电路chap10有互感的电路

耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音 机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用 的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特 性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非 常必要的。
10. 1 互感
一、 互感电压 i
1、单个线圈
i —
+ e di d e L dt dt
º
四. 受控源等效电路
+
U1

I1

j M * *
I2

+
U2

j L1
j L2
+

I1

I2

+

–

–
U1

j L1
jω M I 2

j L2
U 1 jω L1 I 1 jωM I 2 U 2 jω L2 I 2 jωM I 1

+ –
+ –
U2

克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
电抗器
互感电压的方向与线圈的绕向及相对位置有关 i1 i1 – *
*
F 21
* a + u21 a – u21
F 21
b –
di 1 u21 M dt
* b
+
di 1 u21 M dt
方向b指向a 必须设法使电路图简单，又能反映线圈绕向及位置对互 感电压的影响
I I I 3 1 2 jL I jL I R I jMI R1 I U 1 1 1 3 3 3 3 S1 2 jL I jL I R I jMI U RI
2 2 2 2 3 3 3 3
1
S2
jω M I 1
–
–
例1. 已知如图，求入端阻抗 Z=? M * L1 * L2 R 法一：端口加压求流
º
C
º º
L1-M
L2 -M M
R
C 法二：去耦等效
º
例2. 列写下图电路的方程。
I 1
M
R1 L1 L2
R2
I 2
+ _
U S1
+ _ R3
L3
U S2
I 3
支路电流法：
R R1 R2
L L1 L2 2M
互感的测量方法：
L顺 L1 L2 2 M L反 L1 L2 2 M
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
L顺 L反 M 4
二、互感线圈的并联 1. 同名端在同侧 M i + u – i1 * L1 * i2
M
* i1 M * i1 * – u21 + * + u21 –
di 1 u21 M dt
u 21
di 1 M dt
i1 + u1 _
M
i2 * L2 + u2 _
i1 + u1 _ * L1
M
i2
* L1
L2 *
+ u2 _
时域形式：
di di u1 L1 1 M 2 dt dt di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
一、互感线圈的串联 1. 同名端顺接 i R1 u1 * L1 + M u – L
i
R
+ +
u – –
– + * L2 u2
R2
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt
此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消): M12


L1 M13
L2
*
–M12
L1

L2
*
–M12
L3 M23 *
L2–M12–M23 +M13
M13
L3 M 23 *
+M12
L1–M12 +M23 –M13
–M12 +M23
L1 M13
L2
–M12 –M23

L3+M12–M23 –M13
互感电压
di1 u11 L1 dt
u 21 M 21
di1 dt
互感的性质 ① 对于线性电感 M12=M21=M ② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有
M N1N2 （L N2）
耦合系数 (coupling coefficient)k：

L3
+M12 –M23
例4 已知:L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求其戴维南等效电路。 M R1 L1 L2 Z1 I
U S
+ R2
_
– U + 1 +
U 2
+
U oc
_
+ _
–
U oc
。 1 ）计算开路电压U OC
U U 0 0 I I , Z 3 j 7 . 5 8 . 08 68 . 2 0 b i 3 j 7.5 I0
方法2:去耦等效
M
R1 L1
R2
L2
R1
L1 M
L2 M
M
R2
Z i j ( L2 M ) [ R1 j ( L1 M )](R2 jM ) (6 j 5)(6 j 5) j5 R1 j ( L1 M ) R2 jM (6 j 5) (6 j 5) 6 j5 j5 j 5 3 j 2.5 3 j 7.5 8.0868.2 2
i2 = i - i1
i1 = i - i2
di 2 ( L2 M ) M di dt dt
画等效电路
i º + u _ º
M
i1 L1-M i2 L2-M
同理可推得
-M
º
º
L1 º
* M *
L2 º
L1+M
L2+M
上面方法同样适合于两个互感线圈所在的支路 只有一个公共节点情况 L1+M M • * M º º º -M L1-M L1 •* M L2 -M L2 L2 +M º
k M L1L2
k M L1 L2 M2 ( Mi1 )( Mi2 ) 21 12 1 L1 L2 L1i1 L2i2 11 22
def
全耦合: F s1 =Fs2=0
即 F11= F21 ，F22 =F12
K=1
互感现象
利用——变压器：信号、功率传递
避免——电磁干扰
U U jM I R I (6 j 5) 0.384 39.8 30 V U OC 1 2 2
U 6 0 6 0 S I 0 . 384 39 . 8 A R1 jL1 R2 12 j10 15.6239.8
i + u –
Leq
2. 同名端在异侧 i + u – i1 * L1 * M
di 1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt
i2 L2
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
( L1 L2 M ) di u L1 L2 2 M dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
I1

j M
+
U1

I2

* j L1
_
* j L2 U 2 _

+
jωL I jωMI U 1 1 1 2
jωMI jωL I U 2 1 2 2
2）求内阻：Zi M
R1 L1
L2
I 0
I a
R2
I b
+
_
U 0
源自文库
方法1 : 加压求流(列回路电流方程) La: Lb:
R I ( R1 R2 jL1 ) I a 2 b jM I b 0
R I jM I U ( R2 jL2 ) I b 2 a a 0
例5
图示互感电路已处于稳态，t = 0 时开关打开，求 t >0+时开路电压u2(t)。 5 + 10 40V 10 – 10 * 0.2H
M=0.1H
* 0.4H u2 － +
i
解
副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有 互感电压。先应用三要素法求电流i(t).
u
u
d di 自感电压 u e L dt dt
自感系数 L

i
2、两个线圈
11
L1
L2
21
i1
u11
s1
u21
e21
F11在线圈 N1 产生自感磁链
F21在线圈 N2 产生互感磁链
定义： M 21
自感电压
Y11= N1F11
Y21= N2F21
21
i1
为线圈1对2的互感系数，单位 亨 (H)
2）实验方法确定
K
*
F
*
+ -mv
K闭合瞬间, mv 表 正方向摆动 则与表“+”端与电池“+” 同名 mv 表反方向摆动 则与表“—”端与电池“+”同名 K拉开瞬间, 正好相反
例.
i
1
F
*
* 2
1
*
2

3 3'
1'
2'
1'
2'*

注意：线圈的同名端必须两两确定。
三、由同名端及 u , i 参考方向确定互感电压
注意: 互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。
例3. + _
M12 R1


L1 M31
L2
*
R2 + _
U S1
回路法：
I a
L3 M23 *
I b
U S2
R3
( R j L ) I ( R1 jL1 jL3 R3 ) I a 3 3 b j M I jM 31 I a 31 a j M 12 I b j M 23 I b j M 31 I b U S 1 ( R j L ) I ( R2 jL2 jL3 R3 ) I b 3 3 a j M I jM 12 I a 31 a j M 23 I a j M 23 I b j M 23 I b U S 2
2
i + u –
( L1L2 M ) Leq 0 L1 L2 2M
2
Leq
三、互感消去法（去耦等效） i º + u _ º M
i1
L1
*
*
i2 L2
di 1 di 2 u L1 M dt dt
di 1 ( L1 M ) M di dt dt
di 2 di 1 u L2 M dt dt
例2. 列写下图电路的方程。 M I1 R 1 L1
L2 L3
R2
I 2
U S1
+
_
I a
R3
I b
+ _
U S2
I 3
回路电流法： (1) 不考虑互感
(2) 考虑互感
( R jL )I jMI U ( R1 jL1 R3 jL3 )I a 3 3 b S1 b ( R jL )I jMI U ( R2 jL2 R3 jL3 )I b 3 3 a S2 a
R R1 R2
L L1 L2 2 M
2. 同名端反接： i R1 u1 – + u2 R2 L2 * * L1 M + u – L i R
+ +
u – –
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt
方向a指向b
二、同名端
1、确定同名端的原则
当电流分别从两个线圈的同名端流入时，产生磁场应该 是相互增强的 2、具体方法 ——2种 1）当知道线圈的绕向及相互位置时，先从一个线圈中任选
一端，然后从另一个线圈寻找一端，若从这2个端子流入电
路能使产生的磁场相互增强，则这2个端子为同名端，分别 标上* 2）实验方法确定
L2
di 1 di M 2 dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt u L1
i = i 1 +i 2
解得u, i的关系： ( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
10. 2 含有耦合电感电路的计算
KVL______不要忘记互感电压 在同名端一致参考方向下，互感电压
di 1 u21 M dt

U 21 jwM I 1
① 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面介 绍的相量分析方法。 ② 注意互感线圈上的电压等于自感电压与互感电压的代数 和（相量和） ③ 一般采用支路法和回路法计算。