232233平面向量的正交分解及坐标表示和运算

a b 2，13，4 5，3
3a 4b 32，1 4 3，4 6，3 12，16 ＝ 6，19
例5:如图，已知□ ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
解法１：设点D的坐标为（x,y） AB (1,3) (2,1) (1, 2)
解： AB OB OA
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
A
(x2 x1, y2 y1)
B
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减 去起点的坐标。
例4:已知 a (2,1),b (3, 4) ，求 a b, a b, 3a 4b 的坐标。
解 : a b 2，1 3，4 1，5
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则： OC _3_i___4__j _, OD __5_i___7__j_ .
y
7
D
4
C
B
jo i A 3 5 x
（3）向量 CD 能否由 i, j 表示出来？可以的话，如何表示？ CD 2 i 3 j
平面向量的坐标表示
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则
它们的坐标。
解：如图可知
A2
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理Biblioteka AA1b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
思考：已知 a (x1, y1),b (x2, y2) ，你能得出 a b, a b, a
解法2：由平行四边形法则可得
y
C
B
BD BA BC
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
(3, 1)
O
D x
而 OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
2
阅读课本：P95—P96（5分钟）
排忧解惑： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向
量正交分解
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
设 OA i,OB j ，填空： （1）| i | ___1__,| j | ___1___,
| OC | ___5___;
复习
一、平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a 1e1 +2 e2
这里不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
二、向量的夹角：
使两个向量的起点重合. [0, ] (1)当 0时, a与b ____; (2)当 时, a与b ____; (3)当 时, a与b ____ .
y
D
a
C
A
j
x
o iB
这里，我们把（x,y）叫做向量 a的（直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在 y 轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
y
a
y
A
j
Oi x
x
a xi +y j
OA xi +y j
例2：如图，分别用基底i ，j 表示向量a b、c、 d、 ，并求出
y
C
B
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
且AB DC
A
(1, 2) (3 x, 4 y)
O
13x
24 y
解得 x=2,y=2
D x
所以顶点D的坐标为（2，2）
例5:如图，已知□ ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
的坐标吗？
平面向量的坐标运算： a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和（差）
a (x1, y1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
例3：如图，已知 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求 AB 的坐标。