大一高数课件一阶线性微分方程07

x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
e ln
x dx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
例2 求解微分方程
dy y cos x esin x dx
解 P(x) cos x Q(x) esin x
y e cos xdx [ e sin x e cos xdx dx C] e sin x [ e sin x esin x dx C]
dz 1 z2 dx
dz 1 z2
dx
arctan z x C
故原方程通解为
arctan(x y) x C
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
一阶线性微分方程的解法
分离变量得 u ln(u 1) x C ,
将 u x y 代回
y ln(x y 1) C
另解 方程变形为 dx x y. dy
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xe
1 2
x2
dx
C
]
e [2e 1 x2
1 x2
2
2
C]
2
Ce
1 2
x2
三、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx 当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
x
得
u x du u tan u dx
即 分离变量，得
x du tan u dx
cot udu dx x
两边积分，得
ln sin u ln x ln C
sin u Cx
sin y Cx x
例4
求微分方程
y
y x
x y
, y(1) 2 的特解．
解令
y u x
代入方程中，得
u x du 1 u dx u
udu dx x
2udu 2dx x
u 2 2ln x C
y2 x2
2ln x C
把初始条件 y |x1 2 代入上式，得 C 4
于是齐次方程的特解为 y2 2x2 ln x 4x2
例5 求解方程 dy (x y)2
dx
解 令 z x y 则 dz 1 dy
dx dx
代入原方程得
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x
)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2. 非齐次方程
dy P( x) y Q( x). dx
如果 P(x) 和 Q(x) 不成比例，非齐次方程 就不是可 分离变量的方程． 用所谓的常数变易法来求线性非齐次方程 的通解．
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2
xdx,
ln y x2 ln C
y ce x2为所求通解.
例2
求微分方程
dy dx
x xy2 y yx2
满足初始条件 y |x0 2
的特解． 解 原方程可化为
y dy x dx
1 y2
1 x2
两边积分得
1 ln(1 y 2 ) 1 ln(1 x 2 ) 1 ln C
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
esin x (x C)
例3 若
x
tf
(t)dt
f
(x)
x2
求
f (x)
0
解 利用上限函数的性质，两边求导得：
xf (x) f (x) 2x 且 f (0) 0 令 y f (x)
xy y 2x
y xy 2x
y
e
xdx
[
(2x)e (x)dx dx C]
e
1 2
x2
[
2
两端除以 y n，得
yn dy P( x) y1n Q( x), dx
1 dy1n P(x) y1n Q(x) 1 n dx
令z y1n ,
dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
解 同除以yn，得
1 dy 4 y x2 , y dx x
d 2
y 4
y x2
dx x
d y 2 y x2
dx x
2
令 z y,
dz 2 z 1 x2 , dx x 2
解得 z x2 x C , 2
即
y
x4
x 2
C
2 .
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy 2xy2 xex2 ;
2
2
2
ln(1 y 2 ) ln(1 x 2 ) ln C
1 y 2 C(1 x 2 )
由初始条件 y |x0 2 得 C 5 故方程的特解
y2 5x2 4
齐次微分方程
即形y解如u这x 类，ddyx方将程y(，xy)u可的x 先方两进程边行称对变为x量齐求代次导换微数，分，令方有程u ．xy
一、可分离变量的微分方程
形如 dy f (x)g( y) 的微分方程叫可分离变量
dx
的微分方程。 这类方程的解法是：首先把原方程改写成
即把变量
dy f (x)dx g( y)
(g( y) 0)
x 和 y 分离开来，然后两边积分
dy g( y)
f
( x)dx
即可得到原方程的通解
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解
dy2 2xy2 xex2
dx
令 z y2得 :
dz 2xz xex2 , dx
z
e
2 xdx
[
xe x2 e 2 xdxdx C ]
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 原式可化为
y
x
dy dx
1 sin2 (xy)
dy u x du
dx
dx
代入微分方程得 u x du (u)
dx
分离变量后
du dx
(u) u x
两边积分
du (u)
u
dx x
求出积分后，再用 y 代替 u 便得到原齐次方程通解
x
例3 求微分方程 dy y tan y 的通解． dx x x
解 这是一个齐次微分方程，令 u y
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
作变换 y u( x)e P( x)dx
y
u(
x)e
P( x) dx
u( x) P( x)e P( x)dx ,
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
令 z xy, 则 dz y x dy ,
dx
dx
dz dx
1 sin 2
z
,
分离变量得 2z sin 2z 4x C ,
所求通解为 2xy sin(2xy) 4x C .
3. dy 1 ; dx x y
解 令 x y u, 则 dy du 1, dx dx
代入原式 du 1 1 , dx u