高三综合七教师卷

高三数学综合练习（七）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z ＝21ii－在复平面内对应点位于（ B ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x，x ＞0}，则A *B 为( D ) A.{x |0＜x ＜2} B.{x |1＜x ≤2}C.{x |0≤x ≤1或x ≥2}D.{x |0≤x ≤1或x ＞2} 3、下列命题正确的是CA ．存在x 0∈R ，使得00x e ≤的否定是：不存在x 0∈R ，使得00x e >；B ．存在x 0∈R ，使得2010x -<的否定是：任意x ∈R ，均有2010x -> C ．若x =3，则x 2-2x -3=0的否命题是：若x ≠3，则x 2-2x -3≠0. D ．若p q ∨为假命题，则命题p 与q 必一真一假4.已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( C )A. 3-B. 1-C. 1D. 3 5.若α为锐角且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α=( ) A.25 B.25 C.55 D.256．某农场给某种农作物施肥量x (单位：吨)与其产量y (单位：吨)的统计数据如下表：施肥量x 2 3 4 5 产量y2639 49 54 根据上表，得到回归直线方程y ∧＝9.4x ＋a ∧，当施肥量x ＝6时，该农作物的预报产量是(C )A ．72.0B ．67.7C ．65.5D ．63.67．已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos)sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前18项和为（ D ）A.2101B.2012C.1012D.10678.ABC ∆的外接圆圆心为O ,半径为2，0OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r ,且OA AB =u u u r u u u r,CB CA 在方向上的投影为（ C ）A.3-B.3-C.3D.3 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和为( C )A ．2B ．4C ．6D ．810．已知直线222a x a b=+被双曲线22221x y a b -=的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为（ C ） A.2 B.3 C.2 D.3 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 考生注意：请在下列三题中任选二题作答，如果多做，则按所做的前两题评分)11.如图，已知圆O 的半径为3，A B 与圆O 相切于A ，BO 与圆O 相交于C ，BC ＝2，则△ABC 的面积为________．12512.在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，记ρ为极径，θ为极角，圆C ：ρ＝3cos θ的圆心C 到直线l ：ρcos θ＝2的距离为________．1213.关于x 的不等式|x －1＋log 2(x －1)|＜x －1＋|log 2(x －1)|的解集为________． (1,2) 必做题14.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且y x z +=2的最小值为6-，则____=k .2-15.若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则=⎰30)(dx x f ______18-______.16、若函数()ln exf x e x =-，则201412015k ke f =⎛⎫⎪⎝⎭∑=_______________2014 17．（本小题满分12分） 已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-r r．(Ⅰ)当//a b r r 时，求2cos sin 2x x -的值；(Ⅱ)设函数()2()f x a b b =+⋅r r r，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c、、若 36sin ,2,3===B b a ,求()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f （0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的取值范围．解：（1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-r r Q22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++（2）()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r +32由正弦定理得sin ,sin sin 4a b A A A B π===可得所以或43π=A 因为a b>，所以4π=A()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f 18.一个盒子中装有5张卡片，上面分别记着数字1，1，2，2，2，每张卡片从外观上看毫无差异，现从盒子中有放回的任意取2张卡片，记下上面数字分别为X 和Y ，两次所得数字之和记为M ，即M=X+Y(1)求随机变量M 的分布数列和数学期望（2）若规定所得数字之和为3即可获得奖品，先甲乙两人各自玩了一次上面的游戏，试求两人之中至少有一人获得奖品的概率 解：(1)由题意：M 的取值可以是2,3,4112245525C C P ⨯=⨯（M=2）=,112232125525C C A P ⨯⨯=⨯（M=3）=,113395525C C P ⨯=⨯（M=3）=M ∴的分布列为：M ∴的期望为：412916()2342525255E M =⨯+⨯+⨯= (2)设“从5张卡片中有放回地抽取2次，所得数字之和为3”为事件A,则12()25P A =,则“甲乙二人中至少一人能获奖”相当于2次独立重复试验中事件A 至少发生一次，其概率为022124561-(1)25625C -=19.如图，已知菱形ABCD 的边长为6，O BD AC 60==∠I ο，BAD ，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使23=BD ，得到三棱锥B-ACD （1） 若CM=2MB ，求证：直线OM 与平面ABD 不平行； （2） 求二面角A —BD —O 的余弦值；解（1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点， 又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是△ABC 的中位线，OM ∥AB ， 因为平面ABD ，平面ABD ，所以OM ∥平面ABD 。

（2）解：由题意，OB=OD=3， 因为，所以∠BOD=90°，OB ⊥OD ，又因为菱形ABCD ，所以OB ⊥AC ，OD ⊥AC ， 建立空间直角坐标系O-xyz ，如图所示，，所以，设平面ABD 的法向量为（x ，y ，z ），则有即：，令x=1，则，所以，因为AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，所以AC ⊥平面BOD ， 平面BOD 的法向量与AC 平行， 所以平面BOD 的法向量为，，因为二面角A-BD-O 是锐角，所以二面角A-BD-O 的余弦值为。

20.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：*11,12,1N n S S a n n ∈=-=-，且2≥n .(1) 求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 已知)(*N n a nc nn ∈=，数列{}n c 的前n 项和Tn,若存在正整数M ，m,使M T m n <≤对任意正整数n 恒成立，求M ，m 的值.解：（1）当2n ≥时，由112121n n n n S S S S -+-=⎧⎨-=⎩两式相减得120n n a a +-=，又当222n a ==时， 所以*12()n na n N a +=∈ 所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列。

（2）由（1）得12n n a -=，112n n c n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭01221111111()2()3()(1)()()22222n n n T n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L12311111111()2()3()(1)()()222222n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L两式相减得01211111111()()()()()2(2)()2222222n n n n T n n -=++++-⨯=-+⨯Ln T ∴=114(2)()42n n --+⨯<所以M 可以取大于等于4的任意整数11(1)()02n n n T T n +-=+⨯>Q11n T T ∴≥=综上，存在正整数M,m,使得n m T M ≤<对任意正整数n 恒成立，其中1,4m M M N =≥∈且21.设()(1)xf x e a x =-+(e 是自然对数的底数，Λ71828.2=e )． (1)求()f x 的单调区间；（2）若0)0(='f ，设)()()(x f x f x g --=，对任意)(,2121x x R x x <∈，恒有m x x x g x g >--1212)()(成立．求实数m 的取值范围；（1）略（2）∵a e x f x-=')(，01)0(=-='a f ，故1=a ．。