高中数学第二章解三角形本章整合课件北师大版必修

C=1
(1)求sin C的值;
(2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.

解:(1)由已知,得 sin C+sin 2=1-cos C,


2
即 sin 2 2cos 2 + 1 =2sin 2.



由 sin 2≠0,得 2cos 2+1=2sin 2,


1
即 sin 2-cos 2 = 2.
船均相互鸣笛问好.一天,海面上离乙方船只A的正北方向100 n mile
处有一甲方船只B正以每小时20 n mile的速度沿北偏西60°的方向
行驶,而乙方船只A以15 n mile/h的速度向正北方向行驶.若两船同
时出发,问几小时后,两船鸣笛问好?
解:如图,设经过 x h 后,B 船到达 D 处,
A 船到达 C 处,BD=20x n mile,BC=(100-15x) n


2
2
两边平方,得 sin 2-2sin 2cos 2+cos 2
1
=1-sin C=4,
3
即 sin C= .
4
专题一
专题二
专题三

2
(2)由 sin -cos
π
2
专题四

2
1
2
π
4
= >0,得 <

2
π
2
< ,
即 <C<π.
3
4
7
4
则由 sin C= ,得 cos C=- .
由 a2+b2=4(a+b)-8,得(a-2)2+(b-2)2=0,
答案:75°
考点1
考点2
考点3
4.(2016 全国甲高考)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos
4
5
A=5,cos C=13,a=1,则 b=
.
4
5
解析:因为 cos A=5,cos C=13,且 A,C 为△ABC 的内角,
3
12
所以 sin A=5,sin C=13,sin B=sin[π-(A+C)]=sin (A+C)
则 a=2,b=2.
由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C
2
2
=2 +2 -2×2×2× -
7
4
=8+2 7,所以 c= 7+1.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练3 在△ABC中,sin2A=sin Bsin C.
π
若 A=3,求 B 的大小;



解:因为 sin2A=sin Bsin C,且sin = sin = sin,
专题二 三角形中的范围与最值问题
解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路,一是
通过正弦定理或余弦定理将问题转化为边的关系,利用代数方法求
解;二是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为角的关系,利用三
角中的方法求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
【例3】已知在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取
答案:2 7
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练2 (1) 已知在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的
△ABC有两解,则BC边的长度的取值范围为
.

(2)已知在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则 cos 的值等
于
,AC的取值范围为
.
专题一
专题二
专题三
专题四

sin
解析:(1)由正弦定理知
0°< 2 < 90°
,
因为△ABC 为锐角三角形,所以
0°< 180°
-3 < 90°
,
所以
2
3
30°<θ<45°,于是 2 <cos θ< 2 ,
所以 AC=2cos θ∈( 2, 3).
答案:(1)(2,4) (2)2 ( 2, 3)
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 三角形中的综合问题
正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理,应用极为广泛,
C(sin A+cos A)=0,因为 sin C>0,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1,因为
3π


A∈(0,π),所以 A= 4 .由正弦定理sin = sin,得
π
所以 C=6,故选 B.
答案:B
2
2
1
3π = sin,即 sin C=2,
sin 4
考点1
考点2
考点3
值范围是(
)
A. 0,
π
6
B.
π
,π
6
C. 0,
π
3
D.
解析:由已知及正弦定理得a2≤b2+c2-bc,
由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A,
1
2
所以 b2+c2-2bccos A≤b2+c2-bc,即 cos A≥ .
又因为 0<A<π,所以 A 的取值范围为 0,
答案:C
π
3
.
π
,π
63
=sin Acos C+cos Asin C=65.


sin
21
又因为sin = sin,所以 b= sin = 13.
21
答案:13
考点1
考点2
考点3
2π

5.(2016 北京高考)在△ABC 中,A= 3 ,a= 3c,则 =
.
2π
sin 3
sin

解析:由正弦定理知
= = 3,即 sin C=
专题二
专题三
专题四
【例 1】△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 asin

2
Asin B+bcos A= 2a,则 =(
)
A.2 3
B.2 2
C. 3
D. 2
解析:由正弦定理,得 sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,
即 sin B·(sin2A+cos2A)= 2sin A,所以 sin B= 2sin A.
=

,所以
sin
·sin
sin
BC=
=
1
2
,
sin
因为△ABC 有两解,所以 30°<C<150°且 C≠90°,所以2<sin C<1,
2
∈(2,4).
sin
故 BC=


(2)设 A=θ,则 B=2θ.由正弦定理得sin2 = sin,

1

所以2sincos = sin,所以cos=2,即 AC=2cos θ.
为
.
解析:(1)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,
又因为b=c,所以a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A).
由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,
π
4
因为 A∈(0,π),所以 A= .
专题一
专题二
专题三
专题四

(2)方法一:根据
它将三角形的边和角有机地联系起来.正弦定理、余弦定理不但为
求与三角形有关的量,如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了
理论基础,而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重
要依据.
专题一
专题二
专题三
专题四

【例5】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin C+cos -sin 2.
B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则 C=(
π
A.12
π
C.4
)
π
B.6
π
D.3
解析:由题意结合三角形的内角和,可得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos
C)=0,整理得 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则 sin
所以 AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin(120°-A)+4sin A
=2(sin 120°cos A-cos 120°sin A)+4sin A
= 3cos A+5sin A=2 7sin(A+φ)
其中 sin =
3
,cos
2 7
=
5
2 7
,
所以 AB+2BC 的最大值为 2 7.
2.(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos
B=acos C+ccos A,则B=
.
解析:由题意和正弦定理,可得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos
1
π
A=sin(A+C)=sin B,即 cos B=2.又因为 B∈(0,π),所以 B=3.
13
.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练4 如图,地面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,
在地面上取一基线AB,AB长20 m,在A处测得点P的仰角
∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得
∠AOB=60°,则旗杆的高度为(
)
A.20( 3 − 2) m
C.
20
B.
20
m
4- 2
则在△BCD 中,由余弦定理,
20
mile,0<x< 3 ,
得 DC2=(20x)2+(100-15x)2-2·20x·(100-15x)·cos 120°
=325x2-1 000x+10 000
20 2
10 000
20
=325 - 13 +10 000- 13 0 < < 3
20
所以 h 后,两船相距最近,可鸣笛问好.
4
得 ab= ,故选 A.
3
答案:A
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练1 (1)(2016山东高考)△ABC中,角A,B,C的对边分别是
a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=(
)
3π
A.
4
π
B.
3
π
C.
4
πBiblioteka Baidu
D.
6
(2)已知在△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积


所以 =
答案:D
sin
sin
= 2,故选 D.
专题一
专题二
专题三
专题四
【例2】若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,
且C=60°,则ab的值为(
)
A.
4
3
B.8-4 3
C.1
D.
2
3
( + )2 - 2 = 4,
解析:依题意,得 2
两式相减,
2 2
+ - = 2cos60°= .
sin
得 sin

C= sin

=

,
sin
5
3
B= ×
7
2
=
5 3
,cos
14
C= 1-
5 3
14
2
=
所以 sin A=sin[π-(B+C)]=sin Bcos C+cos Bsin C
3 11 1 5 3
3 3
× − ×
=
.
2
14 2
14
14
1
因此 S△ABC= AB·AC·sin A
D.10( 3 + 2) m
m
4- 3
解析:由题意,得 AO= 3h m,OB=OP=h m.在△AOB 中,由余弦定
理,得 AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB,即 400=3h2+h2-2 3h2cos
60°,解得 h=
20
.
4- 3
答案:C
考点1
考点2
考点3
考点1 正弦定理
1.(2017 全国 1 高考)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin
6
专题一
专题二
专题三
专题四
【例4】已知在△ABC中,B=60°, AC= 3 ,则AB+2BC的最大值
为
.
解析:因为 B=60°,A+B+C=180°,所以 A+C=120°.

由正弦定理,得sin
=

sin
=
所以 AB=2sin C,BC=2sin A,

sin
=
3
=2,
sin60°
2
1
3 3
15 3
= ×7×5×
=
.
2
14
4
=
方法二:由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,
即 49=25+BC2+5BC,所以 BC=3.
1
2
15 3
.
4
由面积公式,得 S△ABC= AB·BCsin B=
15 3
4
答案:(1)C (2)
11
,
14
专题一
专题二
专题三
专题四
π
所以 a2=bc,又因为 a2=b2+c2-2bccos A,A=3,
1
所以 a2=b2+c2-2bc×2=b2+c2-bc=bc,所以(b-c)2=0,所以 b=c.
π
π
因为 A=3,所以△ABC 为等边三角形,所以 B=3.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 解三角形的实际应用
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常见的
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 三角形中的基本计算问题
在三角形问题中,绝大多数是关于三角形的边、角以及面积等的
计算问题,这是高考对解三角形考查的主要形式.求解这类问题时,
可以直接利用正弦定理、余弦定理、面积公式进行求解计算或者
利用正弦、余弦定理,通过边与角的互化,对已知条件进行变形、
转换再求解.
专题一
π
答案:3
考点1
考点2
考点3
3.(2017 全国 3 高考)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
C=60°,b= 6,c=3,则 A=

sin
解析:由正弦定理得
即 sin
sin
B=

=
3
=
6× 2
3
=
.

,
sin
2
.
2
因为 b<c,所以 B<C,
所以 B=45°,故 A=180°-B-C=75°.
sin

3
π
2π π
π

可得 C=6,∴B=π- 3 − 6 = 6,∴b=c,即 =1.
答案:1
=
1
,又
2
a>c,
考点1
考点2
考点3
6.(2016 江苏高考)在△ABC 中,AC=6,cos
有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题,解决的基本思路
是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发
现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个
定理求解,并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.
专题一
专题二
专题三
专题四
【例6】在某海峡海域内,当甲方船只与乙方船只相距最近时,两