(完整版)第11-17届初一华杯赛试题及答案
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(b一α)和α,b都互质,一定整除K.记 是正整数, 则有
由上式和b >α,b=13,α=1,d=l所以,K=12,m和n有唯一解m=13n =156.
答:m=13n =156.
7、已知 ，则小于S的最大的整数是(0)
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:
为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是(2005)
二.解答下列各题,要求写出简要过程
9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和
BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影
②直角边为1的三角形有36×2=72（个）；斜边长是2的三角形，1-6行依次有4+4+4+3+1+4=20（个），1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个），共20+17=37（个）；直角边长是2的1-2行8个，2-3行6个，3-4行2个，4-5行8个，5-6行6个，共8+6+2+8+6=30（个）；直角边长是3的1-3行4个，3-5行2个，4-6行4个，共4+2+4=10（个）；斜边长是4的1-4行1个，2-5行2个，4-5行1个，共1+2+1=4（个）；直角边长是4的3-6行2个。共72+37+30+10+4+2=155（个）
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组)
（红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空
1、计算： （ ）
2、当 时，多项式 的值是0，则多项式 （5）
3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有(6)名小朋友
三.解答下列各题,要求写出详细过程
13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙三只蚂蚁分别从A、B、C三个点同时出发,甲和乙沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁所有的会合地点.
解:①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;
那么你能挑出这样的单项式共有个。在挑出的单项式中，将x的幂次最低的两两相乘，又得到一组单项式，将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式，那么该整式是个不同的单项式之和。
14、下图中有个正方形，有个三角形。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛，初一组试题答案
一、选择题（每小题6分，满分36分）
4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一
个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120
平方厘米,则正方形EFGH的面积等于(10)平方厘米
5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为(4012)
6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水(288)立方米
解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:
先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着:当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解.
2、有如下四个命题：
①最大的负数是－1；②最小的整数是1；
③最大的负整数是－1；④最小的正整数是1；
其中真命题有（）个
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
3、如果a，b，c均为正数，且a（b＋c）＝152，b（c＋a）＝162，c（a＋b）＝170，那么abc的值是（）
（A）672（B）688（C）720（D）750
设提速前的速度平均为V千米/小时，两市相距S千米。
S/（V+20）=10（1）
S/V=10+2（2）
由（1）（2）得V=100，S=1200
12．16，659
被加数千位是1，被加数与加数个位分别是7和9，被加数与加数十位数字之和是9，被加数百位与加数百位数字之和是9，有3+6=9与4+5=9。加法算式从右至左选择数字有2×1×4×1×2×1×1=16（种）不同填法。三位数华杯赛最大可以是659
0
-1
-2
-3
-4
第六组
-5
-6
-7
-8
-9
-10
③计算它们的平均值的和:
答:最大的和是 。
11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m=0可以得到10个关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果有,求出这些公共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.
12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36度,请说明理由.
解:①在平面上任取一点。,过O点作已知的5条直线的平行线
②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的
和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360。
10.如果 =42， ， 那么x＋y=_____
三、B组填空题（每题两个空，每个空4分）
11、列车提速后，某次列车21：00从A市出发，次日7：00正点到达B市，运行时间较提速前缩短了2小时，而车速比提速前平均快了20千米/小时，则提速前的速度平均为千米/小时，两市相距千米。
12、在算式
第十一届
＋华杯赛
13．12，9
一.⑴1 ⑵y ⑶y^2 ⑷y^3 ⑸y^4 ⑹y^5 ⑺xz ⑻xyz ⑼xy^2z ⑽xy^3z ⑾x^2z^2 ⑿x^2yz^2
二.y,y^2,y^3,y^4,y^5,y^6,y^7,y^8,y^9共9项
14. 95，155
①边长是1，2，3，4，5，6的正方形有6X6+5X5+4X4+3X3+2X2+1X1=（6×7×13）/6=91（个），对角线长是2的正方形有4个，共95个。
得b=9，可知a=8，c=10，abc=720
4.A π×（2/2）^2×1+1/2×π×（2/2）^2×2=2π
5.B 150V1/（V1－a+V2+a）-150V2/（V1+a+V2-a）=21，（V1-V2）/（V1+ V2）=7/50
V1：V2=57：43
6.C第4项至第1003项的末位数字之和和第1004项至第2003项末位数字之和相同
②甲第一次追上乙时爬行的时间= ，
甲第一次追上乙时爬行的路程=
甲第k+1次追上乙时爬行的时间= ,
甲第k+1次追上乙时爬行的路程=
因为3×(l+4k)L是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B点追上乙
③在时刻 ,丙爬行的路程=
当k=1时,上式是 。因为丙是从C出发顺时针爬行，所以
丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合.
部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14)
解:①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立
体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的
圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆
锥的体积.
②即:
S= × ×10×π-2× × ×5×π=90π,
2S=180π=565.2(立方厘米).
２００６
中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1～9中的9个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则不同的填法共有；三位数华杯赛的最大可能值为。
13、在由x、y、z构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：
1）系数为1；
2）x、y、z的幂次之和小于等于5；
3）交换x和z的幂次，该单项式不变。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
（初一组）
（时间2006年3月18日10：00～11：00）
一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。（每小题6分）
1、下面用七巧板组成的六个图形中，有对称轴的图形为（）个（不考虑拼接线）
（A）5（B）2（C）3（D）4
（A） （B） （C） （D）
6、有一串数：1，22，，33，44，……，20042004，20052005，20062006。大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和，并且记为a，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记为b,则a－b=（）。
（A）－3（B）3（C）－5（D）5
二、A组填空题（每小题8分）
a-b≡1+2^2+3^3-（2004^2004+2005^2005+2006^2006）≡1+4+7-（6+5+6）≡-5（mod10）
二、A组填空题
7.4/9设AB=2r则{πr^2/2-[π（r/3）^2/2+π（2r/3）^2/2]}/ (πr^2/2)=1-（1/9+4/9）=4/9
8.1.98原式=[2^2/（1×3）]×[3^2/（2×4）] ×[4^2/（3×5）] ×[5^2/（4×6）] ×[6^2/（5×7）] ×……×[98^2/（97×99）] ×[99^2/（98×100）]=2×99/100=1.98
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
B
C
A
B
C
二、A组填空题（每小题8分，满分32分）
题号
7
8
9
10
答案
4/9
1.98
7
0
三、B组填空题（每小题两个空，每个空4分，每小题8分，满分32分）
题号
11
12
13
14
答案
120, 1200
16, 659
12, 9
95; 155
一、选择题
1.D ② ③ ⑤ 6
2.B最大的负整数是-1和最小的正整数是1正确。
9.7三角形两边之差小于第三边，当P在AB延长线与MN交点的位置时PA-PB=7最大。
10.0由|x-1|≤5知-4≤x≤6，-12≤3x≤18
由|y+2|≤4知-6≤y≤2，-8≤-4y≤24
由|3x-4y|=42，知3x=18，-4y=24，此时x=6，y=-6，x+y=0
三、B组填空题
11．100，1200(注:组委会提供的标准答案是120,1200,此答案有部分错误)
3.C ab+ac=152（1），bc+ab=162（2），ac+bc=170（3）
（2）－（1）得（b-a）c=10（4）
（3）÷（4）得（a+b）/（b-a）=17即a=8b/9（5）
（3）－（2）得a（c-b）=8（6）
（1）÷（6）得（b+c）/（c-b）=19即c=10b/9（7）
（6）和（7）代入（3）（8b/9）×（10b/9）+b×（10b/9）=170
答:甲、乙、丙仅仅在B处或合.
14、己知m，n都是正整数,并且
，
①证明: ，
②若 ，求m和n的值.
解:①
同样,
②由题设,
， ，
所以, ，
即13+n是13×13的因数,
13×13只有3个因数:1，13，132所以,
13+n=132,n=132-13=156,m=12.
求出正整数m,n另一方法:使
，
设m =Kα,n=Kb,(α,b)=1,代入上式,
7、如图，以AB为直径画一个大半圆。BC=2AC
分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积之比等于___。
8计算：
（1+ ） （1+ ） （1+ ） （1+ ） … （1&#B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于______米。
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少?
解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6.
②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:
第一组
10
第二组
9
8
第三组
7
6
5
第四组
4
3
2
1
第五组
4、下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和右视图，图中单位为厘米。立体图形的体积为（）立方厘米。
（A）2 （B）2.5 （C）3 （D）3.5
5、甲、乙两轮船在静水中航行的速度分别为是v1，v2，(v1＞v2)，下游的A港与上游的B港间的水路路程为150千米。若甲船从A港，乙船从B港同时出发相向航行，两船在途中的C点相遇。若乙船从A港，甲船从B港同时出发相向航行，两船在途中D点相遇,已知C、D间的水路路程为21千米。则v1∶v2等于（）
由上式和b >α,b=13,α=1,d=l所以,K=12,m和n有唯一解m=13n =156.
答:m=13n =156.
7、已知 ，则小于S的最大的整数是(0)
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:
为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是(2005)
二.解答下列各题,要求写出简要过程
9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和
BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影
②直角边为1的三角形有36×2=72（个）；斜边长是2的三角形，1-6行依次有4+4+4+3+1+4=20（个），1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个），共20+17=37（个）；直角边长是2的1-2行8个，2-3行6个，3-4行2个，4-5行8个，5-6行6个，共8+6+2+8+6=30（个）；直角边长是3的1-3行4个，3-5行2个，4-6行4个，共4+2+4=10（个）；斜边长是4的1-4行1个，2-5行2个，4-5行1个，共1+2+1=4（个）；直角边长是4的3-6行2个。共72+37+30+10+4+2=155（个）
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组)
（红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空
1、计算： （ ）
2、当 时，多项式 的值是0，则多项式 （5）
3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有(6)名小朋友
三.解答下列各题,要求写出详细过程
13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙三只蚂蚁分别从A、B、C三个点同时出发,甲和乙沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁所有的会合地点.
解:①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;
那么你能挑出这样的单项式共有个。在挑出的单项式中，将x的幂次最低的两两相乘，又得到一组单项式，将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式，那么该整式是个不同的单项式之和。
14、下图中有个正方形，有个三角形。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
初赛，初一组试题答案
一、选择题（每小题6分，满分36分）
4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一
个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120
平方厘米,则正方形EFGH的面积等于(10)平方厘米
5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为(4012)
6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水(288)立方米
解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:
先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着:当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解.
2、有如下四个命题：
①最大的负数是－1；②最小的整数是1；
③最大的负整数是－1；④最小的正整数是1；
其中真命题有（）个
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
3、如果a，b，c均为正数，且a（b＋c）＝152，b（c＋a）＝162，c（a＋b）＝170，那么abc的值是（）
（A）672（B）688（C）720（D）750
设提速前的速度平均为V千米/小时，两市相距S千米。
S/（V+20）=10（1）
S/V=10+2（2）
由（1）（2）得V=100，S=1200
12．16，659
被加数千位是1，被加数与加数个位分别是7和9，被加数与加数十位数字之和是9，被加数百位与加数百位数字之和是9，有3+6=9与4+5=9。加法算式从右至左选择数字有2×1×4×1×2×1×1=16（种）不同填法。三位数华杯赛最大可以是659
0
-1
-2
-3
-4
第六组
-5
-6
-7
-8
-9
-10
③计算它们的平均值的和:
答:最大的和是 。
11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m=0可以得到10个关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果有,求出这些公共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.
12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36度,请说明理由.
解:①在平面上任取一点。,过O点作已知的5条直线的平行线
②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的
和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360。
10.如果 =42， ， 那么x＋y=_____
三、B组填空题（每题两个空，每个空4分）
11、列车提速后，某次列车21：00从A市出发，次日7：00正点到达B市，运行时间较提速前缩短了2小时，而车速比提速前平均快了20千米/小时，则提速前的速度平均为千米/小时，两市相距千米。
12、在算式
第十一届
＋华杯赛
13．12，9
一.⑴1 ⑵y ⑶y^2 ⑷y^3 ⑸y^4 ⑹y^5 ⑺xz ⑻xyz ⑼xy^2z ⑽xy^3z ⑾x^2z^2 ⑿x^2yz^2
二.y,y^2,y^3,y^4,y^5,y^6,y^7,y^8,y^9共9项
14. 95，155
①边长是1，2，3，4，5，6的正方形有6X6+5X5+4X4+3X3+2X2+1X1=（6×7×13）/6=91（个），对角线长是2的正方形有4个，共95个。
得b=9，可知a=8，c=10，abc=720
4.A π×（2/2）^2×1+1/2×π×（2/2）^2×2=2π
5.B 150V1/（V1－a+V2+a）-150V2/（V1+a+V2-a）=21，（V1-V2）/（V1+ V2）=7/50
V1：V2=57：43
6.C第4项至第1003项的末位数字之和和第1004项至第2003项末位数字之和相同
②甲第一次追上乙时爬行的时间= ，
甲第一次追上乙时爬行的路程=
甲第k+1次追上乙时爬行的时间= ,
甲第k+1次追上乙时爬行的路程=
因为3×(l+4k)L是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B点追上乙
③在时刻 ,丙爬行的路程=
当k=1时,上式是 。因为丙是从C出发顺时针爬行，所以
丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合.
部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14)
解:①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立
体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的
圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆
锥的体积.
②即:
S= × ×10×π-2× × ×5×π=90π,
2S=180π=565.2(立方厘米).
２００６
中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1～9中的9个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则不同的填法共有；三位数华杯赛的最大可能值为。
13、在由x、y、z构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：
1）系数为1；
2）x、y、z的幂次之和小于等于5；
3）交换x和z的幂次，该单项式不变。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷
（初一组）
（时间2006年3月18日10：00～11：00）
一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。（每小题6分）
1、下面用七巧板组成的六个图形中，有对称轴的图形为（）个（不考虑拼接线）
（A）5（B）2（C）3（D）4
（A） （B） （C） （D）
6、有一串数：1，22，，33，44，……，20042004，20052005，20062006。大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和，并且记为a，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记为b,则a－b=（）。
（A）－3（B）3（C）－5（D）5
二、A组填空题（每小题8分）
a-b≡1+2^2+3^3-（2004^2004+2005^2005+2006^2006）≡1+4+7-（6+5+6）≡-5（mod10）
二、A组填空题
7.4/9设AB=2r则{πr^2/2-[π（r/3）^2/2+π（2r/3）^2/2]}/ (πr^2/2)=1-（1/9+4/9）=4/9
8.1.98原式=[2^2/（1×3）]×[3^2/（2×4）] ×[4^2/（3×5）] ×[5^2/（4×6）] ×[6^2/（5×7）] ×……×[98^2/（97×99）] ×[99^2/（98×100）]=2×99/100=1.98
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
B
C
A
B
C
二、A组填空题（每小题8分，满分32分）
题号
7
8
9
10
答案
4/9
1.98
7
0
三、B组填空题（每小题两个空，每个空4分，每小题8分，满分32分）
题号
11
12
13
14
答案
120, 1200
16, 659
12, 9
95; 155
一、选择题
1.D ② ③ ⑤ 6
2.B最大的负整数是-1和最小的正整数是1正确。
9.7三角形两边之差小于第三边，当P在AB延长线与MN交点的位置时PA-PB=7最大。
10.0由|x-1|≤5知-4≤x≤6，-12≤3x≤18
由|y+2|≤4知-6≤y≤2，-8≤-4y≤24
由|3x-4y|=42，知3x=18，-4y=24，此时x=6，y=-6，x+y=0
三、B组填空题
11．100，1200(注:组委会提供的标准答案是120,1200,此答案有部分错误)
3.C ab+ac=152（1），bc+ab=162（2），ac+bc=170（3）
（2）－（1）得（b-a）c=10（4）
（3）÷（4）得（a+b）/（b-a）=17即a=8b/9（5）
（3）－（2）得a（c-b）=8（6）
（1）÷（6）得（b+c）/（c-b）=19即c=10b/9（7）
（6）和（7）代入（3）（8b/9）×（10b/9）+b×（10b/9）=170
答:甲、乙、丙仅仅在B处或合.
14、己知m，n都是正整数,并且
，
①证明: ，
②若 ，求m和n的值.
解:①
同样,
②由题设,
， ，
所以, ，
即13+n是13×13的因数,
13×13只有3个因数:1，13，132所以,
13+n=132,n=132-13=156,m=12.
求出正整数m,n另一方法:使
，
设m =Kα,n=Kb,(α,b)=1,代入上式,
7、如图，以AB为直径画一个大半圆。BC=2AC
分别以AC，CB为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积之比等于___。
8计算：
（1+ ） （1+ ） （1+ ） （1+ ） … （1&#B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于______米。
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少?
解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6.
②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:
第一组
10
第二组
9
8
第三组
7
6
5
第四组
4
3
2
1
第五组
4、下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和右视图，图中单位为厘米。立体图形的体积为（）立方厘米。
（A）2 （B）2.5 （C）3 （D）3.5
5、甲、乙两轮船在静水中航行的速度分别为是v1，v2，(v1＞v2)，下游的A港与上游的B港间的水路路程为150千米。若甲船从A港，乙船从B港同时出发相向航行，两船在途中的C点相遇。若乙船从A港，甲船从B港同时出发相向航行，两船在途中D点相遇,已知C、D间的水路路程为21千米。则v1∶v2等于（）