电磁学第五章习题课

第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
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a
电磁学
习题课 作业: 5-40 预习:§6.1, §6.2
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
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电磁学
习题课
第五章 习题课
第五章 随时间变化的电磁场 麦克斯韦方程
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电磁学
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一、本章重要内容回顾
1.电磁感应
d Φm 电磁感应定律 dt 楞次定律
感应电流的方向总是反抗引起感应电流的原因 2.动生电动势 3.感生电动势
(v B) d l
L
B E k d l d S L S t
磁场能量 7.位移电流 位移电流密度 E jD 0 t
位移电流 E ID 0 d S S t
4
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电磁学
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8.真空中的麦克斯韦方程组 电磁场的普遍规律,它预言了电磁波的存在.
1) 1 E d S
2)
3)
4)
E CB dl 0 I C 0 0 S t d S （全电流定律）
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B E d l S t d S （法拉第电磁感应定律） B d S 0 （磁场的高斯定理）
I R IR
得
8
电磁学
习题课 例2(习题5-21)两根足够长的平行直导线，横截面 的半径都是a=10mm，中心相距为d=20cm，载有 大小相等方向相反的电流I =20A，设两导线内部 磁通量可忽略不计。计算每单位长度的自感系数。
解
设通过两直导线间长为l 面积的磁通量为 Φm 。 取如图所示的坐标系, 面元 d S l d x ,则 Φm B d S






1 BR 2 N π BR 2 2
R


（2）在外电路由b a b （3） d r d F r (I d l B) r (I d r B) IBr d re R 1 2 IB r d re IBR e 0 2
习题课

B






R

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电磁学
习题课 解 （1）求a、b间的感应电动势 R R R Ek d l (v B) d l vB d l
0 0 0

B
I
导线环
管
I
解 （1）长直螺线管内的磁感强度
B 0nI 0nI0 sin t
磁通量
Φm BS 0 π r 2nI0 sin t
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电磁学
导线环上的感生电动势 d Φm Ek d l L dt
习题课
Ek 2 π 2r 0 π r 2nI0 cost 1 Ek 0 π rnI 0 cos t 4
由自感系数的定义可得
L Φm
d a I ln π a
0l
单位长度的自感系数为
d a L0 L l ln π a
0
第五章 随时间变化的电磁得
4 π107 20 1 L0 ln 1.2 106 H 1.2 μH π 1
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电磁学
习题课 例6 如图所示,半径为 r的长直密绕空心螺线管，单 位长度上绕线匝数为 n ，所加交变电流为I I 0 sin t。 今在管的垂直平面上放置一个半径为 2 r ，电阻为R 的导线环，其圆心恰好在螺线管的轴线上。求
（1）导线环上涡旋电场 Ek 的值，并在图中画出其 正方向； 管 I （2）导线环上感应电流 I i ； （3）导线环与螺线管之间 的互感系数 M 。 (北京航空航天大学2000年硕士 学位研究生入学试题)
C

O1
B


D
4 V 2 2 V 2
O2
B
84 0.5 A 2 4
D
由全电路欧姆定律得
I
AB CD
2 RAB
由一段含源电路欧姆定律 a b
UO1O2 UO1 UO2 (0.5 2 0.5 2) (4 2) 0
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电磁学
习题课 课堂练习
试论证：平行板电容器充电时，坡印廷矢量 S 指向
电容器内部;放电时，坡印廷矢量 S 指向电容器外 部。其物理意义是什么？ I 论证： + + + + + E向下 E向下 1 B垂直纸 S E B B垂直纸 S S 0 面向里 - - - - 面向外
（2）导线环上的感应电流
0 π r 2 nI0 cost Ii R R
（3）穿过导线环的磁通量为 Φm ，则 Φm 2 M 0 n π r I
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电磁学
例7 (习题5—4) B 正好充满转轮的区域，如图 所示，轮轴与磁场平行。只有 一根辐条的轮子在磁感强度 B 的均匀外磁场中转动，轮子与 导体，辐条长为R，轮子每秒转 N圈。两根导线a和b通过各自的 刷子分别与轮轴和轮边接触。 （1）求a、b间的感应电动势 a （2）求在a、b间接一个电阻 ， b 若使辐条中的电流为I ，问I 的 方向如何？ （3）求这时磁场作用在辐条上 的力矩的大小和方向。
解
A



C
AB Blv1 2 1 4 8(V)
CD Blv2 2 1 2 4(V)
( B A)
(D C)
7
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A



C
O2

A
v1


O1 v 2





等效电路图
4V

2 2 V 2
d Ψ 12 d I2 12 M dt dt
3
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习题课 6.磁场能量 自感磁能 互感磁能
1 2 W自 LI 2
W互 MI1I 2
1 B2 wm 2 0
1B Wm wm d V dV V V 2 0
2
磁能密度
导线环
I
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【思路分析】
由于穿过半径为 2 r 的的导 线环的磁通量 Φm 随时间 t 而改变,所以导线环上有感 生电动势 和感应电流 I i 。 可以先由 Ek d l d Φm d t 求出感生电动势,然后再求 出感应电流及互感系数 M 。
I
物理意义： 电容器充电时，电磁场的能量从外面流入电容器内。
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电磁学
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1 S EB
0
B垂直纸 面向外
S
E向下 +

I
+ + +
+ E向下

-
S B垂直纸
-
I
- 面向里
物理意义： 电容器放电时，电磁场的能量从电容器内向外流。

d a a
I
d Φm
I
o
xd x
l
x
0 I 0 I 2 π x 2 π(d x) l d x
d
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Φm
0 Il
μ0 Il d a ln π a
d a d a ln ln 2π a a
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电磁学
习题课 例1 (习题5-9)

如图，AB、CD为两均匀金属 棒，各长1m，放在均匀稳恒 2 v1 O1 v 2 O 磁场中，磁感应强度B=2T， B D 方向垂直纸面向外，两棒电 阻为 RAB RCD 4 。 v1 4 ms1 , v2 2 ms1 当两棒在导轨上分别以 向左匀速运动时（忽略导轨的电阻，且不计导轨与 棒之间的摩擦），试求：两棒中点 O、O2 之间的 1 电势差 U O1O2 ?
2
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4.自感
自感系数
自感电动势
5.互感 互感系数 互感电动势
dI l L dt
Ψm L I
Ψ 21 M 21 I1
Ψ 12 M 12 I2
M 21 M 12 M
d Ψ 21 d I1 21 M dt dt
S
0
q
i
（电场的高斯定理）
电磁学
习题课 9.能流密度
单位时间内通过垂直能量传播方向的单位面积的能量。 1 S EB 对于平面电磁波
0
1 B2 1 E2 2 2 2 w ( 0 E ) ( 0 E ) 0E 2 2 0 2 0 c
1 2 S EB E c 0 E 2 cw 0 0 c