工程流体力学第二章

证明：
（1）作用力
△py A x
zC
△pn
△px dz
0 dy B y dx
△pz
① 表面力：
px

px SOBC

px
1 dydz 2
py

py SOAC

py
1 2
dxdz
p z
pz SOAB pZ
1 dxdy 2
p pn S n ABC
2.1 流体静压强及其特性
② 质量力： F fm
具有的压强势能，简称压能（压强水头）。
测压管水头（ z+p/g）：单位重量流体的总势能。
物理意义： 1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面 的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压 头减小。
2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）
必然是等压面（p1 = p2 =常数）。
pA
( g )W
pB
( g )W

z3

( g)Hg ( g )W
2
z2

z1

z0

z0

z2

z2
(zA

pA
( g )W
)

(
zB

pB
( g )W
)

(
( g)Hg ( g )W
2
1)h

12.6h
2.4 压强单位和测压仪器
2、U形水银测压计
p1=p+ρ1gh1 p2=pa+ρ2gh2 所以 ： p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2
3.5
hp
C的读数？
C
M
N
解：如图取MN平面为等压面
以相对压强计： 0=P0+ρHgghp
P0=-ρHgghp
压力表读数C： PC=P0+ρghC
Ydxdydz
2.2 流体平衡微分方程
根据平衡条件，在y方向有Fy 0 ，即
( p p dy )dxdz ( p p dy )dxdz dxdydz 0
y 2
y 2
Y 1 p 0
y
流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：
X

1

p x
b. 大气压
kgf/ cm2 0.981bar
10N/ cm2
标准大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPa
c. 液柱高 水柱高mH20：1atm相当于
1at相当于
h pa 101300
g 9800
10.33mH 2O
h pa
g
98000 9800
表明：液体平衡时，单位重量液体重力势能与压力能之和为 常数，这里显示了机械能守恒的意义。
2.4 压强单位和测压仪器
2.4.1 压强的计量单位
a. 应力单位:
这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，
N/m2Pa，MPa 106Pa, kN/ m2 kPa，bar 105Pa 0.1MPa
M点的绝对压强为： p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
ρ1 M ρ 1
Pa
h1
h2 等压面
2
ρ
2.4 压强单位和测压仪器
3、U形管差压计 用来测量两个容器或同
一容器（如管道）流体中不 同位置两点的压强差。
p1 pA A g(h1 h)
p2 pB B gh2 gh
因p1=p2 ，故
主要内容
2.1 流体的静压强及特性 2.2 流体平衡微分方程 2.3 流体静力学基本方程 2.4 压强的单位及测量仪表 2.5 静止液体作用在壁面上的总压力 2.6 阿基米德原理及固体在液体中的沉浮问 题 2.7 流体的相对平衡
2.1 流体静压强及其特性
一、流体静压强
面积A的平均流体静压力 P A
（2）在测压管内放置轻质而又和水 互不混掺的液体，重度 (g) (g) ， 则有较大的h。
2.4 压强单位和测压仪器
2 水银测压计与U形测压计 适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测 点压强较大。
B—B等压面：
pA 1gz1 p0 2 gz2 pA 2 gz2 1gz1
pA gh
适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。
如何用测压管测真空度？
2.4 压强单位和测压仪器
2) 微压计
被测点A的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺 读数，常采用以下两种方法：
（1）将测压管倾斜放置，此时标尺读 数为l，而压强水头为垂直高度h，则
pA gh gl sin
压强全微分
dp p dx p dy p dz
x y z

X


1
p x

0
Y

1
p y

0
式各项依次乘以dx, dy, dz后相加得：
Z

1
p z

0
Xdx Ydy Zdz 1 (p dx p dy p dz)
dp (XdxYdy Zdz) 0
Xdx Ydy Zdz 0
质量力与等压面正交 只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1.静止；
2.连通；
3.连通的介质为同一均质流体；
4.质量力仅有重力；
5.同一水平面。
提问:图中所示哪个断面为等压面?
2.3 流体静力学的基本方程
一、重力作用下静止液体的压强分布规律 重力作用下静止流体质量力：
X Y 0, Z g
代入流体平衡微分方程 dp (Xdx Ydy Zdz)
dp gdz p gz C
在自由液面上有： z=H 时, p=p0
代入上式有: C p0 gH
2.3 流体静力学的基本方程
1.液体静力学基本方程：
p p0 g(H z) p0 gh
流体静压力（流体静压强） p lim P A0 A
静止流体单位面积上所受的作用力
2.1 流体静压强及其特性
1、特性一：流体静压强的方向必然重合于受力面的法向
方向 pn
P
N Nτ
2.1 流体静压强及其特性
2、特性二：静压强的大小与作用面方向无关，或说作
用于同一点上各方向的静压强大小相等。
可“＋”可“– ”，也可为“0”。
pabs

pa
,p
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状 态，是负的相对 压强。
真空值pv pV pa pabs ( pabs pa )
三者之间的关系如图 或 归纳如下： • 绝对压强 =大气压强 + 计示压强 • 计示压强 = 绝对压强 大气压强 • 真空度 =大气压强 绝对压强
x y z
dp (XdxYdy Zdz) dW W－势函数
p p0 (W W0 )
2.2 流体平衡微分方程
三、帕斯卡原理 p p0 (W W0 )
表面力 质量力（与p0无关） 如果静止液体边界处的压强p0变为p0p0 流体中任意点处的静压强变为
2.4 压强单位和测压仪器
三、压差计 空气压差计：用于测中、低压差
压差计 油压差计：用于测很小的压差 水银压差计：用于测高压差
适用范围：测定液体中两点的压强 差或测压管水头差。
压差计计算
pA pB 1gz3 2 gz2 1gz1
若A、 B中流体均为水，ρ2为水银， z2 h 则
2.1 流体静压强及其特性
px
1 2
dydz
pn S ABC
SOBC S ABC

X（
1 6
dxdydz）
0
px
1 2

dydz

pn
1 2
dydz

X（
1 6
dxdydz）
0
令四面体OABC向O点收缩成极小流体质点：
略去高阶无穷小量： X（ 1 dxdydz）
6
Px=pn 同理： Py=pn ，Pz=pn
或 当 p0 = 0 时
p gh
结论：
1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按
线性规律增加。
2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面
压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用
下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。
2.3 流体静力学的基本方程
2.3.5 流体静力学的基本方程的几何意义与能量意义 1.几何意义
静压水头
测压管水头 测压管高度
位置水头
静压高度 位置水头
2.3 流体静力学的基本方程
位置水头z ：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位重 量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。
测压管高度 p/g：表示单位重量流体从压强为大气压算起所
4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一
点的压强值。
p2 p1 gh
2.3 流体静力学的基本方程
• 2.3.3 静止液体中的等压面 • 由于等压面与质量力正交，在静止液体中只有重
力存在，因此，在静止液体中等压面必为水平面。
• 对于不连续的液体或者一个水平面穿过了两种不 同介质连续液体，则位于同一水平面上各点压强 并不一定相同，即水平面不一定是等压面。
( p p) ( p0 p0 ) (W W0 )
p p0 处于平衡状态下的不可压缩流体中，任意点处的 压强变化值p0将等值地传递到流体其它质点处。
2.2 流体平衡微分方程
四、等压面
等压面（equipressure surface）：是指流体中压强相等 （p=const）的各点所组成的面。
2.3 流体静力学的基本方程
2.3.4 绝对压强、相对压强、真空度
a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强
（绝对零压强）为基准计量的压强，用 pabs 表示, pabs 0 。
b. 相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地
工程大气压(at) 为基准计量的压强。用p表示p，
pA A g(h1 h) pB B gh2 gh
pA pB B gh2 gh A g(h1 h)
(g A g)h B gh2 A gh1 若两个容器内是同一流体，即ρA=ρB=ρ1
pA pB ( 1 )gh 1g(h2 h1 )
10mH 2O
汞柱高mmHg：1 atm相当于
h

101300 13.6103 9.8

760mmHg
1at相当于
h

98000 13.6103 9.8

736mmHg
2.4 压强单位和测压仪器
二. 测压计 1 液体压力计 1) 测压管 测压管（pizometric tube）：
是以液柱高度为表征测量点 压强的连通管。一端与被测点 容器壁的孔口相连，另一端直 接 和大气相通的直管。

0
Y

1

p y

0
Z

1

p z

0
2.2 流体平衡微分方程
物理意义：
• 处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相等。
• 压强沿轴向的变化率（
）等于轴向单位体积上的
质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。
2.2 流体平衡微分方程
2.2.2、流体平衡微分方程的积分 ∵ p = p (x, y, z)
zC
△pn
Fx

X（
1 6
dxdydz）
Fy

Y（
1 6
dxdydz）
Fz

Z（
1 6
dxdydz）
△py
dz 0 dy
△px （2）受力平衡： ∑Fi=0
By
研究x方向：∑Fx=0
dx
A
△pz
x
px pn co（s n, x） Fx 0
co（ s n，x） SOBC S ABC
Px=py=pz=pn
2.2 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设 中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：
y向受力
表面力 质量力
( p p dy )dxdz y 2
( p p dy )dxdz y 2
2.4 压强单位和测压仪器
整理：
(zA

pA
1g
)

(zB

pB
1g
)

(
1
1)h
当A，B在同一高程△Z=0。
pA pB ( 1)h
1g
1
2.4 压强单位和测压仪器
例2.1 已知 = 800kg/m3, p1 =64 kpa，

po
p2=79.68kpa 求 z=?
1 z
2
解: z1+p1/ g =z2+p2/ g z = z1 – z2 =(p2 – p1)/ g = (79.68 – 64.0)103/(9.8800)
z = 2m
2.4 压强单位和测压仪器
例2.2 图示侧壁上方装有U型水
P0
银测压计，读数hp=2.0cm，试
求安装于水面下3.5m处压力表