2021-2022学年广东省深圳市福田区莲花中学九年级(上)开学数学试卷及答案解析

2021-2022学年广东省深圳市福田区莲花中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠B＝30°，则sin C＝（）
A．B．C．D．
2．抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（）
A．（0，﹣9）B．（﹣3，0）C．（﹣9，0）D．（3，0）
3．下列说法中不正确的是（）
A．矩形的对角线互相垂直且相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形
D．正方形的对角线相等
4．若关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣1＝0有一个根是0，则m的值为（）
A．1B．﹣1C．2D．0
5．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与AC的比是（）
A．3：2B．3：5C．9：16D．9：4
6．中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）＝2450B．x（x﹣1）＝2450
C．2x（x﹣1）＝2450D．x（x﹣1）＝2450
7．在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标为（）
A．（﹣4，8）B．（4，﹣8）
C．（﹣4，8）或（4，﹣8）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
8．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
9．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（）
A．11B．13C．24D．30
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），下列结论正确的是（）
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③3a+b＞0；⑤对于任意m都有a+b≥am2+bm．
A．①②⑤B．②③④C．②④D．②④⑤
二、填空题（共5小题，每小题0分，满分0分）
11．若，则＝．
12．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是．13．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝6m，
则建筑物CD的高是m．
14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝．
15．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过△ABD的顶点A，B，交BD于点C，AB 经过原点，点D在y轴上，若BD＝4CD，△OBD的面积为15，则k的值为．
三、解答题（共7小题，满分0分）
16．计算：2cos30°+|﹣2|﹣（π﹣2020）0﹣（）﹣1．
17．解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0；（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
18．为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程．为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为人，扇形统计图中A部分的圆心角是度；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？
（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）
19．商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大利润是多少？
20．如图所示，某船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在点A测得岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛C在北偏东30°方向上，已知该岛周围18海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
21．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A（﹣2，0），点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
取得最大值时，求点（2）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S
△MBC
M的坐标；
（3）在直线的上方，抛物线是否存在点M，使四边形ABMC的面
积为15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省深圳市福田区莲花中学九年级（上）开学
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据直角三角形的性质求出∠C，根据60°的正弦值是解答．【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sin C＝sin60°＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2．【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可得出抛物线的顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝x2﹣9的顶点坐标是（0，﹣9）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）是解题的关键．
3．【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可判断．
【解答】解：A、矩形的对角线互相平分且相等，故A错误．
B、平行四边形的对角线互相平分，故B正确．
C、四条边相等的四边形是菱形，故C正确．
D、正方形的对角线相等，故D正确．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形，解题的关键正确理特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型．
4．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入x2+2x+m﹣1＝0得m﹣1＝0，然后解关于m的一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝0代入x2+2x+m﹣1＝0得m﹣1＝0，解得m＝1，
即m的值为1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
是一元二次方程的解．
5．【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，AD＝3，BD＝2，
∴＝＝＝，
∴AE与AC的比是3：5，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．【分析】根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x＝2450．
【解答】解：根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，全班有x名学生，
所以全班发送的祝福为：（x﹣1）x＝2450，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键．
7．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．即可求得答案．
【解答】解：∵△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，
∴点A的对应点C的坐标为：（﹣4，8）或（4，﹣8）．
故选：C．
【点评】此题考查了位似变换与坐标的关系，正确掌握位似图形的性质是解题关键．8．【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D 符合；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的
取值确定函数所在的象限．
9．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黑球x个，
由题意得：＝0.2，
解得：x＝13，
经检验x＝13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．【分析】①由函数图象可判断a，b，c的符号，则①是否正确即可判断；
②由抛物线的对称轴为直线x＝1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用
图象即可对于选项②作出判断；
③根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b＝﹣2a，将
其代入（3a+b），并判定其符号；
④根据两根之积＝﹣3，得到a＝﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来
求a的取值范围；
⑤利用二次函数的性质可对⑤进行判断．
【解答】解：由函数图象可a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴当x＝3时，y＝0，
即9a+3b+c＝0，故②正确；
根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
＝﹣3，则a＝﹣．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣，故④正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c．
即a+b≥am2+bm，所以⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象以及给定条件逐个分析5条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．
二、填空题（共5小题，每小题0分，满分0分）
11．【分析】根据已知条件得出x＝y，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：∵，
∴x＝y，
∴＝＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，较简单．12．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，
所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．【分析】直接利用已知得出△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：由题意可得：BE∥DC，
则△ABE∽△ACD，
故＝，
∵标杆BE高1.5m，AB＝2m，BC＝6m，
∴＝，
解得：DC＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．14．【分析】连接AC交BD于点G，连接AO，根据菱形的性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出OE+OF的值．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝＝＝6，
＝S△AOB+S△AOD，
∵S
△ABD
即BD•AG＝AB•OE+AD•OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质和三角形面积公式．
15．【分析】连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．根据题意设C（m，），则B（4m，
＝S梯形CEFB，用k表示S△OBC，由BD＝4CD，△OBD的面积为15，求），证明S
△OBC
进而列出k的方程，即可解决问题．
得S
△OB
【解答】解：连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．
根据题意设C（m，），则B（4m，），
＝S四边形OCBF﹣S△OBF＝S四边形OCBF﹣S△OEC＝S梯形CEFB，
∵S
△OBC
＝（﹣﹣）•（4m﹣m）＝﹣k，
∴S
△OBC
∵BD＝4CD，△OBD的面积为15，
∴，
∴，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共7小题，满分0分）
16．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+2﹣﹣1﹣3
＝+2﹣﹣1﹣3
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．【分析】（1）利用因式分解法求解可得答案；
（2）利用因式分解法求解可得答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x（x﹣3）＝x﹣3，
∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝1、x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．【分析】（1）根据：该项所占的百分比＝，圆心角＝该项的百分比×360°．两图给出了D的数据，代入即可算出调查的总人数，然后再算出A的圆心角；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“科学探究”的人数，再补全条形图；
（3）根据：喜欢某项人数＝总人数×该项所占的百分比，计算即得；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为24÷40%＝60（人），扇形统计图中A部分的圆心角是360°×＝36°，
故答案为：60、36；
（2）B课程的人数为60﹣（6+18+24）＝12（人），
补全图形如下：
（3）估计最喜欢“科学探究”的学生人数为400×＝80（人）；
（4）画树状图如图所示，
共有12种等可能的结果数，其中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为2，∴他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
19．【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：日盈利＝每件商品的盈利×可卖出商品的件数，把相关数值代入并配方成顶点式，再结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意，可得商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（60﹣x）元．故答案为：2x；（60﹣x）；
（2）令商场日盈利为w元，
则w＝（60﹣x）（80+2x）
＝﹣2x2+40x+4800
＝﹣2（x﹣10）2+5000，
当x＝10时，w取得最大值5000，
答：每件商品降价10元时，商场日盈利可达到5000元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系并正确列式，是解题的关键．
20．【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM＝x，根据题意和特殊角的三角函数值求出AM和BM的值，从而求出x的值，再与18海里进行比较即可得出答案．
（2）根据（1）求出CM的值，再与18进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点C作CM⊥AB于M，设CM＝x，
∵∠CAM＝30°∠CBM＝60°，
∴AM＝x，BC＝x，BM＝x，
由题意知：x﹣x＝×40，即x﹣x＝20，
解得：x＝10（海里），
∴BC＝×10＝20＞18，
∴点B在暗礁区域之外；
（2）由（1）知：CM＝x＝10≈17.32＜18，
故继续向东航行有触礁的危险．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是特殊角的三角函数值、方向角问题，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．
21．【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），故﹣8a＝4，即可求解；
＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，即可求解；
（2）S
△MBC
+S△BCM＝6×4+（﹣x2+4x）＝15，即可求解．（3）四边形ABMC的面积S＝S
△ABC
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点M（x，﹣x2+x+4），则点H（x，﹣x+4），
S△MBC＝MH×OB＝2（﹣x2+x+4+x﹣4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，此时点M（2，4）；
+S△BCM＝6×4+（﹣x2+4x）＝15，（3）四边形ABMC的面积S＝S
△ABC
解得：x＝1或3，
故点M（1，）或（3，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、面积的计算等，本题是基本题，难度不大．。