【小升初数学无忧衔接】专题09 有理数的加法(原卷)

专题09有理数的加法
1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性； 2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法； 4. 能合理使用加法运算律使运算简便。

1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：
1.有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定数字；
2.计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；
3.运算律：
注意：
1.利用加法交换律、结合律,可以使运算简化,认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
2.注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用.
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a +b ＝b +a
加法结合律
文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a +b )+c ＝a +(b +c )
【题型一】有理数加法法则的辨析 【解题技巧】有理数加法的法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数． 【典题1】（2021•小店区七年级月考）下列说法正确的是（）
A ．两个有理数相加和一定大于每个加数
B ．两个非零有理数相加，和可能等于零
C ．两个有理数和为负数时，这两个数都是负数
D ．两个负数相加，把绝对值相加
【典题2】（2022•绵阳市七年级期中）对于有理数a 、b ，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（）
①若a +b ＝0，则a 与b 互为相反数；②若a +b ＜0，则a 与b 异号；③a +b ＞0，则a 与b 同号时，则a ＞0，b ＞0；④|a |＞|b |且a 、b 异号，则a +b ＞0；⑤|a |＜b ，则a +b ＞0． A ．3个 B ．2个
C ．1个
D ．0个
【变式练习】
1．（2021·辽宁朝阳市·七年级期中）两个有理数相加，如果和小于任何一个加数，那么这两个有理数的情况是（） A ．同为正数
B ．同为负数
C ．一个正数和一个负数
D ．一个为，一个为负数
2．（2021·云南省个旧市第二中学七年级期中）下列结论不正确的是()
A ．若a ＞0，b ＜0，且a ＞|b |，则a ＋b ＜0
B ．若a ＜0，b ＞0，且|a |＞b ，则a ＋b ＜0
C ．若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＞0
D ．若a ＜0，b >0，则a －b ＜0
【题型二】有理数的加法运算
【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。

【典题1】（2021·天津市滨海新区七年级月考）下列运算中，正确的个数有（） ①()550-+=；②()()1073-++=-；③()044+-=-；④()321-+=-；⑤
()()121-++=-．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【典题2】（2021·山东省初一期末）下列各式运算正确的是（） A ．()()770-+-=B ．111326⎛⎫⎛⎫-+-
=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭C ．()0101101+-=D ．1101010⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【变式练习】
1．（2021·江苏泰州市·九年级一模）我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算()34+-的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（）
A ．()()5+2--
B ．()52-+
C ．52+
D ．()52+-
2．（2021·天津津南区·九年级一模）计算15(22)+-的值是（） A ．7- B ．7
C ．37-
D ．37
【题型三】有理数加法的运算律 【解题技巧】有理数常见简算方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。

【典题1】（2021·广东深圳市·七年级月考）计算： （1）19＋（－6.9）＋（－3.1）＋（－8.35）（2）（－18）＋3.25＋23
5
＋（－5.875）＋1.15
【典题2】（2021·江苏初一期中）计算：511133246565
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
． 嘉嘉的做法如下：
[解]：原式5111(3)(3)(2)(4)6565⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
①
5111[(3)(3)(2)(4)]6565⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
②
5111(4)6655⎧⎫
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭
③
…
嘉嘉发现自己的做法出错了，请指出从第几步开始错误，并写出正确的解题过程．
【变式练习】
1.(2022年浙江七年级月考)计算()()313656 1.2
2.75 1.8444⎛⎫⎛⎫
+-+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所得的结果是() A ．－3
B ．3
C ．－5
D ．5
2．（2021·内蒙古赤峰市·七年级期末）小明在计算16+（-25）+24+（-35）时，采用了这样的方法：
解：16+（-25）+24+（-35） =（16+24）+[（-25）+（-35）] =40+（-60）=-20
从而使运算简化，他根据的是___________________________________．
【题型四】有理数加法在生活实际中的应用 【解题技巧】
【典题1】（2021·浙江嘉兴市·七年级期末模拟）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A C -表示观测点A 相对观测点C 的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A 相对观测点B 的高度是（）
【典题2】（2021•覃塘区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1
楼．（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？
【变式练习】
1．（2021·北京海淀区·九年级二模）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______ km．
2.（2022•未央区七年级期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让分拣效率大大提升．某分拣仓库采用智能分拣系统计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天分拣量与计划相比有出入，超过计划量记为正，未达计划量记为负，下面是该仓库10月份第一周分拣包裹的情况（单位：万件）：+5，﹣1，﹣3，+6，﹣1，+4，﹣8，该仓库本周实际分拣包裹一共是（）
A．138万件B．140万件C．141万件D．142万件
【题型五】有理数加法的应用（幻方问题）
【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。

【典题1】（2021•鲤城区校级月考）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把﹣15到﹣20这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（）
A．﹣53B．﹣54C．﹣56D．﹣57
【典题2】（2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则
的值是____________．
【变式练习】
1.（2022•新北区期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）
A．﹣6或﹣3B．﹣8或1C．﹣1或﹣4D．1或﹣1 2．（2021·湖北省初一期中）把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a 的值是（）
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
【题型六】有理数加法的应用（含绝对值） 【解题技巧】
【典题1】（2021•海陵区期中）已知整数a 、b 满足|a |+|b ﹣1|＝1，则满足条件的a +b 的值有多少个（） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【典题2】（2022·浙江台州·七年级期末）现有30个数，其中所有正数之和为10，负数之和为，这30个数的绝对值之和为（ ） A ．10a + B ．20a +
C ．10a -
D ．20a -
【变式练习】
1.（2021•红桥区期中）已知|a |＝2，|b |＝3，且|a +b |＝|a |+|b |，则a +b 的值为（） A ．5
B ．±5
C ．1
D ．±1
2．（2021·北京丰台·七年级期末）对于有理数a ，b ，c ，d ，给出如下定义：如果|a ﹣c |＋|b ﹣c |＝d ．那么称a 和b 关于c 的相对距离为d ，如果m 和3关于1的相对距离为5，那么m 的值为_____．
1．（2022·河南信阳·七年级期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，根据刘徽的这种表示法，观察可推算出图①中所得的数值为1，则图①中所得的数值为（ ）
A ．7
B ．-1
C ．1
D ．±1
2．（2022·河北唐山·七年级期末）如图在数轴上有M 、N 两点，则两点表示的数字之和不可能（ ）
A ．2
B ．－4
C ．－3.45
D ．－7
3.（2021•汉滨区校级月考）下列说法正确的是（） A ．两个加数之和一定大于每一个加数 B ．两数之和一定小于每一个加数
C ．两个数之和一定介于这两个数之间
D ．以上皆有可能
4．（2021·辽宁锦州市·七年级期中）小红解题时，将式子()()()8384-+-++-先变成
()()()8834-++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦再计算结果，则小红运用了（）．
A ．加法的交换律和结合律
B ．加法的交换律
C ．加法的结合律
D ．无法判断 5．（2021·广东省初一月考）如果是有理数，则下列各式子成立的是（）
A ．如果，那么
B ．如果，那么
C ．若
，则
D ．若
，且
，则
6．（2021·云南文山·七年级期末）若2x =，3y =，且x ，y 异号，则x y +的值为（） A ．5
B ．5或1
C ．1
D ．1或-1
7．（2021·陕西西安市·七年级期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI 调度等智能装备
系统让分拣效率大大提升．某分拣仓库采用智能分拣系统计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天分拣量与计划相比有出入，超过计划量记为正，未达计划量记为负，下面是该仓库10月份第一周分拣包裹的情况（单位：万件）：+5，﹣1，﹣3，+6，﹣1，+4，﹣8，该
仓库本周实际分拣包裹一共是（）
A．138万件B．140万件C．141万件D．142万件8．（2021·河西区·天津实验中学七年级期末）如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若，则（）
A．大于5B．小于5C．等于5D．不能确定9．（2021·福建师范大学附属中学初中部七年级期中）如图，将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等．则其中x+y的值为（）
A．﹣3B．﹣1C．2D．5 10．（2021·福建·文博中学七年级期中）已知a、b、c为有理数，且a＋b＋c＝0，b≥﹣c＞|a|，则a、b、c与0的大小关系是（）
A．a＜0，b＞0，c＜0B．a＞0，b＞0，c＜0C．a≥0，b＜0，c＞0D．a≤0，b＞0，c＜0 11．（2022·江苏扬州·七年级期末）我市一月某天早上气温为-3①，中午上升了8①，这天中午的温度是____①．
12．（2022·湖南·凤凰县教育科学研究所七年级期末）用[]表示不大于的整数中最大整数，如[2.4]=2，[-3.1]=-4，请计算[-5.2]+[4.8]=__________．
13．（2021·北京怀柔区·七年级期末）下列是运用有理数加法法则计算-5+2思考、计算过程的叙述：①-5和2的绝对值分别为5和2；②2的绝对值2较小；③-5的绝对值5较大；④-5+2是异号两数相加；⑤结果的绝对值是用5-2得到；⑥计算结果为-3；⑦结果的符号是取-5的符号——负号．请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：
______________________．
14．（2021·贵州贵阳市·七年级期末）如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是______．
15．（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）小李在五张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这四个数都能取到．猜猜看，小李在五张纸片上各写了什么数．满足条件的五个数有___________组，请写出一组满足条件的数____．
16．（2022·北京西城·七年级期末）在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全______．
17．（2022·北京四中七年级期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______km．
四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选的座位号之和为____________．
19．（2021·山东·峄城区吴林街道中学七年级阶段练习）用适当方法计算：
（1）(51)(12)(7)(11)(36)-+++-+-++；（2）( 3.45)(12.5)(19.9)( 3.45)(7.5)-+-+++++-
（3）531173148416⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （4）53347.7512884⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
20．（2021·全国·七年级课时练习）计算：
（1）531173148416⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）33(5) 3.75133(7)74⎡⎤⎛⎫-+++-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
21．（2021·全国·七年级课时练习）计算：
（1）(7)(19)(23)(15)++-+++- （2）11( 2.125)35( 3.2)58⎛⎫⎛⎫-+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3）312117575⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）117( 3.37)6 2.125(0.25)( 2.63)84⎛⎫-+-+++-+- ⎪⎝⎭
22．（2022·广西梧州·七年级期末）中国部分朝代历经的大约时间如图所示．
(1)从秦朝开始至清朝的这些朝代中，不超过一百年的朝代有哪几个？(2)如果把西汉、东汉合为汉朝，西晋、东晋合为晋朝，北宋、南宋合为宋朝，则汉朝，晋朝，宋朝各是多少年？
23．（2022·北京昌平·七年级期末）在数学活动课上，王老师介绍说有人建议向火星发射如图1的图案．它叫幻方，幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．其中9个格中的点数分别
是1，2，3，4，5，6，7，8，
9．每一横行、每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）．
（1）将-10，-8，-6，-4，-2，0，2，4，6这9个数分别填入图2的幻方的空格中，使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等．则这个和是______，并请同学们补全其余的空格．
（2）在图3的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等．根据所给信息求出x 的值，并根据x 的值补全图4的幻方的空格．
24．（2022·重庆潼南·七年级期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：()()2*35++=+；()()1*910--=+；()()3*69-+=-；
()()
+-=-；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的* 4*48
（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
______；______；______．
请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时，__________________________________．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，________________________．
(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）。