【系统集成】高中数学 第四章 平面向量(教师用书)理

第四章平面向量

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4.1 平面向量的概念及线性运算

典例精析

题型一向量的有关概念

【例1】下列命题：

①向量AB的长度与BA的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；

④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.

其中真命题的序号是.

【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.

【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.

【变式训练1】下列各式：

a•；

①|a|＝a

②(a•b) •c＝a• (b•c)；

③OA－OB＝BA；

④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN；

⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).

其中正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选 D.| a|＝a a •正确；(a •b) •c ≠a • (b •c)； OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，

MN =MD +DC +CN 且MN =MA +AB +BN ，

两式相加可得2MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；

因为a ，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线， 即得(a ＋b )⊥(a －b ). 所以命题①③④⑤正确.

题型二 与向量线性运算有关的问题

【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM =

DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 3

1

,设AB =a, AD =b,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN .

【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，

所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1

2(a －b )，

AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1

2(a ＋b ).

又DM ＝13DO ， ON ＝1

3

OC ，

所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1

3

DO

＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋5

6

b ，

AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1

3

OC

＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝2

3(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16

b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共

线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.

【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的

动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1

2

时，则PA •(PB ＋PC )的值为 .

【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，

即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1

2(AB ＋AC )，

所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ，

所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，

所以PA • (PB ＋PC )＝PA •0＝0，故填0.

题型三 向量共线问题

【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.

(1)若AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；

(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.

【解析】(1)证明：因为AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ， 所以AB ， BD 共线.又因为它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线. (2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，

所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .

因为a 与b 是不共线的两个非零向量，

所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2

－1＝0，所以k ＝±1.

【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

【变式训练3】已知O 是正三角形BAC 内部一点，OA +2OB +3OC =0，则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（ ）

A.32

B.23

C.2

D.13

【解析】如图，在三角形ABC 中， OA ＋2OB ＋3OC ＝0，整理可得OA ＋OC ＋2(OB ＋OC )＝0.令三角形ABC 中AC 边的中点为E ，BC 边的中点为F ，则点O 在点F 与点E 连线的1

3

处，即OE ＝2OF . 设三角形ABC 中AB 边上的高为h ，则S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝12•OE • (h 2＋h 2)＝1

2

OE ·h ，

S △OAB ＝12AB •12h ＝14

AB ·h ，

由于AB ＝2EF ，OE ＝2

3

EF ，所以AB ＝3OE ，

所以S △OAC S △OAB ＝h h AB OE ••4

121

＝23

.故选B.

总结提高

1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，