2015年四川高考文科数学试卷(word版)和答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）
姓名 成绩
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）
()A {|13}x x -<< ()B {|11}x x -<< ()C {|12}x x << ()D {|23}x x <<
2、设向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =（ ） ()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 6
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ） ()A 抽签法 ()B 系统抽样法 ()C 分层抽样法 ()D 随机数法
4、设,a b 为正实数，则"1"a b >>是22log log 0"a b >>的（ ）
()A 充要条件 ()B 充分不必要条件 ()C 必要不充分条件 ()D 既不充分也不必要条件
5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
()A cos(2)2y x π=+ ()B sin(2)3
y x π
=+ ()C
sin 2cos 2y x x =+ ()D sin cos y
x x =+
6、执行如图所示程序框图，输出S 的值为（ ）
()A ()B ()C 12- ()D 1
2
7、过双曲线2
2
13
y x -
=的右焦点且与x ,A B 两点，则||AB =（ ）
()
A ()
B ()
C 6 ()
D 8、某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系y e
=（ 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数）。

若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 ()A 16小时 ()B 20小时 ()C 24小时 ()D 28小时
9、设实数,x y 满足210,
214,6,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩
则xy 的最大值为（ ）
()
A 25
2 ()B 492
()C 12 ()D 16 10、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222
(5)(0)x y r r -+=>相切与点M .且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ()A (1,3) ()B (1,4) ()C (2,3) ()D (2,4)
二、填空题：
11、设i 是虚数单位，则1i i
-= 。

12、2lg 0.01log 16+的值是 。

13、已知sin 2cos 0αα+=，则2
2sin cos cos ααα-的值是 。

14、在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边为1的等腰直角三角形，设,,M N P 分别是棱11,,AB BC B C 中点，则三棱锥1P A MN -的体积是 。

15、已知函数2
()2,()x f x g x x ax ==+（其中a R ∈），对于不相等的实数12,x x ，设1212
()()f x f x m x x -=-，
1212
()()g x g x n x x -=
-，则现有如下命题：
①对于任意不等的实数12,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；④对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-。

其中的真命题有 。

（写出所有真命题的序号） 三、解答题： 16、（本小题满分12分）
设数列{}(1,2,3...)n a n =的前n 项和12n n S a a =-，且113,1,a a a +成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1
{
}n
a 的前n 项和为n T ，求n T 。

17、（本小题满分12分）
一辆小客车上有5各座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客12345,,,,P P P P P 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客1P 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位。

（1）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表格空格处）；（2）若乘客1P 坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客5P 做到5号座位的概率。

18、（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。

（1）请将字母,,F G H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线DF ⊥平面BEG 。

19、（本小题满分12分）
已知,,A B C 为ABC Δ的内角，tan ,tan A B 是关于x 的方程2
10()x p p R +-+=∈的两实根。

（1）求C 的大小；（2）若3,AB AC ==p 的值。

E
1PC PD =-
O 为坐标原点，过点P OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求 21、（本小题满分14分）
已知函数2
2
()2ln 2f x x x ax a =-+-+，其中0a >。

（1）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解。

2015年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：直接利用并集求解法则求解即可．
解答：解：集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，
则A∪B={x|﹣1＜x＜3}．
故选：A．
点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查．
2．（5分）（2015•四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2B．3C．4D．6
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．
解答：
解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，
所以4x=2×6，解得x=3；
故选：B．
点评：
本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）
共线，那么xn=yn．
3．（5分）（2015•四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法
考点：收集数据的方法．
专题：应用题；概率与统计．
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显
著差异，这种方式具有代表性，比较合理．
故选：C．
点评： 本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．
4．（5分）（2015•四川）设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的（ ） A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件
D ．
既不充分也不必要条件
考点： 充要条件． 专题： 简易逻辑．
分析： 先求出log 2a ＞log 2b ＞0的充要条件，再和a ＞b ＞1比较，从而求出答案． 解答：
解：若log 2a ＞log 2b ＞0，则a ＞b ＞1，
故“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的充要条件， 故选：A ．
点评： 本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．
5．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A ． y=cos （2x+） B ．
y=sin （2x+） C ． y =sin2x+cos2x D ． y =sinx+cosx
考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 解答： 解：
y=cos （2x+）=﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以
A 正确 y=sin （2x+）=cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B
不正确；
y=sin2x+cos2x=sin （2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C
不正确； y=sinx+cosx=
sin （x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不
正确；
故选：A ．
点评： 本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考
查计算能力．
6．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）
A．
﹣B．C．
﹣
D．
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S的值为．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
k=1
k=2
不满足条件k＞4，k=3
不满足条件k＞4，k=4
不满足条件k＞4，k=5
满足条件k＞4，S=sin=，
输出S的值为．
故选：D．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
7．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近
线于A、B两点，则|AB|=（）
A．B．2C．6D．4
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．
解答：
解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，
过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，
可得y A=2，y B=﹣2，
∴|AB|=4．
故选：D．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
8．（5分）（2015•四川）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）
A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时
考点：指数函数的实际应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．
解答：解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．
当x=0时，e b=192，
当x=22时e22k+b=48，
∴e16k==
e11k=
e b=192
当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24
故选：C
点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．
9．（5分）（2015•四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）
A．B．C．12 D．16
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；
则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，
此时2x+y=10，
则xy==，
当且仅当2x=y=5，
即x=，y=5时，取等号，
故xy的最大值为，
故选：A
点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）
考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．
专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则
斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，
因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，
即M的轨迹是直线x=3，
代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，
所以2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故选：D．
点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i﹣=2i．
考点：复数代数形式的混合运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数的运算法则求解即可．
解答：
解：复数i﹣=i﹣=i+i=2i．
故答案为：2i．
点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．
12．（5分）（2015•四川）lg0.01+log216的值是2．
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可．
解答：解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．
故答案为：2．
点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
13．（5分）（2015•四川）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是﹣1．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答：解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，
∴tanα=﹣2，
则原式
=====﹣
1，
故答案为：﹣1
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14．（5分）（2015•四川）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P
﹣A1MN的体积即可．
解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是
底面三角形ABC的，
所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：=．
故答案为：．
点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．
解答：解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（，+∞）递减，
则n＞0不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），考查函数h（x）=x2+ax
﹣2x，
h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）
=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．
故答案为：①④．
点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n，满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为T n，求T n．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由条件S n满足S n=2a n﹣a1，求得数列{a n}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{a n}的通项公式．
（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和T n．
解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有
a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），
即a n=2a n﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．
又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）
所以a1+4a1=2（2a1+1），
解得：a1=2．
所以，数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．
故a n=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，
所以T n=+++…+==1﹣．
点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．
17．（12分）（2015•四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位．
（Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
乘客P1P2P3P4P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2
4
5 1
32415
32541
（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率．
考点：概率的应用．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；
（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率．
解答：解：（Ⅰ）余下两种坐法：
乘客P1P2P3P4P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2
4
5 1
3 2
4 1 5
3 2 5
4 1
（Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则
所有可能的坐法可用下表表示为
乘客P1P2P3P4P5
座位号 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4
3 1 5
2 4
3 5 1
2 5
3
4 1
于是，所有可能的坐法共8种，
设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）
==．
答：乘客P1坐到5号座位的概率是．
点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论．
（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．
考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置．
（Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG．
解答：解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示．
（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：
∵ABCD﹣EFGH为正方体，
∴BC∥FG，BC=EH，
又FG∥EH，FG=EH，
∴BC∥EH，BC=EH，
∴BCHE为平行四边形．
∴BE∥CH，
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
∴BE∥平面ACH，
同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG=B，
∴平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）连接FH，
∵ABCD﹣EFGH为正方体，
∴DH⊥EG，
又∵EG⊂平面EFGH，
∴DH⊥EG，
又EG⊥FH，EG∩FH=O，
∴EG⊥平面BFHD，
又DF⊂平面BFHD，
∴DF⊥EG，
同理DF⊥BG，
又∵EG∩BG=G，
∴DF⊥平面BEG．
点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础
知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
19．（12分）（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．
（Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．
考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．
专题：函数的性质及应用；解三角形．
分析：
（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=
﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结
合C的范围即可求C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可
求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p ﹣4≥0，
所以p≤﹣2，或p≥．
由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．
所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，
从而tan（A+B）==﹣=﹣．
所以tanC=﹣tan（A+B）=，
所以C=60°．
（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，
解得B=45°，或B=135°（舍去）．
于是，A=180°﹣B﹣C=75°．
则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．
所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．
点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．
20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•=﹣1
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）通过e=、•=﹣1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；
（Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联
立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时•+λ•=﹣3；②
当直线AB的斜率不存在时，•+λ•=﹣3．
解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），
又∵P（0，1），且•=﹣1，
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆E的方程为：+=1；
（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．
理由如下：
对直线AB斜率的存在性进行讨论：
①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
从而•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]
=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
=
=﹣﹣λ﹣2．
∴当λ=1时，﹣﹣λ﹣2=﹣3，
此时•+λ•=﹣3为定值；
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时•+λ•=+=﹣2﹣1=﹣3；
故存在常数λ=1，使得•+λ•为定值﹣3．
点评：本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题
方法的积累，属于难题．
21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′
（x）＞0，即可得出单调性．
（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u
（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得
u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．
解答：（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．
g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，
令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，
则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，
∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，
令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）
=0，f（x0）=u（x0）=0．
再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；
又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．
故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．
综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）
内有唯一解．
点评：本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。