线段垂直平分线的性质(共3课时)2014

图形语言
C
B
N
练习1：如图所示，在△ABC中，BC的垂 直平分线分别交AB，BC于点E，D，若 C△ABC 10 ,BC=4，求 C△ACE .
练习2 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC于E，则△ADE 的周长等 8 于______ ． A
B
D
实际问题2
在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 B 院的院址应选在何处？
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB.
数学化
A
实 际 问 题
2
B L
p
P
A
C
B
线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上． P 用符号语言表示为：
∵ ∴ PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上．
A
C
B
P62练习2
练习4：如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上 ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D 平分线．
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. M 已知：如图， 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上. P 求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90° 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS） ∴PA=PB
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B N N’ A M
M’
P C
PA=PB=PC ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
证明：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习7 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交 于P. A 求证：点P在AC的垂直平分线上; M
M’ P C
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂
足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； M P
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B ……
由此你能得出什么规律
命题：线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距 离相等。
A C P1 B
N
线段的垂直平分线
图形语言
C
B
N
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反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直 平分线上呢？
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明： 如图作PC⊥AB 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
E
C
P62练习1，P65第6题
练习3：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ A
解：∵
∵ ∴ ∵
AD⊥BC，BD =DC ∴ AD 是BC 的垂直平分线 ∴ AB =AC B 点C 在AE 的垂直平分线上 AC =CE． ∴ AB =AC =CE
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
作线段的垂直平分线
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对 称，其对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平 分线．因此，只要找到任 意一组对应点，作出对应 点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴．
尺规作图
经过一点作已知直线的垂线。
例1 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗？
A
B
作已知线段的垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径 2 作弧，两弧相交于C，D 两点；
（2）作直线CD．
1
CD 就是所求作的直线．
C A D B
这种作法的依据是什么？ 这种作图方法还有哪些作用？ 确定线段的中点．
A
C
B
N
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等。 M
线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端 点的距离相等
点P在线段 AB的垂直 平分线上
符号语言:
P PA=PB
∵点P在线段AB的垂直平分线上 A ∴ PA=PB 或∵ CA =CB，MN⊥AB， ∴ PA =PB．
情形二 已知：直线AB和AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C.
情形一 已知：直线AB和AB上一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C.
做法： （1）任意取一点K ，使点K与点 C 在直线AB两旁. （2）以点C为圆心，CK为半径作弧， 交AB于点D和点E.
D
C
E
F
（3）分别以点D和点E为圆心，大 1 于 DE 的长为半径作弧，两弧相交 2 于点F. （4）作直线CF，直线CF 就是所求作的垂线。
A
K
B
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11.3 角的平分线
A D P O E C
12.1 线段的垂直平分线
M
P
B
B
A N
性质 在角的平分线上的点到这个角 性质 线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等。 的两边的距离相等。 判定 到一个角的两边的距离相等 的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离 相等的所有点的集合 判定 和一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合
实际问题1
威海市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A、 B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
A
B
C
线段的垂直平分线
实际问题
1、求作一点P，使 它和已△ABC的三 个顶点距离相等.
B
数学化
A
实 际 问 题
1
p
C
PA=PB=PC
A
B
C
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距 离相等的所有点的集合
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请大家回顾，目前，我们已能用尺规完成 哪些基本作图？ （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作一个角的平分线；
那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？
作已知线段的垂直平分线
求证：点O在BC的垂直平分线上。 证明：连结OB。 ∵ ON是AB的垂直平分线（已知） N
例 题 扩 展
已知：在Δ ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。
A
∴ OA=OB（线段的垂直平分线上的 点到这条线段的两个端点的距离相等） ∵ OA=OC（已知） ∴ OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上。 （到线段的两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。） O
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB(？) 同理 PB=PC.
）.
B
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
N ∴PA=PC. (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
线段的垂直平分线
实际问题1
东胜区政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A、 B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等.
A
B
C
A
实际问题2
在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 B 院的院址应选在何处？
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB Δ BDC的周长20厘米. 求:AB的长.
A M D B
8
的垂直平 线MN交AC于点 D,BC=8厘米,
C N A C D
已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.
求证:点C在AD的垂直平分线上.
B
D
C
E
AB =CE，BD =DC，∴ 即 AB +BD =DE ．
AB +BD =CD +CE．
第2课时
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等。 M
线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端 点的距离相等
点P在线段 AB的垂直 平分线上
符号语言:
P PA=PB
∵点P在线段AB的垂直平分线上 A ∴ PA=PB 或∵ CA =CB，MN⊥AB， ∴ PA =PB．
C
练习5：如图，AD为△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， 连接EF，EF交AD于点G.试证明线段AD 垂直平分线段EF.
书P66第9题
练习6：如图，AD与BC相交于点O，OA=OB， ∠A=∠C，BE=DE.求证：OE垂直平分BD.
书P66第13题
练习7 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上; 分析：