高中数学知识大全(完整)

第一章 集合和命题

1. 集合及其表示法

能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；

集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性； 集合常用大写字母A 、B 、

C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”

数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然 数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、 正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、

-R ；

点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合； 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集； 规定空集不含元素，记作∅；

集合的表示方法常用列举法和描述法； 将集合中的元素一一

列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法；

2. 集合之间的关系

对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，

那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊆，读作“A 包含于B”或“B 包含A”； 空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ⊆，不要遗漏∅=A 的情况；

对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ；

用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图； 对于两个集合A 和B ，如果B A ⊆且A B ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；

对于两个集合A 和B ，如果B A ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠

⊂或

A B ≠

⊂，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”；

对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠

≠

≠

⊂⊂⊂；

3. 集合的运算

一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ；

由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ；

在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；

设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在 全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ∉∈=,|

德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=；

C B A A C C B B A C B A C B A +---++=；

4. 命题

可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；

如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，记作βα⇒，读作“α推出β”，换言之，表示以α为条件、β为结论的命题是真命题； 如果βα⇒，并且αβ⇒，那么记作βα⇔，叫做α与β等价；

推出关系满足传递性：βα⇒，γβ⇒，那么γα⇒； 一个数学命题用条件α，结论β表示就是“如果α，那么

β”，如果把结论和条件互相交换，就得到一个新命题“如果β，那么

α”，这个命题叫做原命题的逆命题；

一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题；如果 把α、β的否定分别记作α、β，那么命题“如果α，那么β”的否命题就是“如果α，那么

β”；

如果把原命题“如果α，那么β”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就 可得到一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果α，那么β”；

如果A 、B 是两个命题，B A ⇒，A B ⇒，那么A 、B 叫做等价命题； 原命题与逆否命题是等价命题；

不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有三类：p 或q ，p 且q ，非p ；

一些常用结论的否定形式：

5. 充要条件

一般地，用α、β分别表示两个命题，如果命题α成立，可以推出β也成立，即βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；

一般地，用α、β分别表示两个命题，如果既有βα⇒，又有αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，这时我们就说，α是α的充分必要条件，简称充要条件；

设具有性质p 的对象组成集合A ，具有性质q 的对象组成集合B ,则 ① 若B A ⊆，则p 是q 的充分条件；

② 若B A ≠

⊂，则p 是q 的充分非必要条件；

③ 若B A ⊇，则p 是q 的必要条件； ④ 若B A ≠

⊃，则p 是q 的必要非充分条件；

⑤ 若B A =，则p,q 互为充要条件；

等价关系： “q p ⇒”⇔“B A ⊆”⇔“A B A = ”⇔“A B A = ”⇔“A C B C U U ⊆”⇔“∅=B C A U ” ⇔U B A C U = （注意考虑∅=A 的情况）；