2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理科数学试题及解答

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2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)

本卷共ｌＪ题，９分．ＯＪ￣共０
二、填空题：本大题共４题，小题５小每分，共２分．０把答案填在题中横线上．
（３设向量＝（，）１）１２，ｂ＝（，）若向２３．量入＋ｂ与向量＝（４一）线，入＝一，７共则
第１卷
本卷共１小题，２每小题５共６分，分，０在每 Biblioteka ｛ｙ≤２，ｆｘ＋２
【≥ ２一．
则Ｚ＝一３的最小值为 … … … … … … ・）（（）２（）４（）６（）８Ａ－；Ｂ－；Ｃ－；Ｄ－．（）２名男同学，０６从０１名女同学中任选３名
参加体能测试，则选到的３名同学中既有男同学
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件、Ｂ互斥，那么Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（）Ａ＋Ｐ（Ｂ）如果事件、Ｂ相互独立，那么Ｐ（Ｂ）Ａ・＝
又有女同学的概率为 … … … … … …・ …（） …
实数， … … … … … … … … … ・ … … …（）则 … （）ａ；Ａｂ＝３２（）＝３Ｂａｂ；
（等腰三角形两腰（；）Ａ；（；）的方程分别）Ｂ所在直线（．丢）ｃＤ孚昙（１１）
为＋Ｙ一２＝０与一７ｙ一４＝０原点在等，
（；（）０（）９（ＯＡ）Ｂ－ｃ西；Ｄ２１；１
．
ＰＡ・（（）ＰＢ）
如果事件在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生次的

2008年上海高考数学试卷及答案(理科)

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）1.不等式11x -＜的解集是___________________.2．若集合{|2}{|}A x x B x x a =≤=≥、满足{2}A B = ，则实数a = . 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = . 4．若函数()f x 的反函数为12()fx x -=(0)x >(x ＞0)，则(4)f = .5．若向量a b 、满足1,2,a b == 且a 与b 的夹角为3π，则a b + ＝___________________ 6．函数()sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值是___________________.7．在平面直角坐标系中，从六个点：(0,0)(2,0)(1,1)(0,2)(2,2)(3,3)A B C D E F 、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___________________（结果用分数表示）. 8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数.若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是___________________.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是___________________ .10．某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 椭圆。

已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为12,h h ，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。

现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为12θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是___________________ 11．方程210x +-=的解可视为函数y x =+的图像与函数1y x=的图像交点的横坐标。

数学试卷201908年普通高等国统一考试数学(上海卷·理科)(附简答,完全word版)

2008年高考数学（上海卷）(理科)一填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax－4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是二选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（） A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）AE B 1D 1DC 1A 1BC AODB C18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m，a 9m+2－1m成等比数列当且仅当d ＝3m参考答案：1. (0,2); 2. 2; 3. 1+i; 4. 2; 5. 7; 6. 2; 7. 34; 8. (－1,0)∪(1,+∞); 9. 10.5和10.5;10. h 1cot θ1+ h 2cot θ2≤2a ； 11. (－∞, －6)∪(6,+∞); 12~15. D C B D; 16. arctan55; 17. 445; 18. ⑴32, ⑵3;19. ⑴log 2(2+1), ⑵[－5,+∞); 20. ⑴Q(8,16), ⑶反比例函数图像(双曲线);21. ⑴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k+12，n ＝3k+23，n ＝3k（k ∈N ）⑵ a 12(9－7333)＋199古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

2008高考全国卷Ⅰ数学理科试题含答案(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn nP k C P P k n -=-=，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）23．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．4三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．62008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案1. C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2. A ．根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3. A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+，1233AD c b =+； 4. D. ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；5. C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=； 6. B. 由()()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==；7.D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----； 8.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b +1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,33OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=. 12.B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====. 16.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OHAB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC8与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ===11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMANEM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,),(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,322222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===,故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=.17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥． tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．23AC CD CG AD ==，DG =，EG==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==， πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角CAD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0fx '=求得两根为x =即()f x 在⎛-∞⎝⎭递增，⎝⎭递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）23313a ⎧---⎪⎪-，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==10由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是（） A ．4- B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（） A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，10．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）A ．13B ．23C ．33D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．EA 1B 1C 1D 120．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（本小题满分12分）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题1．答案：B解析:依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B. 2．答案：A解析: (a+bi)3=a3+3a2·bi+3a(bi)2+(bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数3a2b-b3=0,又∵b≠0,∴3a2-b2=0.∴b2=3a2.选A.3．答案：C解析:∵f(x)=f(-x),∴f(x)= -x是奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.4．答案：C解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.∵x∈(e-1,1),∴x＞x2.故a＞b,排除A、B.∵e-1＜x＜1,∴-1＜lnx＜ln1=0.∴lnx＜ln3x.∴a＜c.故b＜a＜c,选C.5．答案：D解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.6．答案：D解析:排除法即可.P=1-=1-. 7．答案：B解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2 =［(1-)(1+)］4·(1-)2=(1-x)4·(1-)2=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).故系数为1-4=-3,选B.8．答案：B解析:依题可知|MN|=|sina-cosa|=|sin(a-)|,故|MN|max=.9．答案：B解析:依题可知离心率e===,∵a＞1,∴0＜＜1.∴(+1)2∈(1,4).∴e∈(2,5).10．答案：C解析:作图.连结EO,则所求角为∠AEO或其补角.(∵EO∥SD)设侧棱长为a,则OE=SD=a,AO=a,AE= a.由余弦定理得cos∠AEO==. 11．答案：A解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,l 1:x+y-2=0,k1=-1,l 2:x-7y-4=0,k2=.由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,从而,得k=3,故选A.12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．2C．3D．2答案：C解析:依题意有示意图截面示意图为其中AH为公共弦长的一半,OA为球半径,∴OH=.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．答案：2解析:λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),∵λa+b与c共线,∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0.解出λ=2.14．答案：2解析:y=e ax,y′=e ax·a,y′|x=0=e a·0·a=a.又x+2y+1=0的斜率为-,∴由题意a·(-)=-1.∴a=2.15．答案：解析:lAB:y-0=x-1,即y=x-1,联立x a =3+2,xb=3-2,∴=3+2.16．解析：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由5cos13B=-，得12sin13B=，由4cos5C=，得3sin5C=．所以33sin sin()sin cos cos sin65A B C B C B C=+=+=． ······························ 5分（Ⅱ）由332ABCS=△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ································································· 8分又 s i n 20s i n 13A B BA C AB C⨯==，故 2206513AB =，132AB =．所以 s i n 11s i n 2A B A BC C ⨯==． ······················································ 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ··········································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ················································································· 5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 100005000ξ+，盈利 10000(1000050a ηξ=-+，盈利的期望为 100001000050E aE ηξ=--， ································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ·········································· 12分 19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ··························································· 3分在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于122AA ACFC CE==，故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1AC ⊥平面BED ． ····································································· 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ············································ 8分223EF CF CE =+=， 23CE CF CG EF ⨯==，2233EG CE CG =-=． 13EG EF =，12315EF FD GH DE ⨯=⨯=．又221126AC AA AC =+=，11563AG AC CG =-=． AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G11tan 55A GA HG HG∠==．所以二面角1A DE B --的大小为arctan55． ······································ 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ··························································· 3分（Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =，故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE ． ····································································· 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．············································ 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC ==，n n n ．所以二面角1A DE B --的大小为14arccos42． ······································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ···························································· 4分ABC DEA 1B 1C 1D 1 yxz因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ···················································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．12分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ···························· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故212214x x k =-=+．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k=+==+；DF B yxAOE由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以221012714k k=++，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ········································································· 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+，22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+． ··············································· 9分又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 214(12)525(14)k k +=+22(12)14k k+=+22144214k kk ++=+ 22≤，当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ············ 12分解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······················································································· 9分 222(2)x y =+22222244x y x y =++ 22222(4)x y +≤22=，当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ············ 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数，()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ··················· 6分（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ················ 9分当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin3x ax>．于是，当(0arccos3)x a∈，时，sin sin()2cos3x xf x axx=>>+．当0a≤时，有π1π222f a⎛⎫=>∙⎪⎝⎭≥．因此，a的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．12分。

2008年高考数学全国一卷试题和答案

2008年普通高等学校夏季招生考试数学理工农医类（全国Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．B ．C ．D ．A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13B ．3C D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A ．96B ．84C ．60D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．CDE AB21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案1. C.2. A ．3. A.4. D.5. C.6. B.7.D.8.A.9.D ．10.D ．11.B12.B.13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38.16.答案：16. 三、17.解：（Ⅰ）由正弦定理得,sinsin ,sin sin CBc b C A c a ==c A CBB C A A b B a )cos sin sin cos sin sin (cos cos ⋅-⋅=-,1cot tan )1cot (tan sin cos cos sin sin cos cos sin )sin(cos sin cos sin +-=⋅+-=⋅+-=B A c B A c B A B A B A B A cB A AB B A 依题设得：.4cot tan .531cot tan )1cot (tan ==+-B A c B A c B A 解得（Ⅱ）由（Ⅰ）得tanA=4tanB,故A 、B 都是锐角，于是tanB>0.,43tan 41tan 3tan tan 1tan tan )tan(2≤+=+-=-B B BA B A B A且当tanB=21时，上式取等号。

2008年高考理科数学试题及答案(全国卷2)

2008年高考理科数学试题及答案(全国卷2)绝密★启用前【考试时间：6月7日 15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k nP k (1－P)n －k本卷12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一．选择题（1）设集合}23{<<-∈=m Z m M ,}31{≤≤-∈=n Z n N ,则=⋂N MA ．}1,0{ B. }1,0,1{- C. }2,1,0{ D }2,1,0,1{- (2)设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数3bi)(a +是实数，则A ． 223a b= B. 223b a= C. 229a b= D.229b a=(3)函数x xx f -=1)(的图像关于 A ． y 轴对称 B.直线y=-x C.坐标原点对称 D.直线y=x (4)若)1,(1-∈ex ，x ln =a ,x ln 2=b ,x 3ln =c ,则球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径，球的体积公式 V=334R π，A ．c b a << B. b a c << C. c a b << D. a c b << （5）设变量x,y 满足约束条件：2,22,-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的最小值为：A ．-2 B.-4 C. -6 D.-8（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为A ．299 B. 2910 C. 2919 D. 2920（7）()()4611x x +-的展开式中x 的系数是A ．-4 B.-3 C.3 D.4（8）若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为A ．1 B. 2 C. 3 D.2 （9）设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．)2,2(B. )5,2(C. )5,2(D. )5,2(（10）已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为A ． 31 B. 32C. 33D. 32 （11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和47=--y x ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A ．3 B. 2 C. 31- D. 21- （12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A ．1 B. 2 C. 3 D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

全国卷12008年全国各地高考理科数学试题及参考答案及参考答案

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
(注意:在试题卷上作答无效)
13.13.若满足约束条件则的最大值为.
14.已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.
15.在中, , .若以为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率 .
2.每小题选出答案后,用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
参考公式:
如果事件互斥,那么球的表面积公式
如果事件相互独立,那么其中表示球的半径
(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
(Ⅱ) 表示依方案乙所需化验次数,求的期望.
21.(本小题满分12分)
(注意:在试题卷上作答无效)
双曲线的中心为原点 ,焦点在轴上,两条渐近线分别为 ,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率；
A. B. C. D.
4.设 ,且为正实数,则 ( )
A.2B.1C.0D.
5.已知等差数列满足 , ,则它的前10项的和 ( )
A.138B.135C.95D.23
6.若函数的图像与函数D.
7.设曲线在点处的切线与直线垂直,则 ( )
A.2B. C. D.
8.为得到函数的图像,只需将函数的图像( )
A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位
9.设奇函数在上为增函数,且 ,则不等式的解集为( )

2008年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2008•上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．2．（4分）（2008•上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．【解答】解：由A∩B={2}，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2．故填2．【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题．3．（4分）（2008•上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．【解答】解：由．故答案为：1+i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．4．（4分）（2008•上海）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=2．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】令f（4）=t⇒f﹣1（t）=4⇒t2=4（t＞0）⇒t=2．【解答】解：令f（4）=t∴f﹣1（t）=4，∴t2=4（t＞0）∴t=2．答案：2．【点评】本题考查反函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5．（4分）（2008•上海）若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．6．（4分）（2008•上海）函数的最大值是2．【考点】三角函数的最值；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值．【解答】解：由．故答案为：2【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的性质﹣﹣最值．考查考生对正弦函数的性质的掌握和应用．三角函数式高考的一个必考点，重点在对于基础知识的考查．7．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【考点】等可能事件的概率．【分析】本题是一个古典概型．由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为C63；可构成三角形的个数为C63﹣C43﹣C33【解答】解：本题是一个古典概型由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；∵六个无共线的点生成三角形总数为：C63；可构成三角形的个数为：C63﹣C43﹣C33=15，∴所求概率为：；故答案为：．【点评】本题考查的是概率，实际上是考查排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．8．（4分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，最后观察图象即可求解．【解答】解：由题意可画出f（x）的草图观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本题考查奇函数及对数函数f（x）=lg x的图象特征，同时考查数形结合的思想方法．9．（4分）（2008•上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是a=10.5，b=10.5．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可得到a和b的值．【解答】解：这10个数的中位数为=10.5．这10个数的平均数为10．要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b=21，∴a=10.5，b=10.5．故答案为：a=10.5，b=10.5【点评】考查学生掌握中位数及方差的求法，以及会利用函数的方法求最小值．此题是一道综合题．要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题．10．（4分）（2008•上海）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a．【考点】椭圆的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】先根据题意分别表示出|MF1|和|MF2|，只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可．【解答】解：依题意，|MF1|+|MF2|≤2a⇒h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a；故答案为：h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力．11．（4分）（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：；【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2008•上海）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题．【分析】由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n﹣1r﹣1的关系，即可得答案．【解答】解：由，故选D．【点评】本题考查组合数公式的运用，须准确记忆公式，另外如本题的一些性质需要学生了解．13．（4分）（2008•上海）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要 B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（4分）（2008•上海）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】等比数列的前n项和；等比数列．【专题】压轴题．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想．15．（4分）（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题．【分析】P优于P′的几何意义是：过点P′分别作平行于两坐标轴的直线，则点P落在两直线构成的左上方区域内．【解答】解：依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求．故选D．【点评】本题考查如何把代数语言翻译成几何语言，即数与形的结合．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，得到∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．【解答】解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=．∵（8分）∵EF⊥DF，∴．（10分）故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．（13分）（2008•上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C 沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）【考点】弧长公式．【专题】三角函数的求值．【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2即，解得（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°=．∴AC=700（米）．．在直角△HAO中，AH=350（米），，∴（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长．18．（15分）（2008•上海）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）先设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P（x1，y1）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．（2）先设P的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|2并根据双曲线方程为，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．【解答】解：（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y=0和x+2y=0．点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2==∵|x|≥2，∴当时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为．【点评】本题主要考查双曲线的基本性质﹣﹣渐近线方程，考查点到线的距离公式和两点间的距离公式．19．（16分）（2008•上海）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】综合题．【分析】（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；（2）由时，3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．【解答】解（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0，∴f（x）=2无解；当x＞0时，，，∴（3x）2﹣2•3x﹣1=0，∴．∵3x＞0，∴（舍）．∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴，即时m＞﹣32t﹣1恒成立又﹣32t﹣1∈[﹣10，﹣4]，∴m＞﹣4．∴实数m的取值范围为（﹣4，+∞）．【点评】考查学生理解函数恒成立的条件，以及会根据条件求函数值的能力．20．（16分）（2008•上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b 满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．【解答】解：（1）当a=1，b=2，p=2时，解方程组得即点Q的坐标为（8，16）（3分）（2）证明：由方程组得即点Q的坐标为（5分）∵P时椭圆上的点，即=1∴，因此点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（8分）（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x﹣c），q≠0（10分）将代入方程，得，即b2=2qa﹣2qca2（12分）当c=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；当qc=时，，此时点P的轨迹落在圆上；当qc＞0且qc≠时，=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；当qc＜0时=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系常用的处理方法是将它们的方程联立、判断动点的轨迹常通过动点的方程来判断．21．（18分）（2008•上海）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a6m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．【考点】数列的应用；等比关系的确定；数列递推式．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）由题意得（2）由题意知，，，所以S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a6）+…+（a98+a99+a100）==．（3）由题设条件可知，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列；当d≥3m+1时，，，故数列，不是等比数列．所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【解答】解：（1）由题意得（2）当0＜a1＜1时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，，，，，，∴S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a98+a99+a100）===（3）当d=3m时，，∵，∴；∵∴；∵，∴，∴，，，∴综上所述，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列当d≥3m+1时，，，，，由于，，故数列，不是等比数列所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【点评】本题考查数列的性质及其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。

2008年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）数学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k k n kn n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3|0|31x M x x N x x x +⎧⎫==<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，则集合{}|1x x ≥＝（） A ．M N B ．M NC ．()M MN ðD ．()M MN ð2．135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+（）A ．14B ．12C ．1D ．23．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（）A ．(k ∈B ．((2)k ∈-+，∞C ．(k ∈D ．((3)k ∈-+，∞4．复数11212i i +-+-的虚部是（） A ．15i B ．15 C ．15i -D ．15-5．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（） A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1233OA OB -+6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P横坐标的取值范围为（）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a 9．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种 10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）AB ．3CD ．9211．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线（）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条 12．设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭的所有x 之和为（） A ．3-B ．3C ．8-D ．8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数100xx x y e x +<⎧=⎨⎩，，，≥的反函数是__________． 14．在体积为的球的表面上有A ，B ，C 三点，AB =1，BCA ，C，则球心到平面ABC 的距离为_________．15．已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______． 16．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平面PQGH 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；A BCDE FP Q H A ' B 'C 'D 'G（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |． 21．（本小题满分12分）在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．22．（本小题满分14分）设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++．（Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）试题参考答案和评分参考说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．11ln 1.x x y x x -<⎧=⎨⎩，，， ≥14．3215．516．143三、解答题17．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ······················· 4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································ 8分当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==······················································ 12分18．本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ····················· 3分（Ⅱ）ξ的可能值为8，10，12，14，16，且 P （ξ=8）=0.22=0.04， P （ξ=10）=2×0.2×0.5=0.2， P （ξ=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37， P （ξ=14）=2×0.5×0.3=0.3， P （ξ=16）=0.32=0.09．ξ的分布列为·················································································· 9分E ξ=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元） ···························· 12分 19．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。

2008高考上海数学理科试题含答案(全word版)

2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是二选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）AE B 1D 1DC 1A 1 BC17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由AODBC19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m 成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.6.2.7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞ . 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞ .二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO . EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分由题意，得1112EF CC ==. 112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠==……10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米）答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分[解法二]连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒AEB 1D 1D C 1A 1 BC AOD BCA ODBCH222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分（2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+- 25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分 ∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA 的最小值为5. ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tttt t m -+-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t->∵，2(21)t m ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x ⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a 代入方程，得2212()b q c a a=-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上；当102qc qc >≠且时，2221()2142a b c c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，, 1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++ ∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++ 113111(31)63333a a =++++++⨯13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴； 11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a d m ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。

2008年高考理科数学试题及参考答案(全国卷Ⅰ)

教学目的
掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法
重点、难点
集合概念、证明集合相等
1.1.1 集合的描述性定义
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如 “一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A；或者说A不包含a，记作例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，而 3 A .
A是B的子集，记作：
( A B) (对于一切x : x A x B)
如果A不是B的子集，就记作： A Ø B 或 A Ù B . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于 B，即： ( A Ø B) (存在一个元素x : x A但x B) 例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后者. 集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集. 根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即：A A 如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就说A与B相等，记作：A=B. 我们有
并运算设A，B 是两个集合. 由A的一切元素和 B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B. 如图1所示.
A
A B
B
例如，A={1，2，3}，B ={1，2，3，4}，则 A B {1,2,3,4} 根据定义，我们有又例如， A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集 ( x A B) ( x A或x B) 合，则 A B 是一切实数的集合. 显然， ( x A B) ( x A且x B) A ( A B) 或 A ( A B)

2008年高考全国卷理科数学2试卷与答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（） A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =3．函数1()f x x x=-的图像关于（） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称4．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a5．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．64(1(1的展开式中x 的系数是（） A ．4-B ．3-C ．3D ．48．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1BCD ．29．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（） A．B．C ．(25)，D．(210．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（）A ．13B C D ．2311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．13-D ．12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分12分）设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．AB CD EA 1B 1C 1D 12008年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =，解：33223()33()()a bi a a bi a bi bi +=+++ （←考查和的立方公式，或二项式定理）3223(3)(3)a a b a b b i =-+- （←考查虚数单位i 的运算性质）R ∈ （←题设条件） ∵a b ∈R ，且0b ≠∴ 2330a b b -=（←考查复数与实数的概念） ∴ 223b a =. 故选A.6. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．2029思路1：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：211220102010330()C C C C P A C += （←考查组合应用及概率计算公式） 201910910202121302928321⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ （←考查组合数公式） 10191010109102914⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.思路2：设事件A ：“选到的3名同学中既有男同学又有女同学”，事件A 的对立事件为A ：“选到的3名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：()1()P A P A =- （←考查对立事件概率计算公式）3320103301C C C +=- （←考查组合应用及概率计算公式）2019810983213211302928321⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯（←考查组合数公式） 2019181098302928⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ （←考查运算技能）2029=故选D.12.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．2C ．3D ．2分析：如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离3，问题解决起来就很容易了. 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··············································· 5分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ················································································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ····························································································· 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ················································································································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ······················································································································· 5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出 100005000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 1000010000500E a E ηξ=--，······················································ 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ········································································ 12分19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥． ···························································································· 3分在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== AB CD EA 1B 1C 1D 1FH G故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1AC ⊥平面BED ． ······································································································· 6分（Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ······································································ 8分EF =CE CF CG EF ⨯==EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==11AG AC CG =-=．11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ······························································· 12分解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················································································· 3分（Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =，故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ········································································································ 6分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥ n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··································································· 9分 1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，111cos 42AC AC AC ==，n n n ．所以二面角1A DE B --的大小为． ······························································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ·························································································· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ·············································································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ········································································· 12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··············································· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以212k =+ 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ············································································································ 6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==，2h ==····································································· 9分又AB ==AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 12===≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······························· 12分解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ······························································································································ 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为·················································· 12分 22．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． ····································· 2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ···································· 6分（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则第11页（共11页） 22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ······························ 9分当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+．当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭ ≥．因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ····················································································· 12分。

2008年高考数学试题

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-=，，，，一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。

【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。

其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。

需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。

建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。

2008年高考数学试卷(上海.理)含详解

all`试题12 0 0 8 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =_____________. 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____________. 4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f=-（0>x ），则=)4(f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=__________.6．函数⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 .7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示). 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是all`试题2得分评卷人.10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数rn C )Z ,1(∈≥>r n r n 、恒等于 [答] ( )(A)1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( )(A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )all`试题3得分评卷人(A) . (B) . (C) . (D) . 三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB. 小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.[解]all`试题 4all`试题518.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．已知双曲线14:22=-y x C ，P 是C 上的任意点.（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值.[证明]（1）[解]（2）all`试题619.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=.（1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解]（1）（2）all`试题720.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点. （1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标；（2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆1422=+y x 上，abp 21=. 求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上；（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 21=. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. [解]（1）[证明]（2）[解]（3）all`试题8all`试题921.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a d a a c a a（1）当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（3）当ma 101<< （m 是正整数），m c 1=，正整数m d 3≥时，求证：数列m a 12-,m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. [解]（1）（2）[证明]（3）all`试题102 0 0 8 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. 2.5. 7.6. 2.7.43. 8. ),1()0,1(∞+- . 9. 5.10,5.10==b a . 10. a h h 2cot cot 2211≤⋅+⋅θθ. 11. ),6()6,(∞+-∞- . 题号12 13 14 15代号DCBD16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . ABCD EF 平面⊥，EDF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥， ∴ 55tan ==∠DF EF EDF . …… 10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 连接CO . …… 2分由题意，得all`试题11CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+， …… 9分解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴ 700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 18. [解] （1）设()11,y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和02=+y x . …… 2分点()11,y x P 到两条渐近线的距离分别是5211y x -和5211y x +， …… 4分它们的乘积是5454525221211111=-=+⋅-y x y x y x . ∴ 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分（2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-= …… 8分all`试题1214)3(22-+-=x x54512452+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x . …… 11分2||≥x ， …… 13分∴ 当512=x 时，2||PA 的最小值为54，即||PA 的最小值为552. …… 15分19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. …… 2分由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ，解得 212±=x . …… 6分02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）当2,2,1===p b a 时，解方程组⎩⎨⎧==,2,42x y y x 得 ⎩⎨⎧==,16,8y x即点Q 的坐标为()16,8. …… 3分[证明]（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,12bx y y abx 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,,1a b y a x即点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1. …… 5分all`试题13P 是椭圆上的点，即 1422=+b a ，∴ ()1144142222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b a .因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. …… 8分（3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q . …… 10分将Q ⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1代入方程，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a q a b 1222，即2222qca qa b -=. …… 12分当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当21=qc 时，2224121c b c a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，此时点P 的轨迹落在圆上；当0>qc 且21≠qc 时，124121222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0<qc 时，124121222=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上. …… 16分21. [解]（1）由题意得()+∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==Z k k n k n k n a n ,3,3,13,2,23,1 .…… 3分（2）当101<<a 时，112+=a a ，213+=a a ，314+=a a ，1315+=a a ，2316+=a a ，3317+=a a ，…，131113+=--k k a a ，23113+=-k k a a ，331113+=-+k k a a ，… …… 6分all`试题14()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++++=∴6363663311111110099987654321100a a a a a a a a a a a a a a a S3363131133111⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= a a198311121131+⎪⎭⎫⎝⎛-=a . …… 10分（3）当m d 3=时，ma a 112+=； 131113333113+=+<<+-=-+=m m a a m a m m a a ，mm a a m 13123+=∴+；16116333313+=+<<+-=m ma m a m m a a ，m m a a m 192126+=∴+；1921219393319+=+<<+-=m m a m a m m a a ，m ma a m 1273129+=∴+. ∴ 121a m a =-，mam a m 31123=-+，212691m a m a m =-+，3129271m a m a m =-+.综上所述，当m d 3=时，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是公比为m31的等比数列. ……13分当13+≥m d 时， ⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+m d a a m 1,03123， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈++=+m d a a m 13,333126，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=+m d d a a m 1,033136， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-+++=+3,131333129m m m d d a a m . ……15分由于0123<-+m a m ，0126>-+m a m ，0129>-+m a m ，故数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+不是等比数列.所以，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. ……18分all`试题151.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：all`试题1636C；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线all`试题173y x a =+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。

2008年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)

+ ), 即y=sin(2x+ )=sin2(x+ ). ∴只需将函数y=sin2x的图像向左平移个单位长度即得函数y=cos(2x+ )的图像,选A. 9、答案： D 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 且f(-1)=-f(1)=0. 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴当x＜-1或0＜x＜1时,f(x)＜0, 当-1＜x＜0或x＞1时,f(x)＞0. 又不等式＜0, ∴解集为(-1,0)∪(0,1). 10、答案： D 解析:动点M在以原点为圆心的单位圆上, 所以直线 + =1过点M,只需保证原点到直线的距离
B C A ∴O′E= a.∴sin∠O′AE= . 12、答案： B 解析:方法一:4种花都种有 =24种;只种其中3种花: · · · =48种;
只种其中2种花: · =12种. ∴共有种法24+48+12=84种. 方法二:A有4种选择,B有3种选择,C可与A相同,则D有3种选择,若C与A不同,则C有2种选择,D也有2种选择. ∴共有4×3×(3+2×2)=84. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．答案： 9 解析:由题意得可行域如图中阴影部分所示,则由图可得目标函数z=2x-y 的最大值为y=2x-z,过点(3,-3)时,此时z=9.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ 卷）理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷
参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式
如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题 1．函数的定义域为（） A． B． C． D． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（） s t O A． s t O s t O s t O B． C． D． 3．在中，，．若点满足，则（） A． B． C． D．

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2008年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷上海（理工农医类）一填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax－4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是二选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x ,y )、P ’(x ’,y ’) 满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（） A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）AE B 1D 1DC 1A 1BC AODBC18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m，a 9m+2－1m成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.. 6.2. 7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞. 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞.二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO. EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分由题意，得1112EF CC ==. 112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠== ……10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan……12分 17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分在△CDO中，222c o s 60CD O D C D O D+-⋅⋅︒=……6分即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米）答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分[解法二]连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分AEB 1D 1D C 1A 1 BC AODBCAODBCH在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒ 222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==. 点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分（2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+-25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xx f x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t ttt t m -+-≥ 即24(21)(21)ttm -≥--，2210t->∵，2(21)tm ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a代入方程，得2212()b q c a a =-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上；当102qc qc >≠且时，2221()21142a b c q c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，,1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++ 113111(31)63333a a =++++++⨯ 13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴； 11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a d m ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。