人教版八年级数学上册与三角形有关的线段(含知识点)

第11章《三角形》
同步练习
（§11.1 与三角形有关的线段A）
班级学号姓名得分
1、填空题：
(1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做
______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______．
(2)如图所示，顶点是A、B 、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所
对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C 所对的边______还可用______表示．
(3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质
______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．
(4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜
______．
(5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是
____________，其中x可以取的整数值为____________．
2．已知：如图，试回答下列问题：
(1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________.
(2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________.
(3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________．
(4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．3．选择题：
(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )．
(A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm
(C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm
(2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列
四根木条中应选取( )．
(A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条
(C)1m长的木条(D)0.5m长的木条
(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的
个数是( )．
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
(4)若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．
(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16
(C)11＜l＜13 (D)10＜l＜16
4.(1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．
(2)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．
(3)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．
(4)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．5．(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．
(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．
(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．
(4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．
(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．
6．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点．
(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度，确定AB 与)(2
1DB CD 的大小关系. (2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．
7．已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．
8．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．
八年级上册试
班级 学号 姓名 得分
1．填空题：
(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形
这边上的高．
如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对
边AB 的距离是______的长． (2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线． 如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______2
1 EC (3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线． 一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________． 如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ______∠CAD ＝
21______或∠BAC ＝2______＝2______． 2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ． 3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．
(∠A为锐角) (∠A为直角) (∠A为钝角)
(2)这三条高AD、BE、CF所在的直线有怎样的位置关系?
4．(1)分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．
(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?
(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，
从中你能发现什么结论?
5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF .
(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?
(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中
你能发现什么结论?
6．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．
7．(1)如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三
角形的这个性质叫做________________________.
(2)四边形是否具有这种性质?
8．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以
下两问要求各画三个示意图)
(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．
(2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．
9．不等边△ABC 的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
参考答案
（§11.1 与三角形有关的线段A ） 1．(1)不在同一直线上的，首尾顺次相接，三角形的边，三角形的顶点，三角形的内角，三角形的角． (2)△ABC ，三角形ABC ，BC ，a ；AC ，b ；AB ，c (3)三角形两边之和大于第三边，小于第三边． (4)＞，＜，a －b ，a ＋b (5)1cm ＜x ＜9cm ，2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm 、7cm 、8cm ． 2．(1)六，△ABC 、△ABD 、△ABE 、△ACD 、△ACE 、△ADE ． (2)△ABD 、△ACD 、△ADE ． (3)△ACE ，∠CAE ． (4)BC ：CD ：DE ． 3．(1)C ，(2)D ，(3)A ，(4)D 4．(1)6，6，6；(2)20cm ，22cm ；(3)12cm ，12cm ；(4)5cm ，5cm ，2cm ． 5．(1)3＜x ＜17；(2)2＜x ＜6；(3)10≤x ＜17；(4)4＜e ＜8； (5)3，3，4或4，4，2 6．(1))(21DB CD AB +>． (2)提示：对于△ADC ，∵AD ＋AC ＞DC ， ∴(AD ＋DB )＋AC ＞CD ＋DB ， 即AB ＋AC ＞CD ＋DB ． 又∵AB ＝AC ，∴2AB ＞CD ＋DB ． 从而AB ＞
21(CD ＋DB )． 7．提示：延长BP 交AC 于D ． ∵在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ＝BP ＋PD ，①
8．证明：延长BP交AC于D，延长CE交BD于F．
在△ABD中，AB＋AD＞BD．①
在△FDC中，FD＋DC＞FC．②
在△PEF中，PF＋FE＞PE．③
①＋②＋③得AB＋AD＋FD＋DC＋PF＋FE＞BD＋FC＋PE，
即：AB＋AC＋PF＋FD＋FE＞BP＋PF＋FD＋FE＋EC＋PE，
所以AB＋AC＞BP＋PE＋EC．
（§11.1 与三角形有关的线段B）
1．(1)垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD的长．
(2)所对的边的中点、线段，＝，AC
(3)平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．
＝，∠BAC，∠BAD，∠DAC
2．略．
3．(1)略，(2)三条高所在直线交于一点．
4．(1)略，(2)三条中线交于一点，(3)BM＝2ME．
5．(1)略，(2)三条角平分线交于一点，(3)点N到△ABC三边的距离相等．
6．提示：有两种情况，分别运用方程思想，设未知数求解．
八年级上册
(2)下列各图是答案的一部分： 9．它的长为5，或4．
提示：设S △ABC ＝S ，第三条高为h ，则△ABC 的三边长可表示为：
h
S S S 212242、、，列不等式得：12242212242S S h S S S +<<- ∴3＜h ＜6．
人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点
第十一章 三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对
角线.
11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.
12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用
多边形覆盖平面，
13.公式与性质：
⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°
⑵三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)
n-·180°
⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.
⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)
n-条对角
人教版数学线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有
(3)2n n -条对角线. 第十二章 全等三角形
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等.
4.角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
第十三章轴对称
一、知识框架：
二、知识概念：
1.基本概念：
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.
⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫
做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.基本性质：
⑴对称的性质：
①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等.
⑵线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.
②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -. ⑷等腰三角形的性质：
①等腰三角形两腰相等.
②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.
③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）. ⑸等边三角形的性质： ①等边三角形三边都相等.
②等边三角形三个内角都相等，都等于60° ③等边三角形每条边上都存在三线合一.
④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）. 3.基本判定：
⑴等腰三角形的判定：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对
等边）.
⑵等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形.
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.基本方法：
⑴做已知直线的垂线：
⑵做已知线段的垂直平分线：
⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形：
⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.
第十四章 整式的乘除与分解因式
一、知识框架:
二、知识概念： 1.基本运算：
⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()n
m mn a a =
⑶积的乘方：()n
n n ab a b =
2.整式的乘法：
⑴单项式⨯单项式：系数⨯⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯.
⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
3.计算公式：
⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-
⑵完全平方公式：()2
222a b a ab b +=++；()2
222a b a ab b -=-+
4.整式的除法：
⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=
教案⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.
5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.
6.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：
①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-
②完全平方公式：()2
222a ab b a b ±+=±
③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++
⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法
第十五章 分式
一、知识框架 ：
二、知识概念： 1.分式：形如
A
B
，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算：
⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：
a b a b
c c c
±±=
⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分
式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：
a c ad cb
b d bd
±±=
⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分
母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd
⨯=
⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：
a c a d ad
b d b
c bc
÷=⨯=
⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n
n n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
8.整数指数幂：
⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）
⑵()
n
m mn a
a =（m n 、是正整数）
⑶()n
n n ab a b =（n 是正整数）
⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）
⑸n
n n a a b b
⎛⎫
= ⎪⎝⎭（n 是正整数）
⑹
1
n
n
a
a
-=（0
a≠，n是正整数）
9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。