常微分方程第三版习题答案

常微分方程第三版习题答案
常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。

在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。

本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题一
1.1 解：
首先，我们根据题意列出方程：
$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$
这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$
将上述结果代入原方程，得到：
$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$
化简得到：
$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$
两边同时除以$e^{2t}$，得到：
$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$
对上式两边同时积分，得到：
$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$
将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：
$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$
1.2 解：
首先，我们根据题意列出方程：
$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$
这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。

将方程变形，得到：
$ydy = tdt$
对上式两边同时积分，得到：
$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$
解得：
$y^2 = t^2 + C$
由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：
$1 = 0 + C$
解得：
$C = 1$
将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：
$y^2 = t^2 + 1$
2. 习题二
2.1 解：
首先，我们根据题意列出方程：
$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$
这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

令$y = u(t)e^{t^2}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{t^2} + 2tue^{t^2}$ 将上述结果代入原方程，得到：
$\frac{du}{dt}e^{t^2} + 2tue^{t^2} = 2t(u(t)e^{t^2}) + t^2$ 化简得到：
$\frac{du}{dt}e^{t^2} = t^2$
两边同时除以$e^{t^2}$，得到：
$\frac{du}{dt} = t^2e^{-t^2}$
对上式两边同时积分，得到：
$u = \int t^2e^{-t^2}dt$
这是一个常见的高斯积分，可以通过换元法来求解。

令$u = -\frac{1}{2}e^{-t^2}$，则$du = -te^{-t^2}dt$
将上述结果代入$\int t^2e^{-t^2}dt$，得到：
$u = -\frac{1}{2}\int te^{-t^2}dt$
这是一个常见的高斯积分，可以通过换元法来求解。

令$v = -t^2$，则$dv = -2tdt$
将上述结果代入$-\frac{1}{2}\int te^{-t^2}dt$，得到：
$u = \frac{1}{4}\int e^vdv$
对上式两边同时积分，得到：
$u = \frac{1}{4}e^v + C$
将$u$代入$y = u(t)e^{t^2}$，得到最终的解：
$y = (\frac{1}{4}e^{-t^2} + C)e^{t^2}$
2.2 解：
首先，我们根据题意列出方程：
$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y} + y^2$
这是一个一阶非线性常微分方程，我们可以通过变量替换来求解。

令$u = y^3$，则$\frac{du}{dt} = 3y^2\frac{dy}{dt}$
将上述结果代入原方程，得到：
$3y^2\frac{dy}{dt} = t + y^6$
化简得到：
$\frac{du}{dt} = t + u^2$
这是一个一阶非线性常微分方程，我们可以使用分离变量来求解。

将方程变形，得到：
$\frac{du}{u^2} = tdt$
对上式两边同时积分，得到：
$-\frac{1}{u} = \frac{1}{2}t^2 + C$
解得：
$u = -\frac{1}{\frac{1}{2}t^2 + C}$
将$u$代入$u = y^3$，得到最终的解：
$y^3 = -\frac{1}{\frac{1}{2}t^2 + C}$
以上是《常微分方程第三版》部分习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

在学习过程中，除了理解和掌握解题方法外，多做习题也是非常重要的。

通过反复练习，可以提高解题的速度和准确性，同时也能够更好地理解和掌握常微分方程的知识。

祝大家在学习常微分方程的过程中取得好成绩！。