×32=32n −92. (2)数列{b n }的前n 项和S n =b 1+b 2+⋯+b n =(21+22+⋯+2n )+(a 1+a 2+⋯+a n ) =2(1−2n )1−2+n(−3+32n −92)2=2n+1+34n 2−154n −2．13.【答案】解：(1)∵ a 1a 5=8a 2，即a 12q 4=8a 1q ， 即a 1q 3=8， ∴ a 4=8.∵ 3a 4，28，a 6成等差数列， ∴ 3a 4+a 6=56， ∴ a 6=32， ∴ q 2=a6a 4=4.∵ q >0， ∴ q =2，∴ a 1q 3=8a 1=8， 解得a 1=1， ∴ a n =2n−1. (2)∵ b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，∴ T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1①，∴ 12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n②，①−②得12T n =2×(12)0+2×[(12)1+(12)2 +⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n=2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n()1n−1，∴ T n =8−(n +2)⋅(12)n−2.【考点】 等差中项等比数列的通项公式 数列的求和【解析】(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】解：(1)∵ a 1a 5=8a 2，即a 12q 4=8a 1q ， 即a 1q 3=8， ∴ a 4=8.∵ 3a 4，28，a 6成等差数列， ∴ 3a 4+a 6=56， ∴ a 6=32， ∴ q 2=a6a 4=4.∵ q >0， ∴ q =2，∴ a 1q 3=8a 1=8， 解得a 1=1， ∴ a n =2n−1. (2)∵ b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，∴ T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1①，∴ 12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n②，①−②得12T n =2×(12)0+2×[(12)1+(12)2 +⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n=2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n=4−(n +2)⋅(12)n−1，∴ T n =8−(n +2)⋅(12)n−2.14.【答案】解：(1)设从2018年1月到2019年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，⋯，a 13， 乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，⋯，b 13.∵ 甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等， ∴ {a n }成等差数列.∵ 乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等， ∴ {b n }成等比数列，根据等差数列的等差中项和等比数列的等比中项， 得a 7=12(a 1+a 13)，b 7=√b 1⋅b 13.∵ a 1=b 1，a 13=b 13，∴ a 7=12(a 1+a 13)>√a 1⋅a 13=√b 1⋅b 13=b 7，即a 7>b 7，∴ 到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大. (2)设一共使用了n 天，n 天的平均耗资为P(n)， ∴ P(n)=32000+(1+4910+2+4910+3+4910+⋯+n+4910)n=32000+49n 10+n(n +1)20n=32000n +n 20+9920≥2√32000n ×n 20+9920=169920，当且仅当32000n=n20，即n =800时，P(n)取得最小值，∴ 日平均耗资最小时使用了800天． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 等比中项 等差中项 数列的应用 数列的求和【解析】（1）设从2012年1月到2013年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，…，a 13，乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，…，b 13，根据题意可以确定{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，利用等差中项和等比中项求出a 7和b 7，利用基本不等式即可比较大小，从而得到答案；（2）设一共使用了n 天，则根据题意列出n 天的平均耗资的表达式，利用等差数列求和，和基本不等式，即可求得使用800天，平均耗资最小．【解答】解：(1)设从2018年1月到2019年1月甲企业每个月的产值分别为a 1，a 2，a 3，⋯，a 13， 乙企业每个月的产值分别为b 1，b 2，⋯，b 13.∵ 甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等， ∴ {a n }成等差数列.∵ 乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等， ∴ {b n }成等比数列，根据等差数列的等差中项和等比数列的等比中项， 得a 7=12(a 1+a 13)，b 7=√b 1⋅b 13. ∵ a 1=b 1，a 13=b 13，∴ a 7=12(a 1+a 13)>√a 1⋅a 13=√b 1⋅b 13=b 7， 即a 7>b 7，∴ 到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大. (2)设一共使用了n 天，n 天的平均耗资为P(n)， ∴ P(n)=32000+(1+4910+2+4910+3+4910+⋯+n+4910)n=32000+49n 10+n(n +1)20n =32000n +n 20+9920≥2√32000n ×n 20+9920=169920，当且仅当32000n=n20，即n =800时，P(n)取得最小值，∴ 日平均耗资最小时使用了800天． 15. 【答案】（1）a n 2=1−34⋅23)n−1；（2）证明见解析． 【考点】由递推关系式求通项公式 等差中项【解析】（1）首先设参数！构造等比数列，求出等比数列的通项公式，即可求出求a n 2（2）首先求出数列{b n }的通项公式，然后根据等差中项证明等差数列是否成立即可． 【解答】（1）据题意设 又因为a n+12=23a n 2+13a n+12+t =23(a n 2+t )，所以t =−1，所以 ，有故数列{a n 2−1}是以为首项，23为公比的等比数列，所以a n2−1=−34⋅(23)n−1整理得a n2=1−34⋅(23)n−1（2）由（1）有a n 2=1−34⋅(23)n−1，所以假设数列{b n }中存在三项b i ,b 2b i (r <ξ<t )按某种顺序构成等差数列， 因为数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，所以b,>b,>b,所以只能有2θ2=b,+b +b 成立， 即2×14×(23)−1=14×(23)−1+14×(23)1−1化简得因为r <S <t ，所以3n+1+21−r 为奇数，2×22×31+1为偶数， 故不可能成立，即假设不成立，故数列{b n }中任意三项不可能构成等差数列． 16. 【答案】解：(1)f(x)=sin x(cos x −√3sin x)=sin x cos x −√3sin 2x =12sin 2x −√32⋅(1−cos 2x)=sin (2x +π3)−√32， 令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2(k ∈Z )，得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12(k ∈Z )，∴ 函数的增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，k ∈Z ．∵ x ∈[0, π]，∴ 函数的增区间为[0, π12]，[7π12, π]． (2)由(1)得，f(B)=sin (2B +π3)−√32=0，∴ sin (2B +π3)=√32， 由0<B <π得，2B +π3=2π3，解得B =π6，由A +B +C =π得，A +C =5π6.∵ a ，b ，√3c 成公差大于零的等差数列， ∴ √3c >a ，b >a ，且2b =a +√3c ，则b =a+√3c 2，由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， ∴ (a+√3c 2)2=a 2+c 2−√3ac ，化简得，3a 2−6√3ac +c 2=0， 即3(ac )2−6√3⋅ac +1=0，解得ac =√3(3+2√2)3或ac=√3(3−2√2)3， 又√3c >a ，则a c=√3(3−2√2)3， ∴ 由正弦定理得，sin A sin C=a c=√3(3−2√2)3． 【考点】 等差中项二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理 正弦函数的单调性【解析】（1）由二倍角公式以及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由整体思想和正弦函数的增区间求出f(x)的增区间，再求出函数f(x)在[0, π]上的单调递增区间；（2）由（1）化简f(B)=0，由内角的范围、特殊角的三角函数值求出B ，由等差中项的性质列出式子求出b ，并表示出边的大小关系，由余弦定理化简后结合条件求出ac 的值，由正弦定理求出答案． 【解答】解：(1)f(x)=sin x(cos x −√3sin x)=sin x cos x −√3sin 2x =12sin 2x −√32⋅(1−cos 2x)=sin (2x +π3)−√32， 令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2(k ∈Z )，得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12(k ∈Z )，∴ 函数的增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，k ∈Z ． ∵ x ∈[0, π]，∴ 函数的增区间为[0, π12]，[7π12, π]． (2)由(1)得，f(B)=sin (2B +π3)−√32=0，∴ sin (2B +π3)=√32， 由0<B <π得，2B +π3=2π3，解得B =π6， 由A +B +C =π得，A +C =5π6.∵ a ，b ，√3c 成公差大于零的等差数列， ∴ √3c >a ，b >a ，且2b =a +√3c ，则b =a+√3c 2，由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，∴(a+√3c2)2=a2+c2−√3ac，化简得，3a2−6√3ac+c2=0，即3(ac )2−6√3⋅ac+1=0，解得ac =√3(3+2√2)3或ac=√3(3−2√2)3，又√3c>a，则ac =√3(3−2√2)3，∴由正弦定理得，sin Asin C =ac=√3(3−2√2)3．17.【答案】解：(1)当n=1时，3a1=4(a1−1)，得a1=4，当n≥2时，3a n=3S n−3S n−1=4a n−4a n−1，得a na n−1=4，故数列{a n}是以4为首项，4为公比的等比数列，数列{a n}的通项公式为a n=4n.(2)由S n=4(1−4n)1−4=43(4n−1)，有S n+S n+2=43(4n−1)+43(4n+2−1)=43(17×4n−2)，若存在正整数n使得S n，157S n+1,S n+2成等差数列，有43(17×4n−2)=2×157×43(4n+1−1)，解得n=2，由上知，存在n=2使得S n,157S n+1,S n+2成等差数列．【考点】等差中项等比数列的前n项和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当n=1时，3a1=4(a1−1)，得a1=4，当n≥2时，3a n=3S n−3S n−1=4a n−4a n−1，得a na n−1=4，故数列{a n}是以4为首项，4为公比的等比数列，数列{a n}的通项公式为a n=4n.(2)由S n=4(1−4n)1−4=43(4n−1)，有S n+S n+2=43(4n−1)+43(4n+2−1)=43(17×4n−2)，若存在正整数n 使得S n ，157S n+1,S n+2成等差数列， 有43(17×4n −2)=2×157×43(4n+1−1)，解得 n =2，由上知，存在n =2使得S n ,157S n+1,S n+2成等差数列．18.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题意可知：q >1. ∵ 4a 3与3a 5的等差中项为4a 4，∴ 4a 3+3a 5=2×4a 4⇒3q 2−8q +4=0 ⇒q =2,q =23，∵ 等比数列{a n }是单调递增数列，∴ q >1,∴ q =2.又∵ a 3与a 7的等比中项为16，所以 a 3a 7=162⇒a 52=256， 由题意可知a n >0⇒a 5=16,q =2⇒a 1=1，∴ a n =a 1q n−1=2n−1,b n =log 2a n+1=log 22n =n . (2)c n =(b n +b n+1+3)n+1(b n +2)n =(n +n +1+3)n+1(n +2)n=2n+1⋅(n +2)=n ⋅2n+1+2n+2，∑2i+2n i=1=23(1−2n )1−2=2n+3−8，记S n =∑(n i=1n ⋅2n+1)， S n =1×22+2×23+3×24+⋯+n ⋅2n+1，2S n =1×23+2×24+3×25+⋯+n ⋅2n+2，两式相减得：−S n =22+23+24+⋯+2n+1−n ⋅2n+2=22(1−2n )1−2−n ⋅2n+2，S n =(n −1)2n+2+4，∴ 数列{c n }的前n 项和为： T n =2n+3−8+(n −1)2n+2+4=(n +1)⋅2n+2−4. 【考点】 等比中项 等差中项 数列的求和 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题意可知：q >1. ∵ 4a 3与3a 5的等差中项为4a 4，∴ 4a 3+3a 5=2×4a 4⇒3q 2−8q +4=0 ⇒q =2,q =23，∵ 等比数列{a n }是单调递增数列，∴ q >1,∴ q =2.又∵ a 3与a 7的等比中项为16，所以 a 3a 7=162⇒a 52=256， 由题意可知a n >0⇒a 5=16,q =2⇒a 1=1，∴ a n =a 1q n−1=2n−1,b n =log 2a n+1=log 22n =n . (2)c n =(b n +b n+1+3)n+1(b n +2)n =(n +n +1+3)n+1(n +2)n=2n+1⋅(n +2)=n ⋅2n+1+2n+2，∑2i+2n i=1=23(1−2n )1−2=2n+3−8，记S n =∑(n i=1n ⋅2n+1)， S n =1×22+2×23+3×24+⋯+n ⋅2n+1，2S n =1×23+2×24+3×25+⋯+n ⋅2n+2， 两式相减得：−S n =22+23+24+⋯+2n+1−n ⋅2n+2=22(1−2n )1−2−n ⋅2n+2，S n =(n −1)2n+2+4，∴ 数列{c n }的前n 项和为： T n =2n+3−8+(n −1)2n+2+4=(n +1)⋅2n+2−4.。
等差、等比中项在数列解题中的应用
等差、等比中项在数列解题中的应用一、等差、等比中项的定义三个实数b A a ,,，满足b a A +=2，则b A a ,,成等差数列，A 叫做b a ,的等差中项。
即b A a ,,成等差数列的充要条件是b a A +=2或2b a A +=或A b a A -=- 三个非零实数b A a ,,，满足ab A =2，则b A a ,,成等比数列，A 叫做b a ,的等比中项。
即b A a ,,成等比数列的充要条件是ab A =2或ab A ±=或Ab a A = 二、等差、等比中项的应用例1 已知b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列，且 ()1log 0<<ab m ，则m 的取值范围.解：由b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列得，()b a a b ++=2，ab a b ⋅=2，解得4,2==b a ，因18log 0<<m ，解得8>m ，即m 的取值范围为()∞+.8.【点评】本题利用了等差中项与等比中项的性质，直接得到a 与b 的关系式，从而解得a 与b 的值，简化了解题过程。
对于等差中项或等比中项公式我们在数列中还可推广：1）等差数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等差中项，即p n p n n a a a +-+=2（2≥n 且p n >）2）等比数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等比中项，即p n p n n a a a +-⋅=2（2≥n 且p n >）。
利用这两个数列的重要性质，能使解题过程变得简捷。
例2 已知()1+=bx n f 为x 的一次函数，且()()()()()⎩⎨⎧>-==1111n n g f n n g ，若{}n a 中， ()()n g n g a n -+=1，其中*N n ∈，求证：数列{}n a 为等比数列证明：当1>n 时，Θ()()n g n g a n -+=1，∴()()121+-+=+n g n g a n ，()()232+-+=+n g n g a n()()[]()()[]2312+-+⋅-+=⋅+n g n g n g n g a a n n Θ()()[]()()()()[]121+-+⋅-+=n g f n g f n g n g ()()[]()()[]121+-+⋅-+=n bg n bg n g n g()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]12111+-+⋅+-++=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n g f n g f()()[]()()[]1212+-+⋅+-+=n g n g n g n g()()[]21212+=+-+=n a n g n g ， 而33221,0,0b a b a b a =≠=≠=，0≠∴n a ，且1=n 时，2231a a a =， 故数列{}n a 为等比数列【点评】证明数列是等差数列或等比数列，我们除了用定义证明之外，也可利用数列的中项的方法去证明，即若满足212+++=n n n a a a ，则数列为等差数列，若221++⋅=n n n a a a ，则数列为等比数列。
高中数学等差中项教案
高中数学等差中项教案
教学目标：
1. 理解等差中项的概念
2. 掌握等差数列求中项的方法
3. 能够运用等差中项的知识解决实际问题
教学重点、难点：
重点：掌握等差数列求中项的方法
难点：应用等差中项的知识解决实际问题
教学准备：
1. 教材、课件
2. 板书、彩色笔
3. 练习题
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾等差数列的定义和性质，并通过一个实际问题引出等差中项的概念。
二、授课（15分钟）
1. 等差数列中项的定义和性质
2. 等差数列求中项的方法
3. 例题讲解
三、练习（20分钟）
学生进行练习，巩固所学知识。
教师及时巡视，对学生的答题情况进行指导和辅导。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调等差中项的重要性，并鼓励学生要多加练习，提高解题能力。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，要求学生按时完成，并将不懂的地方记录下来，以便下节课讨论。
教学反思：
本节课通过引导学生回顾等差数列的定义和性质，引出等差中项的概念，并通过例题讲解和练习巩固，帮助学生掌握等差中项的求解方法。
同时，通过实际问题的引导，提高学生的实际解决问题能力，使学生能够将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中，教师要及时关注学生的学习情况，及时进行指导和辅导，帮助学生解决问题，提高学生的学习效果。
等差数列中间数公式
等差数列中间数公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等差数列是数学中常见的一种数列，其中相邻两项之间的差值都是相同的。
在等差数列中，我们通常会涉及到一些有关中间数的问题，比如如何求等差数列的中间数、中间数的位置等等。
本文将介绍等差数列中间数的概念以及相关公式，希望能帮助读者更好地理解等差数列的性质。
我们来看看等差数列的定义。
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差值都相等的数列。
如果一个等差数列的公差为d，首项为a，那么该等差数列可以用如下的形式来表示：a，a+d，a+2d，a+3d，......a代表首项，d代表公差，那么第n项为a+(n-1)d。
通过这个公式，我们可以很方便地求出等差数列中的任意一项。
接下来，让我们来看看如何求等差数列的中间数。
中间数一般指的是一个数列中的中间项，如果数列的项数为奇数，则中间数就是数列的中间项；如果数列的项数为偶数，则中间数就是两个中间项的平均数。
那么，如何求一个等差数列的中间数呢？对于一个长度为n（n为奇数）的等差数列来说，其中间数的位置是第(n+1)/2项，因为中间数是数列中的第(n+1)/2项。
同理，对于一个长度为n（n为偶数）的等差数列来说，中间数是数列的第n/2项和第n/2+1项的平均数。
通过这个规律，我们可以很容易地求出任意等差数列的中间数。
在实际应用中，我们可能会遇到一些关于等差数列中间数的问题，比如给定一个等差数列的首项、末项和项数，求中间数是多少？或者给定一个等差数列的首项、公差和中间数，求这个等差数列的其他项等等。
针对这些问题，我们可以通过一些公式来进行计算。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个等差数列，首项为3，末项为15，共13项，求这个等差数列的中间数是多少？我们可以求出这个等差数列的公差。
根据等差数列的性质，末项等于首项加上公差乘以项数减一，即：15 = 3 + d * (13-1)12d = 12那么，这个等差数列的公差为1。
等差中项ppt课件
作课人：李翠平
1
一、复习引入
• 等差数列的定义：
•如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一 项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母d表示。
2
• 等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
3
让学生随意说三个数成等差数列
• 让学生观察这三个数，首尾两位数的和 与中间数有什么关系。
am an ap aq
10
例7.10 已知三个数成等差数列，其和为15，首尾两数的积为9，求此数列。 解：根据等差数列的定义，可设这三个数分别为a-d,a,a+d,依题意得
(a d) a (a d ) 15 (a d)(a d ) 9
解此方程组，得a=5,d=±4. 因此，所求数列为1,5,9或9,5,1.
6
三、例题解析
• 例7.9 已知 an 是等差数列：
• •
（1）2a5 a3 a7
是否成立？
是否成立？ 2a5 a1 a9
•
（2）2an
an2
an
（n>2)是否成立？
2
•
2an ank ank（n>k>0) 是否成立？
7
解：（1）设等差数列 an 的公差为d，由通项公式
得 a3 a7 a1 (31)d a1 (7 1)d
2a1 (51)d
2a5
a1 a9 a1 a1 (9 1)d2Fra bibliotek1 (51)d
2a5 所都以 成，立2。a5 a3 a7 和 2a5 a1 a9
8
（2）由等差数列的通项公式，当n>2时，有
an2 an2 a1 (n 3)d a1 (n 1)d
等差数列等差中项PPT课件
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项
an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
.
27
引入
问题 某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆放了 7 层， 试从上到下列出每层钢管的数量.
每层钢管数为 4，5，6，7，8，9，10．
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28
如果已知数列a与它的前一项an1或前几项间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式叫做这个数列的递推公式
看图片数个数 ？
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数列
所以 a25 ＝－1＋(25－1)×3＝71.
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35
练习六
（1）已知等差数列{an }中，a1 = 3，an = 21，d = 2， 求n ．
（2）已知等差数列{an }中，a4 = 10，a5 = 6， 求 a8 和 d ．
.
36
新授
例6 已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列． 求证：它们的比是 3∶4∶5．
No Image
数
数列
列
数列
5.I 2.m 1 N 等a 差o 数g 列的e 概念
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已知一个等差的第3 例 1：
1 a1 (8 1)d 20
项是5，第8项是20， 练一练： 求它的首项和公差。 1.已知一个等差的第4 项是8，第10项是20， 解： a3 5 a8 20 求它的首项和公差。 a (3 1)d 5
2.已知一个等差的第2 项是40，第8项是82， 求它的首项和公差。
一.定义:
1、 一般地,如果一个数列从它的第2 前 一项的差 项起每一项与它的___
等于同一常数,则这个数列叫做 等差数列,这个常数叫做等差数 d 列的公差 ____,公差通常用字母___ 来表示
d=后项-前项
如:等差数列4,3,2,1, …的公差
d=3-4=-1
2、练习 ⑴等差数列8,5,2…的首项 a1
方法：若三个数成等差数列， 可设三个数为a－d，a，a＋d
例 3：
（2）. 已知三个数成等差数列，它们的和 为15，首末两项的积为9，求这个数列。
方法：若三个数成等差数列， 可设三个数为a－d，a，a＋d
例2. 梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽110cm，中间 还有10 级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。
33
解： a1=33，a12=110，n=12 a12=a1+(12-1)d,
即
110 =33+11d 解得 d =7 ∴ a2=33+7=40， a3=40+7=47， a4=54，a5=61，a6=68，a7=75， a8=82，a9=89，a10=96，a11=103。
答：梯子中间各级的宽度从上到下依 次是 40 cm, 47 cm, 54 cm, 61 cm, 68 cm, 75 cm, 82 cm,89 cm, 96cm, 103 cm。 110
-3 公差d=___ 8 ___
-5 ⑵等差数列-5,-9,-13…的首项 a1 ___
-4 公差d=____
二、等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d
其中
an 是第n项 （可以是具体的 a7 , a20 等项 ） a1 指第一项（首项）
n 指项数（序号） d 指公差
此四个量知三求一
例 1：
已知一个等差的第3项是5，第8项是 20，求它的首项和公差。 解： a3
a1 (3 1)d 5 a1 2d 5 a 7 d 20 a (8 1) d 20 1 1
5 a8 20
解此方程组，得
a1 1 d 3
a1 2d 5 a1 7d 20 解得 a1 1 d 3
想一想：
如果a，A，b成等差数列，则A满足什么条 件？
解：由a，A，b成等差数列，得： A－a＝b－A 所以
A
a b 2
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做
a与b的等差中项。
例 3：
（1）. 已知三个数成等差数列，它们的和 为15，求这个数列的第二项。