第2章 课时1 数列 学案 江苏省启东中学 高中数学 必修五
【配套K12】江苏省启东市高中数学 第二章 数列单元复习学案(无答案)苏教版必修5
第二章 数列单元复习【知识点】（一）等差、等比数列的性质1.等差数列{a n }的性质（1）a m =a k +（m －k ）d ，d =km a a k m --. （2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立.（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =n n a a 1+，S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）；若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇偶S S =n n 1-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n 为中间项）.2.等比数列{a n }的性质（1）a m =a k ·q m －k .（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2.（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m.（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立.（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为qa ，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为3qa ，q a ，aq ，aq 3. （三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n =a 1q n －1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列；当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列.当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.【典型例题】例1已知数列{a n }，构造一个新数列a 1，（a 2－a 1），（a 3－a 2），…，（a n －a n －1），…，此数列是首项为1，公比为31的等比数列. （1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .例2在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设b n=log2a n，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；（3）试比较a n与S n的大小.例3已知{a n}是等比数列，a1=2， a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2， Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.例4 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b m c +…+n n n b m c 1 =（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .。
高二数学必修5第2章第1课时学案[1]
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高二数学必修5第2章第1课时学案2.1数列的概念与简单表示（一）［学习目标］1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法;2．理解数列通项公式的有关概念; 给出通项公式,会写出数列的前几项;给出简单数列的前几项,会写出其通项公式;［自学质疑］范围：课本P29-31观察下列问题:（１）某剧场座位数依次为20，22，24，26，28，．．．（２）某彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，．．．（３）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，．．．（４）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．．这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？总结它们的共同规律并给出数列的定义及相关概念.（1）数列定义及表示：（2）数列的项，第n项（3）有穷数列与无穷数列（4）数列与函数的关系（5）数列的概念与集合的概念有何区别?（6）通项公式你能说出什么样的两个数列是相同数列吗？［精讲点拨］1. P 30例1总结已知数列通项公式求某项的方法;2. P 30例2，体会数列与函数的关系;3. 写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31；（2）1-，1，1-，1，1-；（3）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯； （4）13，45，97，169，．．．，；（5）0，2，0，2．（6）13-，18，115-，124-，．．．，；（7）9，99，999，9999，．．．，；（8）0.7．0.77，0.777，0.7777，．．．，你能总结一下求数列的通项公式的要领吗？[课堂小练]①数列{}n a 的通项公式n a =4是该数列中的第 项．②已知数列{}n a 的通项公式2412n a n n =--，则4a = ，7a = ，65是它的第 项 ；从第 项起各项为正；{}n a 中第 项的值最小为③{}n a 中29100n a n n =--，则值最小的项是 ．尝试解决31p 练习２，３，４，５[矫正反馈]课本P 32 1-6 导学练 第8课时。
苏教版数学高二苏教版必修5学案 第2章 数列
题型一 方程的思想解数列问题在等比数列和等差数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (或d )，S n ，其中首项a 1和公比q (或公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (或d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二 转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出． 例2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1] ＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1] ＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列． (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三 函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.跟踪训练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝233n na a +＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．题型四 数列与其他知识的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又∵{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n .∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . ① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②由①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1.即对任意正数n ，m <12n －1恒成立，且12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．跟踪训练4 设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 答案 4n ＋16解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])，∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. [呈重点、现规律]1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。
苏教版高中数学必修五数列学案(1)
数列 （1）一、学习目标1．理解数列的概念；探索并掌握数列的通项公式。
2．探索并掌握数列的几种简单表示法。
二、学法指导数列是高中数学的重要内容之一,是高考必考内容之一，同学们可以根据数列概念,及实例,归纳猜想数列通项公式。
利用递推公式计算数列的前几项数值,归纳猜想数列通项公式。
１．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；（１）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
（２）可重复性：数列中的数可以重复。
（３）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
２．数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
３．并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。
三、课前预习１． 叫做数列， 叫做这个数列的项。
２． 叫做这个数列的通项公式。
３． 叫做有穷数列， 叫做无穷数列。
４．数列的表示方法有： 、 、 。
四、课堂探究例1．已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： （１）1n n a n =+； （２）2(1)2n n a -=． 例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15； （2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-； （4）0，2，0，2；（5）13，45，97，169……； （6）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯.五、巩固训练（一）当堂练习 练习：P31练习２，３，４，５（二）课后作业 32P 习题２．１第1，2，3，4题六、反思总结七、课后练习（选做）1．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式a n= ．2．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式a n= ．3．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于 ．4．⑴求数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式.⑵求数列25 ，215 ，252，…的通项公式.5．写出下列数列的通项公式：⑴9，99，999，9999，．．．，；⑵13-，18，115-，241，．．．，；数列 （2）一、学习目标（1）了解数列的递推公式，会利用推公式求数列的若干项．（2）了解数列通项与前n 项和之间的关系．二、学法指导1．递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
高中数学 第二章 数列 2.1 数列(一)学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案
2.1 数列（一）学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理(1)按照________排列的____________称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的________．(2)数列的一般形式可以写成________________，简记为________，其中a1称为数列{a n}的________(或称为________)，a2称为________，…，a n称为________．知识点二通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．思考2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？知识点三 数列的分类思考 对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二 数列的通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1nn ＋12n －12n ＋1，n ∈N *.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{a n }． (1)求a n ＋1； (2)求a 2n .反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练 2 已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n n＋2(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．1．下列叙述正确的是________．①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列；②数列0,1,2,3，…可以表示为{n}；③数列0,1,0,1，…是常数列；④数列{nn＋1}是递增数列．2．37是数列{3n＋1}的第________项．3．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．4．已知数列{a n}的通项公式a n＝－1n－1·n2n－1，则a1＝________；a n＋1＝________.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和结构(绝对值)特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．答案精析问题导学知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理(1)一定次序一列数项(2)a1，a2，a3，…，a n，…{a n} 第1项首项第2项第n项知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜测第n项a n＝n，从而第100项应为100.思考2如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．知识点三思考(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．梳理(1)有穷无穷题型探究例1 解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n＝－1n＋1n，n∈N*.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N *.(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N *.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N *.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)， 79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N *.例2 解 (1)a 10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n ＋12n －12n ＋1＝233，化简得8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－78，舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解(1)a n＋1＝－1n＋1[n＋1＋1] [2n＋1－1][2n＋1＋1]＝－1n＋1n＋22n＋12n＋3.(2)a2n＝－12n2n＋12×2n－12×2n＋1＝2n＋14n－14n＋1.跟踪训练2 10解析∵1n n＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10. 当堂训练1．④ 2.12 3.a n＝n＋1，n∈N*4．1 －1n n＋12n＋1。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》91
第二章数列数列（一）【学习目标】1了解数列的概念；2了解数列的分类，了解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；3理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式【学习过程】活动一概念引入（一）情境1：某种树木第1年长出幼枝、第2年幼枝长成粗干、第三年粗干可长成幼枝各年树木的枝干数依次为情境2：某剧场幼有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多1个，各排的座位数依次为；情境3：哈雷慧星回归周期为76年，从1682年开始连续6年的年份依次为；情境4：请大家取一张纸对折，假设纸的厚度为1个长度单位，面积是1个面积单位，那么随着依次对折的次数的增加，问它每次对折后的厚度依次是；和每层纸的面积依次是；情境5：从1984年到今年，我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为情境6：古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的三角形数数依次为；正方形数依次为问题1：以上问题中的数有什么共同特点？活动二概念形成1数列的定义：问题2：你能自己举出数列的例子吗？2数列的分类：问题3:你能用将上述情境中的数列进行分类吗3. 数列的记法：问题4:数列与集合的区别：问题5：数列中的每一项与其序号之间是怎样的关系？4数列的本质：问题5：你认为数列可以用哪些方法表示？为什么？5数列的表示：活动三 概念应用例1 已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）1+=n n a n ； （2）()n nn a 21-=例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）3，6，9，12； （2）541,431,321211⨯-⨯⨯-⨯，活动四 课堂小结。
高中数学 第2章数列教案 苏教版必修5
本章复习与小结（1）【三维目标】：1.系统掌握数列的有关概念和公式。
2.了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。
3.能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。
【授课类型】：复习课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识内容：1.数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
【配套K12】江苏省启东市高中数学 第2章 数列 课时1 数列教案 苏教版必修5
课时1 数列教学目标理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；.教学过程首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50① 1，2，22，23，…，263② 15，5，16，16，28③ 0，10，20，30，…，1000④ 1，0.84，0.842，0.843，… ⑤ 请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.1．数列定义：2．数列的通项公式：思考：（1）{a n }与a n 有何区别和联系？（2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？3、数列的表示法（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法4、数列的分类（1） 按项数分（2） 按项与项的大小分有限项： 无限项： 递增数列：a n+1>a n 递减数列：a n+1<a n 摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定（3）[例题分析]例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝n n ＋1 ； (2)a n ＝(－1)n·n 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5.例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数 ⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33 ⑷ 5， 55，555，5555⑸225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a 小结：例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？（1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几无界数列项，若不存在，请说明理由当堂练习1．已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则65是此数列中的（ ） （A ） 第48项 （B ） 第49项 （C ） 第50项 （D ） 第51项2．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……，那么__________10=a。
高中数学苏教版必修5学案：2.1 数列 Word版含解析
2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类阅读教材P 31，完成下列问题．1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√教材整理2 数列的通项公式阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n＝2n－1，n∈N*.【答案】a n＝2n－1，n∈N*2．若数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，则a5＝________.【解析】∵a n＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】 【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….【导学号：91730020】【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可；(2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2， 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]探究1 (小)项？【提示】 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.探究2 如何定义数列{a n }的单调性？【提示】 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．【精彩点拨】 利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围．【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k 2， ∴当－k 2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2， 即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)．∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：91730021】【解】 由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058. 由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.【答案】 a n ＝n ＋13．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．【解析】 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2-1-1的方法搭三角形：图2-1-1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.【答案】a n＝2n＋15．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2＋3n(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a1＝412＋3×1＝1，a2＝422＋3×2＝25，a3＝432＋3×3＝29.(2)令4n2＋3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.又n∈N*，故n＝－8舍去，所以110是数列{a n}的第5项．令4n2＋3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92.又n∈N*，所以1627不是数列{a n}的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有________．【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．【答案】①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．①a n＝n2－n＋1；②a n＝n(n－1)2；③a n＝n(n＋1)2；④a n＝n2＋1.【解析】 令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________． 【解析】 由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】 数列的通项为a n ＝3n －1.∵25＝20＝3×7－1，∴25是数列的第7项．【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2-1-2【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【答案】 3－22n15 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.【解析】 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99， 显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．【答案】 ①二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． 【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：91730024】【解析】 由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94， 同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】 6116图2-1-32．如图2-1-3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，∵a2 016＝a2 015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．【答案】A3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. 【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.【答案】274．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性．【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，可得f(2a n)＝a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.故a n＝n－n2＋1.(2)法一：(作商比较)a n＋1 a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋1 n－n2＋1＝n＋n2＋1(n＋1)＋(n＋1)2＋1<1.因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．法二：(作差比较)a n＋1－a n＝n＋1－(n＋1)2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝2(n2＋1－n)n2＋1＋1＋n2＋2n＋2>0.所以数列{a n}是递增数列．。
苏教版高中数学必修五学案第二章第、课时——数列复习课课时教师
学习札记第15、16课时 数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】 （一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（ ）d=k a +（ ）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。
③n n n n n s s s s s 232,,-- 成 数列。
等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构学习札记部分无理数列、含阶乘的数列等。
3. :适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。
5.常用结论1） 1+2+3+...+n = _________ 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3）_________n +++=L 33312 4） ___________n ++++=L 22221235） __________()n n =+11(_______)()n n =+11226） (______)()p q pq q p =<-11【精典范例】一 函数方程思想在研究数列问题中的运用【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 20=300，求 S 30。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 第2章 数列（通用）》1
S n与a n之间的关系探究江苏省淮安中学丁军▎教材分析本节课教学内容为苏教版高中数学必修5第二章?数列?第一节?数列的通项?的探究与扩展内容，本节课内容的教学应安排在讲授完等差数列与等比数列后进行，此时学生已经对数列相关问题的常见处理方法有了一定的了解，同时对数列通项公式中的“〞的任意性有初步的把握，本章节的内容可以起到承上启下的作用，促进对等差与等比数列的前项和公式的理解，同时为下面的数列求和方法提供一些操作方式上的指引。
▎教学目标分析知识与技能：理解与的关系，并能熟练地应用；过程与方法：通过对题目的观察、体验，培养学生的观察能力和准确利用公式的能力；情感态度与价值观：通过对具体问题的探究，激发学生的学习兴趣，强学好数学的自信心。
▎教学重难点分析重点：与的关系及其应用；难点：能敏锐的观察出与的关系，并能准确的运用关系解题。
▎教学流程设计问题1：对于数列，前项和的意义是？学生作答：问题2：前面我们学习了等差数列与等比数列的前项和公式，那么如果数列前项和，如何求其所对应的通项公式？设计意图：引出以下与关系：探究1：数列前项和为，且满足，求设计意图：与关系的直接运用，由学生自主完成，投影学生解题过程并分析其中的注意点，特别是与分开讨论的必要性，为变式1做好理论根底准备。
简析：时，；时，综上所述：变式1：等比数列前项和为，且满足，求设计意图：进一步强调与分开讨论的必要性，如果不将与分开讨论，此题将会得到一个“永远成立〞的等比数列，其错误原因就是时所得到的也必须适合时求得的数列的通项公式。
简析：时，；时，因为为等比数列，所以，因此，得探究2：数列前项和为，〔1〕求证是等比数列；〔2〕求的通项公式设计意图：与关系时，如何运用“退位相减〞的思想解题，注意关系式中“〞的任意性的运用。
主要由学生自主探究完成，注意其中与分开讨论。
简析：易得，令可得，因此为以1为首项、2为公比的等比数列，且变式1：数列前项和为，假设，求的通项公式设计意图：结合探究2，进一步明确与分开讨论的重要性，并且初步进行归纳总结，引导学生发现当与的下标一致时，与可以不用分开讨论，只要说明的范围即可；当下标不一致时应分开讨论。
江苏省启东市高中数学第2章数列课时3等差数列(2)教案苏教版必修5
课时3 等差数列（2）
教学目标
明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
教学过程
问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？ 如果a 、A 、b 成等差数列，那么a 叫做a 与b 的等差中项.
1、A ＝a ＋b 2 ⇔a ，A ，b 成等差数列.
2、在一等差数列中，有下列性质
（1）d m n a a m n )(-+=（m
n a a d m n --=）；
（2）若l k n m a a a a l k n m N k l n m +=++=+∈则且,*,,,,。
[例题分析]
例1梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
例2已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
例3已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.
例4已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
例5在等差数列{a n}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{}n a的通项公式.
当堂练习
1. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，33852=++a a a ，则963a a a ++=
2．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为4
1的等差数列，则=-||n m。
江苏省启东市高中数学第2章数列课时7等比数列(1)教案苏教版必修5
课时7 等比数列（1）教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.教学过程下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，…，263； ①5，25，125，625，…； ②1，－12 ，14 ，－18 ，…； ③仔细观察数列，寻其共同特点.1、等比数列定义：注意：1.等比数列的递推公式：)0(11≠=-q a q a a n n2.“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）3. 隐含：任一项00≠≠q a n 且4.q= 1时，{a n }为常数。
既是等差又是等比数列的数列：非零常数列2、等比数列的通项公式： 注意：①等比数列的图象是函数xq q a y 1=图象上的一群孤立点。
②{}{}{}{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<<>><>>为递增数列为递减数列为递减数列为递增数列n n n n a q a a q a aq a aq a 10010010101111[例题分析]例1（1）求等比数列1，,2-2，…第11项，第30项。
（2）在等比数列{n a }中，已知256,6497==a a ，求n a 。
（3）在2与32之间插入3个数，使它们成GP ，求这三个数例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项例3在等比数列{n a }中，,163=a 1a 2a 65102=a ，求6a a n 与例4有四个数，前三个数成等比数列，且积为27，后三个数成等差数列，且和为18，求此四个数当堂练习已知{a n}是无穷等比数列，公比为q.(1)将数列{a n}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？(2)取出数列{a n}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？(3)在数列{a n}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章 课时11 数列的通项 精品
课时11 数列的通项
教学目标：
掌握求数列通项的几种常用方法：公式、累加迭乘、利用a n 和S n 的关系、构造换元、递归迭代等。
一、基本题型：
例1（1）已知数列{a n }满足a 1=0， a n ＋1=a n +2n ，求通项公式a n
（2）已知数列{a n }满足a 1=1，
n n a a n n 11+=+，求通项公式a n
例2.已知数列{a n }中，a n >0，S n 是数列的前n 项和，求适合下列条件的通项公式a n ;
（1）n a ＋
n
a 1＝2S n ； （2）4S n ＝122++n n a a （+∈N n ），
例3数列{a n }中，a 1=1，3a n =4a n －1+2（n ≥2），求通项公式a n
例4（1）数列{a n }满足：()()2132321++=++++n n n na a a a n ，求通项公式a n
（2）设{a n }是首项为1的正项数列，且()0112
21=+-+++n n n n a a na a n （+∈N n ）, 求通项公式a n
例5设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5n a，5n b，51 n a成等比数列，lgb n，lga n+1，lgb n+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项a n、b n.
当堂练习
已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=36
19并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－32a ），…，log 2（a n+1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a ，…，a n+1－2n a 是公比为31的等比数列，求数列{a n }的通项公式.。
江苏省启东市高中数学第2章数列课时1数列教案苏教版必修5(new)
课时1 数列教学目标理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系,了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；。
教学过程首先我们来看一些例子。
1,2，3，4，…,50 ①1，2，22,23, (263)15，5，16，16,28 ③0,10，20,30，…，1000 ④1，0.84,0。
842，0。
843,…⑤请同学们观察上述例子,看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的。
1．数列定义：2．数列的通项公式：思考:(1）{a n}与a n有何区别和联系？(2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？3、数列的表示法（1）解析法（2）列表法（3）图象法4、数列的分类（1） 按项数分 （2）按项与项的大小分（3）[例题分析］例1根据下面数列{a n ｝的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝nn ＋1 ; (2）a n ＝(－1)n·n 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1）1，3，5,7； (2) 错误!,错误!,错误!，错误! (3）－错误!，错误!，－错误!，错误!.例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3,5，9，17，33 ⑷ 5， 55,555,5555⑸225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b ， a 小结:有限无限递增数列：递减数列：a n+1摆动数列：a n+1〉a n 或a n+1<a n 不确无界数列例题5 已知下列数列的通项公式,问n 取何值时，a n 最小？（1)1)29(2+-=n a n （2)1)310(2+-=n a n (3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n(1)解不等式n 1n a a >+ （2）试问:该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几项,若不存在,请说明理由当堂练习1．已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则65是此数列中的（ ) （A ） 第48项 （B ) 第49项 （C ) 第50项 （D ) 第51项2．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……,那么__________10=a 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
江苏省启东市高中数学 第2章 数列 课时10 等比数列的
课时10 等比数列的前n项和（2）
教学目标
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力
教学过程
[例题分析]
例1已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
例2已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.
例3求数列2x2，3x3，4x4，…，nx n，…的前n项和
小结：
例4求和：（1）（x ＋1y
）＋（x 2＋1y 2 ）＋…＋（x n ＋1y n ）(其中x ≠0，x ≠1，y ≠1) （2）（x ＋1x ）2＋（x 2＋1x 2 ）2＋…＋（x n ＋1x n ）2
例5求数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6
，…的前n 项和S n
当堂练习
1．等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值
2．数列{a n}中，S n＝1＋ka n(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{a n}为等比数列；（2）求通项a n；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋a n2。
(苏教版)数学必修五导学案：2.1数列(1)
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第2章数列
课时1 数列
教学目标
理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；.
教学过程
首先我们来看一些例子.
1，2，3，4，…，50 ①
1，2，22，23， (263)
15，5，16，16，28 ③
0，10，20，30，…，1000 ④
1，0.84，0.842，0.843，…⑤
请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？
它们均是一列数，它们是有一定次序的.
1．数列定义：
2．数列的通项公式：
思考：（1）{a n}与a n有何区别和联系？
（2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？
3、数列的表示法
（1）解析法（2）列表法（3）图象法
4、数列的分类（1）按项数分
有限项：
无限项：
递增数列：a n+1>a n
递减数列：a n+1<a n
（2） 按项与项的大小分
（3）
[例题分析]
例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：
(1)a n ＝n n ＋1
； (2)a n ＝(－1)n ·n 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 .
例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？
例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数 ⑴ 5
15,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33 ⑷ 5， 55，555，5555
⑸
2
25,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a 小结：
例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？
（1）1)29(2+-
=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n
例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n
摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定
无界数列
（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几项，若不存在，请说明理由
当堂练习
1．已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则6
5是此数列中的（ ） （A ） 第48项 （B ） 第49项 （C ） 第50项 （D ） 第51项
2．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……，那么
__________
10=a。