2.5幂函数
人教A版数学必修一2.5幂函数
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（4）∵f(x)==的定义域为{x|x≥0}，定义域不关于原 点对称， ∴f(x)为非奇非偶函数. （5）∵f(x)===, ∴f(x)的定义域为(0,+∞). ∴f(x)为非奇非偶函数.
【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式， 确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特 征来判断.
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（2）由题意得a2-5a+5=1 a2-3a+2≠0, （3）由题意得a2-5a+5=-1 a2-3a+2≠0, 【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有 利于温故知新.
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已知幂函数f(x)=(k∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上 是增函数，求函数f(x)的解析式. 由已知>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又 ∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)=不是偶函数；当 k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时， f(x)=不是偶函数,∴f(x)=x2.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
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1.一般地,函数y=xa叫做，幂其函中数x是自变量,a是常数.
2.幂函数y=xa具有下面性质：
（1）所有的幂函数在区间上都(0,有+∞定) 义，并且函数图象都
通过点.
(1,1)
（2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点，(并0,0且) 在区间 上是增函［数0,.+∞)
【评析】由幂函数不等式求变量范围，实质上仍是对图象 与单调性的考查.
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已知幂函数y=(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞) 上,函数值随x的增大而减小，求满足
的a的取值范围.
根据条件确定m的值，再利用幂函数的增减性求a的取值 范围.
数学：2.5幂函数 教案 (北师大必修1)
2.5幂函数一．教学目标：1．知识技能：（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观：（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三、教法、学法1、学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质；2、教法：探析交流、讲练结合。
四、教学过程（一）、引入新知阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα=，其中x是自变量，α是常数.（二）、探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.913．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：例1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜00 所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？例2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小. （三）、课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. （四）、归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ （五）、作业： P 92 习题 2.3 第2、3 题 五、课后反思：。
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第2章 §2.5 二次函数与幂函数
§2.5二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝⎛⎭⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________．答案 (－∞，40]∪[160，＋∞) 解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n ，则－1<n <0.综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( ) A.⎣⎡⎭⎫2，167 B ．(0,2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎡⎭⎫2，167. 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ， a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有pq <0，又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1答案 B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得 ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )． 解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎫x －t 22－1－t 24. (1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2＝－1－t24. ③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ， f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ，∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3，∴－1≤a ≤－23， 故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1.(1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围；(2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减；当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0， ∴1a≥1，即0<a ≤1； 当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0， ∴a <0符合题意．综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a. (ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＋1＝－1a＋1. (ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3] 答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2，对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a 2≤3， 解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2答案 C解析 由于函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意． 当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( )A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确；对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0，故选项C 不正确；对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( )A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确； 因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确．6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( ) A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能答案 BC解析 因为f (x )＝()2231mm m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )＝x 3为奇函数．因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，所以f (a )<f (－b )．因为y ＝f (x )为增函数，所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，所以⎝⎛⎭⎫116n ＝14，解得n ＝12， 所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点．(1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3；(2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]，当t ＝－1时，g (t )有最小值0，当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数，当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0， 解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12. 幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于( )A ．0B ．1 C.12D ．2 答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b ＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( )A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1；当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)，由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1.因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根．综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ， 且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0， 代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3. 所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ， 解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.5二次函数与幂函数、函数与方程含解析
2.5二次函数与幂函数、函数与方程挖命题【考情探究】的难度.函数与方程是江苏必考内容,主要考查运用零点存在性定理求函数在某区间的零点个数、运用函数图象判定函数的零点个数、根据函数的零点个数(或方程根的个数)求参数的范围等.破考点【考点集训】考点一幂函数的图象及性质1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点,则f(4)的值等于.答案2.(2019届江苏宜兴官林中学检测)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·-(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n=.答案 1考点二二次函数的图象和性质1.已知函数f(x)=x2-6x+8,xÎ[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是.答案(1,3]2.(2019届江苏白蒲高级中学检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是.答案①④考点三函数与方程1.函数f(x)=e x+x-2的零点有个.答案 12.(2018江苏溧阳高级中学检测)函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是.答案-∞-炼技法【方法集训】方法一幂函数图象与性质的求解策略1.正整数p使得函数f(x)=x p-2在(0,+∞)上是减函数,则函数的单调递减区间是.答案(-∞,0),(0,+∞)2.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.答案(3,5)方法二求函数零点个数的解题策略1.(2018江苏板浦高级中学检测)函数f(x)=x·lg(x+2)-1的图象与x轴的交点有个.答案 22.(2019届江苏东台中学检测)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为.答案 2方法三已知函数零点求参数的范围的常用方法1.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.答案2.(2019届江苏南通第三中学检测)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是.答案-过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组∈其中集合1.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案82.(2014江苏,13,5分,0.48)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=-.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数3.(2015江苏,13,5分,0.27)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--为.答案 4B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一二次函数与幂函数1.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-2考点二函数与方程1.(2018课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是.答案[-1,+∞)2.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=--若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.答案(4,8)3.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 34.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)5.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案6.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=-其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)7.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=-(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是. 答案8.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1②∪[2,+∞)C组教师专用题组1.(2009新课标改编)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案 62.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)3.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2016课标全国Ⅱ改编,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则=.答案m【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=-(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)3.(2019届江苏侯集中学检测)函数f(x)=lg x+的零点是.答案4.(2018江苏启东中学检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.答案x2+2x+15.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案6.(2019届江苏海门中学检测)已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=.答案 27.(2019届江苏南通中学检测)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为.答案{-3,3}8.(2019届江苏海安中学检测)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.答案-1,-29.(2019届江苏启东汇龙中学检测)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为.答案10.(2019届江苏南通大学附属中学检测)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1<x2<x3二、解答题(共30分)11.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=x2+ax+2,a∈R.(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≥1-x2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.由f(x)≥1-x2得1-x2≤x2-3x+2,解得x≤或x≥1,所以不等式f(x)≥1-x2的解集为或.(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点,则--解得-5<a<-2.所以实数a的取值范围是(-5,-2).12.(2019届江苏常州第一中学检测)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2.(1)求f(x)的表达式;(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解析(1)由f(-1+x)=f(-1-x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称.设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(a≠0).由函数f(x)的值域为[-1,+∞),可得h=-1.根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=1+,所以|x1-x2|=-=-=2,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[-1,2]上单调递增,又g(x)=f(x)-kx=x2-(k-2)x.所以g(x)的对称轴方程为x=-,则-≤-1,即k≤0,故k的取值范围为(-∞,0].。
【原创】幂函数图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y x3 … -27 -8 -1 0 1
1
y x2… \ \ \ 0 1
8 27 …
2 3…
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y=x0
-6
-4
-2
2
4
6
-1 在第一象限内， (-1,-1) 当k>0时，图象随x增大而上升。
-2 当k<0时，图象随x增大而下降。
-3 图象都经过点（1，1） -4 K>0时,图象还都过点(0,0)点
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
注 1、幂函数的解析式必须是y = ｘＫ 的形式，
其特征可归纳为“两个系数为１，只有１ 项2、．定义域与k的值有关系.
意
例1、下列函数中，哪几个函
高一数学幂函数
确定下来;
3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
在同一平面直角坐标系内作出 y x，y x 2 ，y x3，
1
y x 2，y x 1 的图像
y x3
y x2 y x
1
y x2
y x1
观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格内
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质 1 y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域
R
R
R [0, ) x | x 0
值域 R [0, ) R [0, ) y | y 0
奇偶性 单调性
定点
奇
偶
奇 非奇非偶 奇
增 [0, ) 增
上增
增 (0, )
上减
(, 0]
上减
(, 0)
上减
（1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
新幂函课数讲性解质. ：二.幂函数的图象及性质
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）；
2.3幂函数
引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么 她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数;
3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a=S1/2 这里S是a的函数;
高考北师大版数学总复习课件：2.5幂函数
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则
2 m ＋ m－ 1＝ 1， 2 m ＋ 2m≠ 0
－ 1 2 3 2 2 3
－4
1 3
4．下列命题： ①幂函数的图像都经过点(1,1)和点 (0,0)； ②幂函数的图像不可能在第四象限； ③ n＝ 0 时，函数 y＝ xn 的图像是一条直线； ④幂函数 y＝ xn，当 n>0 时是增函数； ⑤幂函数 y＝ xn， 当 n<0 时， 在第一象限内函数值随 x 值的 增大而减小
(3)α <0 时幂函数的图像在区间 (0， ＋∞ )上是 减函数．在第 一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方无限地 逼近
y轴 ，当 x 趋于＋∞时，图像在 x 轴上方无限地逼近
x轴．
(4)当 α 为奇数时，幂函数为 奇函数 ；当 α 为偶数时， 幂函数为 偶函数．
4． 5 个具体幂函数的性质
[答案] B
[解析 ] 依据幂函数的定义， y＝ 2x2 的系数不是 1， y＝ x2 ＋ x 是两个函数的和的形式， y＝ 1 也不同于 y＝ x0(x≠0)，因此 1 这三个都不是幂函数，只有 y＝ 2符合． x
2． (2012· 陕西宝鸡期末)函数 y＝ x 是 ( A．奇函数，并且在(0，＋∞ )上为增函数 B．偶函数，并且在 (－∞， 0)上为减函数 C．奇函数，并且在(0，＋∞ )上为减函数 D．偶函数，并且在(－∞，0)上为增函数
4 5
)
[答案] B
5 4 [解析] y＝ x ＝ x ，x∈ R，且满足 f(－ x)＝ f(x)，故为偶
4 5
4 函数． 又 >0， 所以在第一象限内的图像是单调递增， 因此在 (－ 5 ∞， 0)上为减函数．
高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案
§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减， 所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )， 当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)， 又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)， 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。
高考数学一轮总复习 2.5幂函数与二次函数
知识梳理
知识点一
幂函数
1.定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，其中x是
自变量 ，α是常数．
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2．幂函数的性质
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知识点二 二次函数 1.二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
问题3 如何确定二次函数的对称轴？ (1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且 f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋2 x2对称． (2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成 立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
对点自测 知识点一 幂函数 1.判一判 (1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( ) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( ) (3)幂函数的图象不经过第四象限．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√
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2．设α∈{－1,1，
1 2
，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为
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2．二次函数的性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义 R
域
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值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba减
在－∞，－2ba增
在－2ba，＋∞增
在－2ba，＋∞减
函数的图象关于x＝－2ba对称
高考数学一轮复习讲义： 第二章 函数 2.5 幂函数、函数与方程讲义
§2.5幂函数、函数与方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.二次函数与幂函数1.二次函数的图象与性质2.幂函数的概念B13题5分填空题解答题★★★2.函数的零点与方程的根1.求函数零点2.由函数零点求参数B13题5分填空题解答题★★★分析解读二次函数的图象与性质和函数零点问题是江苏高考的热点内容,试题一般难度较大,综合性较强.五年高考考点一二次函数与幂函数1.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系是(用<连接).答案b<a<c2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-24.(2013辽宁理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=.答案-165.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案-1,教师用书专用(6—7)6.(2014浙江改编,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是(填序号).答案④7.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得f(x)图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二函数的零点与方程的根1.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)2.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)3.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案4.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)5.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是.答案6.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)7.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案8.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)9.(2013安徽理改编,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是.答案 3教师用书专用(10—11)10.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案11.(2013安徽理,20,13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明(1)对每个n∈N*,当x>0时, f 'n(x)=1++…+>0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时, f n(1)=++…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1++≤-+=-+·=-·<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时, f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n.故{x n}为单调递减数列.从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0,②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=+≤≤<=-<.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一二次函数与幂函数1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f(8)=.答案3.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)4.(苏教必1,三,3,2,变式)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为.答案1,35.(2016江苏淮阴中学期中)下列幂函数:①y=;②y=x-2;③y=;④y=,其中既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是.(填相应函数的序号)答案③考点二函数的零点与方程的根6.(2018江苏金陵中学高三月考)记函数y=ln x+2x-6的零点为x0,若k满足k≤x0且k为整数,则k的最大值为.答案 27.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案8.(2018江苏东台安丰高级中学月考)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.答案 e9.(2018江苏扬州中学月考)方程xlg(x+2)=1有个不同的实数根.答案 210.(2018江苏天一中学调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是.答案11.(苏教必1,三,4,2,变式)函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为.答案 212.(苏教必1,三,4,8,变式)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是.答案13.(2017江苏苏州期中,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是.答案14.(2016江苏泰州中学质检,10)关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2017江苏苏州学情调研,11)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是.答案2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,12)若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.答案{2}3.(2017江苏苏北四市期末,14)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有三个不同的公共点,则实数a的取值范围为.答案{a|-20<a<-16}4.(2016江苏淮阴中学期中,10)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0的两个实数根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值范围是.答案二、解答题(共15分)5.(2017江苏泰州二中期初,20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,图象的对称轴为x=-,当a<-2时,->1,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;当-2≤a≤2时,-1≤-≤1,g(a)=f=1;当a>2时,-<-1,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=-a+2.综上可得,g(a)=(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,故≤s≤(-1≤t≤1),当0≤t≤1时,≤st≤.易知-≤≤0,-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4;当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0,-3≤<0,所以-3≤b<0,故b的取值范围是[-3,9-4].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断函数零点个数的常用方法1.(2016江苏扬州中学月考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是.答案9方法2 利用函数零点求参数的值或取值范围2.(2018江苏无锡高三期中)关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解,则实数a的取值范围为.答案(1-ln 2,+∞)3.(2016上海闸北区调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案(0,1)D组2016—2018年模拟·突破题组(2016江苏南京调研,14)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)有3个零点,则实数a的取值范围是.答案。
幂函数ppt
05
幂函数的计算机实现
幂函数在编程中的表示
数学表达式
使用数学表达式表示幂函数，如 `a^b = a * a * ... * a`（b个 a相乘）。
算法实现
介绍常用的幂函数计算算法，如快速幂、迭代乘法、多项式 乘法等。
幂函数计算的性能优化
缓存优化
使用缓存来避免重复计算，提 高计算效率。
数据类型优化
思路2
通过图像观察幂函数的奇偶性和单调性， 并利用性质解决一些问题。
思路4
结合实际生活，分析幂函数的应用场景和 作用，并解决一些实际问题。
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幂函数在电磁学中的应用
总结词
描述电荷分布
详细描述
在电磁学中，幂函数可以描述电荷分布，如电荷密度、电场强度等物理量。 电荷分布的幂函数形式可以反映电荷分布随位置变化的规律，从而有助于理 解电磁现象的本质。
幂函数在热学中的应用
总结词
描述热辐射
详细描述
热辐射是热力学中一个重要的现象，其辐射强度和辐射温度之间的关系可以用幂 函数表示。幂函数的热辐射公式可以定量地描述物体在不同温度下的辐射特性， 从而在研究物体加热和热交换过程中具有重要应用。
幂函数ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 幂函数概述 • 幂函数的运算性质 • 幂函数的数学应用 • 幂函数的物理应用 • 幂函数的计算机实现 • 幂函数的相关习题及解答
01
幂函数概述
定义与性质
定义
形如$y=x^a$的函数，其中$a$为常数。
基本性质
幂函数在$(0,0)$点处的导数为0；当$a>0$时，在$(0,+\infty)$区间内单调递 增；当$a<0$时，在$(0,+\infty)$区间内单调递减。
高考数学 第九节 幂函数教材
第九节 幂函数教 材 面 面 观1．一般地，函数________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．注意 幂函数中底数是自变量，幂指数是常数，这与指数函数是不同的，指数函数中底数是常数，幂指数是自变量． 答案 y ＝xα2．5函数 y ＝x y ＝x2 y ＝x3 y ＝x 12y ＝1x 定义域 值域 奇偶性 单调性 图象 过定点函数 y ＝x y ＝x2 y ＝x3 y ＝x 12y ＝1x 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 在R 上递增在(－∞，0) 上递减，在(0，＋∞)上递增在R 上递增在(0，＋∞)在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减图象过定点(1,1)考 点 串 串 讲 1．幂函数的图象幂函数y ＝xα，当α＝13，12，1,2,3时的图象见图(1)所示；当α＝－2，－1，－12时的图象见图(2)所示；2．幂函数的性质(1)α＞0时；①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数．(2)α＜0时；①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数．③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．3．比较大小利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下：(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值的大小；(4)比较多个幂值的大小一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.典例对对碰题型一幂函数定义例1若幂函数y＝(m2＋3m－17)x4m－m2的图象不过原点，求实数m的取值范围．解析 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m2＋3m －17＝14m －m2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－6或m ＝3，m ＜0或m ＞4. 所以m ＝－6.点评 问题切入点幂函数的形式是y ＝x2.因此m2＋3m －17＝1，另一方面图象不过原点，必有4m －m2＜0，从而求出m.熟练掌握并理解幂函数定义及性质是解题的关键.变式迁移1函数f(x)＝(m2－m －1)xm2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题知m2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再验证m2－2m －3＜0，得m ＝2.故选A.题型二 定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y=x 35；(2)y=x14；(3)y=x23－；(4)y=x34－.解析 把分数指数幂化为根式(1)y=x 35＝5x3，其定义域为R ；(2)y=x 14＝4x ，其定义域为[0，＋∞)；(3)y=x23－＝13x2，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；(4)y=x34－＝14x3，其定义域为(0，＋∞)．点评 注意：①分母不能为0；②偶次根号下必须为非负实数；③零的零次方没有意义；④奇次根号下不作限制. 变式迁移2设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝xα的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．答案 1,3解析 定义域为R 说明幂指数是正数且幂指数不等于12，是奇函数说明α＝1,3.题型三 幂函数的图象例3已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x 为何值时，有(1)f(x)＞g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)＜g(x)．分析 首先要理解幂函数是形式定义，y ＝xα，然后根据函数图象可以解决．解析 设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)a ，解得a ＝2，∴f(x)＝x2；设g(x)＝xb ，∵点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，将点(－2，14)代入g(x)＝xb 中，得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，∴g(x)＝x －2.在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x －2的图象如图所示．由图象可知：(1)当x ＞1，或x ＜－1时，f(x)＞g(x)； (2)当x ＝1，或x ＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1＜x ＜1，且x≠0时，f(x)＜g(x)．点评 (1)幂函数的一般形式是y ＝xα(α为常数)，要求幂函数只要解出α即可；(2)函数的图象在解方程和不等式时有着重要的作用；(3)本题注意g(x)＝x －2的定义域是{x|x≠0}，即求幂函数的解析式问题的关键是掌握幂函数的定义特征.变式迁移3如图所示为幂函数y ＝xαi(i ＝1,2,3,4)在第一象限内的图象，则α1，α2，α3，α4按由小到大的顺序排列为________．答案 α3＜α2＜α4＜α1解析 首先根据图象特点和幂函数的单调性，得α1＞0，α4＞0，α2＜0，α3＜0，令x ＝a 且a ＞1，根据函数图象特点可知aα3＜aα2＜aα4＜aα1，由于指数函数y ＝ax(a ＞1)是单调递增函数，故α3＜α2＜α4＜α1.题型四 比较大小问题例4已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，求m 的取值范围． 解析 根据幂函数y ＝x1.3知0＜0.71.3＜1，由幂函数y ＝x0.7知，1.30.7＞1,0.71.3＜1.30.7，对于函数y ＝xm ，∵(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，∴m ＞0. 点评 恰当地构造函数是解决本题的关键．变式迁移4设12＜(12)b ＜(12)a ＜1，则下列不等关系成立的是( ) A ．aa ＜ab ＜ba B ．aa ＜ba ＜ab C ．ab ＜aa ＜ba D ．ab ＜ba ＜aa 答案 C解析 12＜(12)b ＜(12)a ＜1⇒1＞b ＞a ＞0，在A 和B 中，y ＝ax(0＜a ＜1)在定义域内是单调递减的，则aa ＞ab ，所以结论不成立；在C 中，y ＝xn(n ＞0)在(0，＋∞)内是单调递增的，又a ＜b ⇒aa ＜ba ，即ab ＜aa ＜ba.故选C.题型五 幂函数的性质例5讨论函数y=x23的定义域、奇偶性，作出图象，并由图象指出函数的单调性．解析 函数y=x23＝3x2，定义域为实数集R.∵f(－x)＝(x)23－＝[(x)2]13－＝(x2)13＝x23＝f(x)．∴函数y=x23为偶函数，其图象关于y 轴对称．下面用列表法作出函数y ＝x 23在(0，＋∞)上的图象．列表：x 0 1 2 3 4 … y11.592.082.52…描点：连线：画出y 轴右边部分，再由对称性画出y 轴左侧部分如图所示．由图象可以看出，函数y ＝x 23在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数．点评 描点法先要求出函数的定义域.变式迁移5给出关于幂函数的以下命题： ①幂函数的图象都经过点(1,1)； ②幂函数的图象都经过点(0,0)；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数； ④幂函数的图象不可能经过第四象限； ⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是增函数，其中正确的命题有________． 答案 ①④⑤解析 命题①显然正确；只有当α＞0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α＜0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；幂函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，所以命题③错误；由于在y ＝xα(α∈R)中，只要x ＞0，必有y ＞0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故④正确；命题⑤也正确；幂函数y ＝x3在(－∞，0)上是增函数，故命题⑥错误．因此正确的命题有①④⑤.题型六 幂函数的综合应用例6已知幂函数f(x)＝xm2－2m －3(m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求f(x)；(2)讨论F(x)＝a f x －bxf x的奇偶性．解析 (1)()m m f x x 223－－＝＝xm(m －2)－3由题意知m(m －2)为奇数且m2－2m －3<0，又m ∈Z ，∴m ＝1，∴f(x)＝x －4(2)F(x)＝a x －4－bx·x －4＝a·x －2－b·x3∵y ＝x －2是偶函数，y ＝x3为奇函数，∴讨论如下：①a≠0且b≠0时，F(x)是非奇非偶函数；②a ＝0且b≠0时，F(x)是奇函数；③a≠0且b ＝0时，F(x)是偶函数；④a ＝b ＝0时，F(x)既是奇函数，又是偶函数. 变式迁移6函数y ＝(mx2＋4x ＋m ＋2)－14＋(x2－mx ＋1)的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A ．(5－1,2)B ．(5－1，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－1－5，－1＋5) 答案 B解析 函数y ＝(mx2＋4x ＋m ＋2)－14＋(x2－mx ＋1)有意义的条件是mx2＋4x ＋m ＋2＞0.因此，要使函数y ＝(mx2＋4x ＋m ＋2)－14＋(x2－mx ＋1)的定义域为全体实数，需满足mx2＋4x ＋m ＋2＞0对一切实数都成立．即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＝42－4mm ＋2＜0，解得m ＞5－1.【教师备课资源】 题型七 幂函数的判定例7下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x3 D ．y ＝x3－1分析 幂函数的定义是形式上的，即只有形如y ＝xα(α是常数)的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数．解析 形如y ＝xα(α是常数)的函数叫做幂函数，选B. 答案 B变式迁移7给出下列函数：①y ＝1x3；②y ＝3x －2；③y ＝x4＋x2；④y ＝3x2，其中是幂函数的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B 解析 可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的四个函数中，只有y ＝1x3＝x －3和y ＝3x2＝x 23符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数．所以选B.题型八 数形结合题例8当k ∈(0，12)时，试研究方程|1－x|＝kx 的解的个数．分析 令y ＝|1－x|，y ＝kx ，通过两曲线交点个数来判断方程解的个数． 解析 令y1＝|1－x|，y2＝kx. 在同一直角坐标系下．先作过y1＝|1－x|的图象，如图所示．再研究当k ∈(0，12)时，直线y2＝kx 与上述图象交点的个数，显然该直线与曲线x ＜1的部分必有一交点，对于x ＞1的部分，将y ＝kx 代入y2＝1－x(y ＞0)，得k2x2－x ＋1＝0，Δ＝1－4k2，当k ∈(0，12)时，Δ＞0，所以y ＝kx 与曲线y2＝x －1(x ＞1)有两交点．所以直线与曲线只有三个交点．点评 数形结合思想的恰当引入使判断方程根的个数转化为检验曲线交点个数问题，直观形象，易于理解．数形结合思想是高考考查的热点之一，本题将方程问题转化为函数问题，化繁为简，化难为易，深刻体现了数学基本思想在解题中的重要地位.变式迁移8已知幂函数f(x)的图象经过点(18，24)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③f x1x1＞f x2x2；④f x1x1＜f x2x2.其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③ 答案 D解析 依题意，设f(x)＝xα，则有(18)α＝24，即(18)α＝()1218，所以α ＝12，于是f(x)=x12.由于函数f(x)=x12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x1＜x2时，必有f(x1)＜f(x2)，从而有x1f(x1)＜x2f(x2)，故②正确；又因为f x1x1，f x2x2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f x1x1＞f x2x2，所以③正确．故选D.方 法 路 路 通1．幂函数y ＝xα随α的不同，其定义域、值域、单调性、奇偶性等都有较大的差异． 2．掌握幂函数的图象和性质，要在掌握幂函数的定义域、奇偶性和它在第一象限内的情况等三个方面多下工夫，要强化对幂函数图象的记忆，并了解：①任何幂函数的图象与坐标轴最多有一个交点(原点)；②任何幂函数的图象都不通过第四象限；③任何两个幂函数的图象最多有三个交点．3．当α＞0时，y ＝xα在第一象限是增函数，当α＜0时，y ＝xα在第一象限是减函数.正 误 题 题 辨例若(a ＋1)－2＞(3－2a)－2，则a 的取值范围是________．错解 由y ＝x －2在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＞a ＋1＞3－2a 或0＜a ＋1＜3－2a ， 解之得：－1＜a ＜23，∴a 的取值范围是(－1，23)．点击 上述解法只考虑到a ＋1,3－2a 在同一单调区间的情形，不全面．正解 解法一：由y ＝x －2的图象关于y 轴对称知，函数y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 有4种情况 (1)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0a ＋1＞03－2a ＞a ＋1(2)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＜0a ＋1＜03－2a ＜a ＋1(3)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0a ＋1＜03－2a ＞－a ＋1(4)⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＜0a ＋1＞0－3－2a ＞a ＋1分别解得(1)－1＜a ＜23，(2)无解，(3)a ＜－1，(4)a ＞4.因此a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，23)∪(4，＋∞)．解法二：由(a ＋1)－2＞(3－2a)－2 得|a ＋1|－2＞|3－2a|－2由y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋1|＜|3－2a|，|a ＋1|＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＜3－2a 2a≠－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a2－14a ＋8＞0a≠－1， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4或a ＜23a≠－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，23)∪(4，＋∞)．答案 (－∞，－1)∪(－1，23)∪(4，＋∞)知 能 层 层 练针对考点勤钻研 金榜题名不畏难1．在下列函数中，定义域、值域不同的是( ) A ．y ＝x 13 B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D解析 y ＝x 13＝3x ，定义域、值域都是R ；y ＝x 12＝x ，定义域、值域都是[0，＋∞)；y ＝x 53＝3x5，x ∈R ，y ∈R ；y ＝x 23＝3x2，定义域为R ，值域为[0，＋∞)． 2．已知点(33，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案 A解析 设f(x)＝xα，则(33)α＝3，即3－12α＝312，故α＝－1，因此f(x)＝x －1，故f(x)是奇函数．故选A.3．若－1＜a ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．2a ＞(12)a ＞0.2a B ．0.2a ＞(12)a ＞2a C ．(12)a ＞0.2a ＞2a D ．2a ＞0.2a ＞(12)a 答案 B解析 ∵y ＝xa(－1＜a ＜0)在(0，＋∞)上是减函数，且0.2＜0.5＜2，∴0.2a ＞0.5a ＞2a.4．已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m －1为幂函数，则m ＝________.答案 －1±2解析 当m2＋2m ＝1，即m ＝－1±2时，f(x)是幂函数．5．已知函数f(x)＝2x －xm 且f(4)＝－72. (1)求m 的值；(2)求f(x)的单调区间．解析 (1)f(4)＝24－4m ＝－72，∴4m ＝4. ∴m ＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2·x －1－x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，又y ＝x －1，y ＝－x 均为减函数，故在(－∞，0)，(0，＋∞)上f(x)均为减函数．∴f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．。
2.5 幂函数与二次函数
-8-
知识梳理 双基自测
12345
4
2
1
3.已知 a=23,b=45,c=253,则( A )
A.b<a<c
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
4
2
2
1
2
2
解析 因为 a=23 = 43 > 45=b,c=253 = 53 > 43=a,所以 b<a<c.
(2)易知函数 y=������2的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,
������ + 1 ≥ 0,
故 3-2������ ≥ 0, 解之,得-1≤a<23. ������ + 1 < 3-2������,
-16-
考点1
考点2
考点3
考点 2 求二次函数的解析式
例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试
奇
单调性 定点
增
x∈[0,+∞)时,增, 增
x∈(-∞,0)时,减
(1,1) (0,0)
1
y=x2
y=x-1
[0,+∞) {x|x∈R,且x≠0}
[0,+∞) {y|y∈R,且y≠0}
非奇非
偶
奇
增
x∈(0,+∞)时,减, x∈(-∞,0)时,减
(1,1)
-3-
知识梳理 双基自测
2.二次函数
(1)二次函数的三种形式 一般式: f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式: f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) 零点式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
北师大版高中数学必修一：2.5+简单的幂函数
简单的幂函数教学目的：了解简单幂函数的概念，理解图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征，能基本运用；培养学生形数结合的能力，及图像对称性的审美能力。
教学重点：理解幂函数的图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征。
难点：判断函数奇偶性，及运用幂函数的图像和性质、函数奇偶性解决问题。
教学过程：一.导入：观察--- 正比例函数 y=x （即x1 )反比例函数 y= （即x-1)二次函数 y=x2（即x2 )-------------三者有何共性？二.知识构建：1．幂函数（1）定义：（略）[注] 哪个是幂函数？ A.y=2x B.y=x2 C.y=xx D. y=-x2[答] B（2）图像：【探究1】【探究2】幂函数y=x1/22-1（3）性质：(引导学生发现下列特点)1).特征点：(1,1)?; (0,0)?2).单调性：略.2.函数的奇偶性【观察1】以上各幂函数图像关于y轴对称吗？偶函数定义：若一个函数的图像关于y轴对称，则称之为偶函数.【观察2】以上各幂函数图像关于原点对称吗？奇函数定义：若一个函数的图像关于坐标原点对称，则称之为奇函数.【观察3】奇偶函数的图像有什么特点吗？（通过观察课件，知：）偶函数满足f(-x )=f(x )， 奇函数满足f(-x )=-f(x )【设问2】以上各幂函数x 1、x -1、x 3、x 2、x 1/2各有怎样的奇偶性？ 答：略.【观察4】哪些函数定义域关于原点O 对称？1.定义域对称O ？2.公式f(-x)成立？三.用法示范 例1.已知f(x )=(2m 2-1)·x 是幂函数，且在区间 （0，+∞）上递增. (1)试求f(x)的解析式,并画图；(2)判断f(x)奇偶性及单调性.（黑板讲解分析后，图像可由课件给出）练习1：幂函数f(x)=(m-1)·x m-1.5,试画图象，并判断其单调性、奇偶性.（图像、答案由课件给出）213m m 212-+例2.判断奇偶性，并说明图像特征：(1) f (x)=- 2x -1； (2) f(x)=x 2+2; (3) f(x)=(x-1) ; (4) f(x)= ..（黑板讲解分析后，图像可由课件给出）练习2：p50(1)、(2)、(3)、(4) （学生动手过程中，逐次给出由课件图像、答案）四.小结（以课件诱导进行）【设问3】本节课学习的第一个核心内容是什么？-------幂函数: 1.特征点; 2.单调性.【设问4】本节课学习的第二个核心内容是什么？-------奇偶性: 1.图对称; 2.公式f(-x).五. 智力冲浪----激趣、提升及备用你能解决下列问题吗？1.已知函数f(x)=ax2+bx+(3a+b)为偶函数，其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域.2.若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a 的取值范围.3.若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0 时， f(x)=x(1-x).(1)求证：f(0)=0.(2)求当x ＞0时，f(x)的表达式.（结合课件诱导关键处，在黑板上推导）[答]:1.a=1/3,b=0.故(-∞，1];2. a<-1,或1x x 122-+-x 1x 1-+2/3<a<3/2.3.(1)f(-0)=-f(0);(2)x(1+x).六.作业（略）精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2.5 简单的幂函数
§2.5 简单的幂函数教学分析教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x 为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进．值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质．三维目标1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力．2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力．3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念．教学难点是判断函数的奇偶性．课时安排 1课时教学过程导入新课(1)如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数．(2)如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数．(3)如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a ＝S 12，这里a 是S 的函数． 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式) 教师板书引出课题．新知探究提出问题①给出下列函数，y ＝x ，y ＝12x ，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点. ②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论. ③函数y ＝x ，y ＝1x的图像对称性有什么共同点？ ④函数y ＝x ，y ＝1x 的解析式满足f －x ＝－f x 吗？ ⑤函数y ＝x 2，y ＝|x |的图像对称性有什么共同点？⑥函数y ＝x 2，y ＝|x |的解析式满足f －x ＝f x 吗？活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式．②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字．③画出函数y ＝x ，y ＝1x的图像来观察． ④代入函数的解析式验证即可．⑤画出函数的图像来观察．⑥代入函数的解析式验证即可．讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上．②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子．即幂函数的定义：一般地，形如y ＝x α(x ∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．如y ＝x 2，y ＝12x ，y ＝x 3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是基本初等函数．③函数y ＝x ，y ＝1x的图像都关于原点对称． 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．④都满足f (－x )＝－f (x )．因此有：函数f (x )是奇函数⇔函数f (x )的图像关于原点对称⇔对定义域内任意的x ，f (－x )＝－f (x )．⑤都关于y 轴对称．一般地，图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．⑥都满足f (－x )＝f (x )．因此有：函数f (x )是偶函数⇔函数f (x )的图像关于y 轴对称⇔对定义域内任意的x ，f (－x )＝f (x )．当函数f (x )是奇函数或偶函数时，称函数f (x )具有奇偶性．提出问题在图1中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．图1讨论结果：函数y ＝x －1，y ＝－x 3是奇函数，其图像关于原点对称；函数y ＝x 2＋1，y＝－x 4是偶函数，其图像关于y 轴对称．则这些函数图像的另一半如图2所示．图2在研究函数时，如果知道其图像具有关于y 轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少了工作量．应用示例例1 画出函数f (x )＝x 3的图像，讨论其单调性．活动：学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义．图3从图像上看出，y ＝x 3是R 上的增函数．点评：本题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的能力． 变式训练画出幂函数y ＝x 12的图像，并讨论其单调性． 答案：幂函数y ＝x 12的图像如图4所示．图4从图像看出，函数y ＝12x 在[0，＋∞)上是增函数.例2 判断f (x )＝－2x 3和g (x )＝x 4＋2 的奇偶性．分析：根据函数奇偶性的定义来判断．解：因为在R 上，f (x )＝－2x 3，f (－x )＝－2(－x )3＝2x 3，所以f (x )＝－f (－x )．于是f (x )是奇函数，而g (x )＝x 4＋2，g (－x )＝(－x )4＋2＝x 4＋2，所以g (x )＝g (－x )．于是g (x )是偶函数．点评：本题主要考查函数的奇偶性及其判断方法．判断函数奇偶性的方法：(1)定义法，其步骤是：①求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；②当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；③当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；④当f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)图像法：如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图像关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图像关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．注意：分段函数的奇偶性要分段判断．变式训练1．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x . 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．2．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝__________.解析：利用偶函数的性质f (x )＝f (－x )求解．当x ∈(0，＋∞)时，则－x ＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x43．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )．A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数解析：各个选项中函数的定义域都是R.A中设F(x)＝f(x)f(－x)，则F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数；B中设F(x)＝f(x)|f(－x)|，则F(－x)＝f(－x)|f(x)|，此时F(x)与F(－x)的关系不能确定，即函数F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函数F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数；D中设F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函数F(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数．答案：D课堂练习：P50课堂小结：1．幂函数的概念．2．函数的奇偶性．课后作业：P51 习题2—5 A组1,2,3.。
2.5.1幂函数
§5幂函数（一）【使用说明】：1、课前认真阅读并思考课本P49～P50的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并在不明白的问题前做出标记。
2、限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
并对每个问题点评、反思。
【学习重点】：1、幂函数的定义、图像、性质。
2、奇偶性的概念和判定。
【学习难点】：1、奇偶性的相关概念。
2、奇偶性的综合问题。
【学习目标】：1、通过具体的实例了解幂函数的概念，结合其图像了解它的变化情况，会运用图像研究函数的性质；2、理解并掌握幂函数的性质，且能灵活运用。
理解并掌握函数奇偶性的定义及具有奇偶性的函数图像的对称性，并能用其解决一些相关问题。
3、熟练掌握幂函数的性质及应用。
4、掌握函数奇偶性的定义以及利用奇偶性解决相关问题。
预习案一、问题导学1、幂函数的概念。
形如y x α=(其中底数x 为 ，指数α为 )的函数叫幂函数。
举例说明：思考：幂函数的判定应注意那几个问题？2、函数的图像和性质。
（1）对于幂函数y x α=，在同一坐标系内画出11,2,3,,12α=-的五种常见图像。
（2）观察图像，填写下表。
y x=2xy =3xy =21xy =1y x -=导学 案 装 订 线定义域值域奇偶性单调性定点幂函数性质总结：3、函数的奇偶性。
（1）奇偶性的概念是怎样的？其图像分别有什么特点？（2）奇偶性的判定及证明中有哪些步骤和注意事项？思考：存在既是奇函数，又是偶函数的函数吗？二、预习测试 1、已知点)3,33(M 在幂函数()f x 图像上，则()f x 解析式为 2若3)1(22+-+=x m x y 是偶函数，则m 为A 、0B 、1C 、2D 、 4我的疑惑：。
探究案1、判断下列函数是否为幂函数。
（1）()221f x x x =++ （2）()2xf x =（3）()75f x x = （4）()6f x x -=（5）()13f x x =2、幂函数y x α=（α为常数）的图像一定经过点 。
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简单的幂函数
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教学目标
1．知识与技能
（1）了解指数是整数的简单幂函数的概念；会利用定义证明 简单函数的奇偶性； （2）了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法．
2．过程与方法
（1）培养学生从特殊归纳到一般的意识 ； （2）学习利用图像研究函数图像奇偶性等能力．
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巩固练习
P50，练习
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小结
本课所学的知识点有哪些？
函数的奇偶性 本课有哪些数学思想？ 数形结合、特殊到一般
学到了 什么？
你有何收获？
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能力强化 1、P51习题2-5，A组1、2、3、4，B组1、2
2、高中同步测控优化设计“训练与测评”P11 3、复习第二章函数
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欢迎指导 谢谢合作
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对于 f(x)=x3 ，有f(-x) = -f(x)．
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探究新知
一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数 ． 在奇函数 f(x)中， f(x)与 f(-x)的绝对值相等， 符号相反，即 f(-x) = -f(x)； 反之，满足 f(-x) = -f(x)的函数 y= f(x)一定是 奇函数．
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探究新知
观察 f(x)=x2的图像对称性有什么特点？ 函数 f(x)=x2 的图像关于y轴对称．
对于 f(x)=x2，验证 f(-x)与 f(x)的关系．
对于 f(x)=x2 ，有f(-x) = f(x)．
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探究新知
一般地，图像关于 y轴对称的函数叫作偶函 数 ． 在偶函数 f(x)中， f(x)与 f(-x)的相等，即
表 2 | 8
x
…
-2 -8
-1 -1
-1/2 0 -1/8 0
1/2 1 1/8 1
-1
2 8
1
O 1 -1
… …
x
f(x) …
从图像上看出， f(x)=x3 是R上的增函数．
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探究新知
观察 f(x)=x3 的图像对称性有什么特点？ 函数 f(x)=x3 的图像关于原点对称．
对于 f(x)=x3 ，验证 f(-x)与 -f(x)的关系．
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动手实践 在图2-30中，只画出了函数图像的一半，请你在 图上画出它们的另一半，并说出画法的依据．
y y y 1 -1 y x
y= -x-3 y=x-1
1 -1 -1 O1 x -1 1 -1 O1 x
y=x2+1
-1
O 1
y= -x4
1 -1 -1 O 1 x
图2-30
在研究函数时，如果知道其图像具有关于轴或原 点对称的特点，那么我们可以依据它的一半，再 利用对称性了解另一半，从而减少了工作量．
f(-x) = f(x)；
反之，满足 f(-x) = f(x)的函数 y= f(x)一定是 偶函数． 当函数 f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具 有奇偶性．
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例 题 解 析
教材例2 判断函数 f(x)= -2x5 和 g(x)=x4+2的)5=2x5， 所以 f(-x) = -f(x)， 于是 f(x)是奇函数． 而g(x)=x4+2，g(-x)=(-x)4+2=x4+2，所以 g(-x) = g(x) 于是 g(x)是偶函数．
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探究新知
幂函数的定义：形如 函数 y=xα 数， 底数 x是自变量，指数 α 是常量，这样的 函数称为幂函数．
在中学阶段我们只关注 α= 1 ，2，3， 0.5，-1这几种情形．
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探究新知
未命名1.gsp
教材P49例1 画出函数 f(x)=x3 的图像，讨 论其单调性． y 先列出 x ， f(x) 的对应值表（如表2-8）， 再用描点法画出图像（如图2-29）．
3．情感、态度与价值观
引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图与画图中获 得学习的快乐．
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重点难点
重点： 幂函数的概念，奇偶函数的概念．
难点： （1）学生对幂函数的形式有所认识后，简单 的幂函数的图像性质如何得到？ （2）函数奇偶性揭示后如何利用其数学本质 正确判断函数的奇偶性？．
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情 景 导 入 观察下面例子，你能发现几个函数解析式有 什么共同点吗？ （1）如果正方形的边长为a，那么正方形的 面积S=a2，这里S是a的函数． （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的 体积 V=a3，这里V是a的函数．
（3）如果正方形的面积为S，那么正方形边
长的a=S0.5，这里a是S的函数．
右边是指数式，且底数都是变量．
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探究新知
提出问题：
（1）给出下列函数，y=x，y=x0.5，y=x2， y=x -1，y=x3，考察这些解析式的特点． （2）根据（1）中的解析式特点，如果让 我们给这些函数起一个名字，你将会给它 们起一个什么名字？请给出一个一般性的 结论．