《经济数学微积分》教学大纲

《经济数学微积分》教学大纲
课程英文名称：
课程代码：
课程类别：专业基础课
开课时间：1、2
总学时：70+54
总学分：4.5+3.5
考核方式：平时考核（30%）+期中考核（20%）+期末考核（50%）
先修课程：中学数学
适用专业：经济、管理类本科专业
开课单位：
一、课程概述
本课程是高等学校经济、管理类本科各专业学生的一门重要的专业基础课，其内容在经济和社会领域有着广泛的应用。

本课程的内容建立在中学数学的基础上，为学习后续数学课程和专业课程的打下必要的数学基础。

主要内容包括函数、极限和连续、一元函数微积分、多元函数微积分、微分方程和差分方程、无穷级数六章，共124学时，分（一）（必修70学时）和（二）（选修54学时）两学期开设。

本课程的考核成绩由平时（包括作业（网络教学）、考勤、课堂提问、单元考核）（占30%）、期中（占20%）和期末（占50%）三部分考核成绩构成。

二、课程目标
（一）知识目标
使学生获得函数、极限与连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、微分方程与差分方程、无穷级数等方面的基本概念、基本运算技能和基本思想方法。

（二）能力目标
培养学生具有一定的数学运算能力、推理能力、分析问题和解决问题的能力，利用高等数学的思想方法处理实际问题的能力。

培养学生自主学习的能力、反思和质疑的能力。

（三）素质目标
培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。

激发学生对数学的兴趣，调动学生学习数学的积极性，引发学生的数学思考，提高对数学价值的认识。

培养学生的理性思维，鼓励学生的创造性思维。

激发学生的自信心，培养学生克服困难的勇气和毅力。

三、课程内容与要求
1. 学时分配表
2. 教学内容和要求
第一章函数、极限与连续
教学内容：
第一节函数的概念和性质
第二节反函数与复合函数
第三节常用的经济函数介绍
第四节数列、函数的极限
第五节无穷小与无穷大
第六节极限的运算法则
第七节极限存在准则与两个重要极限
第八节函数的连续性
教学要求：
1. 理解函数的概念，掌握函数的几何性质，会求函数的定义域，会建立应用问题的函数关系。

2. 理解反函数、复合函数的概念，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解基本初等函数、初等函数的概念。

3. 掌握常用的经济函数的含义、数学表达，会建立简单实际问题中的数学模型。

4. 理解极限的描述性概念和性质、函数左右极限的概念及其关系。

5. 掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求简单复合函数的极限。

6. 了解极限存在的两个准则，会用两个重要极限求极限。

7. 理解无穷小的概念和性质，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系；理解无穷小阶的概念；会用无穷小的性质和等价无穷小求极限。

8. 理解函数连续的概念；了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

9. 了解初等函数的连续性，并会用初等函数的连续性求极限。

10. 理解闭区间上连续函数的最值定理、介值定理、零点定理，并会应用这些性质。

教学重点与难点：
重点：极限的计算方法、函数连续性的判断
难点：复合函数的分解、极限的概念、极限的计算方法
第二章一元函数微分学——导数、微分及其应用
教学内容：
第一节导数的概念
第二节导数的运算
第三节导数在经济学中的简单应用
第四节函数的微分
第五节微分中值定理
第六节洛比达法则
第七节函数的单调性、极值与最值
第八节曲线的凹凸性、拐点及函数作图
教学要求：
1. 理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

2. 了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达实际中一些量的变化率。

3. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

会求的复合函数导数。

4. 掌握隐函数的求导方法、反函数的求导法则和对数求导法。

5. 了解高阶导数的概念，会简单函数的一阶、二阶导数。

6. 理解边际、弹性的经济含义，会计算经济函数的边际和弹性，会对经济函数进行边际分析和弹性分析。

7. 了解微分的概念，微分的几何意义，导数与微分的关系；掌握微分的运算法则和公式；会用微分进行简单的近似计算。

8. 理解并会用罗尔定理和拉格朗日中值定理解决相关问题，了解柯西中值定理。

9. 会用洛必达法则求未定式的极限。

10. 掌握用导数判断函数的单调性、函数图形的凹凸性的方法，会求函数曲线的拐点和渐近线。

11. 了解函数的极值概念，掌握用导数求极值的方法。

会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。

教学重点与难点：
重点：导数、微分的概念，导数、微分的计算，利用导数研究函数的性态，洛必达法则
难点：边际和弹性分析，用微分进行近似计算
第三章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用
教学内容：
第一节不定积分的概念和性质
第二节不定积分的换元积分法
第三节不定积分的分部积分法
第四节定积分的概念
第五节定积分的性质
第六节微积分基本定理
第七节定积分的换元积分法与分部积分法
第八节反常积分
第九节定积分的几何应用与经济应用
教学要求：
1. 了解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质。

2. 掌握不定积分的基本公式以及不定积分的换元法与分部积分法，会用基本方法求一些函数的不定积分。

3. 了解定积分的概念，掌握定积分的几何意义和经济意义。

4. 了解定积分的性质和积分中值定理。

5. 理解原函数存在定理的本质，会求积分上限函数的导数。

6. 掌握微积分基本公式，掌握定积分的换元法与分部积分法。

7. 了解两类反常积分及其收敛性的概念，会计算反常积分。

8. 了解Γ函数的定义，会进行相关计算。

9. 了解微元法，会用定积分解决平面图形面积、立体体积和简单的经济应用问题。

教学重点与难点：
重点：不定积分、定积分的计算，定积分的应用
难点：不定积分的换元积分法和分部积分法，反常积分
第四章多元函数微积分学
教学内容：
第一节空间解析几何基础知识
第二节多元函数的概念
第三节偏导数及其应用
第四节全微分及其应用
第五节多元复合函数与隐函数的求导公式
第六节多元函数的极值及其应用
第七节二重积分的概念和性质
第八节直角坐标系下二重积分的计算
第九节极坐标系下二重积分的计算
教学要求：
1. 了解空间直角坐标系的有关概念；了解常见空间曲面的方程及其图形；了解空间曲线的一般方程及在坐标面上的投影曲线的方程。

2. 了解平面区域的相关概念；了解二元函数的概念及几何意义，了解多元函数的概念。

3. 了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

4. 了解二元函数偏导数的概念和几何意义，掌握求偏导数的方法；了解高阶偏导数的概念，掌握求二阶偏导数的方法。

5. 理解偏导数的经济意义，会进行偏边际分析和偏弹性分析。

6. 了解二元函数全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件，会求多元函数的全微分，了解全微分在近似计算中的应用。

7. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求简单复合函数的二阶偏导数，了解抽象复合函数偏导数的求法。

8. 会求由一个方程确定的隐函数的一阶、二阶偏导数。

9. 了解二元函数极值与条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件；会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

10. 了解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质。

11. 掌握直角坐标下二重积分的计算方法，会利用交换积分次序计算二重积分；了解极坐标系的
相关概念，掌握常见平面曲线的极坐标方程；掌握极坐标下二重积分的计算方法；了解无界区域上反常二重积分的概念，会进行相关计算。

教学重点与难点：
重点：偏导数、全微分的计算，二元函数的极值、最值和条件极值，二重积分的计算
难点：偏导数存在、连续、可微间的关系，二元函数的最值问题，二重积分的计算
第五章微分方程与差分方程
教学内容：
第一节微分方程的基本概念
第二节一阶微分方程
第三节二阶常系数线性微分方程
第四节差分方程
第五节差分方程的求解
教学要求：
1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；了解线性微分方程的概念，会辨别微分方程是否线性。

2. 掌握可分离变量的微分方程、齐次微分及一阶线性微分方程的解法。

3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解线性微分方程解的结构，会求二阶常系数非齐次线性微分方程。

4. 了解差分和差分方程的概念，会求一阶、二阶常系数线性差分方程。

5. 会通过建立微分方程、差分方程模型，解决一些简单的实际问题。

教学重点与难点：
重点：可分离变量、一阶线性微分方程的求解，二阶常系数线性微分方程的求解，一阶常系数线性差分方程的求解
难点：齐次微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解
第六章无穷级数
教学内容：
第一节常数项级数的概念和性质
第二节正项级数及其审敛法
第三节任意项级数敛散性的判别
第四节幂级数
第五节函数的幂级数展开
教学要求：
1. 了解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握无穷级数的性质及级数收敛的必要条件。

2. 掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式；掌握几何级数与p-级数的敛散性；掌握正项级数的比值审敛法，了解正项级数的根值审敛法。

3. 了解交错级数的莱布尼茨定理，会判定交错级数的收敛性。

了解绝对收敛与条件收敛的概念，
会判别任意项级数收敛是绝对收敛还是条件收敛。

4. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间、收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的性质，会求幂级数的和函数。

5. 了解泰勒公式、麦克劳林公式及其作用；了解泰勒级数、麦克劳林级数，会利用x e，sin x，cos x，ln(1)x
+的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

+与(1)xα
教学重点与难点：
重点：级数收敛的概念和必要条件，正项级数审敛法，幂级数的收敛域与和函数
难点：级数敛散性的判别，幂级数的和函数的求法，函数的幂级数展开
四、教学建议
（一）方法手段
本课程主要采用讲授法和讨论法，并辅之以多媒体教学和网络教学等手段。

讲授法，主要用于课程基本概念、法则和定理、基本方法和例题讲解中，要注意学生的知识基础和思维水平，采用启发式，激发学生的思考，并注重数学学习方法的指导。

讨论法，主要用于课程中易错、易混淆的内容或某个问题有多种解法的情形，鼓励学生发现问题、提出问题，在讨论中，要注意对全体学生参与讨论的积极性的调动。

多媒体教学，主要用于课堂上一些难以表现的图形或动态效果，在本课程中，建议在第一章极限概念部分和第四章多元微积分使用多媒体教学，以加深对极限概念的理解和帮助学生形成空间观念。

网络教学，本课程配有全程的课程内容短视频，在使用的教材中配有对应视频的二维码，可以让学生直接扫码观看视频，也可以让学生在学校网络学习平台观看并完成相应的习题。

采用网络教学的目的在于为学生预习和复习提供帮助，使用网络平台还可以及时把握学生的学习进程和对内容的掌握情况，也方便教师和学生之间的沟通和课后辅导，网络学习成绩可以根据需要加入平时考核成绩中。

（二）考核评价
本课程的考核方式为平时+期中+期末考核，其中平时考核包括作业（网络学习）、考勤、课堂提问和单元考核，占总成绩的30%，期中考核占总成绩的20%，期末考核占总成绩的50%。

如采用平台进行网络学习，作业在网络提交。

（三）习题课
本课程共安排18学时习题课，具体内容如下：
第一章习题课（2学时）
1. 函数的定义域、函数的表达；
2. 求函数的反函数；
3. 极限计算；
4. 由已知的极限条件，求其中的参数.
第二章习题课（4学时）
1. 利用导数的定义求极限的值；
2. 利用导数的定义求分段函数的导数；
3. 讨论函数在定点的连续性和可导性；
4. 利用导数、微分公式和法则求已知函数的导数或微分；
5. 由隐函数求导数和微分；
6. 利用洛必达法则求极限；
7. 利用拉格朗日中值定理证明不等式；
8. 利用函数的单调性证明不等式；
9. 研究函数的性态；
10. 求曲线的渐近线；
11. 导数的经济应用.
第三章习题课（4学时）
1. 不定积分的计算；
2. 定积分的计算；
3. 反常积分的计算；
4. 求平面图形的面积、立体的体积；
5. 积分上限函数的导数的运用；
6. 定积分的经济应用问题.
第四章习题课（4学时）
1. 二元函数的定义域、极限的求解；
2. 求函数的一阶、二阶偏导数；
3. 二元分段函数偏导数的计算；
4. 多元复合函数的偏导数和全微分计算；
5. 隐函数的偏导数与全微分计算；
6. 抽象复合函数的偏导数计算；
7. 求二元函数的极值和条件极值；
8. 二重积分的计算；
9. 利用二重积分计算立体的体积.
第五章习题课（2学时）
1. 微分方程的求解；
2. 差分方程求解；
3. 微分方程相关问题.
第六章习题课（2学时）
1. 级数敛散性的判别；
2. 求幂级数的收敛半径、收敛域；
3. 求幂级数的和函数；
4. 求函数的幂级数展开式.
（四）教材选用
杨慧卿编著. 经济数学——微积分（第3版，微课版）. 北京：人民邮电出版社，2020.吴传生主编. 经济数学——微积分（第二版）. 北京：高等教育出版社，2009.。