初二数学 全等三角形经典模型及例题详解

辅助线模型

考点分析：

全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。

典型例题

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，

思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，Δ ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC交AC 于点D，CE 垂直于 BD，交BD 的延长线于点E。求证：BD=2CE。

思路分析：

1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起

来。解答过程：

证明：延长BA，CE 交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC 中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD 和ΔACF 中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构

造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是BC 边上的中线。求证：ΔABC 是等腰三角形。

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD 又是BC 边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD 得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：

。

证明：延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BE 。又因为 AD 是 BC 边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED ≌ΔCAD ， 故 EB=AC ，∠E=∠2， ∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠E ，

∴AB=EB，从而 AB=AC ，即 Δ ABC 是等腰三角形。 解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再 将端点连结，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例 3：已知，如图，AC 平分∠BAD，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180°

思路分析：

1） 题意分析：本题考查角平分线定理的应用。

2） 解题思路：因为 AC 是∠BAD 的平分线，所以可过点C 作∠BAD 的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：作 CE⊥AB 于 E ，CF⊥AD 于 F 。

∵AC 平分∠BAD，

∴CE=CF。

在 Rt△CBE 和 Rt△CDF 中，

∵CE=CF，CB=CD ，

∴Rt△CBE≌Rt△CDF，

∴∠B=∠CDF，

∵∠CDF+∠ADC=180°，

∴∠B+∠ADC=180°。

解题后的思考：

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

，

②见中点即联想到中位线。 （4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例 4：如图，Δ ABC 中，AB=AC ，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交 BC 于 D ，若 EB=CF 。 求证：DE=DF 。 思路分析： 1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路：因为 DE 、DF 所在的两个三角形 ΔDEB 与 ΔDFC 不可能全等，又知 EB=C F 所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E 作 EG//CF ，构造中心对称型全等三

角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。

解答过程：

证明：过E 作 EG//AC 交 BC 于 G ，

则∠EGB=∠ACB，

又 AB=AC ，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，

∴EB=EG=CF，