12.17圆锥曲线复习讲义

圆锥曲线综合复习一、填空题1.已知点A 1，y0y0>0为抛物线y2=2px(p>0)上一点.若点A到该抛物线焦点的距离为3，则y0=__________2.如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2−4x−12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是________3.椭圆x216+y29=1中，以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为________4.已知焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点A(m，22)，以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为27，则m=______5.双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=______．6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的一条渐近线l的倾斜角为π3，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的方程为______．7.抛物线y2=2x的准线方程是______；该抛物线的焦点为F，点M(x0，y0)在此抛物线上，且|MF|=52，则x0=______．8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，N(2，2)，则|MF|+|MN|的取值范围为______．9.关于曲线C：x4+y2=1，给出下列说法：①关于坐标轴对称；②关于点(0，0)对称；③关于直线y=x对称；④是封闭图形，面积大于π．则其中正确说法的序号是______.(注：把你认为正确的序号都填上)10.若抛物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆x23+y24=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为______ ．11.抛物线y2=2px(p>0)的一条弦AB过焦点F，且|AF|=2，|BF|=3，则抛物线的方程为______ ．12.已知双曲线C与双曲线x28−y26=1有共同的渐近线，则双曲线C的离心率为______ ，若此双曲线C还过点M(22，3)，则双曲线C的方程为______ ．13.已知双曲线x2m+2−y2m+1=1的离心率为72，则m=______ ．14.若双曲线x2−y2b=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______ ．15.已知过点M(1，−1)的直线l与椭圆x24+y23=1相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，且与圆(y−1)2+x2=1相切．(Ⅰ)求直线l在y轴上截距的取值范围；(Ⅱ)设F是抛物线的焦点，且FA⋅FB=0，求直线l的方程．17.已知抛物线C；y2=2px过点A(1，1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(3，−1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．18.求分别满足下列条件的椭圆C的标准方程．(1)过点(3，−2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点．( 2 )中心为原点，焦点在x轴上，离心率为22，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．19.如右图抛物线顶点在原点，圆(x−2)2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．曲线C上的动点M到定点F(1，0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：3．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点F(1，0)的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为26时，求直线l的方程．5圆锥曲线综合复习一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）20.已知点A(1，y0)(y0>0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点.若点A到该抛物线焦点的距离为 3，则y0=( )A. 2B. 2C. 22D. 4【答案】C【解析】解：∵点A到该抛物线焦点的距离为3，∴1+p2=3，解得p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x，把点A(1，y0)(y0>0)代入可得：y02=8，解得y0=22．故选：C．点A到该抛物线焦点的距离为3，可得1+p2=3，解得p.把点A(1，y0)(y0>0)代入抛物线方程解出即可．本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2−4x−12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是( )A. (6，10)B. (8，12)C. [6，8]D. [8，12]【答案】B【解析】解：抛物线的准线l：x=−2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆(x−2)2+y2=16的圆心为(2，0)，半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B−x A)+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆(x−2)2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈(2，6)∴6+x B∈(8，12)故选B．由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B−x A)+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．22.椭圆x216+y29=1中，以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为( )A. 916B. 932C. 964D. −932【答案】D【解析】解：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆得x1216+y129=1 x2216+y229=1，两式相减得(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)9=0，即(x1+x2)(x1−x2)16=−(y1+y2)(y1−y2)9，即−9(x1+x2)16(y1+y2)=(y1−y2)(x1−x2)，即−9×216×4=(y1−y2)(x1−x2)，即(y1−y2)(x1−x2)=−932，∴弦所在的直线的斜率为−932，故选：D先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系.在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的．A. 13B. 33C. 63D. 233【答案】D【解析】解：由A(m， 22)在抛物线y2=2px上，∴2pm=8，∴p=4m，∴抛物线的焦点F(p2， 0)，即F(2m， 0)，准线方程为x=−p2，由抛物线的定义可知|AF|=m+p2=m+2m，即圆A的半径r=m+2m．∵A到y轴的距离d=m，∴r2−d2=(7)2，即(m+2m )2−m2=7，解得m=233，故选D．运用点满足抛物线的方程可得p(由m表示)，运用抛物线的定义可得|AF|，即圆的半径，运用圆的弦长公式，解方程可得m的值．本题考查抛物线的定义和方程的运用，直线和圆相交的弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共11小题，共55.0分）24.双曲线x2a −y2b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=______．【答案】53【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点为(c，0)，左顶点为(−a，0)，右焦点到双曲线渐近线bx−ay=0的距离为：a2+b2=bcc=b，右焦点(c，0)到左顶点为(−a，0)的距离为：a+c，由题意可得，b=12(a+c)，即有4b2=a2+c2+2ac，即4(c2−a2)=a2+c2+2ac，即3c2−5a2−2ac=0，由e=ca，则有3e2−2e−5=0，解得，e=53．故答案为：53．求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．25.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的一条渐近线l的倾斜角为π3，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的方程为______．【答案】x2−y23=1【解析】解：双曲线C：x2a −y2b=1的一条渐近线l的方程为y=bax，由题意可得ba =tanπ3=3，即b=3a，由C的一个焦点到l的距离为3，可得a2+b2=b=3，解得a=1，则双曲线的方程为x2−y23=1．故答案为：x2−y23=1．求出双曲线的一条渐近线方程，可得b=3a，再由点到直线的距离公式，计算可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．【答案】x=−12；2【解析】解：∵抛物线方程为y2=2x∴可得2p=2，得p2=12，所以抛物线的焦点为F(12，0)，准线方程为x=−12；∵点M(x0，y0)在此抛物线上，∴根据抛物线的定义，可得|MF|=x0+p2=52即x0+12=52，解之得x0=2故答案为：x=−12，2根据抛物线的标准方程，可得抛物线开口向右，由2p=2得p2=12，所以抛物线的准线方程为x=−12；由抛物线的定义结合点M坐标可得|MF|=x0+p2=52，解之可得x0的值．本题给出抛物线的标准方程，求它的准线方程和满足|MF|=52的点M的坐标.着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．27.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，N(2，2)，则|MF|+|MN|的取值范围为______．【答案】[3，+∞)【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1，0)，准线x=−1根据抛物线定义可知|MF|=x M+1∴当直线MN垂直抛物线准线时，|MF|+|MN|为最小，最小为2+1=3，∴|MF|+|MN|的取值范围为[3，+∞)．故答案为：[3，+∞)．根据抛物线定义可知MF|=x M+1，判断出当直线MN垂直抛物线准线时，|MF|+|MN|为最小，即可求出|MF|+|MN|的取值范围．本题主要考查了抛物线的应用.当涉及抛物线上的点与焦点的问题时，常需要借助抛物线的定义来解决．28.关于曲线C：x4+y2=1，给出下列说法：①关于坐标轴对称；②关于点(0，0)对称；③关于直线y=x对称；④是封闭图形，面积大于π．则其中正确说法的序号是______.(注：把你认为正确的序号都填上)【答案】①②④【解析】解：对于①②，将方程中的x换成−x，y换成−y方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①②对对于③，将方程中的x换为y，y换为x方程变为y4+x2=1与原方程不同，故③错对于④，在曲线C上任取一点M(x0，y0)，x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故④对．故答案为：①②④．将方程中的x换为−x，y换为−y，方程不变，判断出①②对；通过将方程中的x，y互换方程改变，判断出③错；由方程上的点的坐标有界判断出④对．本题考查点(x，y)关于x轴的对称点为(x，−y)；关于y轴的对称点为(−x，y)；关于原点的对称点(−x，−y)；关于y=x 的对称点为(y，x)．29.若抛物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆x23+y24=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为______ ．【答案】4【解析】解：抛物线x2=2py(p>0)的焦点与椭圆x23+y24=1的一个顶点(0，2)重合，抛物线的开口向上，焦点坐标(0，2)，可得p=4，则该抛物线的焦点到准线的距离为：p=4．故答案为：4．求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．30.抛物线y2=2px(p>0)的一条弦AB过焦点F，且|AF|=2，|BF|=3，则抛物线的方程为______ ．【答案】y2=245x2∴x1+x2=5−p，而x1⋅x2=p24．由|AF|⋅|BF|=x1⋅x2+p2(x1+x2)+p24=6．得p22+p2⋅(5−p)=6，即5p2=6，∴p=125，抛物线方程为y2=245x.故答案为：y2=245x．首先由抛物线y2=2px(p>0)的一条弦AB过焦点F，且|AF|=2，|BF|=3，可把点A，B的坐标设出来，然后应用圆锥曲线的焦半径公式把|AF|+|BF和|AF|⋅|BF|用x1，x2表示出来，然后解出p的值即可得到抛物线方程．此题主要考查抛物线标准方程的求法，其中涉及到圆锥曲线的焦半径公式的应用，在高考中属于重点的考点，且有一定的难度希望同学们注意．31.已知双曲线C与双曲线x28−y26=1有共同的渐近线，则双曲线C的离心率为______ ，若此双曲线C还过点M(22，3)，则双曲线C的方程为______ ．【答案】72或213；x24−y23=1【解析】解：双曲线C与双曲线x28−y26=1有共同的渐近线，可得：ba=68或ab=68，即：b2a =34，可得e2−1=34，可得：e=72．a2 b =68，可得：e2−1=43，e=213．此双曲线C设为：x28−y26=m还过点M(22，3)，可得：88−36=m，即m=12，所求双曲线方程为：x24−y23=1．故答案为：72或213；x24−y23=1．直接求解双曲线的离心率，然后求解双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．32.已知双曲线x2m+2−y2m+1=1的离心率为72，则m=______ ．【答案】2或−5【解析】解：双曲线x2m+2−y2m+1=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线x2m+2−y2m+1=1的离心率为72，∴ca =72，当焦点在y轴时，a2=−m−1，b2=−m−2，可得c2=a2+b2=−3−2m，∵双曲线x2m+2−y2m+1=1的离心率为72，∴ca =72，可得−3−2m−1−m =74，即12+8m=7m+7，可得m=−5．故答案为：2或−5．直接利用双曲线的方程，求出a，b，c利用离心率求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．33.若双曲线x2−y2b2=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】5【解析】解：根据题意，双曲线x2−y2=1的焦点在x轴上，设其坐标为(±c，0)，又由题意，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则有d=1+b2=b=2，即b=2，则c==，则其离心率e=ca=5；故答案为：5．根据题意，设双曲线的焦点坐标为(±c，0)，求出其渐近线方程，结合题意，由点到直线的距离可得2=2，解可得b 的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线方程中b的值．34.已知过点M(1，−1)的直线l与椭圆x24+y23=1相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为______ ．【答案】3x−4y−7=0【解析】解：方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可知：x1+x2=2，y1+y2=−2，则x124+y123=1x224+y223=1，两式相减得：(x1+x2)(x1−x2)4+(y1+y2)(y1−y2)3=0，则y1−y2x1−x2=−3(x1+x2)4(y1+y2)=34，则直线AB的斜率k=y1−y2x1−x2=34，则直线l的方程方程y+1=34(x−1)，整理得：3x−4y−7=0，故答案为：3x−4y−7=0．方法二：由点M是AB的中点，则设M(1+m，−1+n)，N(1−m，−1−n)，则(1+m)24+(−1+n)23=1，①1−m24+−1−n23=1，②两式相减得：4m4+−4n3=0，整理得：nm =34，直线AB的斜率k=nm =34，则直线l的方程方程y+1=34(x−1)，整理得：3x−4y−7=0，故答案为：3x−4y−7=0．方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得直线AB的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程；方法二：设M(1+m，−1+n)，N(1−m，−1−n)，代入椭圆方程，作差，由直线l的斜率nm =34，利用点斜式方程，即可求得直线l的方程．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）35.已知直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，且与圆(y−1)2+x2=1相切．(Ⅰ)求直线l在y轴上截距的取值范围；(Ⅱ)设F是抛物线的焦点，且FA⋅FB=0，求直线l的方程．【答案】解：(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+b.由直线l与圆(y−1)2+x2=1相切，得k2+1=1，化简得k2=b2−2b.(2分)直线l的方程代入x2=4y，消去y，得x2−4kx−4b=0.(∗)(3分)由直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，得△=(−4k)2+16b>0，即k2+b>0．将k2=b2−2b代入上式，得b2−b>0．解得b>1，或b<0.(5分)注意到k2=b2−2b≥0，从而有b≥2，或b<0.(6分)(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).由(∗)得x1+x2=4k，x1x2=−4b．所以FA⋅FB=x1x2+(y1−1)(y2−1)+y1y2=32x1x2+116(x1x2)2−14(x1+x2)2+1.(10分)将x1+x2=4k，x1x2=−4b代入上式，令FA⋅FB=0，得b2−4k2−6b+1=0．所以b2−4(b2−2b)−6b+1=0，即3b2−2b−1=0．故k=±73．所以直线l的方程为7x+3y+1=0，或7x−3y−1=0.(13分)【解析】(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+b.由直线l与圆(y−1)2+x2=1相切，得k2+1=1，化简得k2=b2−2b，直线l的方程代入x2=4y，消去y，由直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，得△>0，即可求直线l在y轴上截距的取值范围；(Ⅱ)以FA⋅FB=x1x2+(y1−1)(y2−1)+y1y2，结合韦达定理，即可求直线l的方程．本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．36.已知抛物线C；y2=2px过点A(1，1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点P(3，−1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1⋅k2为定值．【答案】解：(1)由题意抛物线y2=2px过点A(1，1)，所以p=12，所以得抛物线的方程为y2=x；(2)证明：设过点P(3，−1)的直线l的方程为x−3=m(y+1)，即x=my+m+3，代入y2=x得y2−my−m−3=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=m，y1y2=−m−3，所以k1⋅k2=y1−1x1−1⋅y2−1x2−1=y1y2−(y1+y2)+1m y1y2+m(m+2)y1y2+(m+2)=−12【解析】(1)利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；(2)设过点P(3，−1)的直线l的方程为x−3=m(y+1)，即x=my+m+3，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1⋅k2的值．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．37.求分别满足下列条件的椭圆C的标准方程．(1)过点(3，−2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点．( 2 )中心为原点，焦点在x轴上，离心率为22，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．【答案】解：(1)在椭圆x29+y24=1中c2=a2−b2=9−4=5．设椭圆方程为x2a2+y2a2−5=1，代入点(3，−2)，即9a2+4a2−5=1，…(3分)解得a2=15或3(舍去)，∴椭圆C的标准方程为：x215+y210=1…(6分)(2)设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，据题意e=ca =22，4a=16，…(8分)∴a=4，c=22，b2=a2−c2=8，∴椭圆C的标准方程为：x216+y28=1.…(12分)【解析】(1)根据已知求出焦点坐标，结合椭圆过点(3，−2)，可得答案；(2)由已知可得e=ca =22，4a=16，进而可得答案．本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档．38.如右图抛物线顶点在原点，圆(x−2)2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．【答案】解：(Ⅰ)设抛物线方程为y2=2px(p>0)，∵圆(x−2)2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x；(Ⅱ)依题意直线AB的方程为y=2x−4设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y=2x−4y2=8x，得x2−6x+4=0，∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．|AB|+|CD|=|AD|−|CB|=10−4=6．【解析】(Ⅰ)设抛物线方程为y2=2px(p>0)，由已知得p=4.即可得抛物线的方程．(Ⅱ)依题意直线AB的方程为y=2x−4设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y=2x−4y2=8x，得x2−6x+4=0，|AD|=x1+x2+p=6+4=10.可得|AB|+|CD|=|AD|−|CB|=10−4=6．本题考查了抛物线的方程、性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．39.曲线C上的动点M到定点F(1，0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：3．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点F(1，0)的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为265时，求直线l的方程．【答案】解：(Ⅰ)设M(x，y)由题意可得，(x−1)2+y2|x−3|=3，整理得x23+y22=1，则曲线C的方程为x23+y22=1；(Ⅱ)当l斜率不存在时，l方程为x=1，此时l与C的交点分别为A(1，233)，B(1，−233)，即有|AB|=433，则S△ABO=12×1×433=233≠265，由直线l斜率存在，设l方程为y=k(x−1)，由y=k(x−1)x23+y22=1⇒(2+3k2)x2−6k2x+3k2−6=0，得x1+x2=6k22+3k2，x1⋅x2=3k2−62+3k2，∴|AB|=(1+k2)[(6k22+3k )2−43k2−62+3k]=431+k22+3k．设O到l的距离为d，则d=2=2，∴S△ABO=12×1+k2×431+k22+3k2=23k2(1+k2)(2+3k2)2=265，解得k=±1．综上所述，当△ABO面积为265时，l的方程为y=x−1或y=−x+1．【解析】(Ⅰ)设M(x，y)，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程；(Ⅱ)当l斜率不存在时，l方程为x=1，求得A，B的坐标，以及△ABO的面积；由直线l斜率存在，设l方程为y=k(x−1)，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．第11页，共11页。