辽宁数学文高考知识点分布(15版)
专题30 数列求和5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)
专题30数列求和5题型分类数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2d.(2)等比数列的前n项和公式：S n1，＝a1(1－q n)1－q，q≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.(2)1n (n ＋2)＝(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝(4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(5)1n (n ＋1)(n ＋2)＝121n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).常用结论常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.(3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1).(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝n (n ＋1)22.（一）分组求和(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．（二）错位相减法求和(1)如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n－qS n”的表达式．②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S n＝na1.b（三）裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．2（四）倒序相加法将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项和公式的推导即用此方法）．一、单选题1．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）数列9,99,999，…的前n 项和为A ．109（10n －1）＋n B ．10n －1C ．109（10n －1）D ．109（10n －1）－n 2．（2024高二下·湖北·阶段练习）高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行123100++++L 的求和运算时，他这样算的：1100101+=，299101+=，…，5051101+=，共有50组，所以501015050⨯=，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120231a a =，试根据以上提示探求：若24()1f x x =+，则()()()122023f a f a f a +++= （）A ．2023B ．4046C ．2022D ．40443．（2024高三下·江西·开学考试）已知数列21443n n ⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，不等式263n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．2,[1,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ B ．2(,1],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,(1,)3x ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 4．（2024·浙江）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<二、填空题5．（2024高二下·江苏南京·期中）已知数列{}i a 的项数为()N n n *∈，且1C (1,2,)i i n i n a a i n -++== ，则{}i a 的前n 项和n S 为．6．（2024高二上·湖北黄冈·期末）1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即11235813213455 ，，，，，，，，，，该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为.7．（2024高二上·上海黄浦·期中）数列()()()22311,(12),122,1222,,122,n -+++++++++ 的前n 项和为.8．（2024高三下·全国·开学考试）现取长度为2的线段MN 的中点1M ，以1MM 为直径作半圆，该半圆的面积为1S （图1），再取线段1M N 的中点2M ，以12M M 为直径作半圆．所得半圆的面积之和为2S （图2），再取线段2M N 的中点3M ，以23M M 为直径作半圆，所得半圆的面积之和为3S ，以此类推，则1ni i iS ==∑．9．（2024高三·全国·对口高考）已知函数4()42x x f x =+，则()(1)f x f x +-=；数列{}n a 满足2016n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则这个数列的前2015项的和等于.10．（2024·江苏·模拟预测）若数列{}n a 满足C (1,2,3,,1)ii n i n a a i n -+==- ，12n a =，则{}n a 的前n 项和为.11．（2024高三·全国·专题练习）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为．12．（2024·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n 次，那么1nkk S==∑2dm .13．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个n 阶代数方程必有n 个复数解等.若函数()22log 1x f x x =-，设()112311,,2n n a a f f f f n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++∈≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则1210a a a +++=.14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n ++⋅⋅⋅+=+，设函数()1cos π2f x x =+，则32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．（2024高三上·河北·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对123100+++⋯⋯+的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数()xf x ={}n a 满足()121(0)(1)N n n a f f f f f n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若12n n n b a +=，则{}n b 的前n 项和n S =．16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知12cos 2cos x x f x x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则202112022i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑.17．（2024高三·全国·对口高考）数列()55,55,555,5555,,101,9n- 的前n 项和n S =.18．（2024高二上·湖北黄冈·期末）已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n aa n +++-=，50600S =，则12a a +=.三、解答题19．（2024高一下·山西·阶段练习）已知数列{}221:1,12,122,,1222,-+++++++ n n a ，求数列{}n a 的前n 项和n S .20．（2024高三上·河北·期末）已知数列{}n a 满足312232222n na a a a n ++++= .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.21．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11340,4n n a S a +--==．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．22．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为2,3n S a =，且136,,23a a a +成等比数列.(1)求n a 和n S .(2)设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．（2024高三上·海南·期末）已知数列{}n a 满足14a =，*122(N )n n a a n +=+∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．（2024高一下·广东梅州·期末）已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且237,,a a a 成等比数列(1)求通项公式na (2)设2n an b =，求数列n b 的前n 项和nS 25．（2024高三上·辽宁大连·期末）已知数列{}n a 满足：()*111,1,2,n n n a n a a n a n +-⎧==∈⎨⎩N 为奇数为偶数.设21n n b a -=.(1)证明：数列{}2n b -为等比数列，并求出{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .26．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求{}n a 的前10项和10S .27．（2024·云南红河·一模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中公比451211,8a a q a a +≠-=+，且378S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log ,1, n n na nb n a ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列}n b 的前2n 项和2n T ．28．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项积为,0,2nn n n n T T a a T ≠=-．(1)求证：数列{}n T 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)令()()()11111n n n n b a a -+=-+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．29．（2024高三上·云南·阶段练习）已知数列{}n a 满足：312232222n n a a a a n +++⋅⋅⋅+=（*n ∈N ），数列{}n b 满足5012n n b a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求1299b b b ++⋅⋅⋅+.30．（2024高二下·江西萍乡·期末）已知函数()142xa f x =++关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，其中a 为实数.(1)求实数a 的值；(2)若数列{}n a 的通项满足2023n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，求2022S .31．（2024高三上·天津河北·期末）已知{}n a 是等差数列，其公差d 不等于0，其前n 项和为{},n n S b 是等比数列，且11223131,,2a b a b S a b ===-=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；(3)记1222n n n n a c a a ++=，求{}n c 的前n 项和n P .32．（2024高三·全国·专题练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1121n n a S n a ==+，，.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .33．（2024高三上·全国·期末）数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，公比11223303,1,4,12q a b a b a b <<====.(1)求{}{}n n a b ､的通项公式；(2)求数列{}nna b 的前n 项和.34．（2024·吉林白山·一模）已知等比数列{}n a 满足12a =，且2420a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n b n a =⋅，{}n b 其前n 项和记为n S ，求n S ．35．（2024·全国·模拟预测）已知{}2n n a 是等差数列，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．(1)求证：12a a =；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，16n S ≤≤，求1a 的取值范围．36．（2024高二上·湖南张家界·阶段练习）已知等差数列{}n a 满足24a =，4527a a -=，公比不为1-的等比数列{}n b 满足34b =，()45128b b b b +=+．(1)求{}n a 与{}n b 通项公式；(2)设()*13N n n n c n a a +=∈⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．37．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且425S S =，222n n a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．38．（2024·新疆·一模）非零数列{}n a 满足()()()()*112212n n n n n n n a a a a a a a n +++++--=-∈N ，且121,2a a ==．(1)设1nn n na b a a +=-，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)设11n n n c a a +=，求{}n c 的前n 项和n T ．39．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(1)求nS (2)求12233411111n n S S S S S S S S ++++⋯+++++40．（2024·广东广州·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .41．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，1322n n S S +=-（*n ∈N ）.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b ，{}n c 满足()32log n n b a =-，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .42．（2024·四川攀枝花·二模）已知数列{}n a 满足()*1144,313n n na a a n a +=-=∈-N ．(1)证明：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．43．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321n n S a n =-+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．44．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，n *∈N ．(1)若11a =，且22n n a a =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若13a d =，数列{}n b a 的首项为1a ，满足13n n b b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求5T ．45．（2024高三上·广东东莞·期末）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()()1122n T n n =++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()1ln nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．46．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11334n n a a a +==-，，记)23n n b a =-+．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)已知()1111n n n n n b c b b +++=-⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n S ．求证：221n S ≥．47．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项积为n T ，且()()**21,!n n n S a n T n n =-∈=∈N N ．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n c 的前n 项和n P ．48．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()211n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知数列{}n a 是递增的等比数列，142332,12a a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()1111n n n n a b a a ++=++，求数列{}n b的前n 项和n S .50．（2024·四川绵阳·二模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．51．（2024高三·全国·专题练习）仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，第五层30盒，L，请你寻找至少两个堆放的规律．52．（2024·广东广州·三模）已知正项数列{}n a 和{},n n b S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242n n n S a a =+，()*22log n n a b n N =∈（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．53．（2024·湖南岳阳·三模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公比1q ≠-，4578127a a a a +=+，且4393S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知13log ,,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．54．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的前n 项和分别为：,n n S T ，且满足：()21413,2n n n S a S n +==+，22214n n n T S n n -=---(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若,2n nn c n S =⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项的和2n U .55．（2024高三下·湖南常德·阶段练习）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，210,4n a a b =>，若12a =，()2211202n n n n a a a a n ----=≥，且()211n n nb n b n n +-+=+，*N n ∈.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T .56．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为n S ，满足：234613,3S a a ==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1,,n n n a n b b n n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .57．（2024·广东汕头·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)设()31log 1n n b a +=+，证明：222121111n b b b ++⋅⋅⋅+<.58．（2024·浙江宁波·模拟预测）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()222*330,n n S n n S n n n N -+--+=∈.(1)求1a 的值：(2)求数列{}n a 的通项公式：(3)证明：对一切正整数n244⎫+≤-⎪⎭.59．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(){},*∈n n S n N b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．(1){}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列{}2n n a b ⋅的前8项和8T ；(3)证明：()212591nii i b b =<-∑．60．（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若34102252,33+==a a S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()22π1cos3n n n b a =+，求数列{}n b 的前18项和18T ．61．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列{}n a 满足211222,1,3nn n n a a a a a +++-===．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求111222(1)n n n n n a a +++⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪-⋅⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和n T ．62．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21342n n n n S S S a +++=-，11a =，23a =．(1)证明：数列{}12n n a a +-是等差数列；(2)记22(1)n n n a b n n++=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ．63．（2024·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 满足2*11,N ,5n n a a n a +=∈=.(1)求数列{}n a 的通项；(2)设22,1n n n n a b S a =-为数列{}n b 的前n 项和，求证12n S <．64．（2024·江西南昌·三模）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()111n n n S S n n a ++=+，且112a =.(1)求n S ；(2)若()221n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .65．（2024·山东烟台·三模）已知数列{}()11,1,11n n n a a na n a +=-+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()1πsin cos π2n n n b a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前2n 项和2nT66．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，21nnS n a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列12log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求集合{}*10,N k k T k ≤∈中元素的个数.67．（2024·福建厦门·模拟预测）已知数列{}n a 满足111,12nn n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．68．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()1311n n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．69．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且540S =，9126S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，并证明：16n T <.70．（2024·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列{an }中，a 1=1且满足221122n n n n a a a a ++-=+，数列{bn }的前n 项和为Sn ，满足2Sn +1=3bn .(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和Sn ；(3)若在bk 与bk +1之间依次插入数列{an }中的k 项构成新数列{}n c '：b 1，a 1，b 2，a 2，a 3，b 3，a 4，a 5，a 6，b 4，……，求数列{cn }中前50项的和T 50.71．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列{}n a 的首项145a =，1431n n n a a a +=+，*n ∈N .(1)设1nn na b a =-，求数列{}n b 的通项公式；(2)在k b 与1k b +（其中*k ∈N ）之间插入2k 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n c .记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求36S .72．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)nn n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .73．（2024·广东广州·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列23n n S a ⎧⎫-⎨⎩⎭是公比为13的等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1213n n b n -=+，求其前n 项和nT 74．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列{}n x 的首项为1，且1121212222n n n n n nx x nx x x -+--++++= .(1)求数列{}n x 的通项公式；(2)若()()1121,2n n n n b n x x S +=+-为{}n b 前n 项的和，求n S .75．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n n S na =，23a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若16n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．76．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，且*∈N n b ，若1212312342,15a b a a a b b b b ==++=+++=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设由{}n a ，{}n b 的公共项构成的新数列记为{}n c ，求数列{}n c 的前5项之和5S ．77．（2024高三·全国·专题练习）求和()()()22122323322332322n n n n n S --=+++⋅++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+．78．（2024·天津津南·模拟预测）已知{}n a 是单调递增的等差数列，其前n 项和为n S .{}n b 是公比为q 的等比数列.1142423,,a b a b S q S ====⋅.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()1,,7n n n n n nn a b n c a b n a S -⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T .79．（2024·天津）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．80．（2024·天津·一模）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n A ，715a =，763A =；数列{}n b 的前n 项和为n B ，()*233n n B b n =-∈N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求数列1n A ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S ；(3)求证：12nkk ka B =<∑.。
两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)
专题39两条直线的位置关系9题型分类1．两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中l 1与l 3是同一条直线，l 2与l 4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l 1，l 2满足的条件l 3，l 4满足的条件平行k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0垂直k 1·k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0相交k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．②结论：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．（一）判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．（二）利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．y （三）对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．求直线l 关于直线0l 对称的直线'l 若直线0//l l ，则//'l l ，且对称轴0l 与直线l 及'l 之间的距离相等．此时0,,'l l l 分别为00,0,++=++=Ax By C Ax By C 22'0(0)++=+≠Ax By C A B ，由002222|||'|--=++C C C C A B A B ，求得'C ，从而得'l ．若直线l 与0l 不平行，则0= l l Q ．在直线l 上取异于Q 的一点11(,)P x y ，然后求得11(,)P x y 关于直线0l 对称的点22'(,)P x y ，再由,'Q P 两点确定直线'l （其中0'= l l l Q ）．题型6：点线对称6-1．（2024高二上·全国·课后作业）若直线定点（）2,0A．35B．6-3．（2024高二上·四川遂宁-A．(1,4)--C．(3,4)题型7：线点对称7-1．（2024高二·全国·单元测试）直线7-2．（2024高三上·辽宁营口时，点M到直线2l的距离为7-3．（2024高二上·江苏苏州的直线方程为．7-4．（2024高二上·全国·课后作业）直线题型8：线线对称8-1．（2024高三·全国·专题练习）已知直线直线为2l，则直线2l的方程为8-2．（2024高二上·湖北黄石的距离是25，则直线1l关于直线（四）一、单选题1．（2024高二上·浙江·期中）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）A B ．2C 1D 12．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线1:3460l x y -+=，2:3440l x y --=，则这两条直线之间的距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．103．（2024高二·全国·课后作业）求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程（）A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y ＋3＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x ＋2y ＋2＝04．（2024高二·全国·课后作业）直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为（）A ．0ax by c -+=B ．0bx ay c -+=C ．0bx ay c ++=D ．0bx ay c +-=5．（2024·浙江温州·三模）已知直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，若12l l ⊥，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线1l ：210ax y ++=，2l ：()30a x y a --+=，则条件“1a =”是“12l l ⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件7．（2024高二上·全国·课后作业）直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫⎪⎝⎭8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线2mx ny +=过点()2,2A ，其中m ，n 是正实数，则12m n+的最小值是（）A ．3B ．3+C ．92D ．59．（2024高二上·全国·课后作业）若直线230x y --=与420x y a -+=，则a 的值为（）A ．4B6C ．4或16-D ．8或16-10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线214y x =的焦点关于直线10x y --=的对称点的坐标是（）A ．(2,1)-B ．(1,1)-C ．11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭11．（2024·四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B CD ．213．（2024·北京东城·二模）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为1:3260l x y --=，22:0x y l --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A ．3240x y --=B ．2360x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y --=15．（2024高一下·海南·期末）设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅++=与sin sin 0bx B y C -⋅+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B ．2+C ．3+D ．4+17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线()()1:11l x a y a a R ++=-∈，直线21:2l y x =-，下列说法正确的是（）A ．R a ∃∈，使得12l l ∥B ．R a ∃∈，使得12l l ⊥C ．R a ∀∈，1l 与2l 都相交D ．R a ∃∈，使得原点到1l 的距离为318．（2024·全国）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．1,63a b ==B ．1,63a b ==-C ．3,2a b ==-D ．3,6a b ==19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔA 的顶点()2,1B ，()6,3C -，其垂心为()3,2H -，则其顶点A 的坐标为A ．()19,62--B ．()19,62-C ．()19,62-D ．()19,6220．（2024高三·全国·课后作业）若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为()A ．B ．C ．D ．21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，3AB AC ==，点P 是边AB 上异于A B ､的一点，光线从点P 出发，经BC CA ､反射后又回到点P ，如图，若光线QR 经过ABC V 的重心，则AP =（）A ．32B ．34C ．1D ．222．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)F B ．(2,2)E -，(0,2)F C ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,2)E -，20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A 的动直线0x ky +=和过定点B 的动直线210kx y k --+=交于点M ，则MA MB +的最大值是（）A ．B ．3C D24．（2024高二下·陕西西安·期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）AB C ．5D ．1025．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知0x y +=，则）AB ．CD ．26．（2024·贵州·模拟预测）已知,x y +∈R ，满足22x y +=，则x 的最小值为（）A ．45B ．85C ．1D ．1327．（2024·上海静安·二模）设直线1:220l x y --=与2l 关于直线:240l x y --=对称，则直线2l 的方程是（）A ．112220x y +-=B ．11220x y ++=C ．5110x y +-=D ．10220x y +-=28．（2024高三·北京·+的最小值所属区间为（）A ．[10,11]B ．(11,12]C ．(12,13]D ．前三个答案都不对29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点,A B 分别在直线1:3460l x y -+=与2:34100l x y -+=上移动，则线段AB 的中点P 到坐标原点O ）A B ．75C D 31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（）A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的一个法向量为)B ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥C ．点)到直线l 的距离是2D ．过()2与直线l 40y --=33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线e 2xy =和直线:240l x y --=，则（）A ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．曲线上的点到直线lD ．曲线上的点到直线l 的最短距离为(3e 5+34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（）A ．直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B ．直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C ．设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D ．直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2三、填空题35．（2024高二·全国·课后作业）已知(),6A a ，()2,B b -，点()2,3P 是线段AB 的中点，则a b +=.36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点(),4M x -与点()2,3N 间的距离为x =．37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程为.38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l 与直线1:1l y =及直线2:70l x y +-=分别交于点P ，Q ．若PQ 的中点为点()1,1M -，则直线l 的斜率为．39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是1(2)P -，，则AB 等于40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点()0,1-到直线()2y k x =+的距离的最大值是．41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标为()2,1-，则线段AB 的长度为.42．（2024高二·全国·课堂例题）已知点()2,1A ，()3,4B ，()2,1C --，则ABC V 的面积为．43．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是．44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，则a =.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为.46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为.47．（2024·四川）在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．48．（2024高三·陕西·阶段练习）若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号)．49．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是.50．（2024高三·全国·专题练习）点()0,0，()3,4到直线l 的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l 的方程：.51．（2024高一·全国·课后作业）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.52．（2024高二上·全国·课后作业）经过点(1,0)P 和两直线1:220l x y +-=；2:3220l x y -+=交点的直线方程为.53．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数1212,,,x x y y ，满足22114x y +=，22229x y +=，12120x x y y +=，则112299x y x y +-++-的最小值是．四、解答题54．（2024高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC V 的三个顶点(,),(2,1),(2,3)A m n B C -.(1)求BC 边所在直线的方程;(2)若ABC V 的面积等于7，且点A 的坐标满足2360-+=m n ，求点A 的坐标.55．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l 经过点()2,1P -，且平行于向量()1,1.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行且点P 到直线mm 的方程.56．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.(1)若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；(2)当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.57．（2024高二·全国·课后作业）已知点()()1,3,5,2A B -，点P 在x 轴上使AP BP -最大，求点P 的坐标．。
辽宁高考高中数学基础知识归纳
辽宁高考高中数学基础知识归纳第一部分 集合１.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…２ 数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 ３.（１） 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （２）德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.（３）A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况. （４）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –１个；非空子集有2n –１个；非空真子集有2n–２个.４．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数１．映射：注意: １第一个集合中的元素必须有象；２一对一或多对一.２．函数值域的求法：１分析法 ；２配方法 ；３判别式法 ；４利用函数单调性 ；５换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 ３．复合函数的有关问题:（１）复合函数定义域求法：１ 若f （x ）的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g （x ）]的定义域由不等式a ≤ g （x ） ≤ b 解出２ 若f[g （x ）]的定义域为[a,b],求 f （x ）的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g （x ）的值域.（２）复合函数单调性的判定：１首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ２分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性３根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. ４．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
考点05一元二次方程、不等式(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版
考点05一元二次方程、不等式（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．【知识点】1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根不等式的解集{x |x ≠－b2a}R 2．分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔ ；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔ .3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为，|x |<a (a >0)的解集为．【核心题型】题型一 一元二次不等式的解法对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．命题点1 不含参数的不等式【例题1】（2024·青海·一模）已知集合(){}2lg 23A x y x x ==-++，{}240B x x =-<，则A B È=（ ）A ．()1,3-B ．()1,2-C ．()2,3-D ．()2,2-【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<£，则M N Ç=（ ）A ．{|23}x x ££B ．{|23}x x <£C ．{|24}x x <£D ．{|13}x x <£【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-££，若A B Í，则实数a 的取值范围是 ．【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =£=-££+∣∣，若A B Ç=Æ，则a 的取值范围是.命题点2 含参数的一元二次不等式【例题2】（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（ ）A ．25B ．310C ．15D ．110【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数22e ,0()(2)2,0x ax x f x x a x a x ì->=í-+-+£î，若关于x 的不等式()0f x ³的解集为[2,)-+¥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．e 2,2æù-çúèûB ．e 0,2éùêúëûC ．20,4éùêúëûe D ．2e {0},4¥éö+÷êëøU 【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．题型二 一元二次不等式恒成立问题恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．命题点1 在R 上恒成立问题【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x 的不等式()()2232340a x a x ---+³的解集为R ”是“392a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2023·福建厦门·二模）“()0,4b Δ是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式2210ax ax +-<恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．10a -£<B ．0a £C ．10a -<£D ．10a -<<命题点2 在给定区间上恒成立问题【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x £在[]1,5x Î上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题p ：任意1,22x éùÎêúëû，使222log log 30x m x -×-£为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],2-¥B ．(],2-¥-C ．[]22-,D ．[)2,-+¥【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当0x >时，不等式：2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()8,8-B ．(],8¥-C ．(),8¥-D ．()8,+¥【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[1,5],()2x f x Σ，则所有满足条件的有序数对(,)a b 是 ．命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若210mx -<对于[]0,2m Î恒成立，则实数x 的取值范围为 ．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x 是定义在(,)-¥+¥上的增函数．若不等式()21(2)--<-f ax x f a 对于任意[0,1]a Î恒成立，求实数x 的取值范围.【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意[]1,1m Î-，任意R y Î，使得不等式()23613x m x y y +--<-+-成立，则实数x 的取值范围是．【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m Î-恒成立，实数x 的取值范围是 .【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<3．（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ÎR 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-¥B ．[]22-,C ．(]2,2-D ．(),2-¥-5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件p 是q 的充分不必要条件是（ ）A ．函数()y f x =定义域为A ，p ：()0f x ¢³在A 上成立.q ：()y f x =为增函数；B ．p ：2R,30x x x a "Î-+>成立，q ：12a a +-最小值为4；C ．p :函数2()2441f x ax x =+-在区间(1,1)-恰有一个零点，q : 1184a -<<；D ．p :函数()cos 2cos sin 2sin f x x x j j =+为偶函数（x ÎR ），q :π(Z)k k j =Î6．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b ÎR 且0ab ¹，若()()()20x a x b x a b ----³在0x ³上恒成立，则（ ）A ．0a <B ．0a >C ．0b <D ．0b >二、多选题1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知0a >，0b >，且27a b +=，若223a b t +£恒成立，则实数t 的值可能为（ ）A ．20B ．21C ．49D ．502．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）A ．若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0B ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为RC ．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0D ．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集三、填空题1．（23-24高三下·上海·阶段练习）设0a >，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间()0,1的真子集，则a 的取值范围是 ．2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合(){}(){}2log 32,540A x x B x x x =-<=--³，则A B =I .四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2f x x a =-，且()f x b £的解集为[]1,3-．(1)求a 和b 的值；(2)若()f x x t £-在[]1,0-上恒成立，求实数t 的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数x 的不等式：2(1)0x a x a -++<．（2）解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()21f x x =+．(1)求不等式()()11f x f x -->的解集；(2)若()()()1h x f x f x =+-，且存在x ÎR 使不等式()221a a h x +-³成立，求实数a 的取值范围．综合提升练一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的2(0,),10x x mx Î+¥-+>恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(2,2)-B ．(2,)+¥C ．(,2)-¥D ．(,2]-¥2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p ：“∀x ∈R ，(a ＋1)x 2－2(a ＋1)x ＋3>0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <2B ．a ≥1C ．a <－1D ．－1≤a <23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合{{}2N 40A x y B y y =Î==-£∣，∣，则集合A B Ç中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数2()2f x ax x a =-+，对1,22x éùÎêúëû都有()0f x ³成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,¥+B ．4,5¥éö+÷êëøC ．4,15éùêúëûD ．4,5¥æù-çúèû5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题0:p x $ÎR ，()200110x a x +-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a ££B ．13a -<<C ．13a -££D ．02a ££6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q ：“不等式()()224210a x a x -++-³的解集是空集”，则条件p ： “21a -£<”是条件q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2024·天津河西·一模）“2x x £”是“11x³”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·广东广州·三模）定义{},max ,,p p q p q q p q³ì=í<î，设函数(){}2max 22,2x f x x ax a =--+，若R x $Î使得()0f x £成立，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(][),01,-¥+¥U B ．[][)1,01,-È+¥C ．()(),11,-¥-È+¥D ．[]1,1-二、多选题1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知R a Î，关于x 的一元二次不等式()()220ax x -+>的解集可能是（ ）A ．2x x a ì>íî或}2x <-B ．{}2x x >-C ．22x x a ìü-<<íýîþD ．22x x a ìü<<-íýîþ2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．不等式24510x x -+>的解集是114x x x ìü><íýîþ或B ．不等式2260x x --£的解集是322x x x ìü£-³íýîþ或C ．若不等式28210ax ax ++<恒成立，则a 的取值范围是ÆD ．若关于x 的不等式2230x px +-<的解集是(),1q ，则p q +的值为12-3．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若()()240ax x b -+³对任意(],0x Î-¥恒成立，其中a ，b 是整数，则+a b 的可能取值为（ ）A ．7-B ．5-C ．6-D ．17-三、填空题1．（2024高三·全国·专题练习）已知R a Î，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ì++-£=í-+->î若对任意[)–3,x Î+¥，()f x x £恒成立，则a 的取值范围是．2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“x $ÎR ，()()221110a x a x -+--³”为假命题，则a 的取值范围为 .3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）设集合2{|41}A x x =£，{|ln 0}B x x =<，则A B =I .四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[1,1]-上，函数()y f x =的图象恒在直线y m =的上方，试确定实数m 的取值范围．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x ax =，其中0a >．解不等式()1f x £；4．（2024高三·全国·专题练习）已知f (x )＝2,02,0xx x x ìïíï<î…求f (f (x ))≥1的解集．5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数()f x 满足()()()()2213221R f x f x x a x a x +-=+--+Î．(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)设函数()()()ln 1h x x f x x éù=+³ëû，求证：[)(){}1,yy h x ¥+Í=∣．拓展冲刺练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =Î-<，则()A B =R I ð（ ）A ．{}34x x -<£B ．{}34x x -£<C ．{}4x x ³D ．{}45x x £<2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（ ）A ．25B ．310C ．15D ．1103．（2023·福建厦门·二模）不等式2210ax x -+>（R a Î）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．2a >B ．1a ³C ．1a >D ．102a <<4．（2023·全国·模拟预测）已知函数()3sin f x x x =+，若不等式()220f x ax -+³恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A B ．2C ．D ．4二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足||2a =r ，||4b =r ，且对任意的实数t ，都有b ta b a +³-r r r恒成立，则下列结论正确的是（ ）A ．4a b -r r 与b r垂直B ．(3)27a b b +×=r rrC ．14a b a b l l -+-rr r r 的最小值为D ．12a b a b l l ---r rr r 的最大值为6．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则下列各选项正确的是（ ）A ．a 的值可能为-43B ．这50个整数元素之和可能为-925C ．a 的值可能为57.5D ．这50个整数元素之和可能为1625三、填空题7．（2022高三上·河南·专题练习）已知:11p x -<，()2:10q x a x a -++£，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．8．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数()()1y ax x a =--．甲同学：0y >的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；乙同学：0y <的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；丙同学：y 的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a 的范围为 ．9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[]()1,5,2x f x Σ，则所有满足条件的有序数对(),a b 是 ．10．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的x ÎR ，不等式()()()2222714613817x x m x x x x -+³-+-+恒成立，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题11．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于x 的不等式：()()2220R ax a x a -++<Î.12．（2024高三·全国·专题练习）设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于[]1,3x Î，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数21()32ln 2f x x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意12,[1,3]x x Î，都有12()()22f x f x m -£-，求实数m 的取值范围;（ⅱ）设21()()2g x f x x =+，且12()()0g x g x +=，求证:1272x x +>.14．（23-24高三上·天津南开·期中）设函数2()(0,1)x xa b f x a a a -=>¹且是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2æöç÷èø.(1)求a ，b 的值；(2)设2()()(),g x x p x q p q =--<，若(),(())()0x f g x f mxg x ¢"Î-+£R （()g x ¢为函数()g x 的导数），试写出符合上述条件的函数()g x 的一个解析式，并说明你的理由．。
2015年最新高考数学考试大纲(完整版)
2015年最新高考数学考试大纲I．命题指导思想坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能.II．考试内容与要求一.考核目标与要求1.知识要求知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.(1)了解要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它.这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.(2)理解要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等.(3)掌握要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.2.能力要求能力是指空间想像能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.(1)空间想象能力能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.(2)抽象概括能力抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论.抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断.(3)推理论证能力推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明.中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.(4)运算求解能力会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.(5)数据处理能力会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.(6)应用意识能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.(7)创新意识能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.3.个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义. 要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.4.考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构.(1)对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.(2)对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度.(3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.对能力的考查要全面考查能力，强调综合性、应用性，并要切合学生实际. 对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力。
高考数学复习知识点讲解教案第18讲 导数与不等式-第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题
3 ≥ 3 ,
3
4
解得 ln
4
3
≤<
2ln 2
，
3
3
4 2ln 2
故实数的取值范围为[ ln ,
).
4
3
3
探究点二 分类讨论法求参数范围
例2
（1）
[2023·厦门一中模拟] 已知函数 = ln + 1.
若 = 2， > 0，讨论函数 =
使得 0 < 0，则的取值范围是(
3 1
A.[− , )
4e 2
3 1
B.[ , )
4e 2
B
)
3 3
C.[− , )
2e 4
3
D.[ , 1)
2e
［思路点拨］ 构造函数 = e 2 − 1 ，ℎ = 2 − 2,原问题转化为存在
唯一的整数0 ，使得 0 < ℎ 0 ，结合导数及图象求解即可.
设 = 2ln 2 − ln ,则′ = 2ln 2 − ln − 1 =
令′ > 0，即
令′ <
4
ln
e
4
0，即ln
e
− ln > 0，得0 < <
− ln < 0，得 >
4
,
e
4
ln
e
即当 ∈
4
,即当
e
∈
当 → 0时, → 0，当 → +∞ 时, → −∞ .
若存在0 ≥ 1，使得ℎ 0 <
2 +2−1
即
2 −1
，则只需ℎ
2014年辽宁省高考数学分析及2015年备考建议(文)
2014年辽宁高考数学文科试卷分析及2015年备考建议一、高考试卷分析对比2013年辽宁高试卷，2014年辽宁文科试卷注重考查学生的基础以及运算能力，充分体现我们考纲对三基与五个应用的考察。
本套试卷内容覆盖全面，重难点分明，更加注重学生对主干知识的掌握和应用。
在解题方面需要学生能灵活运用数学思想和方法解决问题。
考生在考试的过程应该更加准确。
基于以上的分析2014年辽宁文科试卷难度比2013年高考难度有所提升的。
二、试卷结构全卷共分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分。
满分150分。
Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题本题共12个小题，每题5分，共60分。
Ⅱ卷：（非选择题，共90分）二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
三、解答题本题共6小题，共70分。
其中第13~21题为必考题，第22~24为选考题。
三、考点分析（一）选择题题号考查的知识点难易程度分值1 集合的交集、补集运算基础题5分2 复数代数形式的运算基础题5分3 指数对数比较大小基础题5分4 空间中直线与直线之间的位置关系基础题5分5 复合命题的真假基础题5分6 几何概型基础题5分7 三视图与几何体的体积问题基础题5分8 抛物线的简单性质基础题5分9 等差数列的性质中档题5分10 分段函数与函数性质的应用中档题5分11 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换难题5分12 函数恒成立问题其他不等式的解法难题5分通过以上可以看出：今年高考的前三道小题与我们之前在模拟考试以及平时练习中一样，难度很小，学生只需要细心运算就能解决问题。
而在最后的三道小题中，也就是第10、11、12题，往年这三道题比较有难度，这正是对学生数形结合、分类讨论、转化思想以及推理论证能力、运算能力的考查，但是，今年对这三道题的考查的难度大大降低了，第11题的位置考察一个三角函数图象的平移变换的内容，学生只要细心就可以做出来。
第12题考察的就是不等式恒成立问题，这个考察点一直都是我们平时经常练习的内容，大部分学生还是可以做出来的。
2025高考数学必刷题 第10讲、对数与对数函数(学生版)
第10讲对数与对数函数知识梳理1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象1a >01a <<图象性质定义域：(0)+∞，值域：R过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y<，当1x≥时，0y ≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y ≤【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)必考题型全归纳题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）1ln3411e812-+=______．【对点训练1】（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．【对点训练2】（2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为________．【对点训练3】（2024·山东淄博·统考二模）设0,0p q >>，满足()469log log log 2p q p q ==+，则pq=__________.【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）计算34223log 32log 9log log 64⋅-+的值为______.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）若14log 2a =，145b =，用a ，b 表示35log 28=____________【对点训练6】（2024·上海·高三校联考阶段练习）若123==a b m ，且112a b-=，则m =__________．【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）()()()226622lg 3lg 2log 3log 2lg 3lg 2⋅+++=____________；【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2)l g (o 24x x <-解集为_____．【对点训练9】（2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则()2f x ≥-的解集是__________.【对点训练10】（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程42log 17x x +=的解为_________．【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()log a y x b =+（a ，b 为常数，其中0a >且1a ≠）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0.5a =，2b =B ．2a =，2b =C ．0.5a =，0.5b =D ．2a =，0.5b =【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点（）A ．(2,2)B ．(2,1)C ．(3,2)D ．(2,0)【对点训练12】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数()()22log 1f x x x =--，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),12,-∞+∞B ．()()0,12,⋃+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【对点训练13】（2024·北京·高三统考学业考试）将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x-+【对点训练14】（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式32log (1)(2)0x x x --->的解集为__________．【对点训练15】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）AB ．2C D 【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数3()log (1)f x ax =-，若()f x 在(,1]-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(,1)-∞【对点训练16】（2024·新疆阿勒泰·统考三模）正数,a b 满足2224log log a bb a -=-，则a与2b 大小关系为______．【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在[]1,4上的最大值是2，则a 等于_________【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m ，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+有最小值，则a的取值范围是______．【对点训练20】（2024·河南·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【对点训练21】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数()214log 2y x x =--的单调递区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【对点训练22】（2024·陕西宝鸡·统考二模）已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()f x 的图像关于直线1x =对称D ．()f x 有最小值，但无最大值【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）若函数2,1,()2log ,1x a a x f x a x x ⎧+≤=⎨+>⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．[2,)+∞C ．10,(2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()0,1[2,)⋃+∞【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2223,log f x x x g x x m =-+=+，若对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ，则实数m 的取值范围为___________.【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例5】（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知1a >，1b >，21a aa =-，2log 1bb b =-，则以下结论正确的是（）A ．22log aa b b+=+B ．21112log ab+=C ．2a b -<-D ．4a b +>【对点训练29】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m ，n 满足：ln e ln m n n n m =-，则nm的最小值为______.【对点训练30】（多选题）（2024·广东惠州·统考一模）若62,63a b ==，则（）A ．1ba>B ．14ab <C ．2212+<a b D ．15b a ->【对点训练31】（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知1x ，2x 分别是方程e 3x x +=和ln 3x x +=的根，若12x x a b +=+，实数a ，0b >，则271b ab+的最小值为（）A ．1B ．73C ．679D ．2【对点训练32】（2024·全国·高三专题练习）若1x 满足25x x =-，2x 满足2log 5x x +=，则12x x +等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．10。
考点14函数的零点与方程的解(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版
考点14函数的零点与方程的解（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．【知识点】1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y ＝f (x )，我们把使 的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f (x )＝0有实数解⇔函数y ＝f (x )有 ⇔函数y ＝f (x )的图象与有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y ＝f (x )在区间 内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个c也就是方程f (x )＝0的解．2．二分法对于在区间[a ，b ]上图象连续不断且 的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号【核心题型】题型一 函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程33log 1xx ×=的两根为1x ，()212x x x <，则A ．101x <<，23x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．124x x +>【变式1】（2023·河北·模拟预测）已知函数()36xf x x =+-有一个零点0x x =，则0x 属于下列哪个区间（ ）A ．1,12æöç÷èøB ．31,2æöç÷èøC ．3,22æöç÷èøD ．52,2æöç÷èø【变式2】（2023·海南·模拟预测）函数()123x f x x -=+-的零点所在的区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数()26log f x x x=-零点所在的一个区间 .题型二 函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题2】（2024·天津·二模）已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-，关于()f x 有下面四个说法：①()f x 的图象可由函数()2g x x =的图象向右平行移动π8个单位长度得到；②()f x 在区间ππ,44éù-êúëû上单调递增；③当ππ,62x éùÎêúëû时，()f x的取值范围为；④()f x 在区间[]0,2π上有3个零点．以上四个说法中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数()f x 满足()()8f x f x +=，()()80f x f x +-=，当[)0,4x Î时，()πln 1sin 4f x x æö=+ç÷èø，则函数()()()3F x f x f x =-在()0,8内的零点个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【变式2】．（2024·青海西宁·二模）记()x t 是不小于x 的最小整数,例如()()()1.22,22, 1.31t t t ==-=-,则函数()()128x f x x x t -=--+的零点个数为.【变式3】（2024·北京西城·一模）关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3题型三 函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.命题点1 根据零点个数求参数【例题3】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()22e 21e 2x xf x a x a a x =-+++（其中e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有1个零点B ．a $ÎR ，使函数()f x 恰有3个零点C ．a "ÎR ，函数()f x 都有零点D ．若函数()f x 有2个零点，则实数a 的取值范围为()e 2,e -【变式1】（2024·安徽黄山·二模）若函数()()14f x k x =--有两个零点，则实数k 的取值范围是.【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）若方程2ln 0ax x -=在()1,+¥上有两个不同的根，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2e æöç÷èøB ．1,e æö-¥ç÷èøC ．()1,e D ．(),2-¥【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中122()log 2xf x x +=-.(1)求证：()y f x =是奇函数；(2)若关于x 的方程()12()log f x x k =+在区间[3,4]上有解，求实数k 的取值范围.命题点2 根据函数零点的范围求参数【例题4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()()πcos 04f x x w w æö=+>ç÷èø在区间π,π3æöç÷èø上单调递减，且()f x 在区间()0,π上只有1个零点，则w 的取值范围是（ ）A ．10,4æùçúèûB ．13,24æùçúèûC ．13,44æùçúèûD ．15,44æùçúèû【变式1】（2024·四川巴中·一模）若函数()2231f x ax x =+-在区间()1,1-内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}|12a a -<<B ．9{|8a a =-或12}a -<<.C ．{|12}a a -££D ．9{|8a a =-或12}a -££.【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为 .【变式3】（2023·全国·模拟预测）将函数()(0)f x x w w =>的图像向右平移3w p 个单位长度得到函数()g x 的图像．若()g x 在区间π5π,36æöç÷èø内有零点，无极值，则w 的取值范围是 ．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·浙江宁波·一模）已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x æö=+=-=+ç÷èø的零点分别为,,a b c ，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2023·贵州毕节·模拟预测）若函数()()224424e e x x f x x x a --=-++有唯一零点，则实数=a （ ）A ．2B ．12C ．4D ．13．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数()24xf x =，若存在12x x <，使得()()120f x f x <，则下列结论不正确的是（ ）A ．11<x B ．21x >C ．()f x 在()12,x x 内有零点D ．若()f x 在121,2x x x +æöç÷èø内有零点，则1202x x f +æö>ç÷èø4．（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ì£ï=í+>ïî，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,25．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ππ2sin 222f x x j j æö=+-<<ç÷èø的图像关于点π,03æöç÷èø中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间ππ36æö-ç÷èø，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212éù-êúëû，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点二、多选题6．（2024·甘肃定西·一模）已知函数()()221,42x f x a g x x x a =--=-+-，则（ ）A ．当()g x 有2个零点时，()f x 只有1个零点B ．当()g x 有3个零点时，()f x 只有1个零点C ．当()f x 有2个零点时，()g x 有2个零点D ．当()f x 有2个零点时，()g x 有4个零点7．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数2()()e ln x f x x x x =++的零点为0x ，下列判断正确的是（ ）A ．012x <B ．01ex >C ．00e ln 0x x +<D ．00ln 0x x +<三、填空题8．（2024·重庆·模拟预测）若12πw <£，则关于x 的方程sin x x w =的解的个数是 ．9．（2023·河北·模拟预测）已知1e ln ()2x x xxf x +-=，0x 是该函数的极值点，定义x 表示超过实数x 的最小整数，则()0f x 的值为.四、解答题10．（2023·四川成都·一模）已知函数()2cos sin 1f x ax x x x =-+-.(1)若1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若1a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对于任意π0,2x éùÎêúëû，()12³-f x a 恒成立，求a 的取值范围.11．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数()πsin (03)4f x x w w æö=-<<ç÷èø，π8x =是()f x 的零点．(1)求w 的值；(2)求函数π1π828y f x f x æöæö=-++ç÷ç÷èøèø的值域．12．（2023·四川绵阳·模拟预测）函数()()()222f x x m x m =+-+．(1)若()f x 为奇函数，求实数m 的值；(2)已知()f x 仅有两个零点，证明：函数()3y f x =-仅有一个零点．综合提升练一、单选题1．（2023·吉林长春·一模）方程3log 2x x +=的根所在区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．（2023·全国·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ÎR ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x为函数()33log 1f x x x =-+的零点，则[]0x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2023·宁夏银川·三模）函数()22log f x x x m =++在区间()2,4上存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),18-¥-B ．(5,)+¥C ．(5,18)D ．()18,5--4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x w j w j æö=+<-<<ç÷èø，的最小正周期为π，在区间ππ,66æö-ç÷èø上单调递减，且在区间π0,6æöç÷èø上存在零点，则j 的取值范围是（ ）A ．ππ,62æöç÷èøB ．3π,2πæù--çúèûC ．ππ,32éö÷êëøD ．π0,3æùçúèû5．（2023·内蒙古赤峰·二模）记函数()()sin 0,02f x x p w j w j æö=+><<ç÷èø的最小正周期为T .若()f T =，6x p =为()f x 的零点，则w 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．（2024·安徽芜湖·二模）在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（ ）A ．26B ．63C ．57D ．257．（2023·四川南充·模拟预测）函数()ln 1f x x x =-的零点为1x ，函数()()e 1e xg x x =--的零点为2x ，则下列结论正确的是（ ）A ．221e ln ex x ×=B ．2111e2x x -+>C ．12ln 1x x -=D ．21121ln x x +£+8．（2024·山西吕梁·模拟预测）用[a ]表示不大于实数a 的最大整数，如[1.68]=1，设12,x x 分别是方程24x x +=及ln(1)4x x +-=的根，则12[]x x += （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数()324f x x x ax =++-有3个不同的零点123,,x x x ,且23122x x x =，则（ ）A ．4a =-B ．()0f x <的解集为()1,2-C ．7y x =-是曲线()y f x =的切线D ．点()1,0-是曲线()y f x =的对称中心10．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数()()()0f x x w +j w >的最小正周期πT <，1π5f æö=ç÷èø，且()f x 在π10x =处取得最大值.下列结论正确的有（ ）A ．sin j =B ．w 的最小值为152C ．若函数()f x 在ππ,204æöç÷èø上存在零点，则w 的最小值为352D ．函数()f x 在13π11π,2015æöç÷èø上一定存在零点11．（2023·江西·模拟预测）已知函数2(e 21)xax x f x -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．对于任意的a ÎR ，存在偶函数()g x ，使得e ()()x y f x g x =+为奇函数B ．若()f x 只有一个零点，则1a =C ．当1a =时，关于x 的方程()f x m =有3个不同的实数根的充要条件为340e m <<D ．对于任意的a ÎR ，()f x 一定存在极值三、填空题12．（2023·广东深圳·一模）定义开区间(),a b 的长度为b a -．经过估算，函数()1312x f x x =-的零点属于开区间 （只要求写出一个符合条件，且长度不超过16的开区间）．13．（2024·河南南阳·一模）已知函数()()232ln 13f x x x a x =-+-+在区间()1,2上有最小值，则整数a 的一个取值可以是．14．（2023·山西阳泉·模拟预测）已知函数()e 2x f x x =+-的零点为1x ，函数()2ln g x x x =--的零点为2x ，给出以下三个结论：①12e e 2e x x +>；②1234x x >；③2112ln ln 0x x x x +<.其中所有正确结论的序号为 .四、解答题15．（2023·全国·模拟预测）已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()()1f x f x m -+£恒成立，求实数m 的最大值；(2)若函数1()()g x f x a=+有零点，求实数a 的取值范围.16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()ln R f x x x ax a =+Î.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当1a =-时，方程()f x m =有两个解，求参数m 的取值范围.17．（2023·江苏·三模）将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1w（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．(1)若2w =，求函数()y g x =在区间ππ,44éù-êúëû上的最大值；(2)若函数()y g x =在区间ππ,42æöç÷èø上没有零点，求ω的取值范围．18．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()21321e 2316x af x x x x x -=-+-++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．(2)设函数()()2131e 3x g x f x x ax -=-+，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（2023·福建福州·模拟预测）设1a >-，函数()()()1ln 11f x x x a x =++-+．(1)判断()f x 的零点个数，并证明你的结论；(2)若0a ³，记()f x 的一个零点为0x ，若11sin x a x +=，求证：10ln 0x x -£．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x æö=+ç÷èø的图象向右平移j （0j >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)j 上恰有两个零点，则j 的取值范围是（ ）A ．5π3π,124éö÷êëøB ．3π13π,412éö÷êëøC ．5π3π,124æùçúèûD ．3π13π,412æùçúèû2．（2024·全国·模拟预测）设函数()πcos 4f x x w æö=+ç÷èø在区间π0,2æöç÷èø上恰有3个零点、2个极值点，则w 的取值范围是（ ）A ．79,22æùçúèûB ．911,22æùçúèûC ．913,22æùçúèûD ．713,22æùçúèû3．（2023·北京·模拟预测）已知函数()e e x xf x -=-，下列命题正确的是（ ）①()f x 是奇函数；②方程()22f x x x =+有且仅有1个实数根；③()f x 在R 上是增函数；④如果对任意()0,x Î+¥，都有()f x kx >，那么k 的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④4．（2023·四川南充·一模）已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（ ）个①221e m x x < ②122x m >+ ③121x x >A ．0B ．1C ．2D ．35．（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程22log 1x x ×=的两根为1x ，()212x x x <，则（ ）A ．101x <<，22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二、多选题6．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数()1cos cos2,02f x x x x w w w w =->，则下列结论正确的是（ ）A ．()()0,1,f x w "Î在ππ,64éù-êúëû上单调递增B ．若1w =且()()122f x f x -=，则12min πx x -=C ．若()1f x =在[]0,π上有且仅有2个不同的解，则w 的取值范围为54,63éö÷êëøD ．存在()0,1w Î，使得()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()24,0,log 2,0x x x f x x x ì+>ï=íï--<î的图象与直线y a =的交点的横坐标分别为()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则（ ）A ．4a >B ．124x x =C ．344x x =D ．341x a x æö+ç÷èø8．（2023·河南焦作·模拟预测）已知函数()(),0e ln ,0424,4x xx xf x x x f x x ì£ïïï=<£íï->ïïî，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在()*(44e)k k k +ÎN ，上单调递增B ．函数()f x 在()*(4e 44)k k k ++ÎN ，上单调递减C ．若方程()(1)f x a x =<有两个实数根1x ，2x ，则12x a x =D ．当方程()(08)f x bx x =££的实数根最多时，b 的最小值为ln 28三、填空题9．（2024·全国·模拟预测）已知()()4sin sin 1f x x x x =+相邻的两个零点分别为12,x x ，则12cos x x -=.10．（2024·四川成都·三模）若函数()2e x f x kx =-大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为 ．四、解答题11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()x f x e =，()a g x x =．(1)当1a =时，求()()f x g x -的最小值；(2)讨论函数()y f x =和()y g x =的图象在(0,)+¥上的交点个数．12．（2024·重庆·模拟预测）已知函数()()()23e ln R ,x f x x a x a x æö=-++Îç÷èø(1)若过点()2,0的直线与曲线()y f x =切于点()()1,1f ，求a 的值；(2)若()f x 有唯一零点，求a 的取值范围．。
第高考数学复习知识点讲解教案63讲 全概率公式及应用
设 =“将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球”，
1 =“取到的球是甲盒子中的”，2 =“取到的球是乙盒子中的”，
3 =“取到的球是丙盒子中的”，则 = 1 ∪ 2 ∪ 3 ,且1 ,2 ,3 两两互斥.
根据题意得 = 1 |1 + 2 (|2 ) + 3 |3 =
2 为“第二天选择一餐厅就餐”，
则 1 = 1 = 0.5, 2 |1 = 0.6, 2 |1 = 0.7,
由全概率公式可知 2 = 1 2 |1 + 1 2 1 =
0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.7 = 0.65.
2.［教材改编］
某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启
所以接收的信号为0的概率 =
| + (|) = 0.5 × 0.9 + 0.5 × 0.05 = 0.475，
所以接收的信号为1的概率 = 1 − = 1 − 0.475 = 0.525.故选B.
（2）
[2024·南京模拟] 某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、
5
6
[解析] 记事件1 ，2 ，3 分别表示此人选自甲、乙、丙三个地区 ，
事件 =“此人被录取”，
则 1 = 2 = 3 =
1
，
3
|1 =
1
，
3
故 = 1 |1 + 2 |2 +
1
6
=
7
.
30
1
|2 = ， |3
5
1
1
1
所以 2 = 1 2 |1 + 1 2 |1 = 0.5 × 0.3 + 0.5 × 0.2 = 0.25.
第15讲 导数中的极值点偏移问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案
第15讲导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题2能理解并掌握极值点偏移的含义3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习1. 极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则mx =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）4. 对数平均不等式5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ³，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.1．（2022·全国·模拟预测）设函数()()ln f x x ax a =-∈R .(1)若3a =，求函数()f x 的最值；(2)若函数()()g x xf x x a =-+有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，求证：12ln 2ln 3x x +>.1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数()2ln ,R a xf x x a x=+∈.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f x x x +>+.2．（2024·河北保定·二模）已知函数()ln ,()f x ax x x f x '=-为其导函数．(1)若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)若存在两个不同的正数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：0f '>．1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数()e -=x k f x x ．(1)若()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．1．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()221e 1e e e 2xf x x x x =---+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值．(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，求证：31e 12x x -<-．2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设a ，b 为函数()e xf x x m =×-（0m <）的两个零点．(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：e e 1a b +<．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()e x f x x a =-恰有两个零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：122x x +<-．2．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln 1,f x x a =-∈R .(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)若关于x 的方程()22e e axf x x =-有两个不同的正实根12,x x ，证明：12x x +>3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()2e (0)xf x ax a =->．(1)当2e 4a =时，判断()f x 在区间()1,+¥内的单调性；(2)若()f x 有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1233x x x ++>.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2ln R af x x x a x=+∈有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+∈+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.1．（23-24高三上·河南·开学考试）()()2ln e 124x ax x f x b +=+-++有两个零点()1212,x x x x <．(1)0a =时，求b 的范围；(2)1b =-且54a <时，求证：21x x -<2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数2()24ln f x x ax x =-+．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,l l l l <，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x l +>；②求证：31x x -<．1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数()1ln xf x ax+=，0a >．(1)若()1f x ≤，求a 的取值范围；(2)证明：若存在1x ，2x ，使得()()12f x f x =，则22122x x +>．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()1ln af x x a x=--∈R ．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x a <-．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数ln 1()xf x x+=，e ()=xg x x ．(1)若对任意的,(0,)m n ∈+¥都有()()f m t g n ≤≤，求实数t 的取值范围；(2)若12,(0,)x x ∈+¥且12x x ≠，121221ex x x x x x -=，证明：33122x x +>．1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：22122e x x +>；2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数()ln 1x f x ax+=.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()2112e e xxx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>.3．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln xf x ax x=-.(1)若()1f x ≤-，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有2个不同的零点12,x x （12x x <），求证：221212235x x a+>.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()e ln xf x x x a x=-+-.若()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln1ln e axf x x =+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数21()ln (1),(R)2f x x ax a x a =+-+∈.(1)当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；(2)若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明212e x x ×>.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.(1)若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设()()211ln 2f x ax a x x =-++，a ∈R .(1)当2a =时，求()f x 的极值；(2)若0x ∀>有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)当0a <时，若()()12f x f x =，求证：121x x <.3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知()2sin f x x x x =-．(1)当1a =时，讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若存在1x ，212(0)x x x <<，使12()()f x f x =，求证：12<x x a ．1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()e (0)xa f x x a =->有两个相异零点1x ､2x ，且12x x <，求证：12e x x a<.2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数()2f x ax =，()()1lng x x x =-.(1)若对于任意()0,x ∈+¥，都有()()f x g x <，求实数a 的取值范围；(2)若函数()y g x m =-有两个零点12,x x ，求证：12112x x +>.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数()ln 1xa x f x e -=+-（a ∈R ）.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），且()1221ln 221e e x x e +×+≤-，求21x x 的最大值.2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =×××为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln ln 2ln ln x x x x ex x x x -=-，证明：1211221e e x x <+<+.6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数()()11ln f x ax a x x=+-+，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程()1e ln xf x x x x=-+有两个不相等的实数根1x 、2x ，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：122112e e 2x x a x x x x +>．1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()lnf x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：1221e x x <．2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()e xm f x x=+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x x =+-的导函数为()f x '，若()f x '存在两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>.4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当1a =时，求函数()y f x =的零点个数.(2)若关于x 的方程()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明212x x e ×>.5．（2024·云南·二模）已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ∀>>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ≠，证明:124x x a +>.6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数()()3213log 0,132a f x x x x a a =-+>≠．(1)若()f x 为定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)令e a =，设函数()()314ln 93g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：123x x +³+．7．（2023·山东日照·二模）已知函数()ln f x x a x =-．(1)若()1f x ³恒成立，求实数a 的值：(2)若1>0x ，20x >，1212e ln xx x x +>+，证明：12e 2x x +>．8．（2023·江西南昌·二模）已知函数()()ln f x x x a =-，()()f xg x a ax x=+-．(1)当1x ³时，()ln 2f x x --≥恒成立，求a 的取值范围．(2)若()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，求证：212e x x >．9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122ex x <+<10．（2023·北京通州·三模）已知函数()ln (0)af x ax x a x=-->(1)已知f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，求实数a 的值；(2)已知f （x ）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.(3)已知()()a g x f x x=+有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围并证明212e x x >.11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数()()2ln f x x x a a =-∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，证明121x x <+<.12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()2ln (R)2a f x x x x x a a =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为12,x x ，且12x x <. 若1l ³，证明：112e x x l l+<×.13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()()2e xf x x ax a =--∈R ．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)已知关于x 的方程()()3e 2xf x x ax =-+恰有2个不同的正实数根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)当23a =时，求函数在1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122e x x <+<．16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.(1)若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数()e xf x ax=+(1)若2a =-时，求()f x 的最值；(2)若函数()()212g x f x x =-，且12,x x 为()g x 的两个极值点，证明：()()122g x g x +>19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a ∈）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö'<ç÷èø．20．（2023·山东泰安·二模）已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ³时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2eln 2tx g x f x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2e e 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.1．（全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.2．（天津·高考真题）已知函数()()x f x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。
辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期10月月考数学试题(解析版)
2024-2025（上）10月月度质量监测高三数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只第Ⅰ卷选择题（共58分）有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2A x x =∈Z，{}ln(1)B x y x ==−，则A B ∩中的元素个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】先求集合A 、B ，再根据交集的定义求出A B ∩即可求解.【详解】解:因为集合{}{}22,1,0,1,2A x x =∈=−−Z ，{}1B x x =<，所以{}2,1,0A B =−− ， 故选：A .2. 已知12i +是方程250()x mx m ++=∈R 的一个根，则m =（ ） A. －2 B. 2C. iD. －1【答案】A 【解析】【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.【详解】方法1：由题意知2(12i)(12i)50m ++++=，即2(42)i 0m m +++=，解得2m =−. 方法2：根据虚根成对知1－2i 也是方程的根，由韦达定理得(12i)(12i)m ++−=−，所以2m =−. 故选:A.3. 不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是（ ） A. (1,)−+∞B. [1−，)∞+C. (−∞，2][1−∪−，)∞+D. (1−，)(+∞−∞∪，2)−【解析】【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可． 【详解】2320x x ++> ，(1)(2)0x x ∴++>，解得：1x >−或2x <−，故不等式2320x x ++>成立的一个充分不必要条件是(1,)−+∞， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4. 已知π0,2θ ∈，且cos 2πsin 4θθ=−tan 2θ=（ ）． A.724B.247C. 724±D. 247±【答案】D 【解析】【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得7cos sin 5θθ+=， 结合22cos sin 1θθ+=求出tan θ的值，再根据正切的二倍角公式即可.【详解】)cos2cos sin s in 4θθθπθ+ − 故7cos sin 5θθ+=， 又因为π0,2θ∈，且22cos sin 1θθ+=．故3cos 5θ=，4sin 5θ=或4cos 5θ=，3sin 5θ=，则4tan 3θ=或34，故22tan 24tan21tan 7θθθ==±−，5. 若a ，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A. a b =B. a b∥C. 1a b ⋅=D. 22a b =【答案】D 【解析】【分析】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，即可判断AB ；利用数量积的定义与性质可判断CD ．【详解】a ，b是两个单位向量，则1ab == ，但a ，b 方向不能确定，故选项AB 错误； cos co ,,s a b a b b a b a ⋅== ，只有a ，b同向共线时，才有cos ,1a b = ，故选项C 错误；221a a == ，221b b == ，22a b ∴= ，选项D 正确.故选：D.6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ，AB BC ⊥，222BC AD AB ===，将直角梯形ABCD 沿对角线折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A. 0B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥，通过面面垂直的性质定理可得到AF ⊥平面BCD ． 过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角， 在AEC △分别求出CE AC ，的大小，即可求出答案.【详解】在直角梯形ABCD 中，因为222BC AD AB ===，AD ，AB BC ⊥，所以，BD CD ==BD 的中点F ，连接AF ，则AF BD ⊥．又因为平面ABD ⊥平面BCD 且交于BD ，所以AF ⊥平面BCD ．过C 作CE ，且使12CE BD =，连接AE ，EF ，BE ，FC 则ACE ∠为所求的角．在Rt AFC △中，AC =Rt AFE 中，AE =．因为CE =AEC △为直角三角形．所以cos CEACE AC∠=AC 与BD故选：B.7. 设正实数,x y 满足23x y +=，则下列说法错误的是（ ） A.3y x y+的最小值为4 B. xy 的最大值为98C. +的最大值为2D. 224x y +的最小值为92【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【详解】对于A ，32224y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当1xy ==时取等号，故A 正确；对于B ，21121992222248x y xy x y + =⋅⋅≤×=×= ，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，223336x y +=++≤+=+=，≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，故C 错误；对于D ，222994(2)49482x y x y xy +=+−≥−×=，当且仅当33,24x y ==时取等号，故D 正确. 故选：C.8. 定义在()0,∞+上的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞有()ln 1f f x x −=恒成立，若方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (),1−∞B. ()0,1C. (]0,1D. (],1−∞【答案】B 【解析】【分析】由条件单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞都有()ln 1f f x x −=，故必有 ()ln f x x t −=，且()1=f t ，即可求得()f x ，再根据导数研究函数的性质，求得方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实根满足的条件，求得m 的取值范围. 【详解】由于函数()f x 为单调函数，则不妨设()ln f x x t −=，则()1=f t ， 且()ln 1ln f t t t t −=−=，解得1t =，所以()()1ln 1,f x x f x x′=+=. 设()()()ln 1x g x f x f x x=′+=⋅， 则方程()()f x f x m ⋅′=有两个不同的实数根等价于函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点. ()222ln 11ln 1ln x x x g x xx x x x ′−′=+=−=−， 易得当(0,1)x ∈时，()0g x ′>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x ′<， 所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max()(1)0g x g ==. 又10g e=，且当x →+∞时，()0g x →. 故函数()ln 1x g x x+=与y m=有两个不同的交点则()0,1m ∈.故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 以下是真命题的是（ ）A. 已知a ，b为非零向量，若a b a b +>− ，则a 与b 的夹角为锐角 B. 已知a ，b ，c为两两非共线向量，若a b a c ⋅=⋅ ，则()a cb ⊥−C. 在三角形ABC 中，若cos cos a A b B ⋅=⋅，则三角形ABC 是等腰三角形D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心 【答案】BD 【解析】【分析】A ：将已知条件两边同时平方，整理得到0a b ⋅>，结合平面向量的数量积的定义得到cos ,0a b >，由平面向量的夹角范围可得,0,2a b π ∈，进而可以判断选项；B ：将已知条件变形为()0a b c ⋅−=，结合平面向量数量积即可判断选项；C ：结合正弦定理化简整理即可判断三角形的形状；D ：作出图形，证得PAO PBO PCO ≅≅ ，即可得到AO BO CO ==，结合三角形外心的性质即可判断.【详解】A ：因为a b a b +>− ，两边同时平方，得()()22a ba b +>− ，即222222a b a b a b a b ++⋅>+−⋅，所以0a b ⋅> ，因此cos ,0a b > ，因为[],0,a b π∈ ，所以,0,2a b π ∈，因此a 与b的夹角为锐角或零角，故A 错误；B ：因为a b a c ⋅=⋅ ，所以()0a b c ⋅−= ，又因为a ，b ，c 为两两非共线向量，则0,0a b c ≠−≠ ，所以()a cb ⊥−，故B 正确；C ：因为cos cos a A b B ⋅=⋅，结合余弦定理得sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误； D ：设三棱锥P ABC −的顶点P 在底面ABC 的射影为O ，所以⊥PO 底面ABC ，又因为AO ⊂底面ABC ，BO ⊂底面ABC ，CO ⊂底面ABC ，所以,,PO AO PO BO PO CO ⊥⊥⊥，又因为三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，所以PAO PBO PCO ∠=∠=∠，所以PAO PBO PCO ≅≅ ，所以AO BO CO ==，所以点O 是ABC 的外心，故D 正确；故选：BD.10. 八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为解放碑的最顶端，B 为解放碑的基座（即B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB 的是（ ）A. CD ，ACB ∠，BCD ∠，BDC ∠B. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ADC ∠C. CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠D. BC ，BD ，2ACB ADB π∠+∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 、B 、C 根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件；D 选项根据相似三角形性质判断.【详解】由题意可知AB ⊥平面BCD ，由此进行下列判断：A 选项，在BCD △中，根据CD ，BCD ∠，BDC ∠，可利用正弦定理求得BC ，再根据tan ACB ∠求得AB ，故A 正确；B 选项，由ACB ∠，BCD ∠借助直角三角形和余弦定理，用AB 和CD 表示出BC ，BD ，AC ，AD ，然后结合ADC ∠在ACD 中利用余弦定理列方程，解方程求得AB ，故B 正确；C 选项，CD ，ACB ∠，BCD ∠，ACD ∠四个条件，无法通过解三角形求得AB ，故C 错误； D 选项，根据π2ACB ADB ∠+∠=，可得ABC 与DBA 相似，根据相似比AB BDBC AB =可解方程求得AB ，故D 正确， 故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x ′和()g x ′．若()()42f x g x −−=，()()2g x f x ′′=−，且()2f x +为奇函数，则（ ）． A. R x ∀∈，()()40f x f x ++−=B. ()()354g g +=C.()202310k f k ==∑D.()202310k g k ==∑【答案】AC 【解析】【分析】由()2f x +为奇函数，结合奇函数的性质判断A ，由条件证明()f x 为周期为4的函数，利用组合求和法求()20231k f k =∑判断C ，根据条件证明()()22g x f x =−−，由此判断BD.【详解】对A ，又∵()2f x +奇函数，则()y f x =图像关于()2,0对称，且()()220f x f x ++−=， 为所以()()40f x f x ++−=，A 正确； 对于C ，∵()(2)g x f x ′′=−，则()()2g x f x a =−+，则()()42g x f x a −=−+，又()()42f x g x −−=， 所以()()22f x f x a =−++，令1x =，可得20a +=，即2a =−.所以()(2)f x f x =−，又()()40f x f x ++−=所以()()()22f x f x f x +=−−+=−， 所以()()()24f x f x f x =−+=+， ∴()y f x =的周期4T =，所以()()04f f =，由()()220f x f x ++−=可得， ()()130f f +=，()()400f f +=，()20f =，所以()00f =，()40f =，∴[]20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0k f k f f f f f f f ==++++++=∑，C 正确；对B ，()()22g x f x =−−，则()g x 是周期4T =的函数，()()()()3512324g g f f +=−+−=−，B错误； 对D ，()()()1120242023f f f −=−+=，()()()()022********f f f f ==+=，所以2023202311()(1)2(0)2(1)2(2021)2()22023k k g k f f f f f k ==−−+−+−+…+−=−×∑∑，所以20231()4046k g k ==−∑，D 错误.故选：AC.【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.第Ⅱ卷 非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 设函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），若()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，则()()()222122021f x f x f x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】2020 【解析】 【分析】根据对数的运算法则计算．【详解】∵()1220211010f x x x ⋅⋅⋅=，∴()122021log 1010a x x x ⋅⋅⋅=； ∴()()()()()()222222122021122021log log log a a a f x f x f x x x x =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+()()222212320211220212l 2020og a f x x x x x x x =+=⋅⋅⋅．故答案为：2020．13. 如图，在ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的取值范围是__．【答案】[6,4]− 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得出,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，运用平面向量数量积的运算性质解决即可.【详解】由题知，ABC 中，4AB =，3AC =，90A ∠=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，所以A 为PQ 的中点，1,,5AP AP QA BC ===， 因为,BP AP AB CQ AQ AC AP AC =−=−=−−，所以()()()()BP CQ AP AB AP AC AB AP AC AP ⋅=−⋅−−=−+2()1AB AC AP AP AB AC AP CB =⋅−+⋅−=−+⋅ ,因为AP CB AP CB AP CB −⋅≤⋅≤⋅ ，即55AP CB −≤⋅≤所以614AP CB −≤−+⋅≤ ，当且仅当,AP CB同向时取最大值，反向时取最小值，所以BP CQ ⋅的取值范围是[6,4]−，故答案为：[6,4]−14. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M 为AB 的中点，P 是平面ABCD 内的动点，且满足条件13PD PM =，则动点P 在平面ABCD 内形成的轨迹是 ． 【答案】圆 【解析】【分析】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，利用空间两点距离的坐标表示求轨迹方程即可． 【详解】分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，则1(0,0,2),(2,1,0)D M ，设(,,0)P x y ，由题意可得22222(02)9[(2)(1)]x y x y ++−=−+−， 化简可得2299410248x y x y +−−+=，易知轨迹是圆. 故答案为：圆四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 在①1n n a a +−=+；② 184n n a a n −−=−(2n ≥)两个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________ （1）求n a ；.（2）若数列1n a的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.【答案】条件选择见解析；（1）241=−n a n ；（2）证明见解析.【解析】 【分析】若选① ：（1）由1n n a a +−=2=，根据是首项为2，公差为2的等差数列，可得结果；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132n T ≤<. 若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)利用累加法可求得n a ；（2）由2111114122121n a n n n ==− −−+ 利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132nT ≤<. 【详解】若选① ：（1）由1n n a a +−=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.若选② ：（1）由184n n a a n −−=−(2n ≥)可得：当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a −−−=−+−++−+ (84)(812)123n n −+−+++ [(84)12](1)32n n −+−+241n −，当1n =时，13a =，符合241=−n a n ， 所以当*n N ∈时，241=−n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121na n n n ==− −−+， 所以1111111213352121nT n n =−+−++− −+111221n −+ 11242n =−+， 因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =−+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：一、公式法：根据等差或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+−或11n n a a q −=进行求解；二、前n 项和法：根据11,1,2n nS n a S S n −= = −≥ 进行求解；三、n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S −与1n a −的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项；四、累加法：当数列中有1()n n a a f n −−=，即第n 项与第1n −项的差是个有规律的数时，就可以用这种方法；五、累乘法：当数列{}n a 中有1()nn a f n a −=，即第n 项与第1n −项的积是个有规律的数时，就可以用这种方法；六、构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b −=+（,k b 均为常数，且0k ≠）， 一般化方法：设1()n n a m k a m −+=+，得到(1)b k m =−，1b m k =−，根据数列1{}1n ba k −+−是以k 为公比的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p−−=+（nn ≥2,nn ∈NN ∗）（,,k m p 均为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b −=+的式子； ③取对数法：一般情况下适用于1kln n a a −=（,k l 为非零常数）七、“1nn n a ba c +=+（,b c 为常数且不为0，*n N ∈）”型的数列求通项n a ，方法是等式的两边同除以1n c+，得到一个“1n n a ka b −=+”型的数列，再用上面的六种方法里的“一次函数法”便可求出nn a c的通项，从而求出n a .16. 已知函数()2cos 2cos 1f x x x x a =+−+（a 为常数）. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 在0,2π上有最小值1，求a 的值. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ−+∈；（2）2. 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x a π=++，然后解不等式()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，可得出函数()y f x =的单调递增区间； （2）由0,2x π∈计算出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的最小值，进而可求得实数a 的值.【详解】（1）()2cos 2cos 12cos 2f x x x x a x x a=+−+=++122cos 22sin 226x x a x a π++=++， 令()222262k x k k ππππ−≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k Z ππππ−≤≤+∈所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ−+∈； .（2）当02x π≤≤时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π−≤+≤，所以()min 12112f x a a=×−+=−=，解得2a =. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间和最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.17. 已知圆229x y +=，A （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点，且∠PAQ＝90°，M 是PQ 的中点． （1）求点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）设9111(,),(,)2222E D 对曲线C 上任意一点H ，在直线ED 上是否存在与点E 不重合的点F ，使HE HF 是常数，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）2211422x y −+−=；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）利用直角三角形的中线定理及垂径定理，得到1||||||2AMPQ PM ===利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．（2）先设出F 的坐标，将HE HF用点点距表示出，化简得到215(12)4248t x t x −++−，利用212815244t t −=−+解得t 的值即可．【详解】（1）设点(,)M x y ，由90PAQ ∠=°，得1||||||2AM PQ PM ===化简得22702x y x y +−−−=， 即2211422x y −+−=. （2）点91,22E，11,22D，直线ED 方程为12y =，假设存在点19,22F t t ≠ ，满足条件，设,()H x y ，则有2211422x y −+−=，22291||22HE x y=−+− 2291424822x x x −+−−− ，2221||()2HF x t y=−+− 222115()4(12)24x t x t x t =−+−−=−++，当||||HE HF 是常数，2215(12)||4||248t x t HE HF x −++ =−是常数， ∴212815244t t −=−+，∴32t =或92t =（舍），∴32t =， ∴存在31,22F满足条件. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了分式型定值问题的求解，考查了运算能力，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3(N )n an b n ∗=∈． （1）试判断{}n a 是何种数列；（2）若813a a m +=，求1220b b b . 【答案】（1）数列{}n a 是等差数列； （2）103m 【解析】【分析】（1）由13log n n a a q +−=可知{}n a 为等差数列； （2）利用等差数列前n 项和以及指数运算的性质即可求解. 【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，则0q >， 因为3nn a b =，所以113a b =，所以1133n a a n n b q −=⋅=. 方程两边取以3为底的对数， 得11313log (3)(1)log an n a qa n q −=⋅=+−，由于[]113133(log )(1)log log n n a a a n q a n q q +−=+−+−=， 所以数列{}n a 是以3log q 为公差的等差数列．的【小问2详解】因为120813a a a a m +=+=， 所以120122020()2a a a a a ++++==10m ，所以2012201210122033333aa a aaamb b b +++=== .19. 已知函数()ln f x x x =，()()1f x g x x+=.（1）求函数()f x 单调区间；（2）当12x x <，且()()12g x g x =时，证明：122x x +>. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导函数的符号求单调区间； （2）分析法将问题化为证2121212ln 0x x xx x x −>>，再应用换元及导数研究恒成立，即可证. 【小问1详解】由题设，()f x 的定义域为()0,∞+()1ln 0f x x =+=′，得1ex =. 当1e x >时，()0f x ′>，()f x 在1,e +∞上单调递增；当10e x <<时，()0f x ′<，()f x 在10,e上单调递减. 所以()f x 单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e +∞. 【小问2详解】因为()ln f x x x =，故()()11ln f x g x x x x+==+，（xx >0）. 由()()12g x g x =（12x x <），得121211ln ln x x x x +=+，即212121ln 0x x xx x x −=>. 要证122x x +>，需证()212121212ln x x xx x x x x −+⋅>，即证2121212ln x x x x x x −>.的设21x t x =（1t >），则要证12ln t t t−>（1t >）. 令()12ln h t t t t=−−且1t >，则()22121110h t t t t′=+−=−> . 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，即12ln t t t−>. 所以122x x +>，得证.。
(完整版)高中数学必修15知识点归纳及公式大全
高一数学常用公式及结论必修 1：一、会合 1、含义与表示： （1）会合中元素的特点：确立性，互异性，无序性（ 2）会合的分类；有限集，无穷集 （ 3）会合的表示法：列举法，描绘法，图示法2、会合间的关系：子集：对随意x A ，都有xB ，则称 A 是 B 的子集。
记作 A B真子集：若 A 是 B 的子集，且在 B 中起码存在一个元素不属于A ，则 A 是B 的真子集，记作A B会合相等：若：AB, BA ,则 A B3. 元素与会合的关系：属于 不属于：空集：4、会合的运算：并集：由属于会合A 或属于会合B 的元素构成的会合叫并集，记为A U B交集：由会合 A 和会合 B 中的公共元素构成的会合叫交集，记为A I B补集：在全集 U 中，由全部不属于会合A 的元素构成的会合叫补集， 记为 C U A5．会合 { a 1, a 2 ,L , a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n– 1 个；非空子集有 2n –1 个；6. 常用数集：自然数集： N 正整数集： N *整数集： Z有理数集： Q 实数集： R二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 <=> f (–x ) = –f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）2、性质：（1）奇函数的图象对于原点成中心对称图形；（ 2）偶函数的图象对于 y 轴成轴对称图形； （ 3）假如一个函数的图象对于原点对称，那么这个函数是奇函数；（ 4）假如一个函数的图象对于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．二、函数的单一性1、定义：对于定义域为D 的函数 f ( x )，若随意的 x 1, x 2∈ D ，且 x 1 < x 2 ①f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) –f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ②f ( x 1 ) > f ( x2 )<=> f ( x 1 ) –f ( x 2 ) > 0<=> f ( x )是减函数2、复合函数的单一性 : 同增异减三、二次函数 y = ax 2 +bx + c （ a 0）的性质1、极点坐标公式：b 4ac b 2b 4ac b 22a,， 对称轴： x2a，最大（小）值：4a4a2. 二次函数的分析式的三种形式(1) 一般式 f ( x) ax 2bx c(a0) ; (2) 极点式 f ( x)a( x h)2 k (a0) ;(3) 两根式 f ( x) a( xx 1 )( x x 2 )( a 0) .四、指数与指数函数1、幂的运算法例：（ 1） a m ? a n = a m + n ，（ 2） a m a na m n ，（3） ( a m ) n = a m n （ 4） ( ab ) n = a n ? b nan1 nn 1（ 5）a nnm mnm（ 6） a = 1 ( a ≠0) （ ）a（ ） aa （ ）b bn7an89 ama n2、根式的性质（ 1） ( n a )n a .（ 2）当 n 为奇数时， n a na ； 当 n 为偶数时， n a n | a |a, a 0 .a, a 04、指数函数 y = a x(a > 0 且 a ≠ 1) 的性质：（ 1）定域： R ；域：( 0 , +∞ )（2）象定点（0， 1）Y Ya > 10 < a < 111XX5. 指数式与数式的互化：log a N b a b N (a 0, a 1,N 0) .五、数与数函数1数的运算法：（1） a b = N <=> b = log a N（ 2） log a 1 = 0 （ 3）log a a = 1 （ 4） log a a b = b（ 5） a log a N = N（ 6） log a (MN) = log a M + log a NMN （ 7） log a () = log a M -- log aN（ 8） log a N b = b log a Nlog b N （9）底公式： log a N =log b a（ 10）推log a m b nnlog a b (a 0 ,且 a 1 ,m, n0 ,且m 1,n 1 , N0).m1（12）常用数： lg N = log 10N （ 13）自然数： ln A = log e A （此中⋯）（ 11）log a N =log N a2、数函数 y = log a x(a > 0 且 a≠1) 的性：（ 1）定域： ( 0 , +∞)；域：R（ 2）象定点（1， 0）Y a >1Y0 < a < 101X1X六、函数 y = x a的象 :（ 1）依据 a 的取画出函数在第一象限的.a > 10 < a < 1 a < 011比如： y = x 2y x x 2y x 1x七 . 象平移：若将函数y f ( x) 的象右移 a 、上移b个位，获得函数 y f (x a) b 的象；律：左加右减，上加下减八 . 均匀增率的假如本来的基数，均匀增率p，于x 的y，有y N(1p) xN.九、函数的零点： 1. 定：于y f( x) ，把使 f (x) 0的 X 叫y f ( x) 的零点。
辽宁省“沈文新高考研究联盟”2025届高三上学期期中质量监测数学试题(含答案)
辽宁省“沈文新高考研究联盟”2025届高三上学期期中质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,3}，集合B ={2,4}，则(∁U A)∩B =( )A. ⌀B. {2}C. {4}D. {2,4}2.若p:−1≤x ≤2，q:−1≤x ≤1，则p 为q 的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件3.幂函数y =f (x )的图象经过点(2 2,2)，则f(18)=( )A. 12B. 14C. 18D. 1164.已知复数z =1+3i3−i ，z 是z 的共轭复数，则z ⋅z =A. 12B. −12C. 1D. −15.如图所示，已知x 轴上一点A(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角(0<θ≤π)，经过2秒钟点A 在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角θ的弧度数为( )A. 4π7B. 5π7C. 4π7或5π7D. 无法确定6.在正方形ABCD 中，BC−DC +AB =( )A. BDB. DBC. ADD. DA7.已知函数f(x)为偶函数，且x ≥0时，f(x)=x +12sin x ，则关于x 的不等式f(x)>f(2x−1)的解集为A. {x|1<x <3} B. {x|x <1}C. {x|x <13或x >1}D. {x|13<x <1}8.已知函数f(x)=sin 2x +cos x 下列结论中错误的是( )A. f(x)是偶函数B. 函数f(x)最大值为54C. π2是函数f(x)的一个周期D. 函数f(x)在(0,π3)内是增函数二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
辽宁省朝阳市2024年数学(高考)统编版测试(综合卷)模拟试卷
辽宁省朝阳市2024年数学（高考）统编版测试(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题函数满足，则这样的函数共有（）A．1个B．4个C．8个D．10个第(2)题斐波那契数列是意大利数学家斐波那契在撰写《算盘全书》(LiberAbacci)一书中研究的一个著名数列，，，，，，，，，，该数列是数学史中非常重要的一个数列．它与生活中许多现象息息相关，如松果、凤梨、树叶的排列符合该数列的规律，与杨辉三角，黄金分割比等知识的关系也相当密切．已知该数列满足如下规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和，根据这个递推关系，令该数列为，其前项和为，，，若，则（）A．B．C．D．第(3)题若，则（）A．B．C．D．第(4)题已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（）A．B．C．D．第(5)题已知抛物线的焦点为F，A是上一点，为坐标原点，若的面积为，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(8)题设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的命题是（）A．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形.B．若，，则.C．若，，，，，，则.D．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线.第(2)题已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点P与焦点所形成的三角形面积最大值为，下列说法正确的是（）A．椭圆方程为B．直线与椭圆C无公共点C．若A，B为椭圆C上的动点，且，过作，为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径满足D．若过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则第(3)题点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（）A．存在点，使得B．弦长的最小值为C．点在以为直径的圆上D．线段经过一个定点三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
辽宁省辽阳市2024年数学(高考)统编版真题(综合卷)模拟试卷
辽宁省辽阳市2024年数学（高考）统编版真题(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，第(2)题“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（）A．90B．180C．220D．360第(3)题已知实数，满足，，则下列正确的结论是（）A．B．C．D．第(4)题人类通常有，，，四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的.设代表，，，中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①→；②→；③→.已知我国，，，四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（）A．0.31B．0.48C．0.52D．0.65第(5)题已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A．32.4B．32.8C．31.4D．31.8第(7)题设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件第(8)题已知复数，则（）A．B．C．1D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知向量，，则（）A．B．C．D．在上的投影向量是第(2)题如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A．四面体的体积为定值B．的最小值为C．平面D．当直线与AC所成的角最大时，四面体的外接球的体积为第(3)题已知O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）A．B．存在实数，使得C．若，则D．若直线PA与PB的倾斜角互补，则三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
辽宁省辽阳市2024年数学(高考)统编版真题(预测卷)模拟试卷
守住国家生态安全的底线“红线”是全国“一张图”管好生态环境的基础，需要上下联动和各部门协调协作《关于划定并严守生态爱护红线的若干意见》，是党中心、国务院对生态爱护作出的顶层设计和全面部署，也是建设生态文明的一项基础性制度支配。
生态爱护红线是保障国家生态平安的底线和生命线。
随着工业化和城镇化快速进展，我国资源约束趋紧、环境污染严峻、生态系统退化，可持续进展面临严峻挑战。
同时，由于国土空间开发和爱护不协调、不同步，一些应当爱护的地方没有爱护，不该开发的地方却被开发，“山水林田湖”被人为地割裂开来。
这造成部分重要的生态资源退化消逝，生态产品供应力量下降，生物资源流失严峻；也导致环境质量的下降，空气重污染频发、江河湖泊难有清亮。
划定并严守生态爱护红线，实施精准爱护，已经成为当前爱护自然生态、提升环境质量最紧迫的任务。
《若干意见》的出台，意味着各地划定“红线”的工作将全面启动。
“红线”划定，看似是简洁的技术工作，却是全国“一张图”管好生态环境的基础。
“红线”不仅要将需严格爱护的森林、草原、湿地、海洋等生态空间统一划入，更要根据主体功能区定位要求，全面梳理区域资源环境生态条件和经济社会状况，进一步明确国土空间格局、生态优势和进展定位，合理确定城镇空间、农业空间和生态空间，以促进区域经济社会协调进展、绿色进展。
这一专业性强且非常简单的工作，需要上下联动，也需要各部门协调协作，要坚决避开“种树的只管种树、治水的只管治水”，切实将“红线”划准划好。
生态爱护红线之所以成为“红线”，在于其约束作用，在于其强制性爱护的功能。
发挥生态爱护红线的底线作用，必需让“红线”落地并实施严格监管，对任意转变国土空间用途坚决说“不”，防止不合理开发建设活动。
比如，区域规划、经济社会活动都要与“红线”对标，确保不踩红线不越红线。
当然，还要从制度、体制和机制入手，做好过程监管和责任追究，让“红线”成为高压线；同时，要进一步完善生态补偿和其他激励制度，推动形成自觉维护生态平安的社会氛围。
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解析几何
7、9
7、13
7、12、15
11、15
8、15
1-1-2
圆锥曲线
Ⅲ-1
算法
算法
5
9
10
8
13
1-2-4
框图
Ⅲ-2
统计
统计
14
5、16
1-2-1
统计
Ⅲ-3
事件和概率
概率
13
11
6
Ⅳ-1
三角函数
三角函数
6
12
6
6
11
Ⅳ-3
三角变换
Ⅴ-1
解三角形
Ⅳ-2
平面向量
平面向量
8
3
1
3、9
5
Ⅴ-2
数列
数列
3、14
5、15
4、14
4、14
9
Ⅴ-3
不等式
不等式
（线性规划）
15
9
14、16
1-1-1
常用逻辑
逻辑
4
4
5
4
5
1-2-2
推理与证明
1-2-3
复数
复数
2
2பைடு நூலகம்
3
2
2
4-1
几何证明
几何证明
4-4
参数方程
参数方程
4-5
不等式
不等式
年份
选择题
填空题
17
18
19
20
21
选做题（三选一）
22
23
24
2010
12个题，每题5分
4个题，每题5分
三角函数
统计
立体几何
解析几何
函数
几何证明
极标参方
不等式
2011
三角函数
立体几何
概率
统计
函数
解析几何
2012
数列
三角函数
立体几何
统计
解析几何
函数
2013
向量
三角函数
立体几何
概率
解析几何
函数
2014
向量
三角函数
统计
立体几何
解析几何
函数
文科
章节
知识点
专题
2010
2011
2012
2013
2014
Ⅰ-1
集合
集合
1
1
2
1
1
Ⅰ-2
函数基础
函数
4、10、12
6、11、16
8
7、12
3、10、12
Ⅰ-3
指幂对函数
1-1-3
导数
Ⅱ-1
立体几何
立体几何
（三视图）
11、16
8、10
13、16
10、13
4、7
Ⅱ-2