人教版A版高中数学选修2-3：离散型随机变量的均值_课件1
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离散型随机变量的均值
• 什么叫做n次独立重复实验？
• 设X表示n次实验中A事件发生的次数，它 满足什么分布？分布列如何表示？
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk
• 如果X满足二项分布，则 记为：X～B (n，p)
算术平均数
• 如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91
若X～B (n，p)，则 EX= n p
例3
• 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有 4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选 对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生 甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验 中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
那你的平均成绩是多少？
x x1 x2 ... xn n
加权平均数
• 你的期中数学考试成绩为70，平时 表现成绩为60，学校规定：在你学 分记录表中，该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%， 你最终的数学成绩为多少？
x a1x1 a2 x2 ... an xn a1 ... an 1
解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布：
X1～B(20，0.9)
X2～B(20，0.25)
所以：EX1= n p =20×0.9=18
EX2= n p =20×0.25=5
甲所得分数的均值为：18×5=90
乙所得分数的均值为： 5×5=25
X
x1
x2
…
x20
P
p1
p2
Ｘ １８
1
Ｐ
2
２４
1
3
３６
1
6
合理价格=18×1 +24×1 +36×1
2
3
6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
代表X的平均取值数学期望Βιβλιοθήκη 若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称：
EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
加权平均数
• 权：称棰，权衡轻重的数值；
• 加权平均：计算若干数量的平均数 时，考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同，分别给予不同的 权数。
练习
• 某商场要将单价分别为18元/kg、24
元/kg、36元/kg的3种糖果按3：定2价：为1
的比例混合销售，如何对混合糖1果8+2定4+36
价才合理？
• 例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格 定为样本，每次取糖果时样本会有变化， 样本的平均值也会跟着变化；而随机变量 的均值是常数。
数学期望小结
• EX表示X所表示的随机变量的均值； • E(aX+b)=aEX+b • 两点分布：EX= p • 二项分布：EX= n p • 求数学期望时：
1. 已知是两点分布或二项分布，直接代用公式； 2. 其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。
3
26
可以吗？
x 18 3 24 2 36 1 23
6
6
6
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 糖果所属种类的单价（元 kg）,你能写出X的分布列吗？
假如从这种混合如糖果果你中买随了机1选k取g这一种颗混，合记X为这颗 糖果所属种类的单糖价果（，元你k要g）付,多你少能钱写？出X的分布列吗？
ξ
1
0
p
p
1-p
如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p
例2、 某射手射击所得环数 的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求n次射击的平均环数。 如果这次射击中射击所得奖金与环数ξ的关系为 η=2ξ+1，试求随机变量η的期望。
解：而随P机(变X 量而1X你8可)刚买取好的1值,是糖P为2果(3X1元的8，实吗224际？4和)价36值1 , P(样X 本平36均)值 1
2
3
6
所以X分布列为
x
18
24
p
1/2
1/3
18×1/2+24×1/3+36×1/6
36 1（/6随概率机意变义量下均的值均值）
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
…
p20
Y
5x1
5x2
…
5x20
P
p1
p2
…
p20
解：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数 则Y1=5X1 Y2=5X2 所以：EY1=E(5X1)=5EX1=90
EY2=E(5X2)=5EX2=25
思考
甲同学一定会得90分吗？
90表示随机变量X的均值；
具体考试甲所得成绩是样本实际平均值；
• 随机变量的均值 样本的平均值？
为随机变量X的均值或数学期望。 •它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
例1
• 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中 的概率为0.7，那么他罚球一次得分设 为X，X的均值是多少？
X
0
1
p
0.3 0.7
解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7
如果X服从二项分布，则EX=？
P( X k ) Cnk pk qnk
kCnk nCnk11
EX 0 Cn0 p0qn 1 Cn1 pqn1 ... n Cnn pnq0 1 Cn1 pqn1 2 Cn2 p2qn2 ... n Cnn pnq0 np
9 11 13 15 17 19 21
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
期望的线性性质
• 若X是一个随机变量，则 Y=aX+b
仍然是一个随机变量，其中a、b是常数。
• EY=E(aX+b)=aEX+b
探究
• 如果我们只关心他是否打中10环， 则在他5次射击中，打中10环的次数 设为X，则求X的均值。
你能解释在该问题中权数代表的实际 含义吗？
• 将按3：2：1混合的糖果看作总体； • 任取的1kg糖果看作一个样本； • 样本中的每个糖果看成一个个体；
• 设样本中含有n个个体，则其中各种价钱的糖果 大约各占：1 1 1 236
• 在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪
个价位的概率。
分布列
• 现在混合糖果中任取一个，它的实际 价格用Ｘ表示，Ｘ的取值分别为：
• 什么叫做n次独立重复实验？
• 设X表示n次实验中A事件发生的次数，它 满足什么分布？分布列如何表示？
P( X k ) Cnk pk (1 p)nk
• 如果X满足二项分布，则 记为：X～B (n，p)
算术平均数
• 如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91
若X～B (n，p)，则 EX= n p
例3
• 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有 4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选 对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生 甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验 中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
那你的平均成绩是多少？
x x1 x2 ... xn n
加权平均数
• 你的期中数学考试成绩为70，平时 表现成绩为60，学校规定：在你学 分记录表中，该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%， 你最终的数学成绩为多少？
x a1x1 a2 x2 ... an xn a1 ... an 1
解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布：
X1～B(20，0.9)
X2～B(20，0.25)
所以：EX1= n p =20×0.9=18
EX2= n p =20×0.25=5
甲所得分数的均值为：18×5=90
乙所得分数的均值为： 5×5=25
X
x1
x2
…
x20
P
p1
p2
Ｘ １８
1
Ｐ
2
２４
1
3
３６
1
6
合理价格=18×1 +24×1 +36×1
2
3
6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
代表X的平均取值数学期望Βιβλιοθήκη 若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称：
EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
加权平均数
• 权：称棰，权衡轻重的数值；
• 加权平均：计算若干数量的平均数 时，考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同，分别给予不同的 权数。
练习
• 某商场要将单价分别为18元/kg、24
元/kg、36元/kg的3种糖果按3：定2价：为1
的比例混合销售，如何对混合糖1果8+2定4+36
价才合理？
• 例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格 定为样本，每次取糖果时样本会有变化， 样本的平均值也会跟着变化；而随机变量 的均值是常数。
数学期望小结
• EX表示X所表示的随机变量的均值； • E(aX+b)=aEX+b • 两点分布：EX= p • 二项分布：EX= n p • 求数学期望时：
1. 已知是两点分布或二项分布，直接代用公式； 2. 其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。
3
26
可以吗？
x 18 3 24 2 36 1 23
6
6
6
假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗 糖果所属种类的单价（元 kg）,你能写出X的分布列吗？
假如从这种混合如糖果果你中买随了机1选k取g这一种颗混，合记X为这颗 糖果所属种类的单糖价果（，元你k要g）付,多你少能钱写？出X的分布列吗？
ξ
1
0
p
p
1-p
如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p
例2、 某射手射击所得环数 的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求n次射击的平均环数。 如果这次射击中射击所得奖金与环数ξ的关系为 η=2ξ+1，试求随机变量η的期望。
解：而随P机(变X 量而1X你8可)刚买取好的1值,是糖P为2果(3X1元的8，实吗224际？4和)价36值1 , P(样X 本平36均)值 1
2
3
6
所以X分布列为
x
18
24
p
1/2
1/3
18×1/2+24×1/3+36×1/6
36 1（/6随概率机意变义量下均的值均值）
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
…
p20
Y
5x1
5x2
…
5x20
P
p1
p2
…
p20
解：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数 则Y1=5X1 Y2=5X2 所以：EY1=E(5X1)=5EX1=90
EY2=E(5X2)=5EX2=25
思考
甲同学一定会得90分吗？
90表示随机变量X的均值；
具体考试甲所得成绩是样本实际平均值；
• 随机变量的均值 样本的平均值？
为随机变量X的均值或数学期望。 •它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
例1
• 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中 的概率为0.7，那么他罚球一次得分设 为X，X的均值是多少？
X
0
1
p
0.3 0.7
解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7
如果X服从二项分布，则EX=？
P( X k ) Cnk pk qnk
kCnk nCnk11
EX 0 Cn0 p0qn 1 Cn1 pqn1 ... n Cnn pnq0 1 Cn1 pqn1 2 Cn2 p2qn2 ... n Cnn pnq0 np
9 11 13 15 17 19 21
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
期望的线性性质
• 若X是一个随机变量，则 Y=aX+b
仍然是一个随机变量，其中a、b是常数。
• EY=E(aX+b)=aEX+b
探究
• 如果我们只关心他是否打中10环， 则在他5次射击中，打中10环的次数 设为X，则求X的均值。
你能解释在该问题中权数代表的实际 含义吗？
• 将按3：2：1混合的糖果看作总体； • 任取的1kg糖果看作一个样本； • 样本中的每个糖果看成一个个体；
• 设样本中含有n个个体，则其中各种价钱的糖果 大约各占：1 1 1 236
• 在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪
个价位的概率。
分布列
• 现在混合糖果中任取一个，它的实际 价格用Ｘ表示，Ｘ的取值分别为：