2010届高三数学数列求通项公式及求和

专题补充：数列求通项公式和及求和
一、 通项公式
二、数列求和
补充：222
2
33
(1)(21)(1)2,264
n n n n n n n ++++++=+++= 2
311
典型例题
一．通项
类型1：等差求通项思想：叠加求通项，用于11()()n
n n n a a f n a a f n ---=⇔=+型；
例1：（03全国19）已知数列|n a |满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n （I ）求;,32a a （II ）证
明：2
13-=n n a
变式1：（08四川）设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = 变式2：(08江西5)在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =（ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++
类型2：等比求通项思想：叠乘求通项，用于
11
()()n
n n n a f n a a f n a --=⇔=⋅型； 例2：在数列{}n a 中，111,
(2),1
n n a n a n a n -==≥-则?n a = 变式1：设{}n a 是首项为1的正项数列，
122
1(1)0(1,2)n n
n n n a na a a n +++-+== 则它的通项公式是
n a =_____
变式2：在数列{}n a 中，已知211,,n n a S n a ==求通项n a ；
类型3： 已知n S 求通项n a ：
{
112,1n n s s n n s n a --≥==
，
例3：（07福建21）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．
变式1：(09全国 19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，142n n S a +=+．（Ⅰ）设
12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； 变式2：(07重庆）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，
6(1)(2)n n n S a a =++
n ∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n b
n a -=，并记n T 为{}n b 的
前n 项和，求证：231log (3)n n T a n ->+∈N ，．
变式3：若2log (1)n S n +=，则?n a =
例4：（06重庆）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =___
变式1：（08四川21）已知数列{}a n 的前n 项和,22n n n S a =-(Ⅰ)求34a a 、；(Ⅱ)证明：数列
{}12a a n n +-是一个等比数列.(Ⅲ)求{}a n 的通项公式.
变式2：(06福建22）已知数列{}n a 满足12211,3,3n n a a a a ++===2n a -,*()n N ∈,（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式；
例5： （08全国19）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．求数列{}n a 的前n 项和n S ．
变式1：（08四川21）已知数列{}a n 的前n 项和,22n n n S a =-(Ⅰ)求34a a 、；(2)求{}a n 的
通项公式.
例6：（08全国19）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设1
2n
n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
变式1：（08天津20）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-，
(20)n q ≠≥，．（Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的
通项公式；
小结：先证明新数列为等差或等比再求通项问题，先从问题入手按证明等差或等比方法证明问题，再由等差或等比的通项公式间接解决问题。

例7：数列{}n a 中，*1121,(),2
n
n n a a a n N a +==
∈+则100?a =
例7： (04全国卷)若数列{}n a 满足11211,2(1)n n a a a a n a -==++- (2)n ≥,则{}n a 的通项
n a =
{
1,1
__,2n n =≥
.
变式1：数列{}n a 满足*12323(1)(2)()n a a a na n n n n N ++++=++∈ (2)n ≥,则n a =? 明(Ⅰ)数列{n
S n
}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n ．
4.(08四川20)设数列{}n a 的前项为n S ，已知2(1)n n n ba b S -=-．
（Ⅰ）证明：当2b =时，1{2}n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．
5．（09四川22）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，
6. (07福建）等差数列{}n a 的前n
项和为1319n S a S ==+，（Ⅰ）求{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()n
n S b n n
*=∈N ，求证：数列{}n b 中任不同的三项不可能成为等比数列；
7.(07北京）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123
a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．
8.(07山东）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式． （2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．
9．（06陕西) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .
二．数列求和
例1：求下列数列的前n 项和：2222101010(1)lg ,lg ,,lg 333
n
n
(2)320042008求分母为，包含在正整数与之间的所有不可约分数的和；
123(3),,,,2482
n
n
变式：数列{}n a 为等差数列，11232,12,a a a a =++=（1）求{}n a 通项公式；
（2）()n n
n b a x x R =⋅∈，求数列{}n b 前n 项和；
1111(4)
,,,,153759(21)(23)
n n ⨯⨯⨯-⨯+ 1111111(5)1,1,1,,(1)224242
n -+++++++
小结求和方法： （1）公式法：用于等差与等比数列；
（2）倒序相加法：若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子
（3）错位相减法：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和时，常常将{}n n b a 的各项乘以{}n b 的公比，并向后错一项；
（4）裂项相消法：把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形
1
a
=
1111()()n n k k n n k =-++， 1111
()(1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-+++++
（5）分组求和法：把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和
练习：1．(07福建)数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)
n a n n =
+，则5
?S =
{}?
n n a a =
=1002.的通项则S
22222
2123499100?
-+-++-=
123410{}12345678910n a a a a a a ==+=++=+++=3.数列中，，，，，则？
{}363?n n a a n =-+++= 12304.数列满足：，则a a a
111
5.1?1212312s n
=+
+++=++++++ 6．等差数列前3项之和为12，后3项之和为132，所有各项之和为240，则项数?n = 7．(2)21n
n =-+-n n 数列{a }满足：a ，
求前n 项和?=n S
8．函数
()
,
1x
f x x
=+求
111(1)(2)(2008)(
)()()(1)?200820072
f f f f f f f ++++++++= 等差数列独有特点：
1.若{},{}n n a b 为等差数列,前n 项和分别为n n S T 、,若
()n n
S f n T =，则(21)n n a
f n b =-；
2.判定等差数列n S 何时取最大值：法1根据n S 相应二次函数的对称性；法2判定n a 何时开始
为负；
3．判定等差数列n S 何时开始0>或0<，由1()
2
n n n a a S +=
，即判定1n a a +何时正负发生改变；
补充:等差、等比数列中：利用对称性设出相邻几项：如等比相邻3项设为：1,,aq a aq -，等比相邻4项设为：313,,,aq aq aq aq --；等差相邻3项：,,a d a a d -+
二．等差与等比数列：五要素（
()a d q n a S 、或、、、， 知三求二）。